同角三角函数的基本关系式与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]

1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α

cos α＝tan α.

2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π

2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公

式.

知识梳理1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：sin α

cos α＝tan α.

2．三角函数的诱导公式

辨析感悟

1．对三角函数关系式的理解

(1)若α，β为锐角，sin 2 α＋cos 2β＝1. (×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α

cos α恒成立． (×) (3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤

π2，π，则cos α＝35.(×)

2．对诱导公式的认识

(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．

(√)

(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π

2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

(√)

(6)角π＋α和α终边关于y 轴对称．(×) 3．诱导公式的应用

(7)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1

3.

(×)

(8)(2013·广东卷改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝1

5，则cos α＝－15.(×) [感悟·提升]

1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π

2＋k π，k ∈Z ，如(1)、(2)．

2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．

考点一 同角三角函数基本关系式的应用

【例1】 (1)已知tan α＝2，则

2sin α－3cos α

4sin α－9cos α

＝___________，

4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.

(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π

2，则cos θ－sin θ的值为________． 解析 (1)

2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－3

4×2－9

＝－1，

4sin 2

α－3sin αcos α－5cos 2

α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α

sin 2 α＋cos 2α

＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.

(2)当π4＜θ＜π

2时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0，

又(cos θ－sin θ)2

＝1－2sin θcos θ＝1－14＝3

4，

∴cos θ－sin θ＝－3

2. 答案 (1)－1 1 (2)－3

2

学生用书

第52页

规律方法 α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． (2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝1

5，0＜α＜π，则tan α＝______. (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一 联立方程

⎩⎪⎨

⎪⎧

sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②

由①得cos α＝1

5－sin α，将其代入②， 整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. 又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧

sin α＝45，

cos α＝－3

5，

∴tan α＝－4

3.

法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

152，

即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－24

25，

∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝49

25.

∵sin αcos α＝－12

25＜0且0＜α＜π，

∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，

∴sin α－cos α＝7

5，

由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧

sin α＝4

5，cos α＝－3

5，

∴tan α＝－43.

(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②

由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，

∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64. 答案 (1)－43 (2)±6

4

考点二 利用诱导公式化简三角函数式

【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.