第13讲 三角函数图像及其变换(学案)
高中数学新人教版A版精品教案《三角函数的图像变换教学设计》
函数)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 的图象【教学目标】1、知识与技能目标：能借助计算机课件，通过探索、观察参数A ，ω，ϕ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；2、过程与方法目标：通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
3、情感、态度价值观目标：通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。
【教学重点与难点】重点：参数A ，ω，ϕ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响；学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法难点：参数ω对函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的影响规律的概括。
【教学过程】 一、问题情境1、物理中简谐振动中平衡位置的位移随时间的变化关系图象：2、交流电的电流随时间变化的图象:观察它们的图象与正弦曲线有什么关系？二、建构数学 自主探究：探究一：探索ϕ对)sin(ϕ+=x y ，R x ∈的图象的影响。
问题1：观察函数)3sin(π+=x y 和函数x y sin =的图象之间有着怎样的关系？那么函数)4sin(π-=x y 和函数x y sin =的图像又有怎样的关系呢？你会得到那些结论？问题2：函数)sin(ϕ+=x y 和函数x y sin =的图象之间又有着怎样的关系？结论：函数)sin ϕ+=x y （的图象，可以看作是将函数x y sin =上所有的点_______（当ϕ>0时）或______________（当ϕxy sin =6π)12sin(π+=x y x y sin =)0(>ωω)sin(ϕω+=x y )32sin(π+=x y xy sin =)321sin(π+=x y x y sin =)sin(ϕω+=x y x y sin =)sin(ϕω+=x y x y sin =ω1时）或__________（当0ω)6sin(π-=x y x y 3sin =x y sin =)0(>A A )sin(ϕω+=x A y )32sin(3π+=x y xy sin =)32sin(31π+=x y x y sin =)sin(ϕω+=x A y x y sin =A R x x A y (),sin(∈+=ϕω0且A ≠1的图象，可以看作是把函数)sin(ϕω+=x y 上所有点的纵坐标___________（当A >1时）或__________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数)sin(ϕω+=x A y 的值域为___ ，最小值为_______变式训练3 1．将函数)62sin(π+=x y 的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式是 。
三角函数图像变换公开课学案
§1.5函数()ϕω+=x A y sin 的图像学习目标：1.探究参数A ,,ωϕ对()ϕω+=x A y sin 的图像的影响,理解x y sin =的图像()ϕω+=x A y sin 的图像之间的变换关系.2.体验研究数学问题的基本方法:从特殊到一般. 学习重点：参数A ,,ωϕ对函数()ϕω+=x A y sin 的图像的影响。
学习难点：图像变换与函数解析式变换的内在联系. 复习“五点作图法”活动1：在同一直角坐标系中画出函数x y sin =，)sin(π+=x y和sin y xπ⎛⎫=-的图像。
问题1：在x y sin =变换成)3sin(π+=x y 和sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭过程中，ϕ起了什么作用？结论：活动2:在同一直角坐标系中画出函数x y sin =，sin 2y x =1sin y x =的图像。
问题2：x y =y =变，什么变了？结论：活动3：在同一直角坐标系中画出x y sin =，2sin y x =与1sin y x =的图像。
问题3：在x y sin =变换成2sin y x =和sin 2y x =过程中，A 0A >起了什么作用，图像什么没变，什么变了？结论：问题4：要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将sin y x =的图像怎么变换？问题5：把sin y x =的图像变换成2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的过程中，图像向左平移了多少个单位？问题6：把sin y x =的图像变换成2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，你还有其他的办法吗？能力提升：1. 将函数sin y x =的图象上各点向右平移8π个单位,则得到新函数的解析式为2.将函数sin 2y x =的图象上各点向右平移π个单位,则得到新函数的解析式为3. 将函数1sin2y x =的图象上各点向右平移8π个单位,则得到新函数的解析式为4.将函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点向左平移8π个单位,则得到新函数的解析式为xπxπxπ巩固提升：1将sin y x =的图像经过怎样的变换可得到下列函数图像。
三角函数图象变换学案
§1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像（一）学案学习目标：1、通过五点法作图，进行三个探究，理解)sin(ϕω+=x A y 中ω，ϕ，A 对函数图像的影响，概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；2、掌握x y sin =与)sin(ϕω+=x A y 图像间的变换关系，并能正确的指出其变换步骤。
