随机振动分析基础

随机振动分析基础
1 随机振动的特点
• 对某振动运动，其规律显示出相当的随机性 而不能用确定性的函数来表达，使得只能用 概率和统计的方法来描述，这种振动被称为 随机振动。
• 随机振动可以由系统构成参数本身有随机性 而导致，但在多数情况下主要由激振源的随 机性所引起。本节主要研究这后一种情况， 即确定性系统在随机激励下的振动响应。
• 理论上完整地确定一个随机过程，需要确 定所有各阶矩函数，明显这对实际应用来 说又是一个过分的苛求。因此，实践上特 别强调运用低阶矩即1，2阶矩函数。
• 1阶矩函数称为均值函数，定义为
(t) x p( x, t)dx
(1.5-3)
• 2阶矩函数称为相关函数，定义为
Rxx (t1 , t2 ) x1 x2 p( x1 , t1; x2 , t2 )dx1dx2
• 类似于研究随机变量统计性质时对各阶矩 的定义，可定义随机过程的各阶矩函数如 下：
M1(tk ) xk p( xk , tk )dxk
M2 (tk , t j ) xk x j p( xk , tk ; x j , t j )dxkdx j
k=1, 2, 3, …, n k, j =1, 2, 3, …, n
• 当随机变量蕴含的是样本点的函数的意
义明显且希望强调它是过程参变量t的函 数时，简记此随机变量为X(t)。
• 当 量 时tX间k取(t的k)不；连同从续值原函时理数，上的可看随得，机不对振同于动时各，刻样只的本有随函t连机数续变是变 化为无穷多个时刻而得出无穷多组随机变 量X(t)才能完整地描述一个随机振动。
• 作为增加了过程参数t的随机变量族的随机 过程，可通过对随机变量数字特征(矩函数) 对过程参数的扩展定义来研究其统计特性。
• 对图1.5-1所示随机振动，取离散时刻 t1,t2,…, tn可得一族随机变量X1,X2,…, Xn。
• 这些随机变量的概率结构可由概率密度函数 及不同时刻的随机变量间的联合概率密度函 数表达为
• 高斯随机过程，又称为正态随机过程，是 这样一种随机过程：它在任意时刻tk的状 态都服从正态分布，即是高斯随机变量。
• 定义为：对于任意n，X(t)的n个样本为 X(t1)，X(t2)，…，X(tn)，记x={x1，x2，…，
xn}T，X={X(t1)， X(t2)，…， X(tn)}T，
X(t)的n维联合概率密度函数为
M3 (tk , ti , t j ) xk xi x j p( xk , tk ; xi , ti ; x j , t j )dxkdxidx j
k, i, j =1, 2, 3, …, n
……
Biblioteka Baidu(1.5-2)
• 可以证明，用矩函数或用概率密度函数 （或概率分布函数）来描述随机过程数学 上是等价的。
• 均值函数和相关函数虽然只是随机过程的矩 函数表达系列中的两个低阶矩函数，但它们 却表征了随机过程许多重要统计特征。
• 特别对一类实际上很常见的高斯随机过程， 其高阶矩函数可以由1，2阶矩函数表示，因 此，对高斯随机过程，均值函数和相关函数 完全表征了它的概率结构。
• 而对于非高斯过程，这两矩函数也代表了其 统计性质中非常重要的一大部分。
• s用于表记对应不同的样本函数。每个xi(tk) 是tk时刻的瞬时振动幅值，称为是随机变量 X(s, tk)的在s=si的一个样本点；
• 所有样本点的集合S＝{si}就是随机变量X(s, tk)的样本空间；
• 随机变量X(s, tk)随样本点的不同随机地 取不同的值，即X(s, tk)是样本点s∈S的 函数。同时注意它也是过程参变量tk∈[0, ∞)的函数。
(1.5-4)
• (1.5-4)针对的是一个随机过程，因而可更细 分地称为自相关函数，以双下标xx代表；
• 如果研究的对象包括有两个随机过程X(t), Y(t)，可以类似地定义出互相关函数如
Rxy (t1 , t2 ) x1 y2 p( x1, t1; y2 , t2 )dx1dy2 (1.5-5)
• 汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸 不平使行驶的汽车产生随机振动；
• 被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架 产生随机振动；
• 风对建筑结构的随机激励； • 地震对结构的随机激励； • 浪使船舶产生随机振动； • 大气湍流使机翼产生随机振动等等。
• 下图为一随机振动的时间历程样本函数表 示。所谓样本函数是指随机振动本身是以 时间t为过程参变量的函数过程。
p(x1, t1)，p(x2, t2)，…， p(x1, t1; x2, t2)，p(x2, t2; x3, t3)，…，(1.5-1)
…，
p(x1, t1; x2, t2; x3, t3; …; xn, tn)
• 上述表达的n维概率密度函数能够近似描述 原连续的随机过程的统计特性，n越大近似 程度越高，当n趋于无穷大时，(1.5-1)就完 全表达了该随机过程的统计特性。
pX ( x1, t1;L
; xn , tn )
1
(2 )n/ 2
C 1/2
随机振动时间历程样本函数
• 从随机性的物理性质出发，这样各不相 同的函数应有无穷多个，每一个只是一 个样本，最后构成集合{xi(t), i=1, 2, 3, …; t∈ [0, ∞)}。
• 取尽各种可能性的无穷多个样本函数的 集合称为样本函数空间。
• 取t=tk时刻各样本函数瞬时值构成一个序列 X(s, tk)={xi(tk), i=1, 2, 3, …; tk∈[0, ∞)}；
• 这样实际形成的是以时间为过程参数的一 族随机变量，这样定义的随机变量族就被 称为随机过程。随机振动是一种典型的随 机过程。另外，也可以选用其它参数为随 机过程的过程参数。
2 相关函数和功率谱密度函数
1. 相关函数
• 掌握随机变量的性质是通过了解它的概率结 构，最自然是通过其概率密度函数p(x) 或概 率分布函数P(x)。完整地掌握p(x)或P(x)通 常比较困难，因此常用的统计描述是讨论随 机变量的各低阶矩数字特征，如数学期望 （均值），均方值和方差等。