常数项级数的基本概念和性质

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9-1常数项级数的概念与基本性质

结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质 3 若级数 un 收敛,则 un 也收敛
n1
n k 1
(k 1).且其逆亦真.
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
s
sk
.
类似地可以证明在级数前面加上有限项不
影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.反之未必.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
,m sn ,
则
lim
m
m
lim
n
sn
s.
推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
注意
第一节常数项级数的概念与基本性质
一、级数的概念二、基本性质
三、收敛的必要条件四、小结
一、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
un u1 u2 u3 un
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
例4 判断下列级数的敛散性
(1)
n
, 100
n1 n 1 n1
发散
(2)
3 (-1)n
n 1
3n
n1
[
1 3n1
(1)n ] 3
收敛
(3) sin nπ

第十章第一节常数项级数的概念与性质

n
u1 u2 un
其中第 n项 un 称为级数的一般项。
可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。
2、级数的收敛和发散定义1：作级数 u n 的前 n 项和
n 1
u n 的部分和。称其为级数显然，可得到一个新数列 n 1 u n 的部分和数列。 {Sn } ，称为级数 n 1
2 n
lim S n
n
a 1 q
n
a 此时级数收敛，且 aq 1 q n 0

如果 | q | 1 ，则 Sn (n ) ，故级数发散。如果 | q | 1 ，当 q 1时 Sn a a a na (n ) 此时级数发散。当 q 1 时 a, n为奇数 n S n a a (1) a 0， n为偶数当 n 时，Sn的极限不存在，故级数发散。
第一节
常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念二、常数项级数的性质
一、常数项级数的概念
1、定义给定一个无穷数列 u1 , u2 ,, un ,，则由这个数列构成的表达式 u1 u2 un
u n ，即称为常数项无穷级数，简称级数，记作 n 1

u
n 1

n 1 n 1
(1 1) (1 1) (1 1)
收敛；不过，若加括号后的级数发散，则原级数一定发散。性质5（级数收敛的必要条件）
lim un 0 如果级数 u n 收敛，则 n
n 1
一般项的极限为零仅是级数收敛的必要但非充
1 分条件。可考察级数 ln(1 ) n n 1

数的和S的近似值，它们的差

7.1常数项级数的概念和性质

| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列均收敛于S.
lim s2 n1 = S，则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2，若S1≠S2，则数列Sn发散；若 S 1= S 2，则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1

an ( k 1) n k 1

有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3

设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1

(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r

常数项级数的概念与性质

性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1

常数项级数的概念和性质

3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和计算电路中的电流、电压和功率等参数，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，如傅里叶分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致收敛、逐点收敛等。

常数项级数基本概念以及性质

1 4 p

1 4p

1 4p

1 4p

1 4 p1

1 2 2 p1
1 8 p
1
9p

1 15 p

1 8p
1 8p

1 8p

1 8 p1

1 2 p1
3
……………………………………
x2 2n 2

x2 ，
n
1
n 1
2
n2
n2
即 x2 0 (x 0)
2
而
1
n1 n 2
是n=2的P一级数，它是收敛的，故原级数
( 1 cos x )收敛.
n1
n
5. 达朗贝尔比值判别法

设 un
n 1
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对收敛级数来说，它的和将改变.)

证设级数 un 的部分和为Sn,去掉级数的前 n 1

面m项后得到的级数uk 的部分和为S 'k: k m1
S
' k
um1 um2

umk
u
，
k
n 1
k 1

cun 的部分和为
n1
Sn
n
cuk
n
c
uk
cSn ,
k 1
k 1
故
lim
n
S
n

lim
n
cS

常数项级数的概念和..

n1
n1
如果 {sn } 没有极限，则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定义如果级数 un 的部分和数列{sn } 有极限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解为等比级数，公比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为公比) 的收敛性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n

常数项级数的概念和..

n
性质 1 设常数k 0, 则 kun与 un有相同的敛散性．
n 1 n 1

1 1 1 1 调和级数1 是发散的 . 2 3 n n 1 n
1 课堂练习判定的敛散性. P255.4(2) n 1 3n
n 1 1.
n 1
limsn lim n 1 1) , 级数 ( n 1 n ) 发散． ( n n
5
例3 讨论等比级数 aqn a aq aq2 aqn
1 qn . 解 q 1时, sn a aq aq 2 aq n1 a 1 q a n ，级数收敛. 若 q 1, 则 lim q 0， limsn n n 1q
(u
n 1

n 1
n 1
n
v n ) 是否发散?
(不一定,举两个例可证.)
12
性质３在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性．证将级数 un 的前 k 项去掉，
n1
所得新级数为
它的部分和为 n uk 1 uk 2 uk n sk n sk ,
常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质
1
一、常数项级数的概念
定义如果给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un (1)
称为常数项数，
其中第n 项 un 叫做级数的一般项．
这级数的部分和为
定义如果级数 un 的部分和数列sn } 有极限 s， { 则称级数 un 收敛，并且 un s .