学习过程：一、学习探究探究一 ϕ对函数图象的影响（研究)sinϕ+=x y （与x y sin =的图像关系） 思考1 函数)sinϕ+=x y （与x y sin =图像的形状和位置有什么关系？ 例1 填空.1. 把sin y x =图像上所有的点向___平移 个单位，就得到sin()3y x π=+的图像．2. 把sin y x =图像上所有的点向___平移 个单位，就得到)6sin(π-=x y 的图像． ※总结和归纳：一般地,函数)sin(ϕ+=x y ）（0≠ϕ的图象可以看做将函数x y sin =的图象上所有的点向 (当0>ϕ)或向 (当0<ϕ)平移 个单位长度而得到的.（称为： 变换）探究二 ω对函数图象的影响（研究x y ωsin =与x y sin =的图像关系） 思考2 函数x y 2sin =与x y sin =图像的形状和位置有什么关系？函数x y 21sin =呢？※总结和归纳：一般地,函数)1,0(sin ≠>=ωωωx y 的图象可以看做将函数x y sin =的图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 而得到的.（称为： 变换）特别地：对于函数)sin(ϕω+=x y 的图象，可以看作是把x y ωsin =的图象上所有的点向 (当φ>0时)或向 (当φ<0时)平行移动 个单位长度而得到的．探究三 A 对函数图象的影响（研究x A y sin =与x y sin =的图像关系）思考3 函数x y sin 2=、x y sin 21=与x y sin =图像的形状和位置有什么关系？※总结和归纳：一般地,函数）且（10sin ≠>=A A x A y 的图象可以看做将函数x y sin =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变) 而得到的.（称为： 变换）例2 如何将函数x y sin =的图像变换为函数)32sin(3π+=x y 的图像？※归纳小结：（回归教材P52）由x y sin =到sin()y A x ωϕ=+的图象变换步骤.三、课堂练习 1．为了得到函数1sin 6y x =的图像，只需将sin y x =的图像上每个点（ ） A ．横坐标伸长为原来的6倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短为原来的16倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长为原来的6倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短为原来的16倍，横坐标不变 2．为了得到函数πsin()6y x =-的图像，可以将函数πsin()4y x =+的图像_______________。
三角函数图像的变换教案
三角函数图像的变换教案一、教学目标：1. 理解三角函数图像的基本特征。
2. 学会通过变换的方式，求解三角函数图像的变换后的图像。
3. 能够运用三角函数图像的变换，解决实际问题。
二、教学内容：1. 三角函数图像的基本特征。
2. 三角函数图像的平移变换。
3. 三角函数图像的缩放变换。
4. 三角函数图像的轴对称变换。
5. 三角函数图像的旋转变换。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数图像的基本特征，三角函数图像的变换规律。
2. 教学难点：三角函数图像的变换后的图像的求解，实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解三角函数图像的基本特征，变换规律。
2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用三角函数图像的变换解决实际问题。
3. 采用小组讨论法，引导学生相互交流，共同探讨三角函数图像的变换规律。
五、教学过程：1. 导入：通过复习三角函数图像的基本特征，引导学生进入本节课的学习。
2. 讲解：讲解三角函数图像的平移变换、缩放变换、轴对称变换、旋转变换等规律。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用三角函数图像的变换解决实际问题。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结：总结本节课所学内容，强调重点与难点。
6. 作业布置：布置作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生掌握三角函数图像的基本特征，变换规律。
要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。
在解决实际问题时，要引导学生运用所学知识，培养学生的实际问题解决能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解评估：观察学生对三角函数图像变换的理解程度，以及能否正确描述平移、缩放、轴对称和旋转变换的法则。
2. 练习题评估：通过学生完成的练习题，检查他们是否能够独立应用变换规则解决问题。
3. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的参与程度，以及他们能否与同伴有效沟通和分享想法。
七、教学资源：1. 教学PPT：提供清晰的三角函数图像和变换规则的示例。
三角函数的图像变换教案
三角函数的图像变换一、 教学目标：1、 知识与技能（1）通过图象揭示 y=Asinx 、 y=sin ωx 、y=sin(x+φ) 与 y=sinx 的图象间的关系;（2）进一步研究由Α变换、φ变换、ω变换构成的综合变换，作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；（3）理解并掌握Α、φ、ω的变化对函数图象的形状及位置的影响; 2、 过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，结合电脑多媒体动画的演示，发现规律，总结提练，加以应用；正确作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习.几何画板动画的演示阐述Α、φ、ω的变化对函数图象的影响. 3、 情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
