台州市第一中学2019学年第一学期期中考试试卷(第4版)

台州市第一中学2019学年第一学期期中考试试卷
高三数学
命题老师：莫晓红 审核老师：郑伯营 总分：150分 考试时间：120分钟
参考公式：
如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B
如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生
k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k
n k n n P X
k C p p k
n …
柱体的体积公式 V Sh 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高
锥体的体积公式1
3V
Sh 其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 台体的体积公式 1
(S )3
A A
B B V S S S h
其中,A B S S 分别表示台体的上、下底面积 h 表示台体的高
球的表面积公式 24S R
球的体积公式 3
43
V
R 其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的． 1．已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M P N ⊆⊆，则下列结论不正确的是( ) A ．U U C N C P ⊆
B ．()
U C M N =∅
C ．()U C P M =∅
D ．U U C P C M ⊆
2．对任意复数(,)z x yi x y R =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．||2z z y -=
B ．222z x y =-
C ．||2z z x -
D ．||
||||z x y +
3．设a ，b R ∈，命题:p a b >，命题:||||q a a b b >，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．如右图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A ．42236++ B ．
4
3
C ．42234++
D ．83
5．4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，用x 表示所选3人中女生的人数，则()E X 为(
) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6.已知函数()y f x =，()y g x =的图象如图所示，则函数[|()|]y g f x =的大致图象是( )
A B
C
D
7．过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>右焦点，且垂直于x 轴的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，
O 是坐标原点．若AOB OAB ∠=∠，设双曲线C 的离心率为e ，则2(e = )
A ．
3396
+ B ．
713
6
+ C ．
813
6
+ D ．
1413
6
+ 8．已知实数a ，b 满足2250a lna b --=，c R ∈，则22()()a c b c -++的最小值为( ) A ．
12
B ．
32
C ．
32
2
D ．
92
9．如图，在矩形ABCD 中，M 在线段AB 上，且1AM AD ==，3AB =，将ADM ∆沿DM 翻折．在翻折过程中，记二面角A BC D --的平面角为θ，则tan θ的最大值为( )
A ．
25
B ．
69
C ．
36
D ．
34
10．已知n N +∈，直线y ax b =+与曲线()(2)f x lnx n =--相切，设ab 的最大值为n c ，数列{}n c 的前n 项和为n S ，则错误的是( ) A ．321
e S e
+=
B ．{}n c 为等差数列
C ．对于n N +∈，
11
n S e <
- D ．存在0n N +∈，00n c <
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．x ，y 满足20
240280
x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪--⎩
，则z y x =-最小值是 ，4y z x +=的最小值是 ．
12．若7270127(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++⋯++，则01267a a a a a +++⋯++= ，6a = ． 13．已知抛物线2:2C x y =，F 是其焦点，AB 是C 上的一条弦．若点A 的坐标为(2,2)-，点B 在第一象限上，且||2||BF AF =，则直线AB 的斜率为 ，
ABF ∆的外接圆的标准方程为 ．
14．在ABC ∆中，若1cos 4
B =，2b =，则11
tan tan A C +
的最小值为 ，ABC ∆面积的最大值为 ．
15．在88⨯的方格棋盘中，取出一个由3个小方格组成的“L 形”（如图），共有 种不同的取法．
16. 已知平面向量,,a b c ，满足1,2,3,01a b c λ===<<.若0b c ⋅=，则(1)a b c λλ---所有取不到的值的集合为
17. 设0m n >>，当28
2()
m n m n +
-取得最小值p 时，函数()||||||f x x m x n x p =-+-+-的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．(本题满分14分)
已知函数()sin (sin cos )f x x x x =-． （1）求()f x 图象的对称轴方程；
（2）是否存在实数(2,)t ∈+∞，使得()f x 在(2,)t 上递减？若存在，求出t 的取值范围，若不存在，说明理由．
19．(本题满分15分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，22AB AD CD ===，ADP ∆为等边三角形．
（1）当PB 长为多少时，平面PAD ⊥平面ABCD ？并说明理由； （2）若二面角P AD B --大小为150︒，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
20．(本题满分15分) 已知数列{}n a 满足12a =，121
(*)n n n
a a n N a +-=∈． （1）求证：数列1
{
}1
n a -是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）记1
n n
b na =，n T 为数列2121{}n n b b -+的前n 项和，若3n n T b λ+对任意的正整数n 都成立，求实数λ
的最小值．
21．(本题满分15分)
如图所示己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点(1,0)M 的直线交抛物线C 于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点．且3OF FM =． （1）求抛物线方程；
（2）若点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且0AD EF =，求ABD ∆面积的最小值及此时直线AD 的方程．
22．(本题满分15分)
已知函数221
()2(0)2
f x ax x a lnx a =-+≠
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：
121212
()()11
f x f x x x x x -<+-。