第6章线面积分

高等数学练习题

第十章曲线积分与曲面积分

________ 系 ________ 专业 _______ 班

一.选择题

=1 ,并且其周长为 S ,则 n L (3X 2 +4y 2

+12)ds =

到点B （o,1）的折线，则曲线积分 jL （x + y ）ds= _ 三.计算题

2 兀 2 n / 2 2~

解：原式=[a J (x ") +(y ') dt

=a 2，直线y = X 及x 轴在第

一象限内所围成的扇形

的整个边界.

解：设圆周与x 轴和直线y=x 的交点分别为 A 和B ,

于是原式显J OA + J AB +J BO }$"叫5 在直线OA 上y =0,ds = dx 得

第一节

对弧长的曲线积分

1.设

L 是连接 A(—

1,0),

B(0,1) , C(1,0)的折线，贝y JL(x + y)ds =

(A) 0

(B)

(C) 242

（A ） S 二.填空题 (B) 6S (C ) 12S (D) 24S

1.设平面曲线

L 为下半圆周y = -71 -X 2，则曲线积分 [(x 2 + y 2

)ds = _四 』（X 2

+y 2

）n ds ，其中L 为圆周

x=acost , y=asi nt ( 0 < t < 2兀).

姓名

学号

2.设L 为椭圆

2 .设L 是由点 0（0,0）经过点 A （1,0）

2n 十 r 2

兀■丄

2n 4

jl e ^ds ，其中L 为圆周X 2 +y 2

f ~2 j y2 a

OA 护 ds^ie^x-e*—1

3T

在圆周 AB 上令 X = acosB, y = asin0,O <0 <二得

4

r ~2 2 兀 _____________

[e"x 旳 ds = 0鼻玄 J (x )2 +(y')2

d 日= ■2 J AB

在直线BO 上y=x,ds = j2dx 得

____ Q a L

Le'X 旳 ds = 72 t 2 e"2x dx = e a

-1

所以原式=（2 +色；Qe * —2

4 3. ( y 2

ds ，其中 L 为摆线的一拱 x=a(t-si nt) , y = a(1 — cost) ( 0 < t < 2花).

解：原式=2a 2 讥1 -cos t )2 J (X )2 + ( y )2

dt 5

=2层3 f(1 - cos t )2dt

_ 256a 3

-15

《高等数学》练习(下)

高等数学练习题

第十章曲线积分与曲面积分

.选择题

1.设L 以(1,1), (—1,1) , (―1,—1), (1,—1)为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则

2

1 •设设L 是由原点O 沿y = X 到点A (1,1),则曲线积分

2 2

2 •设 L 是由点 A(1,—1)到 B(1,1)的线段，则 J L (x —2xy)dx+(y -2xy)dy =

三.计算题

，求曲线积分(2xy-2y)dx +(x 2

-4x)dy • 解：将圆周写成参数形式 X =acos£,y =asin£,(0 ＜日＜2兀),

专业 姓名

学号

第二节

对坐标的曲线积分

(A) 2.设

L 是抛物线 (B ) 2

2

y =x 2(-1

(C ) 4 (D) 0

,x 增加的方向为正向，则 (xds 和J L xdy - ydx = [ A ]

0,

|

二•填空题

(A) (B) 0,0

5 2 (C)

8,3

J L (x-y)dy

1 •设L 为取正向圆周X 2

+y 2

=a 2

于是原式

2

兀 2 2

0 {(2a 2 cos 日sine -2asin0) (-asinQ)+ (a 2

2 cos 日 一 4aco 或)a cos 日}d

日

L 兀{(—2a 3 cos 日 sin 2 0 +2a 2 sin 2 0) +(a 3

cos 6 -4a 2 cos 2 8)}d 日 -2 -2a 兀

, 2 _______________________

2 .设L 是由原点O 沿y = X 到点A （1,1），再由点A 沿直线

y=x 到原点的闭曲线，求

—I

y

J arctan 丄 dy-dx 」 x

解：11 y 1 = darctan Sy-dx = ((2 xarctanx- 1)dx 'X.

2 1 兀

=[x arctan x — x + arctan x — x]o = — 一 2 2 3.计算 (1) 解: 12

y 0

=JAo arctan —dy - dx = ' (arctan 1-1 )dx =

1 X

JI

JI 兀

所以原式汀…二盯

2

^1盲盲-1

J L (X 中 y)dx +(y-x)dy ，其中 L 是: 抛物线y 2

=x 上从点（1 , 1）到点（4, 2）的一段弧; 从点（1 , 1）到点（4, 2）的直线段； 先沿直线从点（1 , 1）到点（1, 2）,然后再沿直线到点（4, 2）的折线. (门原式=1 {(y 2 +y ) 2y + ( y —y 2)}dy

2

3 2

=〔(2y +y +y )dy

=34 -3

(2)过(1, 1), (4, 2)的直线方程为 X = 3y - 2, dx = 3dy

2

所以 原式=[{3 (4y —2)+( 2—2y )}dy