教学重点: （1）y=Asinx 、 y=sin ωx 、y=sin(x+φ) 与 y=sinx 的图象间的关系.（2）由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝Asin （ωx +φ）的图像. （3）Α、φ、ω的变化对函数图象的形状及位置的影响. 教学难点: （1）ω对y=A sin(ωx +φ)的图象的影响规律的概括;（2）由函数y ＝sin x 的图像得到函数y ＝Asin （x +φ）的图像这一思维过程中相位变换时图像的平移量。
教学手段:多媒体辅助教学(教学软件:flash;几何画板)二、教学过程 (一)创设情境,温故求新复习“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？在物理和工程技术的很多问题中很多常见一些复杂的三角函数问题，形如 y=A sin(ωx+φ) ,它的图像我们也可以用五点作图法作出,今天我们再来研究用另一种方法来作出它的图像. （二）探究发现 建构概念提出问题：例一．画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象（简图）。
三角函数图像的变换教案
三角函数图像的变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角函数图像的基本特征；（2）掌握三角函数图像的平移、伸缩、翻折等变换方法；（3）能够运用变换方法分析三角函数图像的性质。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、实践，培养学生的直观想象能力；（2）运用数形结合的思想，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（2）培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学内容1. 三角函数图像的基本特征；2. 三角函数图像的平移变换；3. 三角函数图像的伸缩变换；4. 三角函数图像的翻折变换；5. 应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数图像的基本特征；（2）三角函数图像的平移、伸缩、翻折变换方法。
2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）运用变换方法分析三角函数图像的性质。
四、教学过程1. 导入：（1）复习三角函数图像的基本特征；（2）提问：如何对三角函数图像进行变换？2. 讲解：（1）讲解三角函数图像的平移变换；（2）讲解三角函数图像的伸缩变换；（3）讲解三角函数图像的翻折变换；（4）结合实例，讲解应用。
3. 练习：（1）让学生独立完成课本练习题；（2）组织学生进行小组讨论，分享解题心得。
4. 总结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角函数图像变换的重要性和应用价值。
五、课后作业1. 巩固所学知识，完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找三角函数图像变换的应用实例；3. 准备下一节课的预习内容。
六、教学评价1. 学生能够熟练掌握三角函数图像的基本特征及其变换方法；2. 学生能够通过观察、分析、实践，运用数形结合的思想，解决相关问题；3. 学生能够运用所学知识，解释生活中的数学现象，体现数学的应用价值。
七、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究；2. 利用多媒体技术，展示三角函数图像的变换过程，增强学生的直观感受；3. 设计具有挑战性的数学活动，激发学生的学习兴趣和求知欲。
三角函数的图像及平移(教案)
学习过程一、复习预习1终边相同的角：具有共同始边与终边的角：},20,2{Z k k ∈<≤+=πααπββ。
2 任意三角函数：xy x y ===αααtan ,cos ,sin 。
3 同角三角函数关系：αααααcos sin tan ,1cos sin 22==+。
4 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
5和和差公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
6 二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.7降幂公式22cos 1sin 2x x -=，22cos 1cos 2x x += 8 辅助角公式 sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(tan baϕ=). 9 三种三角函数的图像与性质性质x y sin = x y cos =y ＝cos x x y tan =一周期简图最小正周期 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间 Z ∈+-k k k ],2ππ2,2ππ2[ [2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z Z ∈+k k k ],2ππ,2π－π[ 上是增函数 减区间 Z ∈+-k k k ),23ππ2,2ππ2( [2k π，2k π＋π]，k ∈Z 对称性对称轴 Z ∈+=k k x ,2ππ x ＝k π，k ∈Z对称中心Z ∈k k ),0,2π( 对称 中心 (k π，0)，k ∈ZZ ∈+k k ),0,2ππ(二、知识讲解主要知识：1 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，R x ∈；函数cos()y x ωϕ=+，R x ∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 2 由x y sin =的图象变换出)sin(ϕϖ+=x y 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
《三角函数图像的变换》教学设计
《三角函数图像的变换》教学设计
一、教学内容：
三角函数图像的变换
二、教学目标：
1.掌握三角函数图像的几种变换及规律；
2.通过实际示例，加深学生对三角函数图像变换规律的理解；
3.通过习题实战，强化学生对变换规律的掌握。
三、教学重点：
三角函数图像的几种变换及规律.
