七年级完全平方公式培优讲义

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《完全平方公式》(第1课时)示范公开课教学PPT课件【部编北师大版七年级数学下册】

C． (a2b2 1)2
D．(a2b 1)2
（4） 2xy x2 y2 等于（ D ）
A． (x y)2
B． (x y)2
C． (x y)2
D． (x y)2
随堂练习
2.（1）(3x+2y)2-(3x-2y)2＝ 24xy ；（2）(3a2-2a+1)(3a2+2a+1)＝ 9a4+2a2+1 （3）( 9a4 )-24a2c2+( 16c4 )＝( 3a2
① （p 1）2 （p 1）（p 1） _p_2___2_p___1 ② （m 2）2 __m__2___4_m___4___ ③ （p 1）2 （p 1）（p 1） _p_2___2_p___1
④ （m 2）2 __m__2___4_m___4____
结果中都有两个数的平方和，而①②中间项2p＝2·p·1，4m＝2·m·2，恰好是两个数乘积的2倍；
（1） ( x 6)2 ( x )2 2 6 x ( 6 )2
（2） (2m n)2 ( 2m )2 ( 2 2m n) n2
探究新知
几何解析：你能根据图1和图2的面积说明完全平方公式吗？
探究新知
图1大正方形的边长为(a＋b)，面积就是（a b），2 同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为 b2，ab，ab，a2 ，因此，整个面积为 a2 ab ab b2 a2 2ab b2 ，即说明（a b）2 a2 2ab ．b2
； -4c2)2
随堂练习
3.利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2．

北师大版七年级数学下册第一章《完全平方公式》优课件1 (2)

中学学科
一、知识回顾
注：(1)公式中的a，b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.(2)完全平方公式可以用口诀记忆：首平方，尾平方，首尾乘积2倍在中央.(3)完全平方公式常用的变形有以下几种：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab. (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). (a+b)2-(a-b)2=4ab.
这几种变形在计算求值、代数式变形中有着广泛的应用，要熟练பைடு நூலகம்握.
二、习题集锦
1、指出下列各式中的错误，并改正：
（1） (2a1)22a22a1
（2） (2a1)24a21
（3）(a1)2a22a1
2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算
（1） xyyx
（2）abba
（3） a b 3x3xab
(2x3)(32x)
(1x1y)(1x1y) 2 32 3
（第二组）
2x4y2
zxxk
x32
1 a 1 2 2
3a2b23a2b2
1022
97103
5、先化简，再求值。
（1） 2x232x2 ，其中 x1
（2） 2 a b 2 a b a b 2
其中 a2,b1 2
三、课堂小结 1、掌握住公式的特点是运用公式的关键所在。 2、乘法公式不提倡死记硬背，重在理解。 3、要认真解决好符号问题。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
（4） m nm n
3、下列各式能用平方差公式吗?若能，请计算。
abac
( 2a3 b)2 (a3 b)
xyyx

完全平方公式变形的应用培优

完全平方公式变形的应用培优
1.变形一：平方差公式
将完全平方公式中的等式两边移项，可以得到平方差公式：
(a+b)²-a²=2ab；
(a-b)²-a²=-2ab
这些公式可以用于解决一些二次方程的求解问题，也可以用于快速计
算一些算术运算，如：(42)²-40²=(42+40)(42-40)=82*2=164
2.变形二：立方差公式
(a+b)³-a³=3a²b+3ab²+b³；
(a-b)³-a³=-3a²b+3ab²-b³
这些公式可以用于解决一些立方方程的求解问题和立方运算问题，如：(a+b)³=(a+b)(a+b)²
1.应用一：平方求和公式
1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
2.应用二：定积分计算
∫(x²+2x+1)dx=∫(x+1)²dx=(1/3)(x+1)³+C
3.应用三：因式分解
x²+6x+9=(x+3)²
以上是完全平方公式变形的一些应用示例，从中可以看出完全平方公式变形在代数学习中的重要性。

通过灵活运用完全平方公式变形，可以解决一些复杂的方程和计算问题，提高解题能力和计算效率。

因此，学生在数学学习中一定要熟练掌握完全平方公式的变形和应用。

七年级数学下册知识讲义-9完全平方公式-苏科版

【考点精讲】1. 完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2，a2－2ab＋b2＝（a－b）2，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

