小学六年级数学难题:分数计算(裂项法)
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、裂项法
小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出:两个分母不同的分数相加减,
自然数,公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:
下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题
例1 计算:
分析与解此题按常规方法先通分后再求和,显然计算起来十分繁杂
是 1 ,而分母又都是相邻两个自然数的积,符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式,就得到下面12 个等式:
上面12 个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了
像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法.
例2 计算:
分析与解这里的每一项的分子是1,分母不是相邻两个自然数的积,但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和,这使我们联想到计算公式:1+
当n分别取1,2,3,⋯,100时,就有
即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式,略加变形就得到例 1 的形式,仿照例 1 的方法便可求出解来
分析与解猛一看,此题似乎无法下手,而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过,减法是加法的逆运算.换句话说,任一加法算式都可以改为
这个题的答案是否只有这一个呢?如果不只一个,怎样才能找出所有答案呢?为此,我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数,且
当t=1 时,x=7,y=42,当t=2 时,x=8,y=24,当t=3 时,
x=9,y=18,当t=4 时,x=10,y=15,当t=6 时,x=12,y=12,
当t=9 时,x=15,y=10,
当t=12 时,x=18,y=9,
当t=18 时,x=24,y=8,
当t=36 时,x=42,y=7.
故□和○所代表的两数和分别
49、32、27、25.
为
例 4 已知A、B、C、D、E、F为互不相等的自然数,当A、B、C、D、
E、F 各为什么数时,下面等式成立?
当A=3 ,B=7,C=43,D=1807,E=3263443,F=10650056950806时,等式成立.即
这方法计算量太大,我们试着找另外方便一些的解法
在上面两种解法中,后面的解法明显比前面的解法简便.下面我们把后面的那种解题方法一般
化.
当A 有n个不同的约数a1,a2,a3,⋯,a n时
练习一
1.计算:
2. 计算:
4.当A、B、C、D、E、F各是什么不同的自然数时,下式成
立?
5. 计算: