2020年-上海中考数学一模-23题合集

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2020年上海市闵行区中考数学一模试卷(解析版)

2020年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为cm．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是米．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为cm．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为．（用含三角比的代数式表示）18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．2020年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP 是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项，即AP2＝AB•BP，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上【分析】求出抛物线的顶点为（k，﹣k），可以得到顶点在y＝﹣x直线上．【解答】解：∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0），∴抛物线的顶点为（k，﹣k），∵k为任意实数，∴顶点在y＝﹣x直线上，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法，和一次函数的性质是解题的关键．4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．【解答】解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【分析】利用确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；C、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；D、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系，属于基础题，难度不大．6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向对①进行判断；利用对称轴的位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对②进行判断；利用自变量为﹣1对应的函数值为负数可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以③正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝6厘米．【分析】根据比例中项的定义得到a：b＝b：c，然后利用比例性质计算即可．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝4【分析】根据锐角三角函数的定义得出sin A＝＝，代入求出即可．【解答】解：∵sin A＝＝，SB＝10，∴BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关键．10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝40，故答案为：40．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝﹣6．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵为单位向量，与的方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是50米．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】解：∵坡度为i＝1：，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为x．∵x2+（x）2＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【点评】本题考查了坡度＝垂直距离：水平距离．它们与斜边构成直角三角形．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．【分析】由正方形ABCD中四个内角为直角，四条边相等，求出BC与DC的长，利用勾股定理求出BD的长，由旋转的性质可求BE的长，即可求解．【解答】解；如图，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△BCD中，DC＝BC＝2，根据勾股定理得：BD＝＝＝2，∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，∴BE＝BD＝2，∴tan∠BAE＝＝＝，故答案为：．【点评】此题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S＝AC•BC＝AB•r，△ABC∴r＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式y＝﹣x2+1．【分析】先根据抛物线的解析式求出其顶点D和抛物线与y轴的交点C的坐标．然后根据C的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键是正确理解题意再用待定系数法求函数解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为2或4cm．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°．（用含三角比的代数式表示）【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形即可得解【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE 的长为1．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．【分析】根据二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），可以求得该函数的解析式，然后令y＝0，求出相应的x的值，即可得到点C和点D的坐标，从而可以求得△BCD的面积．【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），把B（0，3）代入得3＝a（0﹣1）2+4解得：a＝﹣1，令y＝0，那么﹣（x﹣1）2+4＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（3，0），∴CD＝4，∵点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，∴△BCD的面积是：＝6．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝﹣；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．【点评】此题考查了角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，于是得到结论；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，∴（千米），答：台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时25千米；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，∴∠SHZ＝90°，∵∠NZD＝30°，∠CZN＝7°，∴∠CZD＝∠CZN+∠NZD＝7°+30°＝37°，在Rt△SHZ中，sin∠CZD＝．∵∠CZD＝37°，SZ＝250千米，∴SH＝SZ•sin∠CZD＝250×sin37°≈250×0.60≈150（千米），∵150千米＜170千米，∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响到F处影响结束．即SE＝SF＝170（千米）．∵在Rt△SEH中，∠SHE＝90°，SE2＝SH2+HE2，∴，∴EF＝2EH≈160（千米），∴上海遭受这次台风影响的时间为（小时），答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．【分析】（1）由已知得出，证明Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD＝∠OCD，证出∠OEB＝90°，即可得出结论；（2）证明△ADB∽△AEC，得出，即，证明△DAE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD•OC＝AB•OD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，∴Rt△ADB∽Rt△ODC，∴∠ABD＝∠OCD，又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．∴∠OEB＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△ADB和△AEC中，∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，∴△ADB∽△AEC，∴，即，在△DAE和△BAC中∵∠DAE＝∠BAC，．∴△DAE∽△BAC，∵AF是∠BAC的平分线，∴，即AF•DE＝AG•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E坐标时需注意可在x轴的正半轴，也可在负半轴．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH＝AD，那么AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，即CG＝2，点G为△ABC的重心，∴，∴AB＝2CF＝6，∴，∴；综上所述，AD＝1或．【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．。

【精校】2020年上海市杨浦区中考一模数学

2020年上海市杨浦区中考一模数学一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分) 1.如果5x=6y ，那么下列结论正确的是( ) A.x ：6=y ：5 B.x ：5=y ：6 C.x=5，y=6 D.x=6，y=5解析：直接利用比例的性质将原式变形， ∵5x=6y ， ∴65x y =. 故选项A 正确. 答案：A2.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是( ) A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角解析：因为A ，B ，D 给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A ，B ，D 错误；C 、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C 正确. 答案：C3.如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE=1：2，那么下列等式一定成立的是( ) A.BC ：DE=1：2B.△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2C.∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D.△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2解析：A 、BC 与EF 是对应边，所以，BC ：DE=1：2不一定成立，故本选项错误； B 、△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：4，故本选项错误； C 、∠A 的度数：∠D 的度数=1：1，故本选项错误；D 、△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2正确，故本选项正确. 答案：D4.如果2a b r r ＝(a b r r ，均为非零向量)，那么下列结论错误的是( ) A.||2a b r rB.20a b =-r rC.12b a =r rD.2a b r r ＝解析：A 、正确.因为2a b r r ＝(a b r r ，均为非零向量)，所以a r 与b r 是方向相同的向量，即||a b r r； B 、错误.应该是20a b =-r r；C 、正确.由2a b r r ＝可得12b a =r r ； D 、正确.因为2a b r r ＝所以2a b r r ＝. 答案：B5.如果二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，那么下列不等式成立的是( )A.a ＞0B.b ＜0C.ac ＜0D.bc ＜0.解析：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴x=﹣2ba＞0， ∴b ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴ac ＜0，bc ＞0. 答案：C6.如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED=∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是( )A.EA ED BD BF＝B.EA ED BF BD＝C.AD AE BD BF＝D.BD BA BF BC＝.解析：A、∵∠AED=∠B，EA EDBD BF＝，∴△ADE∽△BDF，正确；B、∵∠AED=∠B，EA EDBF BD＝，∴△ADE∽△BDF，正确；C、∵∠AED=∠B，AD AEBD BF＝，不是夹角，∴不能得出△ADE∽△BDF，错误；D、∵∠AED=∠B，BD ABBF BC＝，∴△ABC∽△BDF，∵∠A=∠A，∠B=∠AED，∴△AED∽△ABC，∴△ADE∽△BDF，正确；答案：C二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)7.抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是_____.解析：∵抛物线y=x2﹣3，∴抛物线y=x2﹣3的顶点坐标是：(0，﹣3)，答案：(0，﹣3)8.化简：112322a b a b--+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r=_____.解析：112322a b a b--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r=3232a b a b---r r r r=14 2a b-r r答案：14 2a b-r r9.点A(﹣1，m)和点B(﹣2，n)都在抛物线y=(x﹣3)2+2上，则m与n的大小关系为m_____n(填“＜”或“＞”).解析：∵二次函数的解析式为y=(x﹣3)2+2，∴该抛物线开口向上，对称轴为x=3，在对称轴y的左侧y随x的增大而减小，∵﹣1＞﹣2，∴m＜n.答案：＜10.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为(0，4)的抛物线的表达式_____.解析：因为抛物线的开口向下，则可设a=﹣1，又因为抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)，则可设顶点为(0，4)，所以此时抛物线的解析式为y=﹣x2+4.答案：y=﹣x2+411.如图，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=2：3：4，如果EG=4，那么AC=_____.解析：∵DE∥FG∥BC，∴AE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4，∵EG=4，∴AE=83，GC=163，∴AC=AE+EG+GC=12，答案：1212.如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是_____.解析：∵在▱ABCD中，AO=12 AC，∵点E是OA的中点，∴AE=13 CE，∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ， ∴13AF AE BC CE ==， ∵S △AEF =4，219AEF BCE S AF S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴S △BCE =36. 答案：3613.Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=9，cosA=13，那么AB=_____. 解析：如图.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，cosA=13AC AB =， ∴913AB =， ∴AB=27. 答案：2714.如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1：_____.解析：由题意得，水平距离，则该斜坡的坡度i=50：120=1：2.4. 答案：2.415.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交于点O ，如果AB=12，那么CO=_____.解析：∵∠C=90°， CM 是AB 边上的中线， ∴CM=12AB=6， ∵MH ⊥BC ，∴H是BC的中点，∴AH是BC边上的中线，∵AH与CM交于点O，∴O是△ABC的重心，∴23 COCM＝，∴CO=23CM=4，答案：416.已知抛物线y=ax2+2ax+c，那么点P(﹣3，4)关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是_____.解析：∵y=ax2+2ax+c，∴抛物线对称轴为x=﹣2aa=﹣1，∵P(﹣3，4)关于对称轴对称的点的坐标为(1，4)，答案：(1，4)17.在平面直角坐标系中，将点(﹣b，﹣a)称为点(a，b)的“关联点”(例如点(﹣2，﹣1)是点(1，2)的“关联点”).如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第_____象限.解析：若a，b同号，则﹣b，﹣a也同号且符号改变，此时点(﹣b，﹣a)，点(a，b)分别在一三象限，不合题意；若a，b异号，则﹣b，﹣a也异号，此时点(﹣b，﹣a)，点(a，b)都在第二或第四象限，符合题意；答案：二、四18.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A旋转，当点B与点C重合时，点C落在点D处，如果sinB=23，BC=6，那么BC的中点M和CD的中点N的距离是_____.解析：如图所示，连接BD，AM，∵AB=AC，M是BC的中点，BC=6，∴AM ⊥BC ， ∵sinB=23，BM=3， ∴Rt △ABM 中，由勾股定理可得：， ∵∠ACB=∠ACD ，BC=DC ，∴BD ⊥AC ，BH=DH ，∴12BC ×AM=12AC ×BH ， ∴BH=BC AM AC⨯=4，∴BD=2BH=8，又∵M 是BC 的中点，N 是CD 的中点， ∴MN=12BD=4，答案：4三、解答题：(本大题共7题，满分78分) 19.计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒.解析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案.答案：原式=12231122-+⨯=1222-=14.20.已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，sinB=35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ：DB=2：3，DE ⊥BC.(1)求∠DCE 的正切值；(2)如果设AB a CD b u u u r r u u u r r ＝，＝，试用a b r r 、表示AC u u u r.解析：(1)设AC=3a ，AB=5a.则BC=4a.想办法求出DE 、CE ，根据tan ∠DCE=DECE即可解决问题；(2)根据AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出AD DC u u u r u u u r、即可解决问题；答案：(1)∵∠ACB=90°，sinB=35， ∴35AC AB =， ∴设AC=3a ，AB=5a.则BC=4a. ∵AD ：DB=2：3，∴AD=2a ，DB=3a. ∵∠ACB=90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ， ∴AC ∥DE.∴DE BD CE ADAC AB CB AB ==，. ∴323545DE a CE a a a a a ==，. ∴DE=95a ，CE=85a ，∵DE ⊥BC ， ∴tan ∠DCE=98DE CE =.(2)∵AD ：DB=2：3， ∴AD ：AB=2：5，∵AB a CD b u u u r r u u u r r＝，＝， ∴25AD a DC b =-u u u r r u u u r r＝，，∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴25AC a b -u u u r r r ＝.21.甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.解析：首先利用函数对称轴以及图象上点的坐标，进而求出解析式，进而得出答案. 答案：由题意得：C(0，1)，D(6，1.5)，抛物线的对称轴为直线x=4，设抛物线的表达式为：y=ax 2+bx+1(a ≠0)，则据题意得：421.53661ba ab ⎧-⎪⎨⎪++⎩＝＝，解得：12413a b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：2111243y x x =-++， ∵()2154243y x =--+， ∴飞行的最高高度为：53米.22.如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tanα=6.求灯杆AB 的长度.解析：过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG=BC=10.设AF=x 知EF=AF=x 、tan 6AF xDF ADF ==∠，由DE=13.3求得x=11.4，据此知AG=AF ﹣GF=1.4，再求得∠ABG=∠ABC ﹣∠CBG=30°可得AB=2AG=2.8.答案：过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG=BC=10.由题意得∠ADE=α，∠E=45°. 设AF=x.∵∠E=45°， ∴EF=AF=x.在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF=AFDF， ∴tan tan 6AF x xDF ADF α===∠，∵DE=13.3， ∴x+6x=13.3. ∴x=11.4.∴AG=AF ﹣GF=11.4﹣10=1.4. ∵∠ABC=120°，∴∠ABG=∠ABC ﹣∠CBG=120°﹣90°=30°. ∴AB=2AG=2.8，答：灯杆AB 的长度为2.8米.23.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF=∠BAC.(1)求证：△AED ∽△CFE ；(2)当EF ∥DC 时，求证：AE=DE.解析：(1)首先根据已知得出∠ABD=∠FEC ，以及∠DAE=∠ECF ，进而求出△AED ∽△CFE ， (2)根据相似三角形的判定得出△AEB ∽△DEC ，再利用相似三角形的性质解答即可. 答案：证明：(1)∵∠BEC=∠BAC+∠ABD ， ∠BEC=∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF=∠BAC ， ∴∠ABD=∠FEC ， ∵AD=AB ，∴∠ABD=∠ADB ， ∴∠FEC=∠ADB ，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ECF，∴△AED∽△CFE；(2)∵EF∥DC，∴∠FEC=∠ECD，∵∠ABD=∠FEC，∴∠ABD=∠ECD，∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB∽△DEC，∴AE BE DE CE＝，∵AD∥BC，∴AE DE CE BE＝，∴AE AE BE DEDE CE CE BE⨯⨯＝.即AE2=DE2，∴AE=DE.24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.(1)求顶点D的坐标(用含m的代数式表示)；(2)当抛物线过点(1，﹣2)，且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线y=﹣x2+2x的位置，求平移的方向和距离；(3)当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值.解析：(1)利用配方法将函数关系式变形为y=﹣(x﹣m)2﹣m+1，从而可得到点D的坐标；(2)将点(1，﹣2)代入抛物线的解析式可求得m的值，然后求得平移前后的抛物线的顶点坐标，从而可得到抛物线平移的方向和距离；(3)分为点A在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况画出图形，然后过点A作AG⊥DH，垂足为G，由∠ADH=∠AHO可得到AG AODG HO=，然后依据比例关系列出关于m的方程求解即可.答案：(1)∵y=﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1=﹣(x﹣m)2﹣m+1，∴顶点D(m，1﹣m).(2)∵抛物线y=﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣m+1过点(1，﹣2)，∴﹣2=﹣1+2m ﹣m 2﹣m+1.整理得：m 2﹣m ﹣2=0. ∴m=﹣1(舍)或m=2.当m=2时，抛物线的顶点是(2，﹣1)，∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. (3)∵顶点D 在第二象限， ∴m ＜0.当点A 在y 轴的正半轴上，如图(1)作AG ⊥DH 于点G ，∵A(0，﹣m 2﹣m+1)，D(m ，﹣m+1)，∴H(m ，0)，G(m ，﹣m 2﹣m+1) ∵∠ADH=∠AHO ，∴tan ∠ADH=tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴()22111m m m m m m m ---+=-----+. 整理得：m 2+m=0.∴m=﹣1或m=0(舍).当点A 在y 轴的负半轴上，如图(2).作AG ⊥DH 于点G ，∵A(0，﹣m 2﹣m+1)，D(m ，﹣m+1)，∴H(m ，0)，G(m ，﹣m 2﹣m+1) ∵∠ADH=∠AHO ，∴tan ∠ADH=tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴()22111m m m m m m m -+-=-----+. 整理得：m 2+m ﹣2=0.∴m=﹣2或m=1(舍).综上所述，m 的值为﹣1或﹣2.25.已知：矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. (1)如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； (2)如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；(3)请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.解析：(1)先由折叠得出∠AEM=∠PEM ，AE=PE ，再判断出AB ∥EP ，进而判断出CN=CE ，最后用锐角三角函数即可得出结论；(2)先由锐角三角函数求出 AE ，CE ，再用勾股定理求出PC ，最后勾股定理建立方程即可得出结论；(3)先确定出PC 最大和最小时的位置，即可得出PC 的范围，最后用折叠的性质和勾股定理即可得出结论.答案：(1)∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME.∴∠AEM=∠PEM ，AE=PE. ∵ABCD 是矩形， ∴AB ⊥BC. ∵EP ⊥BC ， ∴AB ∥EP.∴∠AME=∠PEM. ∴∠AEM=∠AME. ∴AM=AE ，∵ABCD 是矩形， ∴AB ∥DC. ∴AM AECN CE＝. ∴CN=CE ，设CN=CE=x.∵ABCD 是矩形，AB=4，BC=3，∴AC=5.∴PE=AE=5﹣x. ∵EP⊥BC，∴454 sin55 EP xACBCE x-=∠=∴．＝，∴x=259，即CN=25 9(2)∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME.∴AE=PE，AM=PM.∵EP⊥AC，∴4tan3 EPACBCE=∠=.∴43 AECE=.∵AC=5，∴AE=207，CE=157.∴PE=207，∵EP⊥AC，∴257 =.∴PB=PC﹣BC=47，在Rt△PMB中，∵PM2=PB2+MB2，AM=PM.∴AM2=(47)2+(4﹣AM)2.∴AM=100 49；(3)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，根据勾股定理得，AC=5，由折叠知，AE=PE，由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，∴AC＞PC，∴PC＜5，∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC=5，∴0≤CP≤5，如图，当点C，N，E重合时，PC=BC+BP=5，∴BP=2，由折叠知，PM=AM，在Rt△PBM中，PM=4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2=BP2，∴(4﹣BM)2﹣BM2=4，∴BM=32，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，=.当CP最大时，考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2020年上海市浦东新区中考数学一模试题(附详细解析)