这两个等式是完全平方式，它们由左到右的变形是多项式的因式分解，我们可以运用这个公式对某些多项式进行因式分解，这种方法叫做运用完全平方公式法。

2. 完全平方公式的特点：等式的左边是三项式，其中有两项同号，且能写成两数平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍；等式右边是这两数和（或差）的平方。

其中三项式可用口诀来记忆：首平方尾平方，二数乘积在中央。

【典例精析】例题1 把下列各式因式分解：（1）9x2＋12xy＋4y2；（2）4a2－36ab＋81b2；（3）25x4＋10x2＋1；（4）4（m＋n）2－28（m＋n）＋49。

思路导航：本例中的四个题目直接按完全平方公式分解因式即可，但一定要分清公式中的a，b，并适当地改写成公式的形式。

答案：（1）原式＝（3x）2＋2·3x·2y＋（2y）2＝（3x＋2y）2；（2）原式＝（2a）2－2·2a·9b＋（9b）2＝（2a－9b）2；（3）原式＝（5x2）2＋2·5x2·1＋12＝（5x2＋1）2；（4）原式＝[2（m＋n）]2－2·2（m＋n）·7＋72＝[2（m＋n）－7]2＝（2m＋2n－7）2。

点评：通过本例，我们知道运用完全平方公式法因式分解的步骤：一变（将三项式转化成“首平方尾平方，乘积2倍在中央”的形式）、二套（直接套用完全平方公式进行分解因式分解）。

另外，第（4）题要利用整体思想，即公式中的a相当于2（m＋n），并注意结果的化简。

例题2 （1）简便计算：20132－4026×2014＋20142；（2）已知实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝6a＋8b＋12c－61，求（a＋b－c）2014的值。

完全平方公式2优秀课件.ppt

小结
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；a或b如果是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键。有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算。
用完全平方公式还可以简化计算。
（1）(-x+1)2
解 (-x+1)2 = (-x)2+2(-x)· 1 + 12 = x2-2x+1
（ 2） ( - 2x - 3) 2
解 ( - 2x - 3) 2
= [-(2x+3)]2
= (2x+3)2
这个题还可以这样做： (-x+1)2 =(1-x)2 = 1 2- 2 · 1· x +x 2 = 1-2x+x2.
= 4x2+12x+9.
第（2）题也可用完全平方公式直接展开计算。
运用完全平方公式计算：
（1） 2042
解 2042 解 = (200+4)2 = 2002+2×200×4+42 = 40 000+1600+16 = 41616. （2） 2982 2982 = (300-2)2 = 3002-2×300×2+22 = 90 000-1200+4 = 88804.
计算：
（1） ( a + b) -(a - b)
2 2
解：原式= a 2 + 2ab + b2 -(a 2 - 2ab + b2 )
= 4ab
（2） ( a + b + c )

教学课件：七下湘教.2完全平方公式(第1课时完全平方公式)

2
6、如果 x 4 x 2 kx 16, 那么k 8
2
随堂训练
7.运用完全平方公式计算：
(1)( + 2)2
(2)(-2+3)2
解：（1）( + 2)2= 2 +4+42
（2）(-2+3)2= (3 − 2)2
= 6 − 2 2 3 + 4
2
2
知识讲授

²
²

完全平方差公式：(a b)
2
=
a ab ab b
2
a 2ab b
2
2
2
知识讲授
完全平方公式有什么特征？
（a+b)2= a2+2ab+b2 ，
（a-b)2= a2-2ab+b2 .
速记口诀：首平方，尾平方，
积的2倍在中央，符号确定看
A、8
B、16
C、2
D、4
随堂训练
3.小兵计算一个二项整式的平方式时,得到
正确结果是42+
+252,但中间一项
不慎被污染了,这一项应是( D )
A 10
B 20
C±10
D±20
4.如果x2-6x+N是一个完、-11
D、-9
5. a b a 2 b 2 (−2)
(Y )
知识讲授
例1 运用完全平方公式计算：
（1）( +
)；
解: (1)( + )
= () + · · +
= + + .
2
（2） x - 1 .

