球的体积及表面积公式.ppt

6
]
R3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1)]
球的体积
1
1
(1 )(2 )
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0.
n
V半 球
2 R 3
3
从 而V 4 R 3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
3
例题讲解
例1：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
7.9 [ 4 ( 5 )3 4 x 3 ] 142
32 3
x 3 ( 5 )3 142 3 11.3
2
7.9 4
由计算器算得: x 2.24
2x 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
二.球的表面积
o
Δ Si
o
球的表面积
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于 正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这 三个球的体积之比_1_:_2 _2_:_3 _3__.
练习二
课堂练习
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 3, 5，, 15
则它的外接球的表面积为___9__.
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,
①V 4 R3
3
②S 4R2
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：
①V 4 R3
3
②S 4R2
第
S1，S2，S3 ,, Sn
一
则球的表面积：
步： 分
O
S S1 S2 S3 Sn
割
设“小锥体”的体积为Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V1 V2 V3 Vn
球的表面积
第 二 步： 求 近 似 和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
S
i
hi
由第一步得：
V V1 V2 V3 Vn
球的体积
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2,, n n
Vi
ri 2
R nwk.baidu.com
R3
n
[1 ( i
1)2 ], i n
1,2, n
V半球 V1 V2 Vn
R3
12 22 (n 1)2
[n n
n2
]
R3 1 (n 1) n (2n 1)
n [n n2
4π(4 )3 33
256π; 81
A
S 4R2 4 16 64 .
99
O C
O
B
例题讲解
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它 的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心 对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与 球的直径相等。
则两球的直径之差为_____4_.
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么 这个大铅球的表面积是___1_2__3. 3
课堂小结
了解球的体积、表面积推导的基本思路： 分割→求近似和→化为标准和的方法，是 一种重要的数学思想方法—极限思想，它 是今后要学习的微积分部分“定积分”内 容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
1 3
Snhn
球的表面积
第
如果网格分的越细,则:
三
Si “小锥体”就越接近小棱锥
步： 化 为
hi
Vi
hi的值就趋向于球的半径R
Vi
1 3
Si
R
准 确
Si
R
和
O Vi
V
1 3
Si R
1 3
S2R
1 3
S3 R
1 3
Sn R
1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn )
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
R
3 a
2
S 4R2 3a 2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,这个球的体3积2 为3＿＿＿cm3.
2
A
C
O
OA 2
3 AB 2 3 r
B
32
3
例题讲解
例2.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等
于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面
积．
解：在RtOOA中,OA2 OO2 OA2 ,
R2 (R )2 (2 3 )2 ,
R
4 3
2
.
3
V
4πR3 3
1 3
RS
又球的体积为：V 4 R3
3
4 R 3 1 RS, 从而S 4R 2
3
3
例题讲解
例1:已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， 表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积？
分割 A
求近似和
化为准确和
极限的思想
A
O
C2
O
B2
r1 R2 R,
r2
R2 ( R)2 , n
r3
R2 (2R)2 , n
一.球的体积
A
ri
O
R (i 1)
n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2
[
R( n
i
1
)
]2
,i 1,2,n.