9．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是___________．
10．如果二次函数的图像经过原点，那么的值是___________．
11．将抛物线向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为___________．
12．如果抛物线经过点和点，那么这条抛物线的对称轴是直线___________．
17．用“描点法”画二次函数的图像时，列出了如下的表格：
…
0
1
2
3
4
…
…
0
1
0
…
那么当时，该二次函数的值为___________．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D′、E′，当直线D′E′经过点A时，线段CD′的长为_____．
【详解】
解：∵y=x2-4x+5=（x-2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1），
故选：B.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物】
【分析】
根据对应线段成比例，两直线平行，可得答案.
【详解】
解：A、∵ ，∴DE∥BC，不符合题意；
B、由，不一定能推出DE∥BC，符合题意；
三、解答题
19．计算：
20．如图，在平行四边形中，点在边上，且，联结并延长交边的延长线于点，设，．
（1）用表示，；
（2）先化简，再求作：（不要求写作法，但要写明结论）
21．如图，在中，点分别在边、上，且．
（1）如果，求线段的长；
（2）设的面积为，求的面积（用的代数式表示）．

2020届上海市普陀区中考数学一模试卷(有答案)

上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（）A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BC C．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC2．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．123．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A．B．C．D．4．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）A．B．C．D．5．下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心6．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣﹣二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．8．计算：2（+）+（﹣）=．9．计算：sin245°+cot30°•tan60°=．10．已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB 的值等于．11．在函数①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y关于x的二次函数是．（填写序号）12．二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最点．（填：“高”或“低”）13．如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于．14．如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF的长是．15．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．16．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC 相似，那么AP的长等于．17．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是米．18．已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x 轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，点M是边BC的中点=，=（1）填空：=，=（结果用、表示）（2）直接在图中画出向量2+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）20．将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．21．如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O 的半径长和sin∠BAD的值．22．已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm （底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC=AB•DE．24．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．25．如图，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN的边BN上，点P在∠MBN内，PD=3，BD=9，直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设=x（1）求x=2时，点A到BN的距离；（2）设△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．如图，BD、CE相交于点A，下列条件中，能推得DE∥BC的条件是（）A．AE：EC=AD：DB B．AD：AB=DE：BC C．AD：DE=AB：BC D．BD：AB=AC：EC【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据比例式看看能不能推出△ABC∽△ADE即可．【解答】解：A、∵AE：EC=AD：DB，∴=，∴都减去1得：=，∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴∠D=∠B，∴DE∥BC，故本选项正确；B、根据AD：AB=DE：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；C、根据AD：DE=AB：BC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；D、根据BD：AB=AC：EC不能推出△ABC∽△ADE，即不能得出内错角相等，不能推出DE∥BC，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能理解平行线分线段成比例定理的内容是解此题的关键．2．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】由平行可知△ADE∽△ABC，且=，再利用三角形的面积比等于相似比的平方可求得△ABC的面积．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是AB的中点，∴=，∴=（）2=，且S△ADE=3，∴=，∴S△ABC=12，故选D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余角的性质，可得∠=∠BCD，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：A、在Rt△ABD中，cosA=，故A正确；B、在Rt△ABC中，cosA=，故B正确C、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=，故C错误；D、在Rt△BCD中，cosA=cos∠BCD=，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点情况分析判断即可得解．【解答】解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，D选项符合．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．5．下列命题中，正确的是（）A．圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B．三点确定一个圆C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D．弦的垂直平分线必经过圆心【考点】命题与定理．【分析】根据有关性质和定理分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；B、不在一条直线上的三点确定一个圆，错误；C、平分弦的直径不一定垂直于弦，错误；D、弦的垂直平分线必经过圆心，正确；故选D【点评】此题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断．6．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD的中点，如果=，=，那么向量关于、的分解式是（）A．﹣B．﹣+C．+D．﹣﹣【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后连接BD，由三角形法则，求得，又由点M、N分别是边BC、CD 的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得答案．【解答】解：如图，连接BD，∵在平行四边形ABCD中，=，=，∴=﹣=﹣，∵点M、N分别是边BC、CD的中点，∴MN∥BD，MN=BD，∴==（﹣）=﹣+．故选B．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形的中位线的性质．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例设x=2k，y=5k，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵=，∴设x=2k，y=5k，则===．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y可以使计算更加简便．8．计算：2（+）+（﹣）=3+．【考点】*平面向量．【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．【解答】解：2（+）+（﹣）=2+2+﹣=3+．故答案为：3+．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握去括号法则．9．计算：sin245°+cot30°•tan60°=．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=sin245°+cot30°•tan60°=（）2+×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10．已知点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），如果AP是AB和PB的比例中项，那么AP：AB 的值等于．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可．【解答】解：∵点P把线段分割成AP和PB两段（AP＞PB），AP是AB和PB的比例中项，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴AP：AB=，故答案为：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．11．在函数①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y关于x的二次函数是④．（填写序号）【考点】二次函数的定义．【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．【解答】解：①a=0时y=ax2+bx+c是一次函数，②y=（x﹣1）2﹣x2是一次函数；③y=5x2﹣不是整式，不是二次函数；④y=﹣x2+2是二次函数，故答案为：④．【点评】本题考查了二次函数，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零．12．二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．（填：“高”或“低”）【考点】二次函数的最值．【分析】直接利用二次函数的性质结合其开口方向得出答案．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3，a=1＞0，∴二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．故答案为：低．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，得出二次函数的开口方向是解题关键．13．如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于1．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），可知，从而可以得到m、n的值，进而可以得到m+n的值．【解答】解：∵抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），∴，解得m=﹣4，n=5，∴m+n=﹣4+5=1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的顶点坐标公式．14．如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF的长是2．【考点】三角形的重心．【分析】连接BD并延长交AC于H，根据重心的性质得到=，根据相似三角形的性质求出AC，根据平行四边形的判定和性质求出AF，计算即可．【解答】解：连接BD并延长交AC于H，∵点G为△ABC的重心，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴==，又DE=4，∴AC=6，∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF=DE=4，∴CF=AC﹣AF=2，故答案为：2．【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．15．半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．【解答】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE==，折痕CD的长为2×=（cm）．【点评】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．16．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在边AB、AC上，AC=4，BC=AQ=3，如果△APQ与△ABC 相似，那么AP的长等于或．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∠C=90°，∴AB==5，当△APQ∽△ABC时，=，即=，解得，AP=；当△APQ∽△ACB时，=，即，解得，AP=，故答案为：或．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．17．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45°的传送带AB，调整为坡度i=1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米．那么新传送带AC的长是8米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD=45°，∴AD=BD，∵AB=4，∴AD=BD=ABsin45°=4×=4，∵坡度i=1：，∴==，则DC=4，故AC==8（m）．故答案为：8．【点评】此题主要考查了勾股定理以及解直角三角形的应用等知识，正确得出DC，AD的长是解题关键．18．已知A（3，2）是平面直角坐标中的一点，点B是x轴负半轴上一动点，联结AB，并以AB为边在x 轴上方作矩形ABCD，且满足BC：AB=1：2，设点C的横坐标是a，如果用含a的代数式表示D点的坐标，那么D点的坐标是（2，）．【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．【分析】如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG于E，于是得到∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，根据余角的性质得到∠DAE=∠FAB，推出△BCH∽△ABF，根据相似三角形的性质得到，求得BH=AF=1，CH=BF=，通过△BCH≌△ADE，得到AE=BH=1，DE=CH=，求得EG=3﹣1=2，于是得到结论．【解答】解：如图，过C作CH⊥x轴于H，过A作AF⊥x轴于F，AG⊥y轴于G，过D作DE⊥AG于E，∴∠CHB=∠AFO=∠AED=90°，∴∠GAF=90°，∴∠DAE=∠FAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABF，∴△BCH∽△ABF，∴，∵A（3，2），∴AF=2，AG=3，∵点C的横坐标是a，∴OH=﹣a，∵BC：AB=1：2，∴BH=AF=1，CH=BF=，∵△BCH∽△ABF，∴∠HBC=∠DAE，在△BCH与△ADE中，，∴△BCH≌△ADE，∴AE=BH=1，DE=CH=，∴EG=3﹣1=2，∴D（2，）．故答案为：（2，）．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的画出图形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，点M是边BC的中点=，=（1）填空：=，=﹣﹣（结果用、表示）（2）直接在图中画出向量2+．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，可求得，然后由点M是边BC的中点，求得，再利用三角形法则求解即可求得；（2）首先过点A作AE∥CD，交BC于点E，易得四边形AECD是平行四边形，即可求得=2，即可知=2+．【解答】解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，=，∴=3=3，∵点M是边BC的中点，∴==；∴=﹣=﹣（+）=﹣﹣；故答案为：，﹣﹣；（2）过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴==，∴=﹣=2，∴=+=2+．【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．20．将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用二次函数平移的性质得出平移后解析式，进而利用x=0时求出新抛物线与y轴交点的坐标．【解答】解：由题意可得：y=（x+m）2+2，代入（﹣1，4），解得：m1=3，m2=﹣1（舍去），故新抛物线的解析式为：y=（x+3）2+2，当x=0时，y=，即与y轴交点坐标为：（0，）．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确利用二次函数平移的性质得出解析式是解题关键．21．如图，已知AD是⊙O的直径，AB、BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足是点E，BC=8，DE=2，求⊙O 的半径长和sin∠BAD的值．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】设⊙O的半径为r，根据垂径定理求出BE=CE=BC=4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得出r2=42+（r﹣2）2，求出r．求出AE，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，解直角三角形求出即可．【解答】解：设⊙O的半径为r，∵直径AD⊥BC，∴BE=CE=BC==4，∠AEB=90°，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB2=0E2+BE2，即r2=42+（r﹣2）2，解得：r=5，即⊙O的半径长为5，∴AE=5+3=8，∵在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB==4，∴sin∠BAD===．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形的应用，能根据垂径定理求出BE是解此题的关键．22．已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm （底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．【考点】相似三角形的应用．【分析】作AM⊥BC于M，交DG于N，设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得出方程组求出BC和AM，再由平行线得出△ADG∽△ABC，由相似三角形对应高的比等于相似比得出比例式，即可得出结果．【解答】解：作AM⊥BC于M，交DG于N，如图所示：设BC=acm，BC边上的高为hcm，DG=DE=xcm，根据题意得：，解得：，或（不合题意，舍去），∴BC=60cm，AM=h=40cm，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得：x=24，即加工成的正方形铁片DEFG的边长为24cm．【点评】本题考查了方程组的解法、相似三角形的运用；熟练掌握方程组的解法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC=AB•DE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到，等量代换得到，即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，∴∠BDE=∠ACE，∴△ACE∽△BDE；（2）∵△ACE∽△BDE，∴，∵∠E=∠E，∴△ECD∽△EAB，∴，∴，∴BE•DC=AB•DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值；（2）由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；（3）根据相似三角形的对应角相等进行解答．【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得，解得，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x+8．把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．综上所述，该二次函数解析式为y=x2﹣x+8，m的值是5；（2）由（1）知，点C的坐标为：（9，5），又由点A的坐标为（0，8），所以直线AC的解析式为：y=﹣x+8，令y=0，则0=﹣x+8，解得x=24，即OD=24，所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；（3）在△APQ与△MDQ中，∠AQP=∠MQD．要使△APQ与△MDQ相似，则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根据题意，这种情况不可能），∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．作BH⊥y轴于点H，在直角△PBH中，cot∠P==3，∴PH=18，OP=20，∴点P的坐标是（0，20）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．25．如图，已知锐角∠MBN的正切值等于3，△PBD中，∠BDP=90°，点D在∠MBN的边BN上，点P 在∠MBN内，PD=3，BD=9，直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线BM于点A，交射线DN于点C，设=x（1）求x=2时，点A到BN的距离；（2）设△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△ABC因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由PD∥AH得到=2，即可；（2）由PD∥AH得到，再由tan∠MBN=3，比例式表示出BC，CD，即可；（3）△ABC为等腰三角形时，分三种情况①AB=AC，②CB=CA，③BC=BA利用tan∠MBN=3，建立方程即可．【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC，∵PD⊥BC，∴PD∥AH，∴=2，∴AH=2PD=6，（2）∵PD∥AH，∴=x，∴AH=PD×x=3x，∵tan∠MBN=3，∴BH=3，∵，∴，∴CD=，∴BC=BD+CD=9+=，∴S△ABC=AH×BC=×3x×=，∴y=（1＜x≤9），（3）①当AB=AC时，∵tan∠PCB=tan∠MBC=3，∴=3，∴CD=1，∴BC=BD+CD=10，∴=10，∴x=5，②当CB=CA时，如图2，过点C作CE⊥AB，BE=AB=x，∵tan∠MBN=3，∴cos∠MBN=，∴=，∴，∴x=；③当BA=BC时，x=，∴x=1+，∴△ABC为等腰三角形时，x=5或或1+．【点评】此题是几何变换的综合题，主要考查平行线分线段成比例定理和锐角三角函数，由平行线分线段成比例定理建立方程是解本题的关键．。