四、教学准备：
1. 设计一些题目，用于学生掌握三角函数图像的变换规律。
2.教学软件：GeoGebra等；
3. 准备教学模型，方便学生学习。
五、教学过程：
Step 1：交流
学生两两进行“问答”式交流，学生交流时，教师可以让学生
分析问题，比较不同点，把握三角函数图像变换规律；
Step 2：讲授
1. 教师利用多媒体，将三角函数图像的几种变换讲授给学生，让学生明确三角函数图像变换的几种变换及规律；
2. 教师准备一些实例，让学生通过实际示例，加深对三角函数图像变换规律的理解；
3. 教师运用教学软件，实时计算，让学生看到三角函数图像变换；
Step 3：练习
1. 教师准备习题，让学生在习题中实战，让学生掌握变换规律；
2. 教师利用GeoGebra等软件给学生演示，让学生通过软件更好理解三角函数图像变换；
Step 4：小结
教师总结学习内容，强调概念，启发学生思考。
;。
三角函数图像变换教案
三角函数图像变换教案【篇一：三角函数的图像变换教学设计】（第一课时）【教学目标】2、过程与方法目标：培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；达到从感性认识到理性认识的飞跃。
3、情感、态度价值观目标：通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。
【教学重点与难点】杂问题分解为若干简单问题的方法.1、物理中简谐振动中平衡位置的位移y随时间x的变化关系图象：2、交流电的电流y随时间x变化的图象: 观察它们的图象与正弦曲线有什么关系？二、建构数学自主探究：探究一：探索?对y=sin(x+?)，x∈r的图象的影响。
问题1：观察函数y=sin(x+3)和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系？那么函数y=sin(x-4)和函数y=sinx的图像又有怎样的关系呢？你会得到那些结论？问题2：函数y=sin(x+?)和函数y=sinx的图象之间又有着怎样的关系？结论：函数y=sin（x+?)的图象，可以看作是将函数y=sinx上所有的点_______（当?0时）或______________（当?0时）平行移动个单位长度而得到.巩固训练1：2.要得到函数y=sin(x+)的图像，只需将y=sinx的图像向平移单位。
121.函数y=sinx向右平移3)和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系？那么函数y=sin(x+)与y=sinx的图像又有什么样的关系呢？你会得到那些结论？23巩固训练21.将函数y=sin(x-)的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的26倍得到的函数解析式是。
2.要得到函数y=sin3x的图像，只需将函数y=sinx图像上的所有的点纵坐标不变，横坐标为原来的倍。
问题5：观察函数y=3sin(2x+数y=3)和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系？那么函sin(2x+)与y=sinx的图像又有着怎样的关系？你会得到那些结论？33变式训练3.1．将函数y=sin(2x+6)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式是。
数学三角函数的图像与变换教案
数学三角函数的图像与变换教案一、引言三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
了解三角函数的图像和变换规律对于学生正确理解和应用三角函数至关重要。
本教案将针对数学三角函数的图像和变换进行详细讲解和示例演示，旨在帮助学生掌握三角函数的图像特征和变换方法。
二、三角函数的图像1. 正弦函数的图像正弦函数的图像是一条连续的曲线，表示周期可数学表达为f(x) = A*sin(B(x-C))+D。
其中A为振幅，B为角频率，C为水平方向平移量，D为垂直方向平移量。
我们可以通过调整这些参数来观察正弦函数图像的变化。
2. 余弦函数的图像余弦函数的图像也是一条连续的曲线，表示周期可数学表达为f(x) = A*cos(B(x-C))+D。
同样地，我们可以通过调整振幅、角频率和平移量来观察余弦函数图像的变化。
3. 正切函数的图像正切函数的图像是一条由无数个不连续的垂直线段和水平线段构成的曲线。
正切函数的周期是π，数学表达为f(x) = A*tan(B(x-C))+D。
同样地，我们可以通过调整参数来观察正切函数图像的特点和变化。
三、三角函数的变换1. 平移变换平移变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上按照一定规律进行平移的操作。
例如，当对正弦函数进行水平平移时，可以通过在函数中加入一个水平方向的平移量来实现。
同理，对于余弦函数和正切函数也可以进行类似的平移变换操作。
2. 垂直方向的伸缩和压缩变换垂直方向的伸缩和压缩变换是指改变函数图像在纵轴方向上的振幅大小的操作。
例如，可以通过调整正弦函数中的振幅参数来实现垂直方向的伸缩或压缩。
类似地，对于余弦函数和正切函数也可以进行相应的垂直方向变换。
3. 水平方向的伸缩和压缩变换水平方向的伸缩和压缩变换是指改变函数图像在横轴方向上的周期大小的操作。
例如，可以通过调整正弦函数中的角频率参数来实现水平方向的伸缩或压缩。
同样地，对于余弦函数和正切函数也可以进行相应的水平方向变换。
三角函数图像变换学案
三角函数图像变换学案一.知识点:(一)()sin y A x ωϕ=+的图象和性质1. 用“五点法”作 或 的图象时, 五点的横坐标总由 =________、________、_______、__________、________来确定。
2. 的图象可由 的图象经过_________变换、__________变换和_______________变换得到。
3．当函数 表示一个简谐运动时, 则A 叫做______, T= 叫做_______, 叫做________, 叫做________(二) 的图象变换:1.图象变换(1)相位变换: → , 把 图象上所有的点向__ , 或向__ 平移___个单位。
(2)周期变换: → 把 图象上各点横坐标变为原来的_________倍。
(3)振幅变换: → 把 图象上各点的纵坐标变为原来的__________倍。
2.要由 的图像得到 的图像主要有下列两种方法:二.基础练习:1.将函数 的图象经过怎样的（或平移或伸缩或对称）变换,可得到下列函数的图象？（1）sin y x = （2）cos y x = （3）3sin()5y x π=- （4）3sin(2)5y x π=+ （5）4sin()5y x π=+ 2.函数 的部分图象如图所示, 则函数表达式为）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y 3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.....B...C....D.4.已知函数 的最小正周期为 , 为了得到函数 的图象, 只要将 的图象向______平移_____单位长度5.函数 （ 为常数， ）在闭区间 上的图象如右图所示，则 .....6.已知函数 的图象如左图所示, 则ω ＝7.函数 的图象为 , 如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 .。
三角函数图像变换导学案
鹰城一中高一数学导学案主备人 崔素红审批人13年 11月 日 课题 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象课型探究课学习目标掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象变换导学过程复备与解读一、复习回顾利用“五点作图法”作出下列函数图像。
