答案-拓扑学基础

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校

课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭

卷

授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页

一、填空题：（每空2分，共20分）

1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ∅，{,,{1}}X ∅， {,,{2}}X ∅，

{,,{3}}X ∅。（注：答案不唯一，正确即可）

2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 3．字母Y 的割点个数为 无穷 。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一

对

应

且

它

的

逆

也

是

连

续

的 。 二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ）

A 连通空间一定是道路连通空间

B 道路连通空间一定是连通空间

C 道路连通空间一定局部道路连通

D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ）

A 紧空间的闭子集紧致

B 紧致空间未必局部紧致

C 有限空间一定不紧致

D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ）

A 离散空间都是1T 空间

B 2T 空间中单点集是闭集

C ¡赋予余有限拓扑不是2T 空间

D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ）

A 紧致性

B 连通性

C 道路连通性

D 商映射

三、计算题：（共16分）

1．在¡上赋予余有限拓扑，记¤为有理数集合，[0,1]I =。试求'¤和I 。（4分） 答：'=

ぁ，I =¡。

2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分）

答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。

3．在¡上赋予欧式拓扑。（4分）

（1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1

3

处的值。

答：αβ在13处的值是4

9

。

装

订

线

装

订

线

内 不

要

答

题

学 号

姓 名

班 级

（2）计算道路3t α=与1β=的乘积αβ在2

3

处的值。 答：αβ在2

3

处的值是1。

四、问答题：（每题10分，共30分）

1. 叙述拓扑空间的定义并举例说明任意多个开集的交未必是开集。（10分） 答：集合X 上的一个拓扑T 是由X 的子集构成的子集族，即

{|,}T A A X I ααα=⊂∈，其中I 是一个指标集。它们满足三个条件：

1． 集合X 与空集在T 中。

2． T 中任意多个集合的并集在T 中。 3．

T 中有限多个集合的交集在T 中。

定义了拓扑的集合称为拓扑空间。 （7

分）

注：例子不唯一，正确即可。

2. 叙述0T 空间、1T 空间的定义。设{0,1,2,3,4}X =，{,,{1}}T X =∅，试定义一个等价关系:使得商空间X :

是0T 空间但不是1T 空间。 （10

分）

答：设X 是拓扑空间，若对任两点存在其中一点的开邻域不包含另外一点，

则称其为0T 空间； （3分）

设X 是拓扑空间，若对任两点存在每点的开邻域不包含另外一点，则称其为1T 空间。 （6分） 举例4分。

注：例子不唯一，正确即可。

3. 谈谈你对拓扑学的内容方法的认识。（10分）

注：无唯一标准答案。

五、证明题：（共26分） 1. 叙述并证明开集判定定理。（7分）

装

订

线

装

订

线

内 不

要

答

题

学 号

姓 名

班 级

定理 W 是开集当且仅当它是它的每个点的邻域。

（3分）

证明：“⇒”由邻域的定义，这是显然的。 “⇐”x W ∀∈，因为W 是x 的邻域，由邻域的定义，

存在开集x O W ⊂，使得x x O ∈。

所以{}x W x W x W x O W ∈∈=⊂⊂U U 。

所以x W x W O ∈=U

因为开集的任意并集是开集，所以W 是开集。

（7分）

2. 叙述并证明连续映射的粘接引理。（7分）

答：粘接引理 设12{,,,}n A A A L 是拓扑空间X 的一个有限闭覆盖，若:f X Y

→在每个i A 上的限制都连续，则f 是连续映射。 （3分）

证明：只要验证Y 的每个闭集的原像是闭集。 设B 是Y 的闭集，记

i

A f 是f 在i A 上的限制。则

111

11()(())()i n n i i i A f B f B A f B ---====U I U 。

由

i

A f 连续，1()i A f

B -是i A 中的闭集，又i A 是X 的闭集，所以1

()i

A f

B -是X 中的闭集。所以1()f B -作为有限个闭集的并也是闭集。 （7分）

3. 设A 是2T 空间X 的紧致子集。证明X A

也是2T 空间。（7分）

证明：设1x ，2x 是X

A

中不同于A 的两点。不妨将其在X 中在投影映射下的原像仍记

为1x ，2x 。因X 是2T 空间，故存在各自的开邻域不相交。记为1O 和2O 。又因A 是

2T 空间X 的紧子集，所以A 是闭集，c A 是开集。从而1c A O ⋂与2c A O ⋂也为1x ，2

x 的不相交的开邻域，且在投影映射下不变，从而也是1x ，2x 的在X A

中的不相交

的开邻域。 (3分)

任取c A 中元素x ，对于任意的A 中元素a ，由X 是Hausdorff 空间，分别存在x

与a 的不相交的开邻域a U 与a V 。

显然{|}a V a A ∈是A 的开覆盖。由A 的紧致性，存在有限的子覆盖12

{,,}n a a a V V V L 。

记1

i n a i U U ==⋂，1

i n

a i V V ==⋃，则U 是x 的开邻域，A V ⊂，且U V ⋂=∅。

易知U 在投影映射下不变，仍为X A

中的开集，V 在投影映射下的像'V 为X A

中包含点A 的开集，且'U V ⋂=∅。 所以X A

也是2T 空间。 （7分）

4．设X =¢，在X 上取余可数拓扑。在商空间n ¢上定义“+”为a b a b +=+。证明“+”是连续映射。（5分）

证明：由商空间的定义可知n ¢上的拓扑为离散拓扑。 （2分） 从而由乘积空间的定义，n n

⨯

ⅱ中的拓扑也为离散拓扑。 （3分）

装

订

线

装

订

线

学 号

姓 名

班 级