2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷及答案解析

2020年上海市长宁区、金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A ．y =22B ．y ＝（x +3）2﹣x 2C ．y =√x 2+2x −1D ．y ＝x （x ﹣1） 2．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点A （2，3），那么OA 与x 轴正半轴y的夹角α的余切值是（）A ．32B ．23C ．3√1313D ．2√13133．（4分）将抛物线y ＝（x +1）2﹣3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A ．y ＝（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝（x +3）2﹣3C ．y ＝（x +1）2﹣1D ．y ＝（x +1）2﹣5 4．（4分）下列命题正确的是（）A ．如果|a →|＝|b →|，那么a →=b →B ．如果a →、b →都是单位向量，那么a →=b →C ．如果a →=k b →（k ≠0），那么a →∥b →D ．如果m ＝0或a →=0→，那么m a →=0 5．（4分）已知在矩形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝13．⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（）A ．⊙C 与直线AB 相交B ．⊙C 与直线AD 相切 C ．点A 在⊙C 上 D ．点D 在⊙C 内6．（4分）如果点D 、E ，F 分别在△ABC 的边AB 、BC ，AC 上，联结DE 、EF ，且DE ∥AC ，那么下列说法错误的是（）A ．如果EF ∥AB ，那么AF ：AC ＝BD ：ABB ．如果AD ：AB ＝CF ：AC ，那么EF ∥ABC ．如果△EFC ∽△ABC ，那么 EF ∥ABD ．如果EF ∥AB ，那么△EFC ∽△BDE 二、填空胞（本大剧共12题每题4分满分48分）【在答纸相应题号后的空格内宜接填写答案】7．（4分）计算：2（a →−2b →）+3（a →+b →）＝．8．（4分）如果x x−y =32，那么x y的值等于． 9．（4分）已知点P 在线段AB 上，且满足BP 2＝AB •AP ，则BP AB 的值等于．10．（4分）已知抛物线y ＝（1+a ）x 2的开口向上，则a 的取值范围是．11．（4分）抛物线y ＝2x 2﹣1在y 轴左侧的部分是．（填“上升”或“下降”）12．（4分）如果一条抛物线经过点A （2，5），B （﹣3，5），那么它的对称轴是直线．13．（4分）如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i ＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB 为米．14．（4分）如图，AC 与BE 交于点D ，∠A ＝∠E ＝90°，若点D 是线段AC 的中点，且AB ＝AC ＝10．则BE 的长等于．15．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 是重心，AC ＝4，tan ∠ABG =13，则BG 的长是．16．（4分）已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为．。

2020-2021学年上海浦东新区初三(上)中考一模数学试卷及答案

浦东新区2020学年度第一学期初三年级学业质量监测数学试卷 2021.1一、选择题1. A 、B 两地的实际距离AB =250米，如果画在地图上的距离=A B ''5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（） A . 1:500 B . 1:5000 C . 500:1 D . 5000:12. 已知在Rt ABC 中，∠C =90°，∠==αB AC ,2，那么AB 的长等于（）A.αsin 2B . α2sinC . αcos 2D . α2cos3. 下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（）A . =−+y k x 132)( B . =+xy 112C . =+−−y x x x 122)()(D . =−y x x 2724. 已知一个单位向量e ，设a b ,是非零向量，那么下列等式中正确的是（） A . =e a a B . =b e bC .=aa e 1D .=aba b 115. 如图，在ABC 中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果∠ACD =∠B ，DE //BC ，EF //CD ，下列结论不成立的是（）A . =⋅AE AF AD 2B . =⋅AC AD AB 2 C . =⋅AF AE AC 2D . =⋅AD AF AB 26. 已知点A （1,2）、B （2,3）、C （2,1），那么抛物线=++y ax bx 12可以经过的点是（）A . 点A 、B 、C B . 点A 、B C . 点A 、CD . 点B 、C二、填空题学习是一件很有意思的事7. 如果线段,a b 满足52a b =，那么a b b−的值等于____________ 8. 已知线段MN 的长为4，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长线段MP 的长是____________9. 计算：2sin 30tan 45︒−︒=____________10. 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是____________度11. 已知AD 、BE 是的中线，AD 、BE 相交于点F ，如果AD =3，那么AF =____________12. 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设,OA a OB b ==，那么向量AB 关于,a b 的分解式为____________13. 如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向____________（填“向上”或“向下”）14. 如果()()122,,3,y y 是抛物线()21y x =+上两点，那么1y ____________2y （填“>”或“<”）15. 如图，矩形DEFG 的边EF 在的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果DE =2DG ，那么DG =____________厘米16. 秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，AD AB ⊥，AD =0.4，过点D 作DE //AB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF CE ⊥交DE 于点F ，那么BF =____________17. 如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”. 现将抛物线()21:11C x −−向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为（3,3），那么新抛物线2C 的表达式为____________18. 如图，中，AB =10，BC =12，AC =8，点D 是边BC 上一点，且BD :CD =2:1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为____________三、解答题19. 已知向量关系式()132a xb x −=+，试用向量,a b 表示向量x20. 已知抛物线223y x x m =++−的顶点在第二象限，求m 的取值范围21. 如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线12,l l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，且AB =6，BC =8. （1）求DEDF的值；（2）当AD =5，CF =19时，求BE 的长.22. 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD ，现将一根木棒MN 放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N 与点C 重合，且经过点A ，已知燕尾角∠B =54.5°，外口宽AD =180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE =26.5°，求燕尾槽的里口宽BC （精确到1毫米）（参考数据：sin54.50.81,cos54.50.58,tan54.5 1.40︒≈︒≈︒≈，sin 26.50.45,cos26.50.89,tan 26.50.50︒≈︒≈︒≈）23. Rt ABC 中，∠ACB =90°，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD =CA ，DE AB ⊥. （1）求证：2CA CE CB =⋅；（2）联结AE ，取AE 的中点M ，联结CM 并延长与AB 交于点H ，求证：CH AB ⊥.24. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像经过点A （2,4），B （5,0）和O （0,0）.（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO ，过点B 作BC AO ⊥于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求∠BAP 的余切值；（3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点M 的坐标.25. 四边形ABCD 是菱形，90B ∠≤︒，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF AE ⊥，EF 与边 CD 交于点F ，且EC =3CF . （1）如图1，当∠B =90°时，求ABES与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cosB 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE =∠B 且CF =2时，求菱形的边长.参考答案一、选择题1. B2. A3. D4. A5. C6. C二、填空题7.328. 252− 9. 0 10. 36 11. 2 12. b a − 13. 向上 14. < 15. 15 16. 262517. ()251y x =−− 18. 2三、解答题 19. 1277x a b =−20. m >4 21.（1）37（2）1122. 380毫米23.（1）证明略（2）证明略24.（1）221033y x =−+ （2）2（3）()1232,4,2,2M M ⎛⎫− ⎪⎝⎭25.（1）94 （2）15（3）17百人驳相对论(信念)爱因斯坦的“相对论”发表以后，有人曾创造了一本《百人驳相对论》，网罗了一批所谓名流对这一理论进行声势浩大的反驳。

上海市徐汇区2020届中考数学一模试题有答案精析

2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+24．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如图所示：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，则斜边==13x，则cosα==．故选D．【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x ﹣1）2，抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的判定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b===6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进行解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，则顶点坐标是（2，﹣4a），则﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=（）2，∵=，∴=（）2，解得x=1或16（舍弃），∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D 的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则D的坐标是（2，﹣9）．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，则B的坐标是（5，0）；（2）过D作DA⊥y轴于点A．则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==， ==， =+．（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；（2）∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：（0，3），∵OB=OC，∴点B的坐标为：（3，0），∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，作DH⊥y轴于H，则CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；（3）﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：（﹣1，0），∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，则，解得，，则直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为（x，3x+3），则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，解得，x1=0（舍去），x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；（2）∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．。