（1）)3sin(π+=x y （2）x y 2sin =（3）2sinx y = （4）x y sin 2= （5）x y sin 21= 二、探究新知：1、平移变换：由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函sin()y x b ϕ=++的图象？ .2、伸缩变换：（横向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y x ωω=> 的图象？ ．3、伸缩变换：（纵向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y A x A =>的图象？ ．4、函数sin y x =象到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象变换.练习：1.为了得到函数y =cos(x +3π)，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线y =cos x 上的所有的点________________.2.函数y =cos x 的图象向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为________________.得到sin()y x ωϕ=+的图得到sin()y x ϕ=+的图画出sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的得到sin()y x ωϕ=+的图得到sin y x ω=的图象画出sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的例1、已知函数13sin()24y x π=- 说明它由sin y x =图象经过怎么样的变化得到的.例2、如图为sin()(0,0,)2y A x A πωϕωϕ=+>><图象的一段，求其解析式当堂检测：1、把函数sin y x =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的13倍（横坐标不变）所得图象的解析式为 .2、将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得图象上各点横坐标变为原来的5倍，则最后所得图象的解析式为 . 3、要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要sin 2y x =的图象向 （左或右）平行移动个单位长度.4、把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位后，所得图象对应函数解析式为 . 5、要得到函数sin()26x y π=-+的图象，可由sin()2xy =-的图象向 （左或右）平行移动个单位长度.。
数学三角函数的图像与变换的应用教案
数学三角函数的图像与变换的应用教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 理解三角函数的图像与变换的概念；2. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的基本图像；3. 理解三角函数的周期性及其性质；4. 了解三角函数的变换规律和应用。
二、教学过程一、引入1. 教师通过引入几个生活中常见的周期性现象，如水波的起伏、钟摆的摆动、月亮的变化等，激发学生对周期性的认识。
二、概念解释1. 展示正弦函数、余弦函数、正切函数的定义式，并解释函数中各个参数的含义；2. 介绍三角函数的图像与变换的概念，以及图像和变换之间的关系。
三、图像展示1. 分别以正弦函数、余弦函数、正切函数为例，展示它们的基本图像；2. 根据图像，引导学生总结出三角函数的周期性及其性质。
四、变换规律与应用1. 针对三角函数的图像进行平移、伸缩、翻转等变换的讲解；2. 通过实例演示，让学生了解三角函数的图像变换对函数图像的影响；3. 引导学生思考三角函数在实际问题中的应用，如物体的振动、声波的传播等。
五、练习与拓展1. 提供一些练习题，让学生通过图像变换得出函数式的变化；2. 开展一些拓展活动，如探索其他三角函数的图像与变换规律。
三、教学资源1. PPT或白板；2. 图像展示工具；3. 练习题和拓展活动材料。
四、教学评估1. 在课堂上针对学生的学习情况进行观察，并及时给予指导和反馈；2. 结合作业和测试，对学生对三角函数的图像与变换的应用进行评估。
五、教学延伸1. 鼓励学生使用数学软件进行图像的绘制和变换实验，加深对概念的理解；2. 指导学生自学其他相关知识，如三角函数的性质、幅角、辅助角等。
六、教学反思在教学过程中，应注意激发学生的兴趣和求知欲，加强与实际应用的联系，使学生能够更好地理解三角函数的图像与变换的概念和应用。
同时，通过多种形式的教学活动，提高学生的参与度和实际操作能力。
最后，教师应及时对学生的学习情况进行评估和反馈，及时调整教学策略，以达到教学目标。
第13讲 必修4第一章三角函数的图像与性质(教师版)
11．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝()A.45 B.35C．－45D．－35解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.2．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝()A．0 B.95 C.43 D.53解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.3．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝()A.32B．－32 C.12D．－12解析：选B由2tan α·sin α＝3得，2sin2αcos α＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－3 2.4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝()A.12B．2 C．－12D．－2解析：选B∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∵sin α＝－255，cos α＝－55，∵tan α＝2.5．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：01．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∵[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案 B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∵Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∵Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∵Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∵Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∵Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∵Z ，∵y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∵Z . 3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∵当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∵ω＝32. 4．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π， ∵ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∵Z )，∵φ＝2k π－11π6(k ∵Z )，又φ>0，∵φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∵f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 答案 5 3π4＋2k π(k ∵Z )解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5， 此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∵Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∵Z )．