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。

例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。

例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。

6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。

7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案：一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5．例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。

初一-第04讲-完全平方公式与整式的除法(培优)-学案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲---完全平方公式与整式的除法授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①理解完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景，会灵活运用完全平方公式进行计算。

②掌握整式的除法法则，能够准确计算整式乘法的计算题；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）完全平方公式1、完全平方公式：222()2a b a ab b+=++222()2a b a ab b-=-+即两个数的和（或差）的平方，等于两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，这两个公式称为完全平方公式。

完全平方公式的特点：（1）两个公式的左边都是一个二项式的完全平方的形式，二者仅有一个“符号”不同；（2）两个公式的右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项式中每一项的平方，中间一项是左边二体系搭建项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同；（3）公式中的a,b 可以是数，也可以是单项式或多项式。

（4）完全平方公式的变形公式：①()2222a b a b ab +=+- ②()2222a b a b ab +=-+ ③()2222()ab a b a b =+-+ ④22()()4a b a b ab +=-+ ⑤22()()4a b a b ab -=+- 2、完全平方公式的几何意义①如右图2中，一方面大正方形面积为 2()a b +，另一方面大正方形面积可看做四个部分的面积之和，则有22222()2a b a ab ab b a ab b +=+++=++ ②如右图1中，左下角正方形面积为 2()a b -，另一方面它的面积可看做大正方形减去其余三块部分的面积，则有222()()()a b a a b b a b b b -=--•--•-=222a ab b -+3、完全平方公式的应用。

七年级完全平方公式培优讲义讲课讲稿

七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。

而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2；（2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。

(完整版)七年级平方差公式和完全平方公式-培优

变形公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-+=-+-=++-=+-+=+ab b a b a ab b a b a ab b a b a ab b a b a 4)()(4)()(2)(2)(2222222222常考公式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=+-+=+2)1(12)1(1222222x x x x x x x x 个性化教学辅导教案知识点一、多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

由多项式乘多项式法则可以得到：bd bc ad ac d c b d c a d c b a +++=+++=++)()())((知识点二、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

1、即：=-+))((b a b a 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：))((22b a b a b a +-=-。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积即：（a+b ）(a-b)或（a+b ）(b-a)②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b ）(a-b)或（a+b ）(b-a)③有两数的平方差即：a 2-b 2 或-b 2+a 2知识点三、完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

