条件分式的化简与求值

条件分式的化简与求值
二、方法剖析与提炼
例1. 当a=20161时，求的值．
【解答】先将所求代数式进行化简
将a=20161代入上式得：原式=a=2016
1. 【解析】化简所求代数式，有括号先去括号，括号里中是分式的减法运算，对于这种异分母分式相减，通分后再利用同分母分式相加减的运算.遇到分式相除，先转化成乘法运算，然后进行计算.
【解法】代入法，分式的加减乘除法，因式分解法.
【解释】若直接把a=2016
1直接代入所求的代数式中，计算相当复杂.正面突破发现困难时，不妨从逆向思考，对所求的代数式进行化简.在化简过程中，此代数式属于代数式的混合运算，由括号时，一般先去括号，括号里涉及异分母分数相加减，通分是关键，化异分母为同分母，根据分式的基本性质.接下来是分式的除法运算，运用因式分解，化除为乘将问题迎刃而解.对于先化简后求值的问题时，要注意对所求代数式进行化简，先对括号里的异
分母分式化为同分母，然后化除为乘.
书写的格式. 当然，此题还可以先化除为乘，再利用乘法分配率进行化简.
例2. 已知1
13,x y +=求323x xy y x xy y
-+++的值. 【解答】（方法1）先将条件变形为31y x y =
-.把31y x y =-代入所求代数式323x xy y x xy y -+++ 得 23331313131
y y y y y y y y y y y -+--++-- 即323(31)71314y y y y -+-=++-. 【解析】 条件1
13,x y +=若直接代入所求分式，感觉无从下手.这里的条件含有2个未知数，若将其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后将其代入，问题就迎刃而解了.
【解法】分式的基本性质，代入法.
【解释】（1）解答中的方法属于解这类问题的通法，当出现条件有两个字母时，通常用一个字母的代数式表示另一个字母，然后整体代入，最后利用分式的基本性质进行约分化简. 此题还可以通过以下两种方法解决，如：
方法2： 先将条件变形为x+y=3xy.
所求代数式323x xy y x xy y -+++=(33)2()x y xy x y xy +-++=33277344xy xy xy xy xy xy ⨯-==+. 方法3： 因为x ≠0,y ≠0，所以xy ≠0，所求代数式：
11113233()2323332711113141()1x xy y y x y x x xy y y x y x
-++--+⨯-====+++++++.
（2）方法2与方法1类似，但方法2很巧妙，把x+y 用xy 表示，让问题变得更简洁，渗透了整体代入的思想方法.方法3直接将所求代数式进行化简，然后把已知条件整体代入.也是一种不错的方法.
（3）这类题目比较特殊，若所求代数式
323x xy y x xy y
-+++变成423x xy y x xy y -+++，或条件变下，就不好求值了. 例3.（2020
苏州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=．
【解答】
当x=时，原式==． 【解析】这个代数式涉及分式的加减，乘除，需要注意运算的顺序，本题中，有括号先算括号里的，然后计算除法，最后代入化简即可．
【解法】因式分解法，约分，代入法.
【解释】分式化简需要注意运算的顺序，一般情况下，有括号先算括号里的，对于异分母分式的加减需先通分.若分子，分母是多项式，通常需要进行因式分解，然后进行约分.
先对括号里的代数式进行分式减法运算，然后化除为乘进行约分
例4.若
b a
c a c b c b a +=+=+，则c
b a
c b a 322-+++= ． ( “希望杯”邀请赛试题)【解答】（1）设比值k,引入参数，即b a c a c b c b a +=+=+=k.则a=k(b+c),b=k(c+a),c=k(a+b)
三式相加得a+b+c=2k(a+b+c).
（2）当a+b+c ≠0时，利用比例性质，可得k=21)(2=++++c b a c b a .即c=)(2
1b a +,代入原式得.5)(2
3)(2122322-=+-++++=-+++b a b a b a b a c b a c b a .当a+b+c=0时，c=-(a+b),代入原式=41)(3)(22=++++-+b a b a b a b a .综合上述，可得c
b a
c b a 322-+++=-5或41. 【解析】（1）引入参数k ，利用参数寻找a 、b 、c 之间的关系．在得到等式a+b+c=2k(a+b+c)后，不要直接将等式的两边除以a+b+c ，因为此式可能等于0，因此这个时候需要对a+b+c 是否为0进行分类讨论.
（2）将其中一个字母用另外两个字母的代数式来表示，然后代入所求分式，最后约分得到所求分式的值.
【解法】设参数法，分类讨论法，整体代入法，分式的约分.
【解释】 （1）解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用可以直接运用，变形运用， 综合运用 ，挖掘隐含条件．
（2）将相等的比用一个参数表示，是解决含有连等分式问题的常见解法.
三、能力训练与拓展
1.（2019温州）若分式32+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．2
2.（2019台州）化简
的结果是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ． D ．
3．（2019泰安）化简：÷
﹣的结果为（ ） A ． B ． C ． D ．a
4.（2019杭州）如图，设k=
（a ＞b ＞0），则有（ ） A ．k ＞2 B ．1＜k ＜2 C ． D ．
5.（2019宿迁）计算： = ．
6．（2019枣庄）先化简，再求值2221()211a a a a a a
+?-+-，其中a 是方程2x ²+x-3=0的解.
7. 已知a b c 、、均为实数，且
111,,,432
ab bc ca a b b c a c ===+++求abc ab bc ca ++的值.
答案
1.D 【解析】对于分式B
A ,当A=0且
B ≠0时，分式的值为0，即x-2=0,此时x=2.
2.D 【解析】对于分式222)(x y y x --，先对分子进行因式分解可得
2)())((x y y x y x --+，然后将分母进行变形得.)()(,)())((2y x y x y x y x y x -+--+约分后得 3. C 【解析】观察这个代数式，属于分式的混合运算，先通过化除为乘，再进行约分 .原式2
22(2)(2)(1)2=(1)(2)2a a a a a a +-+?+--=22=222
a a a a a +-=---. 4. B 【解析】图甲阴影部分的面积为22
b a -， 图甲阴影部分的面积为ab a -2
所以a b a b a a b a b a ab a b a k +=--+=--=)())((222 ，很显然a b ＜,所以 a b a b a k +=+=1. 即1<k<2.
5. 【解析】对于1
1x 2---x x x ，属于同分母分式相减，即原式=x x x x x x =--=--1
)1(1x 2 6. 【解析】
222(1)=21(1)
a a a a a a a a +--¸-+-原式 2(1)(1)=(1)1
a a a a a a +--+g 2=1
a a - ∵a 是方程2x 2+x ﹣3=0的解.
∴2230a a +-=得到：a 1=1，a 2=﹣，
又10a -?即a ≠1，
∴32
a =当时，, 原式=2
3()9231012
a -==---． 7. 【解析】（思路点拨）直接将条件111,,,432a
b b
c ca a b b c a c ===+++ 变形成ab=4(a+b),bc=3(b+c),ca==2(a+c)整体代入所求代数式，解决起来比较困难.若将每个式子取倒数得
1111114,3, 2.a b b c a c
+=+=+=即1119.2a b c ++=而所求代数式也取倒数得： 11192
ab bc ac abc c a b ++=++=，所以29abc ab bc ca =++.。