第一章导数及其应用(复习课)

A(1,2)。求在点A处的切线方程？
解：f/(x)=3x2－1， ∴k= f/(1)=2 ∴所求的切线方程为： y－2=2(x－1), 即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在 点A处的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1， ∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0) 又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0， 1 解得x0=1或x0=－ 2 ①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x
(2)
(3)
1 1 cos x y ( x sin x) x sin x x sin x
2x 2x y 2e cos x e sin x
(4)
2 x log3 e 1 2 y 2 log3 e ( x 1) x 1 x2 1
f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递减区间 ④作出结论
1.导数求单调区间首先要确定函数的定义域 2单调区间不能用“∪” 联系，而只能用“ ，”隔开
函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根，并且在 a 的左侧附近 f’(x)<0 ，在 a 右侧附近 f’(x)>0 ，那么是 f(a) 函数 f(x)的一个极小值. 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（小）值与导数
2 由已知 f a 4 3
8 3 4 3 即 a a 4 27 9 解得a=-3
例2：求参数
1 已知函数（ f x） 2ax 2 ，x (0,1],若（ f x）在 x x (0 ,1]上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
2 f ' ( x ) 2 a 因为函数在（0，1]上单调递增 x3
的单调区间。 分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1 且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求 函数单调区间的方法，求出单调区间 。
略解：
f (1) 1 a ' f (1) 0
1 3
,b 1 2
单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞） 单间区间为（-1/3，1）
总结：
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ ①求定义域
注 意
②求 f '( x )
③令f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递增区间
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练习巩固： 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在 原点相切，若函数的极小值为-4 （1）、求a、b、c的值 （2）、求函数的单调区间
答案（1）a=-3,b=0,c=0 （2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)
• 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f (x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， ∴ f (0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f (x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
解:
f ( x) ax bx c(a 0) f ( x) 2ax b.
2
(1) a 0 b 由 f ( x) 0, 得 x , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( ,); 相应地, 函数的递减区间是 (, ) 2a 2a (2) a 0 b 由 f ( x) 0, 得 x , 即函数 f ( x) 的递增区间 2a b b 是 ( , ) ; 相应地, 函数的递减区间是 ( ,) 2a 2a
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数. 返回
练习：
(04浙江理工类)
y f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
1 17 1 17 当 f ( x) 0 , 即 x 时, 函 或x 2 2 数 f ( x) 单调递增; 1 17 1 17 当 f ( x) 0 , 即 时, 函数 f ( x) x 2 2 单调递减.
题型三 分类讨论单调性 1.讨论二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 的单调区间.
题型二 判断函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x3 3x; (2) f ( x) x 2 2 x 3; (3) f ( x) sin x x, x (0, ); (4) f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1. 解: (3) 因为 f ( x) sin x x, x (0, ) , 所以 f ( x) cos x 1 0. 因此, 函数 f ( x) sin x x 在 x (0, ) 上单调递减. (4) 因为 f ( x) 2 x 3 3x 2 24 x 1 , 所以 2 f ( x) 6 x 6 x 24
n i 1
O
a
xi xi xi+1 Dx

b
x
定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”:
n求和------取极限得到解决 n 分割---近似代替---b .a i 1 i 1
小矩形面积和S= f (xi )Dx f (xi )
n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
(2)取近似求和:任取xi[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i
f(xi)Dx近似之。
y =f ( x)
n
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值： S
n
f (x )Dx
i 1 i
(3)取极限:，所求曲边梯形的 面积S为
S lim f (xi )Dx
小结： •导数的应用主要表现在：
1. 利用导数的几何意义求切线的斜率；
2. 求函数的单调区间，只要解不等式f(x) ＞0或f(x)＜ 0即可；
3. 求函数f(x)的极值，首先求f `(x),在求f `(x)=0的根， 然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定； 4. 函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x)在（a,b） 内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中 最大的是最大值，最小的为最小值。
例3、已知f (x) =2x2+3x f (1), f (0)= 解:由已知得: f (x)=4x+3 f (1), ∴ f (1)=4+3 f (1), ∴ f (1)=-2 ∴ f (0)= 4×0+3 f (1)=3×(-2)=-6
3 例1．已经曲线C：y=x －x+2和点
1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义、物理是什么？ 3、微积分基本定理是什么？
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: a, x1 , x1, x2 , xi1, xi ,, xn1, b, 每个小区间宽度⊿x
ba n
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
2 f '(x)>0,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x
1 而g(x) 3 在（0， 1]上单调递增， x g(x)max g(1)=-1
a〉 -1
增例2：
1 已知函数（ f x） 2ax 2 ，x (0,1],若（ f x）在 x x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
知 识 结 构
Ⅰ、导数的概念
Ⅱ、几种常见函数的导数公式
c 0 （c为常数） （ln x） 1 x （e x） ex
（x n） nxn 1 （n Q）
（sin x） cos x ，（cos x） sin x ，（loga x） 1 loga e x ， （a x） a x ln a
1 y－2= － (x－1),即x+4y－9=0 4
1 ②当x0=－ 时，所求的切线方程为： 2
定理 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
x 2 (3x 1) 2
（3）y=ln(x+sinx) （4）y= log3 ( x 2 1)
e cos x
1
2x
1 ( x 2) 2 (3x 1) 2 x 2 2 (3x 1) 3 2 (3x 1) 2 6(3x 1) x 2 2 x2
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
1 2 x
y
y f '( x )
2 x
o y
(A)
(B)
y
o
y f ( x)
2
y f ( x)
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
题型二 判断函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x3 3x; (2) f ( x) x 2 2 x 3; (3) f ( x) sin x x, x (0, ); (4) f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1. 解: (1) 因为 f ( x) x 3 3x , 所以 f ( x) 3x 2 3 3( x 2 1) 0. 3 因此, 函数 f ( x) x 3x 在 x R 上单调递增.
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x 返回
f(x2)
例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点 x=1处有极小值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)
(2) 因为 f ( x)
x 2 x 3, 所以
2
f ( x) 2 x 2 2( x 1). 2 当 f ( x) 0 , 即 x 1 时, 函数 f ( x) x 2 x 3单调递增; 2 当 f ( x) 0 , 即 x 1时, 函数 f ( x) x 2 x 3单调递减.
2 当a 1时，f '(x) 2 3 x 对x （0， 1）也有f '(x)〉 0
a -1时，（ f x）在(0, 1)上是增函数 所以a的范围是[-1，+）
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x )min
Ⅲ、求导法则
Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义
处 就是曲线 y f（x）在点P x0 ，f（x0）
的切线的斜率．
Ⅵ、导数的应用 1．判断函数的单调性
函数 y f（x）在点x0处的导数 f （ x0），
2．求函数的极值
3．求函数的最值
例2：用公式法求下列导数：
（1）y= （2）y= 解(1)y′=
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作