知识点四、变形公式例题讲解1、计算(22)(22)a b c a b c +++-10199⨯2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----L 2982、公式的逆用(1) 如果x 2-y 2=12，x +y=3，则x -y 的值是（2）已知a+b=3，ab=1，则a 2+b 2的值为（3）若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=（4）已知a+b=5,ab=6，则(a-b)2的值为( )(A)1 (B)4 (C)9 (D)16（5）已知3)(,7)(22=-=+b a b a ，求=+22b a ________，=ab ________ （6）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于( )(A)64 (B)48 (C)32 (D)16（7）已知4x 2+4mx+36是完全平方式，则m 的值为( )(A)2 (B)±2 (C)-6 (D)±6基础巩固一、选择题1、下列等式能够成立的是（）A ．222121⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xB ．222121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x xC ．412122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x D ．41)21(22+=-x x 2、下列等式能够成立的是（）A ．222)(y xy x y x +-=-B ．2229)3(y x y x +=+C ．2224121y xy x y x +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- D ．9)9)(9(2-=+-m m m 3、如果9x 2+kx+25是一个完全平方式，那么k 的值是（）A ．15B ．±5C ．30D ．±30 4、若a ﹣b=，且a 2﹣b 2=，则a+b 的值为（）A ．﹣B ．C ．1D ．2 5、已知x y = 9，x －y=－3，则x 2+3xy+y 2的值为（）A 、27B 、9C 、54D 、186、将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．（a+2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b2 7、若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），则A ﹣2003的末位数字是（）A ．0B ．2C ．4D ．6 8、（x+2）（x ﹣2）（x 2+4）的计算结果是（）A ．x 4+16B ．﹣x 4﹣16C ．x 4﹣16D ．16﹣x 4 9、（﹣x+y ）（）=x 2﹣y 2，其中括号内的是（）A ．﹣x ﹣yB ．﹣x+yC ．x ﹣yD ．x+y10、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）A ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）B ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2C ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab ﹣b 2D ．a 2﹣ab=a （a ﹣b ） 11、如图，从边长为（a+4）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm 的正方形．（a ＞0）剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为（）A. （2a 2+5a ）cm 2 B ．（3a+15）cm 2 C ．（6a+9）cm 2 D ．（6a+15）cm 212、如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a ＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）A ．a 2+4B ．2a 2+4aC ．3a 2﹣4a ﹣4D ．4a 2﹣a ﹣2 13、若4x 2﹣2（k ﹣1）x+9是完全平方式，则k 的值为（）A ．±2B ．±5C ．7或﹣5D ．﹣7或5 14、已知a ﹣b=3，则代数式a 2﹣b 2﹣6b 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12 15、若a ﹣=2，则a 2+的值为（） A ．0B ．2C ．4D ．6 16、设（2a+3b ）2=（2a ﹣3b ）2+A ，则A=（）A ．6abB ．12abC ．0D ．24ab 17、已知x 2﹣3x+1=0，那么的值是（） A ．3B ．7C ．9D ．1118、当n 是整数时，（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2是（）A ．2的倍数B ．4的倍数C ．6的倍数D ．8的倍数 19、已知x+y=7，xy=﹣8，下列各式计算结果正确的是（）A ．（x ﹣y ）2=91B ．x 2+y 2=65C ．x 2+y 2=511D ．x 2﹣y 2=567二、填空题 1、若2210a a --=，则221a a+=____________． 2、=⨯123457123455-1234562______ =⨯4394110______ 3、=++⋅⋅⋅++⋅1)12()12)(12(36442______4、已知121=+x x ，则22-+x x = ，已知101=-x x ，则22-+x x =5、已知0162=+-x x ，则22-+x x =6、已知100)(2=+b a ，4)(2=-b a ，则22b a += ，ab =7、已知8=+b a ，12=ab ，则22b a += ，2)(b a -=8、（a+b ﹣1）（a ﹣b+1）=（）2﹣（）2 9、若a+b=8，a ﹣b=5，则a 2﹣b 2= ．10、已知a+b=8，a 2b 2=4，则﹣ab=11、已知实数a 、b 满足a+b=5，ab=3，则a ﹣b=12、已知x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，那么x y =13、已知m 2+n 2﹣6m+10n+34=0，则m+n=14、已知m 2﹣5m ﹣1=0，则= 15、若m=2n+1，则m 2﹣4mn+4n 2的值是16、若|x+y ﹣5|+（xy ﹣6）2=0，则x 2+y 2的值为三、计算题 )53(2322ab ab a --)23)(25(y x y x -+ ()()2()x y x y x y --+-)4)(1()3)(3(+---+a a a a22)1()1(--+xy xy)4)(12(3)32(2+--+a a a (1)(2)(2)(21)2(2)x x x x x x -+----+四、解答题1、先化简，再求值: (x+2)2-(x+1)(x-1),其中x=1.52、已知0132=+-x x ，求221x x +和441xx +的值3、已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值。

第3讲(学生)完全平方公式----讲义

第3讲完全平方公式【知识及方法】（一）整式的除法1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的_________一起作为商的一个.2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这多项式的每一项___________这个单项式，再把所得的商__________.(二)完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2其中a、b可以是一个数，也可以是一个代数式。