海市长宁区2020年中考数学一模试卷含答案

上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题．（本题共6个小题，每题4分，共24分）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：12．如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（）A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：23．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）A．B．C．D．24．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形5．已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内含 C．内切 D．外切6．抛物线y=（x+2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移得到，下列平移方法中正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位二、填空题．（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．抛物线y=x2+1的顶点坐标是．8．已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，则实数b的值为．9．已知二次函数y=ax2+bx，阅读下面表格信息，由此可知y与x的函数关系式是．x ﹣1 1y 0 210．已知二次函数y=（x﹣3）2图象上的两点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系是a b．11．圆是轴对称图形，它的对称轴是．12．在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距OC=3cm，则该圆的半径为cm．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=2，那么sin∠ACD的值是．14．王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到B处，再从B处向正南方走20m到C处，此时遥控汽车离A处m．15．已知△ABC中，AD是中线，G是重心，设=，那么用表示=．16．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=．17．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是cm．18．如图，ABCD为正方形，E是BC边上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN．如果tan∠AEN=，DC+CE=10，那么△ANE的面积为．三、解答题．（本大题共7个小题，满分78分）19．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，如果=3﹣，求作并写出的模（不用写作法，只要所求作向量）．20．计算：tan230°﹣（cos75°﹣cot10°）0+2cos60°﹣2tan45°．21．已知△ABC中，∠CAB=60°，P为△ABC内一点且∠APB=∠APC=120°，求证：AP2=BP•CP．22．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．（1）求角C的正切值：（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．23．靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG及三根与水平地面PQ垂直的护栏支架CD、EF和GH（底端D、F、H 分别在每级台阶的中点处）．已知看台高为1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°．（参考数据：sin66.5°=0.92，cos66.5°=0.40，tan66.5°=2.30）（1）点D与点H的高度差是米：（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即AC+CG+CD+EF+GH的长度．（结果精确到0.1米）24．如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3，OD=5．（1）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；（2）求证：△ODE∽△OBC；（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，直接写出点G的坐标．25．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，sin∠B=，E点为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．上海市长宁区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题．（本题共6个小题，每题4分，共24分）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：1【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴（1：2）2=1：4．故选B．【点评】本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单．2．如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（）A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：2【考点】平行线分线段成比例．【分析】由在△ABC中，∠ADE=∠B，∠A是公共角，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC=2：3．故选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似图形中的对应关系．3．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）A．B．C．D．2【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，∴sinB==．故选A．【点评】本题考查了在三角形中角的正弦值等于对边比斜边的概念．4．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出三角形的形状．【解答】解：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°，则这个三角形一定是锐角三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．5．已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内含 C．内切 D．外切【考点】圆与圆的位置关系．【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．【解答】解：∵⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，4﹣3=1，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选：C．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，外离：P＞R+r；外切：P=R+r；相交：R﹣r＜P＜R+r；内切：P=R﹣r；内含：P＜R﹣r．6．抛物线y=（x+2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移得到，下列平移方法中正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】函数思想．【分析】因为函数y=x2的图象沿y轴向下平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数y=x2﹣1；然后再沿x轴向左平移2个单位长度，可得新函数y=（x+2）2﹣1．【解答】解：∵函数y=x2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度，得，y=（x+2）2；然后y轴向下平移1个单位长度，得，y=（x+2）2﹣1；故可以得到函数y=（x+2）2﹣1的图象．故选B．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．二、填空题．（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．抛物线y=x2+1的顶点坐标是（0，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】依据二次函数的顶点坐标公式求解即可．【解答】解：∵a=1，b=0，c=1．∴x=﹣=﹣=0．将x=0代入得到y=1．∴抛物线的顶点坐标为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的顶点坐标公式是解题的关键．8．已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，则实数b的值为﹣2．【考点】二次函数的性质．【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，∴对称轴x=﹣=1，解得：b=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx，阅读下面表格信息，由此可知y与x的函数关系式是y=x2+x．x ﹣1 1y 0 2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】把表中的两组对应值代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a和b 的值，从而得到y与x的函数关系式．【解答】解：把x=﹣1，y=0和x=1，y=2代入y=ax2+bx得，解得a=1，b=1，所以y与x的函数关系式为y=x2+x．故答案为y=x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．10．已知二次函数y=（x﹣3）2图象上的两点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系是a＜b．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】由二次函数的性质得x=3时函数值有最小值为0，于是可判断b＞a．【解答】解：∵x=3时，y=0，即a=0，而y=（x﹣3）2≥0，∴b＞0，∴a＜b．故答案为a＜b．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是确定A点为顶点．11．圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线/直径所在的直线．【考点】轴对称的性质；圆的认识．【分析】根据对称轴的概念，知圆的对称轴是过圆心的一条直线．【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线．【点评】注意：（1）对称轴应是直线．（2）圆有无数条对称轴．12．在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距OC=3cm，则该圆的半径为5cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先根据题意画出图形，然后根据垂径定理的性质，即可求得AC的长，再利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图：连接OA，∵OC是弦心距，∴OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4（cm），∴OA==5（cm）．∴该圆的半径为5cm．故答案为：5．【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=2，那么sin∠ACD的值是．【考点】圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到∠B=∠ACD，∠ACB=90°，由勾股定理得到AB==3，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，∴，∴∠B=∠ACD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3，∴sin∠ACD=sin∠B==，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形及垂径定理，属于基础题，关键是掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义．14．王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到B处，再从B处向正南方走20m到C处，此时遥控汽车离A处10m．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】首先根据题意画出图形，在Rt△ABD中，利用三角函数的知识即可求得AD与BD的长，继而求得CD的长，然后由勾股定理求得答案．【解答】解：如图所示：根据题意得：∠B=60°，AB=10m，BC=20m，∴在Rt△ABD中，AD=AB•sin60°=5（m），BD=AB•cos60°=5（m），∴CD=BC﹣BD=15（m）．∴在Rt△CDA中，AC==10（m）．故答案为：10．【点评】此题考查了方向角问题．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．15．已知△ABC中，AD是中线，G是重心，设=，那么用表示=．【考点】*平面向量．【分析】由△ABC中，AD是中线，G是重心，根据三角形重心的性质，可得=，继而求得答案．【解答】解：∵△ABC中，AD是中线，G是重心，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形重心的性质是解此题的关键．16．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= 4．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°∴∠A=∠ECD∴△ABC∽△CDE∴∴AB=4．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识．17．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是15﹣5cm．【考点】黄金分割．【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据长方形的周长公式列出算式求出x的值，再根据黄金分割的定义即可得出这个黄金矩形较短的边长．【解答】解：设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：2（x+x）=20，解得：x=5﹣5，则这个黄金矩形较短的边长是×（5﹣5）=（15﹣5）cm．故答案为：15﹣5．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．同时考查了矩形的周长公式．18．如图，ABCD为正方形，E是BC边上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN．如果tan∠AEN=，DC+CE=10，那么△ANE的面积为．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【分析】由翻折变换的性质得出∠AEN=∠EAN，然后先由tan∠AEN=，可得出BE=AB，然后DC+CE=10可知BE=2，从而得到AB=6，然后再Rt△ABE中，由勾股定理可求得BN的长，最后依据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEN=∠EAN．∵tan∠AEN=，∴tan∠BAE=．∴AB=3BE．∵EC+CD=10，∴6BE﹣BE=10．解得：BE=2．∴AB=6．∴=6．设AN=EN=x，则BN=6﹣x．在Rt△NBE中，由勾股定理可知：BE2+BN2=NE2，即（6﹣x）2=x2+22．解得：x=．∴BN=．∴=．∴S△ANE=S△ABE﹣S△BNE=6﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．三、解答题．（本大题共7个小题，满分78分）19．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，如果=3﹣，求作并写出的模（不用写作法，只要所求作向量）．【考点】*平面向量．【分析】首先作=，=3，则为所求；然后利用模的定义，求得的模．【解答】解：如图，=，=3，则=﹣=3﹣，∴=；即为所求；∴||==．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握模的定义与向量的作法．20．计算：tan230°﹣（cos75°﹣cot10°）0+2cos60°﹣2tan45°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（）2﹣1+2×﹣2×1=﹣1+1﹣2=﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．21．已知△ABC中，∠CAB=60°，P为△ABC内一点且∠APB=∠APC=120°，求证：AP2=BP•CP．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据三角形的内角和得到∠CAP+∠ACP=60°，求得∠ACP=60°﹣∠CAP，由∠BAP=60°﹣∠CAP，得到∠BAP=∠ACP，证得△ABP∽△ACP，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵∠APB=∠APC=120°，∴∠CAP+∠ACP=60°，∴∠ACP=60°﹣∠CAP，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=60°﹣∠CAP，∴∠BAP=∠ACP，∴△ABP∽△ACP，∴，∴AP2=BP•CP．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练正确相似三角形的判定定理是解题的关键．22．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．（1）求角C的正切值：（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．【考点】切线的性质．【分析】（1）根据CD切⊙O于点D，得出CD⊥OD，再根据AB=2CA，求出∠C=30°，即可得出答案；（2）连接AD，证得△DAO是等边三角形，求出DA=r=2，再根据勾股定理可求得BD的长．【解答】解：（1）∵CD切⊙O于点D，∴CD⊥OD，又∵AB=2AC，∴OD=AO=AC=CO∴∠C=30°∴tan∠C=；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠DOA=90°﹣30°=60°，又∵OD=OA，∴△DAO是等边三角形．∴DA=r=2，∴DB==2．【点评】此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，得出直角三角形．23．靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG及三根与水平地面PQ垂直的护栏支架CD、EF和GH（底端D、F、H 分别在每级台阶的中点处）．已知看台高为1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°．（参考数据：sin66.5°=0.92，cos66.5°=0.40，tan66.5°=2.30）（1）点D与点H的高度差是0.8米：（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即AC+CG+CD+EF+GH的长度．（结果精确到0.1米）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）已知看台由四个台阶组成，由图可看出DH由三个台阶组成，看台的总高度已知，则点D与点H的高度差不难求得；（2）连接DG，证得DG∥PQ，得出△CDG是直角三角形，根据正弦函数和正切函数求得CG=2，DG=1.84，进一步求得AC=1，84÷4=0.46m，EF=0.8，即可求得制作护栏扶手和支架的钢管总长度．【解答】解：（1）∵看台高为1.2米，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，∴两级台阶高度为0.8米，∴点D与点H的高度差是0.8米，故答案为0.8；（2）连接DG，∵点D与点H的高度差是0.8米，GH=0.8m，∴DG∥PQ，∴∠CDG=90°，∴cos∠DCG=，tan∠DCG=，∴CG===2（m），DG=tan66.5°×0.8=2.3×0.8=1.84（m），∴AC=1，84÷4=0.46（m），∵CE=EG，∴ER=CD=0.4m，∵RF=0.4m，∴EF=0.8m，∴AC+CG+CD+EF+GH=0.46+2+0.8×3=4.9（m）．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，难度一般，主要要求学生能将实际问题转化为数学模型，然后利用解直角三角形的知识进行解答．24．如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3，OD=5．（1）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；（2）求证：△ODE∽△OBC；（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，直接写出点G的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据矩形的性质，可得BG与OC的关系，OG与BC的关系，根据勾股定理，可得BG的长，可得B，C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据勾股定理，可得OB的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；（3）根据相似三角形的性质，可得EH，OH的长，根据待定系数法，可得DE的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据相似三角形的性质，可得OG的长，可得G点坐标．【解答】解：（1）如图1，作BG⊥OA于G点，四边形OCBG是矩形，BG=OC，OG=BC=3．AG=OA﹣OG=6﹣3=3．由勾股定理，得BG===6．OC=BG=6，即C（0，6）；BC=3，BG=6，即B（3，6）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C点坐标代入函数解析式，得，解得抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6；（2）证明：由勾股定理，得OB===3．由OE=2OB，得OE=OB=2．由比的性质，得==，且∠DOE=∠BOC，∴△ODE∽△OBC．（3）如图2，作EH⊥OG于G点，==，EH=×6=4，==，OH=×3=2，即E（2，4），D（0，5），设DE的解析式为y=kx+b，将D，E点坐标代入，得，解得．DE的解析式为y=﹣x+5，当y=0时，x=10，即F（10，0）．OF=10．由△ODE∽△OBC，得∠OED=90°．由勾股定理，得DE===．由△OFG∽△ODE，得=，即OG===20，点G的坐标为（0，20）、（0，﹣20）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定：两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；利用相似三角形的性质得出=是解题关键．25．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，sin∠B=，E点为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用平行四边形的性质和相似三角形的判定即可解决问题．（2）设BE=x，易证△BEF∽△BAM，根据相似三角形的性质可得BF=x，EF=x．易证△CEG∽△BAM，根据相似三角形的性质可得CG=6﹣x，EG=8﹣x，从而可得C△BEF+C△CEG=24．（3）由（2）得：EF=x，DG=11﹣x，就可求出y和x之间的函数关系式．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，即BF∥CG，∴△BEF∽△CEG．当△ABE恰为直角三角形时，如图1：∴BF：CG=BE：EC=3：7，当△ABE恰为直角三角形时，如图2：∴BF：CG=BE：EC=5；（2）△BEF和△CEG的周长之和等于24，是常数．如图3：理由：设BE=x，∵AM⊥BC，AB=5，AM=4，∴BM==3．∵AM⊥BC，EF⊥AB，∴∠AMB=∠EFB=90°．∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BAM，∴，∴，∴BF=x，EF=x．∵△BEF∽△CEG，△BEF∽△BAM，∴△CEG∽△BAM，∴，∴，∴CG=6﹣x，EG=8﹣x，∴C△BEF+C△CEG=x+x+x+6﹣x+8﹣x+10﹣x=24．（3）由（2）得：EF=x，FG=DG=DC+CG=5+6﹣x=11﹣x，∴y=EF•DG=×x•（11﹣x）=﹣x2+x（0＜x＜10）．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键．。

2020年上海市金山区中考数学一模试卷(含答案解析)