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图跟踪练习1 (1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为______________________________________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∵Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∵Z ， ∵2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∵Z )，∵函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∵y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∵Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∵Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∵Z )得，踪练习3 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22答案 (1)2或－2 (2)B解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∵x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2.(2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.1、 (2014陕西,2,5分,∵∵∵)函数f(x)=cos 的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π 思路点拨 根据公式T=计算.[答案] B [解析] T===π.故选B.2、(2013江苏,1,5分,∵∵∵)函数y=3sin的最小正周期为________.[答案]π[解析]由题意知ω=2,所以T==π.3、(2015山东烟台模拟,∵∵∵)求下列函数的最小正周期:(1)y=sin;(2)y=|sin x|.思路点拨(1)利用公式求最小正周期;(2)可利用图象法求最小正周期.[答案]答案见解析[解析](1)y=sin,其中ω=2,∵T==π.(2)函数y=|sin x|的图象如下图所示,可知其最小正周期为π.4、(2015四川,5,5分,∵∵∵)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=sinB.y=cosC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x思路点拨利用函数的奇偶性逐项验证.[答案]B[解析]A中,y=cos 2x,最小正周期为π,为偶函数,不符合题意;B中,y=-sin 2x,最小正周期为π,且为奇函数,符合.C,D为非奇非偶的函数.5、(2014陕西西安模拟,∵∵∵)下列函数中是奇函数的是()A.y=-|sin x|B.y=sin(-|x|)C.y=sin |x|D.y=x·sin |x|思路点拨利用f(-x)=-f(x)进行判断.[答案]D[解析]四个函数的定义域都是R,设f(x)=x·sin|x|,则f(-x)=(-x)·sin|-x|=-x·sin|x|=-f(x),∵y=x·sin|x|是奇函数,故选D.6、(2014广东,5,5分,∵∵∵)下列函数为奇函数的是()A.y=2x-B.y=x3sin xC.y=2cos x+1D.y=x2+2x思路点拨根据奇函数的定义判断.[答案]A[解析]由函数奇偶性的定义知,B、C中的函数为偶函数,D中的函数为非奇非偶函数,只有A中的函数为奇函数,故选A.7、(2012天津,6,5分,∵∵∵)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()A.y=cos 2x,x∵RB.y=log2|x|,x∵R且x≠0C.y=,x∵RD.y=x3+1,x∵R思路点拨根据选项中各个函数的性质判断,有一定的综合性.[答案]B[解析]函数y=cos 2x在区间上单调递减,在区间上单调递增,不合题意,排除A;函数y=是奇函数,排除C;y=x3+1是非奇非偶函数,排除D;y=log2|x|=是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选B.8、(2012大纲全国,3,5分,∵∵∵)若函数f(x)=sin (φ∵[0,2π])是偶函数,则φ=()A. B. C. D.思路点拨根据特例来求解.[答案]C[解析]∵f(x)是偶函数,∵=+kπ(k∵Z).∵φ=π+3kπ(k∵Z),又φ∵[0,2π],∵φ=π.9、(2014安徽,14,5分,∵∵∵)若函数f(x)(x∵R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=________.思路点拨根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内,结合奇函数性质求解.[答案][解析]∵f(x)是以4为周期的奇函数,∵f=f=f,f=f=f.∵当0≤x≤1时, f(x)=x(1-x),∵f=×=.∵当1<x≤2时, f(x)=sin(πx),∵f=sin=-.又∵f(x)是奇函数,∵f=-f=-,f=-f=.∵f+f=-+=.10、(2012课标全国,9,5分,∵∵∵)已知ω>0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是()A. B. C. D.(0,2]思路点拨利用正弦函数的单调性及单调区间求解.[答案]A[解析]由<x<π得+<ωx+<ωπ+,又y=sin α在(k∵Z)上递减,∵解得由ω>0知+2k>0,∵k>-.若要不等式组有解,则+4k≤+2k,解得k≤,又k∵Z,∵k=0,∵≤ω≤,故选A.11、(2011安徽,9,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∵R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是()A. (k∵Z)B. (k∵Z)C. (k∵Z)D. (k∵Z)思路点拨恒成立问题可转化为最值问题,然后根据单调区间等知识求解.[答案]C[解析]∵f(x)≤恒成立,∵=1.∵+φ=+kπ,k∵Z.∵φ=+kπ,k∵Z.又∵f>f(π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∵-sin φ>sin φ,∵2sin φ<0,∵sin φ<0.∵当k=1时,φ=+π=,满足sin φ<0,∵f(x)=sin=-sin.∵要求f(x)的单调递增区间,只需2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∵Z,即kπ+≤x≤kπ+,k∵Z.∵f(x)的单调递增区间是(k∵Z).12、(2015上海长宁区一模,∵∵∵)设ω>0,若函数f(x)=2sin ωx在上单调递增,则ω的取值范围是________.思路点拨∵ω>0,先求出f(x)=2sin ωx的单调递增区间,而是其中的一个子集,由集合关系,求出ω的取值范围.[答案][解析]三角函数f(x)=2sin ωx的图象如图.由图知f(x)在上是单调增函数,结合题意得解得0<ω≤.13、(2014福建,7,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)思路点拨分段函数问题可以考察各段函数的性质,或结合图象判断.