注意公式的逆用【范例及拓展】1.单项式除以单项式ax4y2）；（2）2a2b·（-3b2）÷（4a b3）．【例1】计算：（1）-a7x4y4÷（-432.多项式除以单项式【例2】计算：（1）（14a3-7a2）÷（7a）；（2）（15x3y5-10x4y4-20x3y2）÷（-5x3y2）．3．完全平方公式例3、⑴、（2a－b）2⑵20192 (3)2019(4).(31x +y )(31x －y )(91x 2-y 2) (5)已知x + y = 5, ,求x －y 之值拓展（1）已知4,1222=+=+y x y x 求xy 的值(2)已知,1)(,3)(22=-=+y x y x 求22y x +的值（3）已知，求的值(4)已知x 2+x-8=0,求代数式x 5+2x 4+4x 3+4x 2-87x+1的值(6)若(x+a)(x+b)=x 2+mx+n,则m=______,n=______,(x÷a+2)(x÷b+2)=_____.平方差公式及完全平分公式一．平方差公式 (a+b)(a –b )＝a 2–b 2例题1 20192÷(2019×2019+1) 例题2 已知m=3,n=2.求代数式(m+n)2-(m-n)2的值二．完全平方公式 (a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2 (a －b )2=a 2－2ab ＋b 2 例题3 若4x 2+mx+196是一个完全平方式,则m 的值是多少?例题4 的最小值是多少？2011692+--x x 的最大值是多少？训练题一．计算题1．20192–2019×2. (x-y+3)(x-y-3) 3.(3a-2b)(-2b-3a)4. (x 2y+4)(x 2y-4)-(x 2y+2)(x 2y-3)5. (2x+3y)(4x+5y)(2x-3y)(-4x+5y)6. 2(3a+1)(1-3a)+(a-2)(2+a)7．97×99×101×103 8. 10.2×9.89．(x －3y) 2－(x+3y) 2 10. (2x-3y)(2x+3y)(4x 2-9y 2)11.(x-1)(x+1)(x 2+1)(x 4+1) 12. (4x+5y) 2 (4x-5y)2二．解答题1 . 化简(a-b ) 2+b (a-b ) 2．已知a 2-b 2=4,a-b =2, 求(a+b ) 2的值3．计算199319922÷(199319912+199319932-2)4.计算：199319922199319912+199319932-2= ？练习计算2120192+201920192-2的结果为.2、平方差公式的逆向应用例1计算:199********+9312019932129932-2.逆用多个公式例2、若 a=19952+19952·19962+19962 求证：a 是一个完全平方数．平方差公式和完全平方公式巩固及拓展练习一．选择题1、若x 2－k xy +16y 2是一个完全平方式，则k 的值是（）A.8B.16C.±8D.±162、(x +y )2－M =(x －y )2，则M 为（）A.2xyB.±2xyC.4xyD.±4xy3、已知a +a 1=3，则a 2+21a 的值是（）A.9B.7C.11D.54.在多项式x 2+xy +y 2，x 2－4x +2，x 2－2x +1，4x 2+1，a 2－b 2，a 2+a +41中是完全平方式的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、如果x 2+mx +4是一个完全平方式，那么m 的值是( )A.4B.－4C.±4D.±86、整式(－x －y )( )=x 2－y 2中括号内应填入下式中的（）A.－x －yB.－x +yC.x －yD.－x +y7、在下列各多项式乘法中不能用平方差公式的是（）A.(m +n )(－m +n )B.(x 3－y 3)(x 3+y 3) C.(－a －b )(a +b ) D.( 31a －b )( 31a +b ) 二．填空题8、用完全平方公式计算：（1）992=___________=_____________=_____________.（2）9x 2+(_________)+y 2=(3x －y )2（3）.m 2－4mn +_________=(m －_________)29、(2x －3y )2=_____,(41a +52b )2=_____. 10、9x 2+_____+25y 2=(_____)2；_____+10xy +1=(_____+1)2.11、用完全平方公式计算1972=( )2=________________=_______.12、x 2－2x +_____=(_____)2；m 2+4mn +_____=( )2.13、(a +b )2=(a －b )2+_____,(x +21)2=x 2+_____. 14、若4x 2+mx +49是一个完全平方式，则m =_____.15、若(x －m )2=x 2+x +a ,则m =_____,a =_____.16、(x +x 1)2=x 2+21x +_____. 17、若(3x +4)2=9x 2－kx +16,则k =_____.18、41a 2++9b 2=(21a +3b )2. 19、(a －2b )2+(a +2b )2=. 20、(5x +3y )·( )=25x 2－9y 220、 (－0.2x －0.4y )( )=0.16y 2－0.04x 221、 (－23x －11y )( )=－49x 2+121y 2 22、若(－7m +A )(4n +B )=16n 2－49m 2,则A =，B =.23、(1－5n )(1+5n )=_______________ 24、1002－972=(_____+_____)(_____－_____)=_____25、(x －1)(x +1)=_____，(2a +b )(2a －b )=_____，(31x －y )(31x +y )=_____. 