2020年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知a：b=2：3，那么下列等式中成立的是()A. 3a=2bB. 2a=3bC. a+bb =52D. a−bb=132.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sin B的值等于()A. 43B. 34C. 45D. 353.把抛物线y=x2的图象平移后得到y=(x+2)2−3的图象，则下列平移过程正确的是()A. 向左移2个单位，下移3个单位B. 向右移2个单位，上移3个单位C. 向右移2个单位，下移3个单位D. 向左移2个单位，上移3个单位4.如图，在下列给出的条件下，不能判定AB//DF的是()A. ∠A+∠2=180°B. ∠A=∠3C. ∠1=∠4D. ∠1=∠A5.现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的ab的值为()A. 32B. 23C. 35D. 536.已知△ABC，AC=3，CB=4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是()A. r>3B. r≥4C. 3<r≤4D. 3≤r≤4二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）b⃗ )−2(a⃗−b⃗ )=______．7.化简：3(a⃗+128.计算：3tan30°+sin45°=______．9.如果两个相似三角形的面积比为9：16，那么这两个三角形对应边上的高之比为______．=______ ．10.已知：tanx=2，则sinx+2cosx2sinx−cosx11.某坡面的坡度为i=1：√3，则坡角为____．12.如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP//DF，且与AD相交于点P，CD=10，AD=8，PD=2，则BE=______ ．13.抛物线y=x2–6x+5的顶点坐标为__________．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为(2,4)，若点(−2,m)，(3,n)在抛物线上，则m______n(填“>”、“=”或“<”)．15.如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB的长为10，sin∠BOD=4，则AB的长为______．516.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于_______°．17.已知两个圆相切，圆心距为8cm，其中一个圆的半径为12cm，则另一个圆的半径为______ ．18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5.E为CD边上一点，将矩形沿直线BE折叠，使点C落在BD边上C′处．则DE的长______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：2sin45°+tan60°+2cos30°−√12．20. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是对角线BD 上的两点，且BE =DF ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ． (1)用向量a ⃗ 、b ⃗ 、c⃗ 表示下列向量：向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______，向量DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______； (2)求作：b ⃗ +c ⃗ ．21. 如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为D ，OD =4，AD =1.求BC 和AB 的长．22.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在点A处测得∠BAD=37°，沿AD方向前进150米到达点C，测得∠BCD=45°.求小岛B到河边公路AD的距离．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)23.如图，已知CD为△ABC的高，AC·CD=BC·AD.求证：∠ACB=90°．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．(1)如图，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(2)在(1)的条件下，当BC=CE时，求BC的长；(3)当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．【答案与解析】1.答案：A解析：本题主要考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．是比较基础的题目．根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积解答即可．解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，∴3a=2b；A.3a=2b；故本选项正确；B.2a=3b；故本选项错误；C.由a+bb =52得，2a+2b=5b，即2a=3b；故本选项错误；D.由a−bb =13得，3a−3b=b，即3a=4b；故本选项错误；故选：A．2.答案：C解析：解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=5．sinB=ACAB =45，故选：C．根据勾股定理，可得AB的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.答案：A解析：主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．用平移规律“左加右减，上加下减”进行解答即可．解：把抛物线y=x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到y=(x+2)2−3的图象，故选A．4.答案：D解析：本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．解：A、∵∠A+∠2=180°，∴AB//DF，故本选项不符合题意；B、∵∠A=∠3，∴AB//DF，故本选项不符合题意；C、∵∠1=∠4，∴AB//DF，故本选项不符合题意；D、∵∠1=∠A，∴AC//DE，故本选项符合题意．故选：D．5.答案：D解析：解：∵ED//BC∴△ABC∽△AED，∴ab =ADAC=53．故选D．根据题意画出图形，易得△ABC∽△AED，利用相似三角形的对应边成比例，解答即可．本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．6.答案：C解析：解：当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，即：r>3；点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r≤4；即3<r≤4．故选：C．由于AC=3，CB=4，当以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内时，那么点A在圆内，而点B不在圆内．当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径的取值范围．本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．7.答案：a⃗+72b⃗解析：解：3(a⃗+12b⃗ )−2(a⃗−b⃗ )=3a⃗+32b⃗ −2a⃗+2b⃗ =(3−2)a⃗+(32+2)b⃗ =a⃗+72b⃗ ．故答案是：a⃗+72b⃗ ．平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．8.答案：√3+√22解析：此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接将已知三角函数值代入求出答案．解：原式=3×√33+√22=√3+√22．故答案为√3+√22．9.答案：3：4解析：本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方、相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可．解：∵两个相似三角形的面积比为9：16，∴两个相似三角形的相似比为3：4，∴这两个三角形对应边上的高之比为3：4，故答案为：3：4．10.答案：43解析：解：分子分母同时除以cos x，原分式可化为：tanx+22tanx−1，当tanx=2时，原式=2+22×2−1=43．故答案为：43．分式中分子分母同时除以cos x，可得出关于tan x的分式，代入tan x的值即可得出答案．此题考查了同角三角函数的知识，解答本题的关键是掌握tanx=sinxcosx这一变换，有一定的技巧性．11.答案：30°解析：解：∵坡面的坡度为i=1：√3，设坡角为α，则tanα=√3=√33，∴坡角为：30°．故答案为：30°．直接利用坡角的定义进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形，正确把握坡角的定义是解题关键．12.答案：103解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，AD//BC，∵BP//DF，∴四边形BFDP是平行四边形，∴BF=PD=2，∴CF=6，∵BE//CD，∴△CDF∽△BEF，∴CDBE =CFBF，即10BE=62，∴BE=103，故答案为：103．根据平行四边形的性质定理和相似三角形判定和性质即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．13.答案：(3,−4)解析：[分析]利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标．[详解]∵y=x2−6x+5=(x−3)2−4，∴抛物线顶点坐标为(3,−4)．故答案为：(3,−4)．[点睛]此题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标可以先配方化为顶点式，也可以利用顶点坐标公式(−b2a ,4ac−b24a)来找抛物线的顶点坐标．14.答案：>解析：解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为(2,4)，∴该抛物线的开口向上，当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大，∵点(−2,m)，(3,n)在抛物线上，2−(−2)=4，由对称性可知点(6,m)在抛物线上，6>3>2，∴m>n，故答案为：>．根据二次函数的性质和二次函数的图象具有对称性可以判断m、n的大小，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15.答案：16解析：解：如图，连接OB，∵sin∠BOD=45，∴BDOB =45，∵BO=10，∴BD=8，∴AB=2DB=16，故答案是：16．首先根据三角函数sin∠BOD=45算出BD的长，再根据平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦可得到AB的长．此题主要考查了垂径定理的应用，关键是利用锐角三角函数的定义求得BD的长度．16.答案：72解析：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180°，外角和等于360°.首先设此正多边形为n边形，根据题意得：(n−2)⋅180°=540°，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．解：设此正多边形为n边形，根据题意得：(n−2)⋅180°=540°，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷5=72°．故答案为72．17.答案：4cm或20cm解析：解：两圆相切时，有两种情况：内切和外切，但12>8，故不可能外切，内切时，当12是大圆的半径，另一圆的半径=12−8=4cm，当12是小圆的半径，另一圆的半径为12+8=20cm．故答案为4cm或20cm．两圆相切，有两种可能：外切，内切；根据外切和内切时，两圆半径与圆心距的数量关系，分别求解．本题考查了圆与圆的位置关系，注意：两圆相切，可能内切，也可能外切．18.答案：34−5√343解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，BC=AD=5，∴BD=√BC2+CD2=√32+52=√34，∵△BEC′是由△BEC翻折，∴BC=BC′=5，EC=EC′，设DE=x，则EC=EC′=3−x，在Rt△EDC′中，∵DE2=EC′2+DC′2，∴(√34−5)2+(3−x)2=x2，∴x=34−5√343．故答案为34−5√343．先利用勾股定理求出线段BD，设DE=x，则EC=EC′=3−x，在Rt△EDC′中，由DE2=EC′2+DC′2列出方程即可解决．本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是利用翻折不变性，学会转化的思想，把问题转化为方程解决，是由中考常考题型．19.答案：解：原式=2×√22+√3+2×√32−2√3=√2．解析：直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 20.答案：(1)−c ⃗ a ⃗ −b ⃗ a⃗ −c ⃗ (2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求；解析：解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，AD =BC ， ∴∠ADF =∠CBE ， ∵DF =BE ， ∴△ADF≌△CBE ，∴∠AFD =∠CEB ，AF =CE ， ∴∠AFB =∠CED ， ∴AF//CE ，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−c ⃗ ， BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ，故答案为−c ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ ，a ⃗ −c ⃗ ．(2)见答案．(1)根据平面向量的加法法则计算即可；(2)延长EC 到K ，使得CK =EC ，连接BK ，则向量BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求；本题考查平行四边形的性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.答案：解：连接OB ，∵OD=4，AD=1，∴OB=OA=5，∵OA⊥BC，∴∠BDO=90°，BD=12BC，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即52=42+BD2，解得BD=3，则BC=2BD=6在Rt△ABD中，AB=√BD2+AD2=√32+12=√10．解析：【试题解析】本题主要考查了垂径定理，连接OB，先根据垂径定理可得∠BDO=90°和BD=12BC，再根据勾股定理求出BD的长，则可得BC= 2BD=6，再在Rt△ABD中求出AB的长．22.答案：解：过B作BE⊥CD垂足为E，设BE=x米，在Rt△ABE中，tanA=BEAE，AE=BEtanA =BEtan37∘=43x，在Rt△ABE中，tan∠BCD=BECE，CE=BEtan∠BCD =xtan45∘=x，AC=AE−CE，43x−x=150，x =450．答：小岛B 到河边公路AD 的距离为450米．解析：过B 作BE ⊥CD 垂足为E ，设BE =x 米，再利用锐角三角函数关系得出AE =43x ，CE =x ，根据AC =AE −CE ，得到关于x 的方程，即可得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．23.答案：解：∵AC ·CD =BC ·AD ，∴ACBC =ADCD ， ∵CD 为△ABC 的高， ∴∠ADC =∠CDB =90°， ∴Rt △ACD∽Rt △CBD ， ∴∠ACD =∠B ，又∵∠DCB +∠B =90°， ∴∠DCB +∠ACD =90°，即∠ACB =90°．解析：本题考查相似三角形的判定和性质.先由AC ·CD =BC ·AD ，得出ACBC =ADCD ，得出Rt △ACD∽Rt △CBD ，进而即可证出结论．24.答案：解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中，得{−1−b +c =0−9+3b +c =0，解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)， ∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)，由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入，得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2，联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．解析：本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．(1)将点A，B坐标代入抛物线y=−x2+bx+c即可；(2)如图1，过点A作AH⊥BC于H，分别证△OBC和△AHB是等腰直角三角形，可求出CH，AH的长，可在Rt△AHC中，直接求出∠ACB的正切值；(3)此问需分类讨论，当∠PAB=∠ACB时，过点P作PM⊥x轴于点M，设P(a,−a2+2a+3)，由同角的三角函数值相等可求出a的值，由对称性可求出第二种情况．25.答案：解：(1)过O作OF⊥BD于F，如图(1)则BF=CF=BC2=x2∴DF=y+x2在Rt△BFO中，∵tan∠OBM=2∴OFBF=2即OF=x∵OF⊥BD，AB⊥BM∴OF//AB ∴△OFD∽△ABD∴OFAB=DFDB,即x5=y+x2x+y∴y=2x2−5x(5<x<5)(2)在Rt△BFO中，OB=√x2+(x2)2=√52x∵BC=CE，OB=OC=OE，∴△BOC和△OCD为全等的等腰三角形，∴∠OCB=∠OEC，∴∠OCD=∠CED，∵∠CED=∠ODC，∴△DEC∽△DCO，∴CEOC=CDOD,即√5x2=yOD∴OD=√52y，在Rt△OFD中，∵OF2+FD2=OD2∴x2+(y+12x)2=(√52y)2解得y=5x或y=−x(舍去)，∴2x2−5x10−2x=5x，解得x1=0(舍去)，x2=5512∴BC的长为5512．(3)当OA=OB时，点A在圆O上，如图(2)，则AC为直径，点D与点C重合，OF=12AB即x=52∴tan∠ADB=552=2当AO=AB=5，如图(3)，作OH⊥AB于H，则四边形OFBH为矩形，∴OH=BF=12x，BH=OF=x在Rt△OHA中，∵AH2+OH2=OA2∴(x−5)2+(12x)2=52，解得x1=0(舍)，x2=8∴tan∠AOH=AH=8−5=3∵OH//BD，∴∠ADB=∠AOH ∴tan∠ADB=34．解析：本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，正切的定义，三角形的勾股定理．(1)利用垂径定理得到BF=CF=BC2=x2，再利用正切的定义得到OF=x，然后得△OFD∽△ABD利用相似比即可求得．(2)利用勾股定理计算出OB，再证明△DEC∽△DCO，利用相似比可得OD=√52y，根据勾股定理列方程即可求得．(3)分类讨论，当OA=OB时利用圆周角的AC为直径，即可求得；当AO=AB=5，得矩形利用勾股定理列方程即可求得．。

2020年上海市静安区初三中考一模数学试卷及答案 Word含解析

2020年上海市静安区初三一模数学试卷一、选择题1、已知a =b =ab 的值为（）A. B.C.x y -D.x y +2、已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为（）A.3:2B.3:5C.5:2D.5:33、在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:4:5AD DB =，下列结论中正确的是（）A.45DE BC = B.94BC DE = C.45AE AC = D.54EC AC = 4、在Rt ABC 中90C ∠=，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别是,,a b c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为（）A.13B.3 5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（）A.DC a b =+B.DC a b =-C.DC a b =-+D.DC a b =--6、如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是（） A.向右平移4个单位，向上平移11个单位 B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题7、因式分解：25x x -= .8、已知()f x =()3f = .9、方程1112x x -=+的根是 . 10、已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- . 11、在ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = . 12、如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么两个三角形的面积比是 .13、如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为米。

（结果保留根号）14、某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x （0x >），六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是 . 15、矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 .16、已知二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，0a ≠），当自变量x 分别取6-，4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y 2y （填“>”、“<”、“=”）.17、平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”.在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC= . 18、如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 .三、解答题19、先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =，cos 60y =.20、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，20AC =，3sin 5A =，CD AB ⊥，垂足为D . （1）求BD 的长；（2）设AC a =，BC b =，用a 、b 表示AD21、已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx =++（b 为常数）的对称轴是直线1x =. （1）求该抛物线的表达式；（2）点()8,A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为'A ，求点'A 的坐标. （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线.22、如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22方向上. （1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由.（sin 220.375≈，cos 220.927≈，tan 220.404≈ 1.732≈.）23、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =⋅.（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ⋅=⋅，求证：ABEACD .24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图像经过点()0,3A -、()1,0B 、()3,0C ，联结AB 、AC . （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABDBCDSS=，求tan DBC ∠的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标.25、已知，如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =⋅，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G .（1）找出图中与ACD 相似的三角形，并说明理由；（2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图，当90BAC ∠=，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值.参考答案1-6、CDBACD7、()5x x - 8 9、3x = 10、3411、412、16:25 13、 14、()22001y x =+ 15、240 16、> 17、23 18、1719、原式2x yx y+=+=20、（1）9；（2）16162525AD a b =-； 21、（1）221y x x =-+；（2）()'6,49A -；（3）略 22、（1）167.79m ；（2）能 23、略24、（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）72,3⎛⎫- ⎪⎝⎭25、（1）ACD EBA EAD ；（2（3）24+。