[答案]D[解析]作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.14、(2014课标∵,6,5分,∵∵∵)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为()思路点拨列出函数y=f(x)的表达式后判断函数的图象,或取x的几个特殊值来验证.[答案]C[解析]由题图可知:当x=时,OP∵OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∵时,OM=cos x,设点M到直线OP 的距离为d,则=sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,∵f(x)=sin xcos x=sin 2x≤,排除B,故选C.15、(2013江西改编,∵∵∵)设f(x)=2sin,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是________.思路点拨对已知条件“对任意实数x都有|f(x)|≤a”的理解是解答关键,把此条件转化为函数f(x)的最大值问题.[答案] [2,+∞) [解析] ∵≤1,∵≤2,即对任意实数x,有|f(x)|≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,只要a 不小于|f(x)|的最大值即可,∵a≥2.[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B. 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3 答案 A解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值．∵0≤x ≤9，∵－π3≤π6x －π3≤7π6，∵sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∵⎣⎡⎦⎤－32，1.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∵Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∵Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∵－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∵ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∵T 2≥π2－π6， ∵T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∵f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∵f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∵14T ＝7π12－π3＝π4，∵T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.∵g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∵Z .。
数学三角函数的图像与变换的应用问题的解答教案
数学三角函数的图像与变换的应用问题的解答教案一、引言在数学学习中，三角函数是一个重要的概念，它在解决各种几何问题、物理问题以及工程问题等方面起着重要的作用。
本文将介绍数学三角函数的图像与变换的应用问题的解答教案。
二、正文1. 概述三角函数的图像与变换三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)以及正切函数(tan)等，它们的图像都是周期性的波形曲线。
在学习三角函数的图像时，可以通过使用计算机软件绘制图形以加深对函数性质的理解。
2. 解答教案的编写为了帮助学生更好地理解三角函数的图像与变换，我们设计了以下教案：第一步：介绍正弦函数的图像1) 引导学生回顾正弦函数的定义，并说明其周期性。
2) 给出正弦函数的图像，并解释图像的特点。
3) 引导学生观察正弦函数图像的变换，如振幅变化、周期变化等。
第二步：介绍余弦函数的图像1) 引导学生回顾余弦函数的定义，并说明其周期性。
2) 给出余弦函数的图像，并解释图像的特点。
3) 引导学生观察余弦函数图像的变换，如振幅变化、周期变化等。
第三步：介绍正切函数的图像1) 引导学生回顾正切函数的定义，并说明其周期性。
2) 给出正切函数的图像，并解释图像的特点。
3) 引导学生观察正切函数图像的变换，如振幅变化、周期变化等。
第四步：解答应用问题1) 提供一些应用问题，如建筑物高度计算、电线杆的影子长度计算等。
2) 引导学生使用三角函数的图像与变换的知识解答这些应用问题。
3) 注重培养学生的数学建模与解决实际问题的能力。
三、总结本教案主要介绍了数学三角函数的图像与变换的应用问题的解答教案。
通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与变换的学习，帮助学生深入理解三角函数的性质，并能够应用于实际问题的解答中。
这样的教学设计有助于提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，培养学生的创新精神与实践能力。
希望本教案能够帮助到学生们更好地理解数学三角函数的图像与变换的应用问题，并在解决实际问题中发挥重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换
一、知识要点：
1．正弦、余弦、正切函数图象和性质
R x x A y ∈+=),sin(+x 先令π
πππϕω2,23,
,2,
0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周
期内的图象。
3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ϕω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。
它的最小正周期|
|2ωπ=T
4．图象变换
(1)振幅变换 R x x y ∈=,sin −−
−−−−−−−−−−−−→−<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A
(2)周期变换 R x x y ∈=,sin −−
−−−−−−−−−−−−→−<<>倍
到原来的
或伸长所有点的横坐标缩短
ωωω1
1)(01)(R x x y ∈=,sin ω (3)相位变换 R x x y ∈=,sin −−
−−−−−−−−−−→−<>个单位长度
平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ (4)复合变换 R x x y ∈=,sin −−
−−−−−−−−−−→−<>个单位长度
平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ −−
−−−−−−−−−−−−→−<<>倍
到原来的
或伸长所有点的横坐标缩短
ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→
−<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω
5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图
象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
二.基础练习
1． 函数1
π2sin()23
y x =+
的最小正周期T = ．
2．函数sin
2
x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3
y ax π
=-的最小正周期是
2
π
,则a=____.