26、(x +4)(－x +4)=_________，(x +3y )(_________)=9y 2－x 2,(－m －n )(_________)=m 2－n 227、98×102=(_________)(__________)=( )2－( )2=_________.28、－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=__________, (a －b )(a +b )(a 2+b 2)=___________.29、(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2,(_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 230、(xy －z )(z +xy )=___________，(65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 31、(41x +y 2)(____________)=y 4－161x 2 三．计算题32、498233、(a m +1－b n +1)234、 (a +21b )2－(a －21b )235、(x +y )2－2(x +y )(x －y )+(x －y )2 36、(m +3)2(m －3)237、(x －y )(x +y )－(x +y )2+2y (y －x ),其中x =1,y =3.38、已知(x +y )2=8,(x －y )2=4,求x 2+y 2及xy 的值.39、(2x 2+3y )(3y －2x 2). 40、(p －5)(p －2)(p +2)(p +5).41、(x 2y +4)(x 2y －4)－(x 2y +2)·(x 2y －3).42、设x +y =6，x －y =5，求x 2－y 243、计算(x +y －1)(x +y +1)44、若m 、n 为有理数，式子(8m 3+2n )(8m 3－2n )+(2n －3)(3+2n )的值及n 有没有关系？为什么？45、计算a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2)的计算结果46、已知a +b =7，ab =12，求(a －b )2的值.47、如图，是一个机器零件，大圆的半径为r +2，小圆的半径为r －2，求阴影部分的面积.整式的运算A 卷（100分）一.选择题.（每小题3分，共30分）1.代数式:πab x x x abc ,213,0,52,17,52--+-中,单项式共有( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.下列各式正确的是( )A.2224)2(b a b a +=+B.C.32622x x x -=÷-D.523)()()(y x x y y x -=--3.计算结果为( ) A.591a B.691a C.69a - D. 4.的运算结果是( )A. B. C. D.5.若))((b x a x +-的乘积中不含x 的一次项,则b a ,的关系是( )A.互为倒数B.相等C.互为相反数D.b a ,都为06.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( )A.)43)(34(x y y x ---B.)2)(2(2222y x y x +-C.))((a b c c b a +---+D.))((y x y x -+-7.若y b a 25.0及的和仍是单项式，则正确的是( )A.x=2,y=0B.x=－2,y=0C.x=－2,y=1D.x=2,y=18.观察下列算式：12=2，22=4，32=8，42=16，52=32，62=64，72=128，82=256，…… 根据其规律可知108的末位数是 ……………………………………………（）A 、2B 、4C 、6D 、89.如果(3x 2y －2xy 2)÷M =－3x +2y ，则单项式M 等于( )A 、xyB 、－xyC 、xD 、－y10.若A ＝5a 2－4a ＋3及B ＝3a 2－4a ＋2,则A 及B( )A 、A ＝B B 、A ＞BC 、A ＜BD 、以上都可能成立二.填空题.（每小题4分，共24分）11.多项式13254242+---x y x y x π是一个 __ 次 __ 项式,其中最高次项的系数为.12.当k =时,多项式8313322+---xy y kxy x 中不含xy 项. 13.)()()(12y x y x x y n n --⋅--=.14.(1)29___))(________3(x x -=--；(2)-+2)23(y x =2)23(y x -.15.计算:02397)21(6425.0⨯-⨯⨯-=. 16.若、a b 互为倒数,则20122011b a ⨯=.三.计算题.(每小题5分，共10分)17、25223223)21(})2()]()2{[(a a a a a -÷⋅+-⋅- 18、)2(3)121()614121(22332mn n m mn mn n m n m +--÷+-- 四．用简便方法计算（每小题6分，共18分）22、)21)(12(y x y x --++23、22)2()2)(2(2)2(-+-+-+x x x x2424422222)2()2()4()2(y x y x y x y x ---++五．解答题26.解方程:0)1)(1(3)12)(23()3(2=-++-+--x x x x x （8分）27.已知将32()(34)x mx n x x ++-+乘开的结果不含3x 和2x 项.（10分）（1）求m 、n 的值；（2）求22()()m n m mn n +-+的值。

