均值不等式的4种变形及其应用yqh

均值不等式的四种变形及其应用

定理：如果,a b R ∈，那么22

2a b ab +≥（当且仅当a b =取等号）。 这个定理至少有四种变式。 例如

一 第一种变式为2

2

2

2()()a b a b +≥+

它是怎样用定理“如果,a b R ∈，那么22

2a b ab +≥（当且仅当a b =取等号），”推导

出来的呢？只要在么222a b ab +≥的两边同时加上22

a b +可推出为2

2

2

2()()

a b a b +≥+它可以用中文数学语言叙述成“两个非负数的平方和的2倍不小于这两个非负数的和的平方。”什么时候用这一均值不等式的变式呢？凡带有根号形式的不等式证明题可用此第一种变式。

例1设0,0a b >>，1a b +=≤

证明：2

2(2121)22(1)8a b a b ≤+++=⨯++=

≤ 例2设x,y 均为正数,10=-

y x 且,求证:x-2y 200

≤（1987年列宁格勒数学奥林匹克试题）.证明：用均值不等式的变形公式（)(2)2

2

2

b a b a +≤+

y y y x y x y x 2200)100(2)10(10102+=+≤+=⇒+=⇒=-Θ

移项得x-2y 200≤.

例3 若a,b,c +

∈R 且a+b+c=1,求证:21141414≤++++

+c b a .

证明:用三元均值不等式的变形公式)(3)(2

2

2

2

c b a c b a ++≤++

.21)141414(3)141414(2=+++++≤+++++c b a c b a

两边开方得出21141414≤++++

+c b a

例4 若a,b,c,d +∈R 且a+b+c+d=1求证:2414141414≤++++++

+d c b a

证明: 用四个变量均值不等式的变形公式)(4)(2

2

2

2

2

d c b a d c b a +++≤+++

32]4)(4[4)14141414(2=++++≤+++++++d c b a d c b a .

两边开方得出所要证的结果.

二 笫二种变形2

2a a b b

≥-。 这个变形公式是如何证明的？用中文的数学语言如何表达？何时用这一变形公式？ 只要在定理2

2

2a b ab +≥（当且仅当a b =取等号）的两边同除以b 再移项即可得

形2

2a a b b

≥-。叙述“成一个数的平方除以第二个数不小于第一个数的二倍减去第二个数”，证明分当式且分子是平方形式时，用此不等式来证明。

例1 若a,b 为正实数,求证b a a

b b a +≥+2

2. 证

明

1

：

2

2a a b b

≥-；又因为

2

2b b a a

≥-两式相加得

22

222()()a b a b a b a b a b a b b a

+≥+--=+-+=+ 柯西不等式 设),,3,2,1(,,n i R b a i i Λ=∈则有不等式∑∑∑===≤n

i i n i i

i n i i b a b a 1

21

22

1

))(()(成

立;当且仅当),,2,1(,n i ka b i i Λ==时等号成立.（证明从略）

证明2: (用柯西不等式)构造两组数:

.,;,

a b a b b

a 代入柯西不等式之中

[(

22222][

])()][()(

)a a

b b b

a a

b a

b b

a +

≥++两边同除以a b +推出

b a a

b b a +≥+2

2。 例2 :a,b,c 为正数,求证:.2

22c b a a

c c b b a ++≥++ 证明1：2222,

2,2a b c a b b c c a b c a ≥-≥-≥-以上三式相加得证:.222c b a a

c c b b a ++≥++ 证明2：用柯西不等式证明是很容易的.先构造两组数

a c

b a

c c

b b

a ,,;,

,

代入柯西不

等式之中222222)()]()()][()(

)(

)[(

c b a a c b a

c c

b b

a ++≥++++.

不等式之两边同除以(a+b+c)推出:.2

22c b a a

c c b b a ++≥++ 例6若i x 均为正数,n i ,,3,2,1Λ=求证:n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-ΛΛ211

22132

2

22

1(1984

年省市自治区联合数学竞赛题)

证明1：222

12

12231231

2;2;;2n n x x x x x x x x x x x x ≥-≥-≥-L 以上n 个不等式边边相加得出

证:n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-ΛΛ211

221

32

222

1。

证明2:（用柯西不等式法）构造两组数.,,,,;,

,,

1321

3

22

1x x x x x x x x x x n n ΛΛ代入

哥

西

不

等

式

21

2

2

22

12

1

2

3

22

2

1)(])()()][()(

)(

)[(

∑=≥++++++n

i i n n x x x x x x x x x x ΛΛ

两边同除以∑=n

i i x 1

推出:n n x x x x x x x x x +++≥+++ΛΛ211232

2

221

三

用笫三种变形a b +≥

这个变形公式适用于“积定和最小” 的类型。公式如何证明？注意如何中文数学语言

叙述？何时用这一公式？ 例7若正数,x y 满足21,x y +=求

11

x y

+的最小值？ 解：

11x y +

= 222333x y x y y x x y x y +++=++≥+=+ 例8已知,x y R +

∈且280x y xy +-=求x y +的最小值？ 解

：

由

280

x y xy +-=推导

(8)2y x x

-=，220,080,,88

x x

x y x y u x y x x x >>∴->=

=+=+--Q 2(216)1616(8)888

x x x x x x x x -+=+=+=-+

---

16(8)1010188x x -+

+≥=-。