高一《三角函数》教案倍角公式,推导和差化积及积化和差公式

第二十四教时

教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式

目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练；同时，让学生推导出

和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。 过程：

一、复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：

例一、已知π<α<π2

，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71

-，求2α + β

（《教学与测试》P115 例三）

解：43tan 1tan 22tan 2-=α-α=α ∴

1tan 2tan 1tan 2tan )2tan(-=β

α-β

+α=β+α 又∵tan2α < 0，tan β < 0 ∴π<α<π2223，02

<β<π

- ∴π<β+α<π22 ∴2α + β = 4

7π

例二、已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2

tan α

和tan α的值

解：∵sin α - cos α = 2

1 ∴

212

tan 12tan 12tan 12tan 22

2

2=α+α--α+α 化简得：032tan 42tan 2=-α+α ∴722

12

1642tan ±-=+±-=α

∵π<α<π2 ∴π<α<π22 ∴02tan <α 即722tan --=α

374725727410724)72(1)72(22

tan

12tan

2tan 2

2-=++=----=-----=α-α=α 二、积化和差公式的推导

sin(α + β) + sin(α - β) = 2sin αcos β ⇒ sin αcos β =21

[sin(α + β) + sin(α - β)]

sin(α + β) - sin(α - β) = 2cos αsin β ⇒ cos αsin β =2

1

[sin(α + β) - sin(α -

β)]

cos(α + β) + cos(α - β) = 2cos αcos β ⇒ cos αcos β =2

1

[cos(α + β) + cos(α -

β)]

cos(α + β) - cos(α - β) = - 2sin αsin β ⇒ sin αsin β = -2

1

[cos(α + β) - cos(α -

β)]

这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下） 例三、求证：sin3αsin 3α + cos3αcos 3α = cos 32α 证：左边 = (sin3αsin α)sin 2α + (cos3αcos α)cos 2α

= -21(cos4α - cos2α)sin 2α + 21

(cos4α + c os 2α)cos 2α

= -21cos4αsin 2α +21cos2αsin 2α +21cos4αcos 2α +21

cos2αcos 2α

= 21cos4αcos2α + 21cos2α = 21

cos2α(cos4α + 1)

= 2

1

cos2α2cos 22α = cos 32α = 右边

∴原式得证 三、和差化积公式的推导

若令α + β = θ，α - β = φ，则2φ+θ=α，2

φ

-θ=β 代入得：

)sin (sin 2

1)]22sin()22[sin(212cos 2sin φ+θ=φ-θ-φ+θ+φ-θ+φ+θ=φ-θφ+θ

∴2cos 2sin 2sin sin φ

-θφ+θ=φ+θ 2s i n 2c o s 2s i n s i n φ

-θφ+θ=φ-θ

2c o s 2c o s 2c o s c o s φ

-θφ+θ=φ+θ

2

s i n 2s i n 2c o s c o s φ

-θφ+θ-=φ-θ

这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。

例四、已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 31

-，求sin(α + β)的值

解：∵cos α - cos β = 21，∴2

1

2sin 2sin

2=β-αβ+α- ①

sin α - sin β =31-，∴3

1

2sin 2cos

2-=β-αβ+α- ② ∵02sin ≠β-α ∴232tan -=β+α- ∴2

3

2tan =β+α ∴13

124

912322tan 12tan 2)sin(2=+

⨯

=β+α+β+α=β+α 四、小结：和差化积，积化和差 五、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3 P38—39 例题推荐 1—3 P40 例题推荐 1—3