七年级下册完全平方公式优质课件

1.(遵义中考)如图，从边长为(a+1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)cm的正方形(a＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )
(A)2 cm2 (C)4a cm2
(B)2a cm2 (D)(a2-1)cm2
【解析】选C.矩形的面积是(a+1)2-(a-1)2 =a2+2a+1-(a2-2a+1)=4a (cm2).
同号加，异号减，符号置于中间项。
二、几何解释如图,最大正方形的面积可用两种形式表示： ①_(_a_+_b_)_2，②_a_2_+_2_a_b_+_b_2 ，由于这两个代数式表示同一块面积,所以应相等,即(_a_+_b_)_2_= a_2_+_2_a_b_+_b_2_. 【点拨】公式中的a和b可代表一个字母、一个数字、单项式或多项式.
【归纳】(1)(a＋b)2＝a_2_＋__2_a__b_＋__b_2，(a－b)2＝a_2_－__2_a_b__＋__b_2. (2)公式特征：①左边：二项式的_平__方__;②右边是_三__项,且有__两_ 个平方项,中间项为首尾两项底数积的2倍. (3)语言叙述：两数和(或差)的平方,等于这两个数的__平__方__和_, 加上(或减去)这两数的__积_的2倍. (4)记忆口诀：前平方，后平方，二倍乘积在中央；
【规律总结】完全平方公式的常见变形
(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab. (2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2). (3)(a+b)2-(a-b)2=4ab. 在运用公式时，不应拘泥于公式的形式，而要深刻理解、灵活应用.

北师大版七年级数学下册完全平方公式优秀课件

=16m2 +8mn+ n2
2 2 x (x+6) = +2
（ 2）
• x • 6 +62
=x2 +12x+36
复习提问：
多项式的乘法法则是什么？用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n)
= am+an + bm+bn
想一想
你能证明它吗？
2=a2+2ab+b2 ; ( a + b ) (a−b)2= a2 −2ab+b2.
教学设计
（3）重点难点：
1、教材分析
1、教学重点：理解完全平方公式的特征，并能根据题意运用公式解决实际问题. 2、教学难点：完全平方公式的变形及灵活应用.
教学设计
1、教材分析 2、教材处理
教学设计
2、教材处理
（1）学生状况分析及对策：通过前几节课的学习，学生已初步掌握了整式乘法的具体方法，而对于完全平方公式的灵活性并不能充分理解和应用，所以本节内容对学生来说是个难点，相对更加抽象化，富有挑战性。针对这种情况，我采取“提出问题— —学生尝试——教师辅助——学生尝试——解决问题”的对策强化练习，使学生体会到学好数学能够解决生活当中的很多问题。
2 x 2y +( 2y ) 解： (x+2y)2= ( x )2+2 （（））
2
2
2
(a +b)2= a2 +2 a b 2 2 =x +4xy +4y
上式中（ x ）相当于公式里的a，（2y ）相当于公式里的 b。

初中七年级数学课件 1.6完全平方公式(一)课件(优秀课件)

课堂小结
1. 注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．完全平方公式的结果是三项即 (a b)2＝a2 2ab+b2;
结果不同：平方差公式的结果是两项即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
2. 在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
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作业
1. 教材习题1.11 .
2. 拓展练习： (a+b)2与(a－b)2有怎样的联系？能否用一个等式来表示两者之间的关系，并尝试用图形来验证你的结论？
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完全平方公式：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a－b) 2=a2－2ab+b2
结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积
的两倍. 语言描述：
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.
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再识完全平方公式：
呵护儿童健康成长
讲课人：优质老师
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第一章整式的乘除
6 完全平方公式（第1课时）
山东省济南市实验初级中学贾万峰
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2
知识回顾
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与
这两数差的积；右边是两数的平方差。
例1 利用完全平方公式进行计算：
(1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mn−a)2