2020年上海市静安区中考数学一模试题有答案精析

2020年上海市静安区中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共24分）1．a（a＞0）等于（）A． B．﹣C． D．﹣2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣43．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）A．= B．= C．= D．=4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）A．α=30°B．α=45°C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）二．填空题（每个小题4分，共48分）7．16的平方根是．8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为．9．方程+=1的根为．10．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为．11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是．12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为．13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF 的面积比为．14．在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为．15．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=，=，那么=（用，的式子表示）16．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于．18．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为．三、解答题（共78分）19．计算：．20．解方程组：．21．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）23．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE （1）求证：DE•AB=AC•BE；（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC 的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．（1）求证：BC2=CD•BE；（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．2020年上海市静安区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共24分）1．a（a＞0）等于（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】分数指数幂；负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案．【解答】解：a===，故选：C．2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【考点】实数范围内分解因式．【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（）A．= B．= C．= D．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可【解答】解：只有选项D正确，理由是：∵AD=2，BD=4，=，∴==，∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，故选D．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得cosA=，AC=AB•cosA=m•cosα，故选：B．5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）A．α=30°B．α=45°C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．【解答】解：由＜＜，得30°＜α＜45°，故选：C．6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点A′的坐标．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a （x﹣1）2，∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4），故选：A．二．填空题（每个小题4分，共48分）7．16的平方根是±4．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为x＞﹣2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x+2＞0，解得，x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．9．方程+=1的根为x=2．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x﹣5+2x+2=x2﹣1，整理得：x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，解得：x=1或x=2，经检验x=1是增根，分式方程的解为x=2，故答案为：x=210．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为m＜2．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据一次函数的性质，一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么图象一定与y轴的负半轴有交点，即可解答．【解答】解：∵一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，∴图象一定与y轴的负半轴有交点，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故答案为：m＜2．11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是（4，﹣6）．【考点】二次函数的性质．【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标．【解答】解：∵y=2x2﹣8x+10=2（x﹣4）2﹣6，∴顶点坐标为（4，﹣6），故答案为：（4，﹣6）．12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为3．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【解答】解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得m=3，故答案为：3．13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF 的面积比为1：16．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的面积比=（）2=1：16．故答案为：1：16．14．在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为2．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；解直角三角形．【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离．【解答】解：∵AB=AC=10，∴△ABC是等腰三角形∴三角形的重心G在BC边的高∵cosB=，∴在BC边的高=6，根据三角形的重心性质∴G到BC的距离是2．故答案为：215．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=，=，那么=﹣（用，的式子表示）【考点】*平面向量；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得BC∥AD、BC=AD=2EC，再证△ADF∽△CEF得=，根据==﹣=﹣（）可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC的中点，∴BC∥AD，BC=AD=2EC，∴△ADF∽△CEF，，∴==2，则=，∴==﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣，故答案为：﹣．16．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得出结论．【解答】解：如图，∵△ADE∽△ABC，∴==，即==，解得DE=，AE=，∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3++=；故答案为：．17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于3：2．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE∥BC，推出∠EDC=∠BCD，=，由△BDC∽△CED，推出===，由此即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，=∵∠BDC=∠DEC，∴△BDC∽△CED，∴===，∴=．故答案为3：2．18．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为13．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据直角三角形的性质求出CD，得到∠DCB=∠B，根据垂直的定义、等量代换得到∠OEC=∠B，根据正切的定义、勾股定理计算即可．【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，∴DC=DB=AB=12，∴∠DCB=∠B，由题意得，EF是CD的垂直平分线，∴∠OEC+∠OCE=90°，又∠DCB+∠OCE=90°，∴∠OEC=∠B，设CF=2x，则CE=3x，由勾股定理得，EF=x，×2x×3x=×x×6，解得，x=，∴EF=×=13，故答案为：13．三、解答题（共78分）19．计算：．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式===．20．解方程组：．【考点】高次方程．【分析】由②得出x﹣3y=±2，由①得出x（x﹣y+2）=0，组成四个方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：由②得：（x﹣3y）2=4，x﹣3y=±2，由①得：x（x﹣y+2）=0，x=0，x﹣y+2=0，原方程组可以化为：，，，，解得，原方程组的解为：，，，．21．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB==得AF=3，即可知EF，从而得出答案；（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，将点A（2，4）代入，得：k=8，∴反比例函数的解析式y=；（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，∵cot∠ACB==，∴AF=3，∴EF=1，∴点C的坐标为（0，1）；（3）当y=1时，由1=可得x=8，∴点B的坐标为（1，8），∴BF=BC﹣CF=6，∴AB==3，∴cos∠ABC===．22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°，于是得到结论．【解答】解：（1）∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠AO′B=115°，∴∠AO′C=65°，∵cos∠CO′A=，∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5（cm）；（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵∠AOB=115°，∴∠BOD=65°，∵sin∠BOD=，∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm；（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，∴∠FEA=∠BOA=115°，∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度．23．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE （1）求证：DE•AB=AC•BE；（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，证△ABC∽△EBD得，即可得证；（2）先根据AC2=AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B，再由证△BAE∽△BCD 得∠BAE=∠BCD，根据∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE，即可得证．【解答】证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，∴，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△EBD，∴，∴DE•AB=AC•BE；（2）∵AC2=AD•AB，∴，∵∠DAC=∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴∠ACD=∠B，∵，∠B=∠B，∴△BAE∽△BCD，∴∠BAE=∠BCD，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．（1）求证：△BDE∽△CAE；（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根据相似三角形的性质定理得到=，根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）设AC=m，根据正切的定义得到DC=3m，根据相似三角形的性质得到∠DBA=∠DCA=90°，根据勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系数法求出抛物线的解析式．【解答】（1）证明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，∴△BEC∽△DEA，∴=，又∠BED=∠CEA，∴△BDE∽△CAE；（2）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B，∴点B的坐标为（0，4），即OB=4，∵tan∠DAC=3，∴=3，设AC=m，则DC=3m，OA=m+2，则点A的坐标为（m+2，0），点D的坐标为（2，3m），∵△BDE∽△CAE，∴∠DBA=∠DCA=90°，∴BD2+BC2=AD2，即22+（3m﹣4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，解得，m=2，则点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，6），∴，解得，，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC 的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．（1）求证：BC2=CD•BE；（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）只要证明△DAC∽△CEB，得到=，再根据题意AC=BC，即可证明．（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．由△CEB∽△DAC，得=，由此即可解决问题．（3）首先证明四边形ABCD是等腰梯形，再证明△ABG≌△DCH，推出CH=BG=2，推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（2）中即可即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，∴∠ACD=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，∴△DAC∽△CEB，∴=，∴BC•AC=CD•BE，∵AC=BC，∴BC2=CD•BF．（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．在Rt△CBF中，BF=BC•cos∠ABC=9×=3，∴AB=6，在Rt△ABG中，BG=AB•cos∠ABC=6×=2，∵AD∥BC，DH=AG，∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，∵AG∥DH，∴GH=AD=x，∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x，∴CD===，∵△CEB∽△DAC，∴=，∴=，∴y=，∴y=（x＞0且x≠9）．（3）∵△DBC∽△DEB，∠CDB=∠BDE，∠CBD＜∠DBC，∴∠DBC=∠DEB=∠ACB，∴OB=OC，∵AD∥BC，∴=，∴AC=BD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，∵∠AGB=∠DHC=90°，∴△ABG≌△DCH，∴CH=BG=2，∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5．∴CE=y=．2020年2月12日。

2020年上海市杨浦区初三中考一模数学试卷及答案 Word含解析

2020年上海市杨浦区初三一模数学试卷2019.12（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是A ．21y x =+（）；B ．21y x =-（）； C ．21y x =+；D ．21y x =-.2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3cos 4A =，那么AB 的长是 A ．52；B ．83；C ．103； D ．273． 3．已知a r 、b r 和c r都是非零向量，下列结论中不能判定//a b r r 的是A ．////a c b c r u u r r r，；B ．12a c =r r，2b c =r r ；C ．2a b =r r；D ．a b =r r .4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是236042y x x x =-+≤≤（），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot 3α=，那么锐角α= ▲ 度．8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9．二次函数2251y x x =+-的图像与y 轴的交点坐标为 ▲ ．10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）为抛物线22y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么 ▲ ． AD BCE PF H第6题图第4题图（填“>”、“<”或“=”）11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP=⋅ 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M 、N ，那么AMNABCS S ∆∆14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4tan 3A =，那么CD = ▲ ．17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：x (3)-2- 1-1… y…4-1-1-4-…（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ . 20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD=7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB ABC第15题图31°第16题图第14题图交边BC 于点F .（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，联结AF ，请用向量a r 、b r 表示向量AF u u u r．21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º，3sin 5B =，延长边BA 至点D ，使AD =AC ，联结CD . （1）求∠D 的正切值；（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CFFD的值． 22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.（1）求证：AC BDAB AD =；（2）求证：22AC AE AD =⋅.24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．第21题图ABCD第23题图A BCDE30º 45º 第22题图A B C DFEM（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形，求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30︒．（1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C第24题图 A BC DPQ第25题图备用图A BCD二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．8．1； 9．0（，-1）；10．320； 1213 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，， ∴01 4.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分）（2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分）同理GF =7. ······················································································· （1分）又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分）∵EF //AB ， ∴EG DEAH DA=. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·························································· （1分）（2）3345a b →→+ ··················································································· （4分）21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3=5AC AB . ·········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ∆=⋅=⋅，∴125AC BC CH k AB ⋅==. ··············· （1分） ∴9=5AH k . ················································································ （1分）∵AD=AC ，∴DH =924355k k k +=. ················································· （1分）在Rt △CDH 中，1215tan =2425kCH CDH DH k ∠==. ··································· （1分）（2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.∵AH//CD ，∴AH AECF EC=. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴AH ABDF BD=. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴58AB BD =.∴58AH DF =. ·············································· （1分） ∴58CF DF =. ······················································································· （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5.设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MCMBC BC∠=得BC =x . ················· （2分）又Rt △ACM 中，由cot ACMAC MC ∠=得AC =. ···································· （2分）∴40x -=. ············································································· （2分）∴x =20. ··············································································· （1分）∴MF =MC+CF =56.1≈米. ····················································· （2分）答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分）又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）∴AC CEAB AD=. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BDAB AD=. ······································· （1分）（2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）∴AC CDBC AC=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AEAD BD=. ················································ （1分）又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分） ∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）24．解：（1）抛物线对称轴212mx m-=-=... ................................................................. （1分）∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）∴12m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分）（3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH ∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H.在Rt BPH ∆中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴32BH PH =，................................. （2分）在Rt PCH ∆中，35422CH PC =-==，................................... （1分）（2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，12BH x PH =，. ∴在Rt PCH ∆中，142CH x PC =-==，........... （1分）设PC 与对角线BD 交于点G .∵AB//CD ，∴4BP PG BG xCD GC GD ===.∴BG CG =··················································· （1分） ∵∠ABD =∠PCQ ，又∠PGC =∠QGC ，∴△PBG ∽△QCG .∴PB BG CQ CG =，∴x y ··················································· （1分）∴y =08x ≤<）. ······················································ （2分）（3）i ）当点P 在射线BA 上，点E 在边BC 的延长线时.∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠PBQ =∠QBC=1302ABC ∠=︒.∵△PBG ∽△QCG ，∴PG BGQG CG=，又∠PGQ =∠BGC ，∴△PGQ ∽△BGC . ∴∠QPG =∠QBC 30=︒，又∠PBQ =∠PCQ 30=︒，∴60CQE QPC QCP ∠=∠+∠=︒. ∴ 60CQE PBC ∠=∠=︒. ···································································· （1分） ∵PCB E ∠>∠，∴ PCB QCE ∠=∠.又180PCB QCE PCQ ∠+∠+∠=︒，∠PCQ 30=︒，∴ 75PCB QCE ∠=∠=︒. 过C 作CN BP ⊥，垂足为点N ，∴在Rt CBN ∆中，2BN CN ==，∴在Rt PCN ∆中，PN CN ==∴2BP = . ................................................................................................................. （2分） ii ）当点P 在边AB 的延长线上，点E 在边BC上时，同理可得2BP = . ...... （3分）。

2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷(解析版)