3．函数]),0[)(26
sin(2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是
4．函数22cos()(
)3
6
3
y x x π
π
π=-
≤≤的最小值是
5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4
y x π
=-的图像？
6．已知简谐运动π
π()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+<
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和
初相ϕ分别为
7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.
8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立；
②函数5sin 22
y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
是偶函数；
③直线8x π
=
是函数5sin 24y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭的图象的一条对称轴；
④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．
⑤R
x x x f ∈+
=),3
2sin(3)(π的图象关于点)0,6
(π-
对称；
其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析：
题型1：三角函数图像变换
例1、 变为了得到函数)6
2sin(π-=x y 的图象，可以将函数1
cos 2
y x =的图象怎样变换？
式1：将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向
左平移3
π
个单位，所得图象的解析式是 .
题型2：三角函数图像性质
例2、已知函数 y=log 2
1)4
x π
-
)
⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.
变式1：求函数34sin(2)2
3
y x ππ=+
的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；
变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是
题型3：图像性质的简单应用
例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝⎭
的图象与y 轴交于点30,
2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-， （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。
变式1：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差；
（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．
变式2：已知函数πϕωϕω≤≤>+=0,0),sin()(x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点
)0,4
3(
πM 对称，求ϕ
和ω的值。
题型4：三角函数综合应用 例4、求下列函数的定义域
(1)x x y sin 21tan 1--+-= (2))sin(cos x y = (3) 1
cos 2)1lg(tan -+=x x y .
例5、求下列函数的值域
(1)R x x y ∈-= ,2cos 23 (2)R x x x y ∈-+= ,2sin 2cos 2 (3)x
x y cos 2cos 2-+=
例6 若()2
122cos sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ，
（1）求()g a 的表达式；
（2）求使()1g a =的a 的值，并求当a 取此值时()f x 的最大值。
能力检测题
1．（2007年福建）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫
=+
> ⎪3⎝
⎭
的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π
⎛⎫
⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫
⎪4⎝⎭
，对称D ．关于直线x π=3对称
2．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为
2
π
的是（ ）
A ．sin
2
x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4
x y = D ．cos 4y x =
3．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=- ⎪3⎝
⎭
的图象（ ） A ．向右平移
π6
个单位 B ．向右平移
π3
个单位C ．向左平移
π3
个单位 D ．向左平移π6
个单位
4．如果m
m x 44cos +=有意义，则m 的取值范围是
5．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 6．要得到sin
2
x y =的图象，只需将函数cos 2
4x y π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象
7．对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于，ϕωϕω+=x A y ，有下列说法： ①最大值为A ； ②最小正周期为|2|ω
π
； ③在],0[π至少有一个x
，使得0=y ；
④由)
( 2
22
2Z k k x k ∈+
≤+≤-
ππϕωππ解得x 的区间范围即为原函数的单调增区间。
其中正确的说法是
8．函数)4
2tan(π
-
=x y 的单调增区间为 .
9．已知]0,2[π-∈x ,且,01cos sin 22
=--x x 求角x 的集合.
10．函数π2
1sin
-=x y 的单调递增区间是 .
11．函数(),f x x R ∈是奇函数，且当0x ≥时，()2
sin f x x x =+，则当0x <时，()f x 等于 ．
12.如果α、β、γ均为锐角，1sin 3
α=，tan β=3cos 4
γ=
，则,,αβγ从小到大的顺序为 ．
13. 函数2
225)
tan 1(log x
x y -+=
的定义域是
14．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ<）的最小正周期是π，
且(0)f =
，则。