常数项级数的概念和性质

则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ，即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1

2 . 部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S，所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：

aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un

{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义：设级数
n
un ，对应的部分和数列 Sn ，
n 1

若 lim S n S 存在，则称
un 收敛 ,
n 1

(C)
convergence
n 1 n 1

则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论：若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1

(un vn )
n 1

( D) .
推论： (C) + (D) => (D)

§9.1常数项级数的概念与性质

un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2）一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。（1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq

12-1常数项级数的概念和性质

n1
n1
n1
即收敛级数可以逐项相加与逐项相减．

例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1

则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列

n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和．它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性

aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m，，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．

常数项级数的概念与基本性质

第一节常数项级数的概念与基本性质
一、基本概念
级数：a1 a2 an an n1
一般项：a n
部分和：sn a1 a2 an
部分和数列：(
s
n
)
பைடு நூலகம்
n1
有限数
若
lim
n
s
n
s，则称级数收敛，并称
s
an 为级数的和；
n1
否则称级数发散。
余项： rn s sn
例1、证明：几何级数（等比级数） aqn (a 0) 收敛， n0
性质4：如果级数收敛，则当 n 时它的一般项趋于零。
推论5：若 n 时，一般项不趋于零，则级数发散。
lim
n
an
0
?
an收敛
n1
例4、判别下列级数的敛散性，若收敛则求其和。
n
(1) cos
n1
3
1
( 2) n1 n n
n2 1
(3) ln
n2
n2
作业习题9-1：1（偶数题）、2（奇数题）
或说级数中去掉或加进有限多项不改变级数的
敛散性。
推论1：任意改变级数中的有限多项不影响级数的敛散性。
性质2：（1）若级数 an 收敛，其和为 s ，则对任意 n1
常数 k ，级数 kan收敛，且其和为 ks 。 n1
（2）若级数 an 、 bn 分别收敛于和 s 、，即
n1
n1
an s ， bn
n1
n1
则级数 (an bn )也收敛，其和为 s 。 n1
推论2：若 k 0 ，则级数 an与 kan有相同的敛散性。
n1
n1
推论3：两个收敛级数可以逐项相加或相减。

12.1 常数项级数的概念和性质

敛的（具体解释见课本 253、254 页）。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。

3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：

lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称

u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn

11-1常数项级数的基本概念和性质

1
1 2

1 2

1 22

1 3

1 2n

1 n

解加括号级数为

(un
n1

vn )
(1

1)

(1 2
1) 2

(
1 22
(
1 2n

1) 3 1) n

由于 un
n1
1 n12n

收敛，而 vn
n1
1 n1n
发散，
故加括号级数发散, 从而原级数发散.
性质5（级数收敛的必要条件）
设
收敛，则
证 un Sn Sn1
故
lim
n
un

lim Sn
n

lim Sn1
n

S

S

0.
注 lim un 0 非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数
发散，
推论3 若 un 0, 则级数
例5 (1) n1n1n
必发散 .
n1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un (1)2n, vn (1)2n1,

un 与 vn均发散，但 ( un vn )收敛.
n1
n1
n1
性质3 级数前面加上（去掉、或修改）有限项,
不影响级数的敛散性.

证 un 去掉前 k 项, 新级数
n
内容小结
1. 无穷级数概念：级数收敛、发散，部分和，余项
2. 两个常见级数的敛散性： (1) 等比级数

高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质.ppt

都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
246
2024年9月27日星期五
10
目录
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
2024年9月27日星期五
14
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
2024年9月27日星期五
15
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内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求和
2024年9月27日星期五
19
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3、判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(2)
n1n3
1 3n2
2n
;
解: (1) 令
则
e n1 ( n 1) !
un1 un
(n1)n1 enn!第十章无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节常数项级数的概念与性质第二节常数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数展开成幂级数第五节函数的幂级数展开式的应用第六节傅立叶级数

8.1常数项级数的概念和性质

n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有（un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1

常数项级数的概念和性质解析ppt课件

1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39