2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8B．6C．D．22．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2 5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）A．B．C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是．10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是．13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x 的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是．17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF ＝6，那么线段CE的长是．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣cot45°．20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A 处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC＝2，求点B坐标．23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果，求证：．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE 表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8B．6C．D．2【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2＝ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2＝ac．42＝2c，解得c＝8，故选：A．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．【解答】解：由题意，得cos A＝，AC＝AB•cos A＝m•cosα，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、•与的模相等，方向不一定相同．故错误．B、正确．C、|与的模相等，方向不一定相同，故错误．D、•与•的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2【分析】根据平移的规律即可求得答案．【解答】解：二次函数y＝x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y＝（x+1）2﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝60°，，∴△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°故选：C．【点评】考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）A．B．C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．【解答】解：∵∠EAD＝∠CAB，∴当，即AD•AC＝AB•AE，∴ED∥BC，故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝﹣3+4．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（3﹣2）+（﹣2）＝6﹣4+﹣2＝﹣3+4，故答案为﹣3+4．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．【分析】证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝，故答案为．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是6．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴，∵DF＝15，∴，解得：DE＝6，故答案为：6【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴＝＝．故答案为．【点评】本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式答案不唯一（如y＝x2﹣2x）．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．【解答】解：符合的表达式是y＝x2﹣2x，故答案为y＝x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是2．【分析】在Rt△BDC中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在Rt△ABD中，再求出AB即可．【解答】解：在Rt△BDC中，∵BC＝4，sin∠DBC＝，∴CD＝BC×sin∠DBC＝4×＝，∴BD＝＝，∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABD中，∴AB＝＝×＝2，故答案为：2．【点评】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE，根据余弦的定义求得cos∠A的值．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∴∠ADB＝90°∴在△ADC中，cos∠B＝＝，∴BD＝AB＝1．∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝DC，∴BC＝2，∴AD＝＝＝2∵AB•CE＝AD，∴CE＝＝＝，∴AE＝＝∴cos∠A＝＝＝，故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的性质、勾股定理，三角形面积公式．14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是y＝﹣+12x．（不需写出x的取值范围）．【分析】根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG 的面积为y，∴DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴，得DG＝，∴y＝x＝+12x，故答案为：y＝+12x．【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是9.6厘米．【分析】直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC＝6cm，CF＝DC＝8cm，故BF＝＝＝10（cm），可得：∠CFB＝∠BAE，∠C＝∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴＝，∴＝，解得：BE＝9.6．故答案为：9.6．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是8或．【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．【解答】解：如图∵∠DAE＝∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝8，∴当△AED∽△ABC，∴，即，解得：AD＝，故答案为：8或【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF ＝6，那么线段CE的长是．【分析】如图，延长AG交BC于K．根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，延长AG交BC于K．∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GK，BG＝2GF，CG＝2EG，∵AG＝5，BF＝6，∴GK＝，BG＝4，∵CE⊥BF，∴∠BGC＝90°，∴BC＝2GK＝5，CG＝＝＝3，∴EG＝CG＝，∴EC＝3+＝．故答案为．【点评】本题考查三角形的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是﹣1．【分析】证明△ADE∽△BAE，得出AE2＝DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2＝DE×CD，得出＝＝，设CD＝9x，则BE＝4x，求出AB＝×BE＝6x，作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出BM＝CM＝BC，由直角三角形的性质得出AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，得出BC＝2BM＝6x，求出DE＝BE+CD﹣BC ＝13x﹣6x，即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠DAE＝∠B＝30°，∴∠DAE＝∠B＝∠C，∵∠AED＝∠BEA，∴△ADE∽△BAE，∴＝＝，∴AE2＝DE×BE，同理：△ADE∽△CDA，∴＝，∴AD2＝DE×CD，∴＝＝（）2＝，设CD＝9x，则BE＝4x，∵＝，∴AB＝×BE＝×4x＝6x，作AM⊥BC于M，如图所示：∵AB＝AC，∴BM＝CM＝BC，∵∠B＝30°，∴AM＝AB＝3x，BM＝AM＝3x，∴BC＝2BM＝6x，∴DE＝BE+CD﹣BC＝13x﹣6x，∴＝＝﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣cot45°．【分析】代入特殊角的三角函数值求值．【解答】解：原式＝＝0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；（2）根据向量定理即可画出．【解答】解：（1）∵＝，即DE＝CE，DE＝DC，＝+（2）如图所示：即为的结果．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平面向量，解决本题的关键是准确画图．21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A 处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）【分析】（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，设CH＝x，则BH＝x．解直角三角形即可得到结论；（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，∵∠CBA＝45°，∴BH＝CH，设CH＝x，则BH＝x．∵在Rt△ACH中，∠CAB＝30°，∴．∴．解得：，∴18+1＝19．答：计算得到的无人机的高约为19m；（2）过点F作FG⊥AB，垂足为点G，在Rt△AGF中，，∴，又．∴，或答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC＝2，求点B坐标．【分析】（1）由二次函数的性质可求解；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．【解答】解：（1）抛物线＝﹣（x+2）2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是（﹣2，3），抛物线的变化情况是：在对称轴直线x＝﹣2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；（2）如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD＝AD•cot∠ABC＝2m，∴点B的坐标可表示为（﹣2m﹣2，3﹣m），代入，得．解得m1＝0（舍），m2＝1，∴点B的坐标为（﹣4，2）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B坐标是本题的关键．23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果，求证：．【分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．（2）由△ACF∽△CDE，△CDE∽△CBF，推出△ACF∽△CBF，可得，又△ACF与△CBF等高，推出，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，∴∠CDE＝∠DAB，∠CBF＝∠DAB，∴∠CDE＝∠CBF，∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CDE∽△CBF，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，CD＝AB，∴，∴AD•DE＝AB•BF．（2）∵，∠CED＝∠CFB＝90°，∴△ACF∽△CDE，又∵△CDE∽△CBF，∴△ACF∽△CBF，∴，∵△ACF与△CBF等高，∴，∴．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．【分析】（1）设影子抛物线表达式是y＝x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y＝x2+n，可求解；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4∴原抛物线顶点是（1，4），设影子抛物线表达式是y＝x2+n，将（1，4）代入y＝x2+n，解得n＝3，所以“影子抛物线”的表达式是y＝x2+3；（2）设原抛物线表达式是y＝﹣（x+m）2+k，则原抛物线顶点是（﹣m，k），将（﹣m，k）代入y＝﹣x2+5，得﹣（﹣m）2+5＝k①，将（1，0）代入y＝﹣（x+m）2+k，0＝﹣（1+m）2+k②，由①、②解得，．所以，原抛物线表达式是y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣（x﹣2）2+1；（3）结论成立．设影子抛物线表达式是y＝ax2+n．原抛物线于y轴交点坐标为（0，c）则两条原抛物线可表示为与抛物线（其中a、b1、b2、c是常数，且a≠0，b1≠b2）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是、将P1、P2分别代入y＝ax2+n，得消去n得，∵b1≠b2，∴b1＝﹣b2∴，，∴P1、P2关于y轴对称．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE 表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG 构建方程求出x即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

