第13讲 三角函数图像及其变换(学案)

高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换

一、知识要点：

1．正弦、余弦、正切函数图象和性质

R x x A y ∈+=),sin(+x 先令π

πππϕω2,23,

,2,

0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周

期内的图象。

3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ϕω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期|

|2ωπ=T

4．图象变换

(1)振幅变换 R x x y ∈=,sin −−

−−−−−−−−−−−−→−<<>倍

到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,sin A

(2)周期变换 R x x y ∈=,sin −−

−−−−−−−−−−−−→−<<>倍

到原来的

或伸长所有点的横坐标缩短

ωωω1

1)(01)(R x x y ∈=,sin ω (3)相位变换 R x x y ∈=,sin −−

−−−−−−−−−−→−<>个单位长度

平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ (4)复合变换 R x x y ∈=,sin −−

−−−−−−−−−−→−<>个单位长度

平移或向右所有点向左||0)(0)(ϕϕϕR x x y ∈+=,)(sin ϕ −−

−−−−−−−−−−−−→−<<>倍

到原来的

或伸长所有点的横坐标缩短

ω

ωω1

1)(01)(R x x y ∈+=),sin(ϕω −−−−−−−−−−−−−−→

−<<>倍

到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(ϕω

5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图

象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习

1． 函数1

π2sin()23

y x =+

的最小正周期T = ．

2．函数sin

2

x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3

y ax π

=-的最小正周期是

2

π

,则a=____.

3．函数]),0[)(26

sin(2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间是

4．函数22cos()(

)3

6

3

y x x π

π

π=-

≤≤的最小值是

5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4

y x π

=-的图像？

6．已知简谐运动π

π()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛

⎫=+<

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和

初相ϕ分别为

7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.

8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立；

②函数5sin 22

y x π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

是偶函数；

③直线8x π

=

是函数5sin 24y x π⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭的图象的一条对称轴；

④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．

⑤R

x x x f ∈+

=),3

2sin(3)(π的图象关于点)0,6

(π-

对称；

其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析：

题型1：三角函数图像变换

例1、 变为了得到函数)6

2sin(π-=x y 的图象，可以将函数1

cos 2

y x =的图象怎样变换？

式1：将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向

左平移3

π

个单位，所得图象的解析式是 .

题型2：三角函数图像性质

例2、已知函数 y=log 2

1)4

x π

-

)

⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.

变式1：求函数34sin(2)2

3

y x ππ=+

的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；

变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是

题型3：图像性质的简单应用

例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛

⎫

=+>><

⎪⎝⎭

的图象与y 轴交于点30,

2⎛

⎫

⎪⎝

⎭

，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-， （1）求函数()y f x =的解析式；

（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。