七年级完全平方公式培优讲义
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平方差和完全平方公式培优讲义
教师寄语:
【知识精要】:
1.乘法公式:
平方差公式(a+b)(a-b)=a2+b2,
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
2.运用平方差公式应注意的问题:
(1)公式中的a和b可以表示单项式,也可以是多项式;
(2)有些多项式相乘,表面上不能用公式,但通过适当变形后可以用公式.如(a+b-c)(b-a+c)=[(b+a)-c)][b-(a-c)]=b2-(a-c)
3.运用完全平方公式应注意的问题:
(1)公式中的字母具有一般性,它可以表示单项式、多项式,只要符合公式的结构特征,就可以用公式计算;
(2)在利用此公式进行计算时,不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍;
(3)计算时,应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件,如符合,则可以直接用公式进行计算;如不符合,应先变形为公式的结构特点,再利用公式进行计算,如变形后仍不具备公式的结构特点,则应运用乘法法则进行计算.
【典例评析】:
例1、计算:(1)(-3mn-1)(1-3mn)-8m2n2;(2)(a+b-c)(a-b+c)
例2、计算:(a-2) (a+2) (a2+4)(a4+16)
例3、计算: (1)2091×199
8 ; (2)1101991002
+⨯
例4、逆用平方差公式巧算:
(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1-221)(1-231
)(1-241)(1-251)(1-2
61)
例 5..已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少?
【课堂精练(一)】:
1、计算:
(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)
(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)
(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)
2、平方差公式的逆用与巧用
(1)20102-2009×2011 (2)2012
2010201120112⨯-
(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ,则A= ;
(5) 计算:12-22+32-42+…+992-1002;
【培优拓展】:
1、如果x-y=6,x 2-y 2=24,那么x+y= ;
2、分析这组等式:1×3=22-1;3×5=42-1,5×7=62-1,…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律:-----------------。
3、试确定3(22+1)(24+1) (28+1)(216+1)(232+1)+1的末位数字。
4.x 为何值时,|x -3|+|x+2|有最小值,并求出这个最小值.
.
1 1 2x -5xy+2y
5.已知 --- + ---- =5,则 ---------- = _______.
x y x+2xy+y
【课堂精练(二)】:
1、计算:
(1)(x+2y)(x-2y)(x 2-4y 2); (2)(21a-3b)2(2
1a+3b)2;
(3)(2x-3y+4)( 2x+3y-4)
2、(1)已知x-y=9,xy=5,求x+y 的值。
(2)已知x 2+2(m-1)xy+16y 2是完全平方式,求m 的值。
3、计算:
(1)(a+3b)2-2(a+3b)(a-3b)+(a-3b)2; (2) 21(x+y+z)2+2
1(x-y-z)(x-y+z)-z(x+y)
4、已知a 2+b 2+c 2-2(a+b+c)+3=0,求a 3+b 3+c 3-3abc 的值.
5、(1)已知x 2-4x+1=0,求x 2+
21x x 4+41x
的值。
(2)已知a(a-1)+(b-a 2
)=8,求ab b a -+2
22的值。
【培优拓展】:
1、不论a 、b 为任何有理数,a 2+b 2-4a+2b+7的值总是( )
A 、负数;
B 、零;
C 、整数;
D 、不大于2
2、已知x 2+y 2-2xy-6x+6y+9=0,求x-y 的值。
3、在多项式4x 2+1中,添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式是 。
4、已知a=201x+20,b=201x+19,c=20
1x+21,求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值。
5、(探究题)如图l -1-5所示是杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如(a+b )2(其中n 为正整数)展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出(a+b )4展开式中的系数:
(a +b )1=a +b ;
(a+b )2=a 2+2ab+b 2
(a+b )3=a 3 +3a 2 b+3ab 2+b 3
则(a+b )4 =____a 4+____a 3 b+___ a 2 b 2+_____a b 3 +______b 3
【数学故事】: 动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱锥形的底,由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分,所有的锐角为70度32分,这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米,误差极小。