2020年上海市虹口区中考数学一模试卷-解析版

2020年上海市虹⼝区中考数学⼀模试卷-解析版2020年上海市虹⼝区中考数学⼀模试卷⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，共24.0分）1.若cosα=1，则锐⾓α的度数是()2A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，tanB=2，那么AC=()A. 1B. 4C. √5D. 2√53.抛物线y=3(x+1)2+1的顶点所在象限是()A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知抛物线y=x2经过A(?2,y1)、B(1,y2)两点，在下列关系式中，正确的是()A. y1>0>y2B. y2>0>y1C. y1>y2>0D. y2>y1>05.已知a?、b? 和c?都是⾮零向量，在下列选项中，不能判定a?//b? 的是()A. |a?|=|b? |B. a?//c?，b? //c?C. a?+b? =0D. a?+b? =2c?，a??b? =3c?6.如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，∠BAD=∠C，AC=2AD，如果△ACD的⾯积为15，那么△ABD的⾯积为()A. 15B. 10C. 7.5D. 5⼆、填空题（本⼤题共12⼩题，共48.0分）7.如果a：b=2：3，且a+b=10，那么a=______．8.如果向量a?、b? 、x? 满⾜关系式2b? ?3(a?+x? )=0，那么⽤向量a?、b? 表⽰向量x? =______．9.如果抛物线y=(1?a)x2+1的开⼝向下，那么a的取值范围是______．10.沿着x轴正⽅向看，抛物线y=?(x?1)2在对称轴______侧的部分是下降的(填“左”、“右”)．11.如果函数y=(m+1)x m2?m+2是⼆次函数，那么m=______．12.如图，抛物线的对称轴为直线x=1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P在点Q的右侧，如果点P的坐标为(4,0)，那么点Q的坐标为______．.那13.如图，点A(2,m)在第⼀象限，OA与x轴所夹的锐⾓为α，如果tanα=32么m=______．14.已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC=12、A1C1=8，△ABC的⾼AD为6，那么△A1B1C1的⾼A1D1长为______．15.如图，在梯形AEFB中，AB//EF，AB=6，EF=10，点C、D分别在边AE、BF上且CD//AB，如果AC=3CE，那么CD=______．16.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直⾓三⾓形与中间的⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形，如果⼩正⽅形⾯积是49，直⾓三⾓形中较⼩锐⾓θ的正切为5，那么⼤正⽅形的⾯积是______．1217.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，点D为边AB上⼀动点，正⽅形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB=______．18.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，sinC=4，AB=9，AD=6，点E、F分5别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对⾓线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为______．三、计算题（本⼤题共1⼩题，共10.0分）tan260°19.计算：4sin30°cot30°?tan45°20. 在平⾯直⾓坐标系中，将抛物线C 1：y =x 2?2x 向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C 2． (1)求新抛物线C 2的表达式；(2)如图，将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O′A′B′，点A(0,5)的对应点A′落在平移后的新抛物线C 2上，求点B 与其对应点B′的距离．21. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点G 是Rt △ABC 的重⼼，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G作GE ⊥BC 交边BC 于点E ． (1)如果AC =a ? ，AB =b ? ，⽤a ? 、b ? 表⽰向量BG ； (2)当AB =12时，求GE 的长．22. 某次台风来袭时，⼀棵笔直⼤树树⼲AB(假定树⼲AB 垂直于⽔平地⾯)被刮倾斜7°(即∠BAB′=7°)后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地⾯D 处，测得∠CDA =37°，AD =5⽶，求这棵⼤树AB 的⾼度．(结果保留根号)(参考数据：sin37≈0.6，cos37=0.8，tan37≈0.75)23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边BC的中点，连结AD.过点C作CE⊥AD于点E，连结BE．(1)求证：BD2=DE?AD；(2)如果∠ABC=∠DCE，求证：BD?CE=BE?DE．24.在平⾯直⾓坐标系中，抛物线y=?x2+bx+c与x轴交于A(?1,0)、B两点，与y轴交于点C(0,3)，点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2√3．(1)求抛物线的表达式以及点P的坐标；(2)当三⾓形中⼀个内⾓α是另⼀个内⾓β的两倍时，我们称α为此三⾓形的“特征⾓”．①当D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征⾓，求点D的坐标；②点E为第⼀象限内抛物线上⼀点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征⾓，求点E的坐标．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=3，点D为射线BC上⼀点，联结AD，5过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F，联结DF，过点A作AG//BD，交直线BE于点G．(1)当点D在BC的延长线上时，如果CD=2，求tan∠FBC；(2)当点D在BC的延长线上时，设AG=x，S△DAF=y，求y关于x的函数关系式(不需要写函数的定义域)；(3)如果AG=8，求DE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了特殊⾓的三⾓函数值，解答本题的关键是掌握⼏个特殊⾓的三⾓函数值．根据cosα=1，求出锐⾓α的度数即可．2【解答】，解：∵cosα=12∴α=60°．故选C．2.【答案】B【解析】本题考查解直⾓三⾓形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据正切函数的定义求解即可．【解答】解：如图，在Rt∠ACB中，∵∠C=90°，=2，∴tanB=ACBC∴AC=2，2∴AC=4．故选：B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查⼆次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利⽤⼆次函数的性质解答．根据抛物线y=3(x+1)2+1，可以写出该抛物线的顶点坐标，从⽽可以得到顶点在第⼏象限．【解答】解：∵抛物线y=3(x+1)2+1，∴该抛物线的顶点是(?1,1)，在第⼆象限，故选：B．4.【答案】C【分析】本题主要考查的是⼆次函数的性质，熟练掌握⼆次函数的对称性和增减性是解题的关键．依据抛物线的对称性可知：(2,y1)在抛物线上，然后依据⼆次函数的性质解答即可．【解答】解：∵抛物线y=x2，∴抛物线开⼝向上，对称轴为y轴，∴A(?2,y1)关于y轴对称点的坐标为(2,y1).⼜∵0<1<2，∴y1>y2>0，故选：C．【解析】【分析】本题考查了平⾯向量，是基础题，熟记平⾏向量的定义是解题的关键．根据⽅向相同或相反的⾮零向量叫做平⾏向量，对各选项分析判断后利⽤排除法求解．【解答】解：A.该等式只能表⽰两a?、b? 的模相等，但不⼀定平⾏，故本选项符合题意；B.由a?//c?，b? //c?可以判定a?//b? ，故本选项不符合题意．C.由a?+b? =0可以判定a?、b? 的⽅向相反，可以判定a?//b? ，故本选项不符合题意．D.由a?+b? =2c?，a??b? =3c?得到a?=52c?，b? =?12c?，则a?、b? 的⽅向相反，可以判定a?//b? ，故本选项不符合题意．故选：A．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三⾓形的判定和性质；熟记相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅，是中考常见题型，解题关键是熟练掌握相似三⾓形的判定和性质．⾸先证明△BAD∽△BCA，由相似三⾓形的性质可得：△BAD的⾯积：△BCA的⾯积为1：4，得出△BAD的⾯积：△ACD的⾯积=1：3，即可求出△ABD的⾯积．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∵AC=2AD，，，∵△ACD的⾯积为15，∴△ABD的⾯积=13×15=5，故选：D．7.【答案】4此题考查了⽐例的性质，熟练掌握⽐例的性质是解题的关键，即两内项之积等于两外项之积．根据已知条件设a=2k，b=3k，再根据a+b=10求出k的值，从⽽得出a的值．【解答】解：设a=2k，b=3k，∵a+b=10，解得：k=2，∴a=2k=2×2=4；故答案为：4．b? ?a?8.【答案】23【解析】【分析】此题考查了平⾯向量的知识．此题难度不⼤，注意掌握此向量⽅程的解法与⼀元⼀次⽅程的解法⼀样．利⽤⼀元⼀次⽅程的求解⽅法，去括号、移项、系数化1，即可求得答案．【解答】解：∵2b? ?3(a?+x? )=0，∴2b? ?3a??3x? =0，∴3x? =2b? ?3a?b? ?a?．∴x? =23b? ?a?．故答案是：239.【答案】a>1【解析】【分析】考查⼆次函数的图象和性质，明确a、b、c的值确定抛物线的位置是关键．根据抛物线y=ax2+bx+c的开⼝向下，则a<0，利⽤不等式求解即可．【解答】解：∵抛物线y=(1?a)x2+1的开⼝向下，∴1?a<0，解得，a>1，故答案为：a>1．10.【答案】右【解析】【分析】本题考查⼆次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利⽤⼆次函数的性质解答．根据抛物线y=?(x?1)2可以得到该抛物线的对称轴和在对称轴两侧，y随x的增⼤如何变化，从⽽可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=?(x?1)2，∴该抛物线的对称轴为x=1，当x<1时，y随x的增⼤⽽增⼤，当x>1时，y随x的增∴在对称轴右侧的部分是下降的，故答案为：右．11.【答案】2【解析】【分析】此题主要考查了⼆次函数的定义，正确得出m的⽅程是解题关键．直接利⽤⼆次函数的定义得出m的值．【解答】解：∵函数y=(m+1)x m2?m+2是⼆次函数，∴m2?m=2，(m?2)(m+1)=0，解得：m1=2，m2=?1，∵m+1≠0，∴m≠?1，故m=2．故答案为：2．12.【答案】(?2,0)【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及⼆次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．根据抛物线的对称轴结合点P的横坐标，即可求出点Q的横坐标，此题得解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，点P的坐标为(4,0)，∴点Q的横坐标为1×2?4=?2，∴点Q的坐标为(?2,0)．故答案为：(?2,0)．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查解直⾓三⾓形，坐标由图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，作AE⊥x轴于E.根据正切函数的定义构建关系式即可解决问题．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．∵A(2,m)，∴OE=2，AE=m，AE3∴m2=32，∴m=3，故答案为3．14.【答案】4【解析】【分析】此题主要考查了相似三⾓形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．直接利⽤相似三⾓形的性质得出相似⽐等于对应⾼的⽐进⽽得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC=12、A1C1=8，∴相似⽐为：128=32，∵△ABC的⾼AD为6，∴△A1B1C1的⾼A1D1长为：6×23=4．故答案为：4．15.【答案】9【解析】【分析】本题考查了平⾏线分线段成⽐例定理，相似三⾓形的判定与性质等，解题关键是能够熟练运⽤平⾏线分线段成⽐例定理等．连接BE交CD于点M，由平⾏线分线段成⽐例定理先证CEAE =14，BDBF=34，再证△ECM∽△EAB，△BMD∽△BEF，由相似三⾓形的性质可分别求出CM，DM的长，可进⼀步求出CD的长．【解答】解：如图，连接BE交CD于点M，∵AC=3CE，∴CEAC =13，∵AB//EF，CD//AB，∴AB//CD//EF，∴DFBD =CEAC=13，∴CEAE =14，BDBF=34，∴△ECM∽△EAB，∴CMAB =CEAE，6=14，∴CM=32，∵MD//EF，∴△BMD∽△BEF，∴MDEF =BDBF，即MD10=34，∴MD=152，∴CD=CM+MD=32+152=9，故答案为：9．16.【答案】169【解析】【分析】此题考查了勾股定理的证明，解直⾓三⾓形等知识点，⾸先要求学⽣正确理解题意，然后会利⽤勾股定理和锐⾓三⾓函数的概念解题．由题意知⼩正⽅形的边长为7.设直⾓三⾓形中较⼩边长为a，较长的边为b，运⽤正切函数定义求解．【解答】解：由题意知，⼩正⽅形的边长为7，设直⾓三⾓形中较⼩边长为a，较长的边为b，则tanθ=短边：长边=a：b=5：12．所以b=12⼜因为b=a+7，②联⽴①②，得a=5，b=12．所以⼤正⽅形的⾯积是：a2+b2=25+144=169．故答案是：169．17.【答案】13【解析】【分析】本题主要考查了正⽅形的性质、相似三⾓形的判定与性质以及锐⾓三⾓函数，熟练掌握相似三⾓形的判定与性质是解答本题的关键．设DE与BG交于点O，根据题意可得△BDE∽△ABC，可得DEBE =ACBC=12，由正⽅形的性质可得GF=DE=EF，进⽽得出GFBF =13，再证明△DOG∽△EOB∽△FGB，可得DODG=EOEB=GF BF =13．【解答】解：如图，DE与BG交于点O，∵正⽅形DEFG，∴∠DEB=∠EDG=∠GFB=90°，GF=DE=EF，∴△BDE∽△ABC，∴DEBE =ACBC=1∴GFBF =13，∵∠DOG=∠EOB，∴△DOG∽△EOB∽△FGB，∴DODG =EOEB=GFBF=13，∴tan∠DGB=13．故答案为：1318.【答案】247【解析】【分析】本题考查相似三⾓形的判定和性质，解直⾓三⾓形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运⽤所学知识解决问题．解直⾓三⾓形求出BF，AF，再利⽤相似三⾓形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵FB′⊥AB，∴∠BAF=90°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠C，AF4设AF =4k ，BF =5k ，则AB =9=3k ，∴k =3，∴AF =12，BF =15，∵AD//BF ，∴△APD∽△FPB ，∴PA PF=AD BF=615=25，∴PA 12?PA =25∴PA =247，故答案为247．19.【答案】解：原式=4×12√3?1(√3)2=√3?2．【解析】把特殊的锐⾓三⾓函数值代⼊计算即可．考查特殊锐⾓的三⾓函数值，⼆次根式的化简，识记特殊锐⾓的三⾓函数值，掌握⼆次根式的化简⽅法是正确计算的关键．20.【答案】解：(1)由抛物线C 1：y =x 2?2x =(x ?1)2?1知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C 2的表达式是：y =(x ?1+2)2?1?3，即y =(x +1)2?4；(2)由平移的性质知，点A 与点A′的纵坐标相等，所以将y =5代⼊抛物线C 2，得(x +1)2?4=5，则x =?4或x =2(舍去) 所以AA′=4，根据平移的性质知：BB′=AA′=4，即点B 与其对应点B′的距离为4个单位．【解析】考查了⼆次函数图象与⼏何变换，⼆次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并⽤规律求函数解析式．(2)把y =5代⼊抛物线C 2求得相应的x 的值，即可求得点A′的坐标，根据平移的性质，线段AA′的长度即为所求．21.【答案】解：(1)∵BD =BA ????? +AD，∵点G 是Rt △ABC 的重⼼，∴AD =12AC ，∵AC =a ? ，AB =b ? ，∴AD =12a ? ，∴BD =?b ? +12a ? ，∴BG =23BD ? =23(?b ? +12a ? )=?23b ? +13a ? ； (2)过点D 作DF ⊥BC ，∵GE//DF ， GE2∵DF//AB ，D 是AC 的中点，∴DF =12AB ，∵AB =12，∴DF =6，∴GE =4．【解析】(1)由已知可得 AD =12a ? ，有BD =BA ????? +AD ，可得BD =?b ? +12a ? ，剩余BG =23BD =23(?b ? +12a ? )=?23b ? +13a ? ；(2)过点D 作DF ⊥BC ，由GE//DF ，则GEDF =23，再由DF//AB ，D 是AC 的中点，可得DF =12AB ，即可求GE ．本题考查三⾓形的重⼼、平⾯向量；熟练掌握三⾓形重⼼的性质，能够熟练运⽤向量的运算解题是关键．22.【答案】解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则∠AEC =∠AED =90°．∵在Rt △AED 中，∠ADC =37°，∴cos37°=DE AD =DE 5=0.8，AE AD =AE 5=0.6，∴AE =3．在Rt △AEC 中，∵∠CAE =90°?∠ACE =90°?60°=30°，∴CE =√33AE =√3，∴AC =2CE =2√3，∴AB =AC +CE +ED =2√3+√3+4=3√3+4(⽶)．答：这棵⼤树AB 原来的⾼度是(3√3+4)⽶．【解析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进⽽可得出结论．本题考查的是解直⾓三⾓形的应⽤，根据题意作出辅助线，构造出直⾓三⾓形是解答此题的关键．23.【答案】(1)证明：如图1中，∵CE⊥AD，∴∠CED=∠ACD=90°，∵∠CDE=∠ADC，∴△CDE∽△ADC∴CDAD =DECD，∴CD2=DE?DA，∵DB=CD，∴BD2=DE?DA．(2)解：如图2中，∵BD2=DE?DA，BD DA∵∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴∠DEB=∠ABC，∵∠ABD=∠ECD，∴∠BED=∠BCE，∵∠EBD=∠CBE，∴△EBD∽△CBE，∴BECB =BDBE，∴BE2=BD?BC，∵CD=BD，∴BE2=2CD2，∵∠DCE+∠ACE=90°，∠CAD+∠ACE=90°，∴∠CAD=∠ECD=∠ABC，∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴ACBC =CDAC，∴AC2=CD?CB=2CD2，∴AC=BE，∵△ACE∽△CDE，∴ACCD =ECDE，∴BEBD =ECDE，∴BD?CE=BE?DE．【解析】(1)证明△CDE∽△ADC推出CDAD =DE，可得CD2=DE?DA即可解决问题．(2)利⽤相似三⾓形的性质⾸先证明AC=BE，再证明△ACE∽△CDE，可得ACCD =ECDE，可得BEBD =ECDE即可解决问题．本题属于相似形综合题，考查了相似三⾓形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三⾓形解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)抛物线y=?x2+bx+c与y轴交于点C(0,3)，则c=3，将点A的坐标代⼊抛物线表达式并解得：b=2，故抛物线的表达式为：y=?x2+2x+3；点P(1,2√3)；(2)由点A、P的坐标知，∠PAB=60°，直线AP的表达式为：y=√3(x+1)…①，当α=60°，∠DBA=β=12α=30°时，△ABD为直⾓三⾓形，由⾯积公式得：y D×AB=AD?BD，即y D×4=2×2√3，解得：y D=√3，点D在AP上，故点D(0,√3)；当∠ADB=β时，则∠ABD=90°，故点D(3,4√3)；综上，点D的坐标为：(0,√3)或(3,4√3)；(3)∠CEF为△ECF的特征⾓，则△CEF为等腰直⾓三⾓形，过点E分别作x轴、y轴的垂线交于点M、N，则△CNE≌△EMF(AAS)，则EN=EM，即x=y，x=y=?x2+2x+3，解得：x=1+√132，故点E(1+√132,1+√132).【解析】(1)抛物线y=?x2+bx+c与y轴交于点C(0,3)，则c=3，将点A的坐标代⼊抛物线表达式并解得：b=2，即可求解；(2)当α=60°，∠DBA=β=12α=30°时，△ABD为直⾓三⾓形，即可求解；当∠ADB=β时，则∠ABD=90°，即可求解；(3)∠CEF为△ECF的特征⾓，则△CEF为等腰直⾓三⾓形，则△CNE≌△EMF(AAS)，即可求解．本题考查的是⼆次函数综合运⽤，涉及到⼀次函数的性质、三⾓形全等和相似、新定义等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．25.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，BC=4，sin∠ABC=35，∴设AC=3x，AB=5x，∴(3x)2+16=(5x)2，∴x=1，∵BE⊥AD，∴∠AEF=90°，∵∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠FBC，∴tan∠FBC=tan∠DAC=DCAC =23；(2)∵AG//BD，∴tan∠AGF=tan∠CBF，∴AFAG =CFBC，AG BC =AFCF，∴x4=3?CFCF，∴CF=124+x．∴AF=3?CF=3?124+x =3x4+x．∵∠EAF=∠CBF，∴CDAC =CFBC，∴CD=94+x，∴S△DAF=12AF?CD=12×3x4+x×94+x=27x2(4+x)2；(3)①当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AG=8，BC=4，AG//BD，∴AGBC =AFCF=21，∴AF=2CF，∵AC=3，∴AF=2，CF=1，∴tan∠AGE=tan∠CBF=CFBC =14，∴AEGE =14，设AE=x，GE=4x，∴x2+16x2=82，8即AE =817√17．同理tan∠DAC =tan∠CBF ，∴DCAC =14，∴DC =34，∴AD =√AC 2+DC 2=√32+(34)2=34√17．∴DE =AD ?AE =34√17?817√17=19√1768．②当点D 在BC 的边上时，如图2，∵AG//BD ，AG =8，BC =4，∴AGBC =AFCF =84=21．∴AF =6，∵∠EAF =∠CBF =∠ABC ，∴cos∠EAF =cos∠ABC ，∴6AE =54，∴AE =245，同理ACAD =BCAB ，∴3AD =45，∴AD =154．∴DE =AE ?AD =245154=2120．综合以上可得DE 的长为19√1768或2120．【解析】(1)求出AC =3，可得∠DAC =∠FBC ，则tan∠FBC =tan∠DAC =DC AC =23； (2)由条件可得∠AGF =∠CBF ，可得AFAG =CFBC ，可⽤x 表⽰CF 和AF 的长，求出CD ，则S△DAF=1AF?CD，可⽤x表⽰结果；2(3)分两种情况，①当点D在BC的延长线上时，则DE=AD?AE可求出.②当点D在BC的边上时，可求出AE长AD的长，则DE=AE? AD可求出．本题是三⾓形综合题，考查了勾股定理，平⾏线的性质，三⾓形的⾯积，锐⾓三⾓函数等知识，熟练掌握锐⾓三⾓函数的定义是解题的关键．。

2020年上海市中考数学一模试卷 (含解析)

2020年上海市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列根式中，与√3是同类二次根式的是()A. 4√6B. √18C. √32 D. √122.用换元法解方程x2−12x −4xx2−12=3时，设x2−12x=y，则原方程可化为()A. y−1y −3=0 B. y−4y−3=0 C. y−1y+3=0 D. y−4y+3=03.空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是()A. 扇形统计图B. 条形统计图C. 折线统计图D. 以上都可以4.若反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k的值是()A. 2B. 3C. 6D. 15.下列命题中，正确的是()A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角为90°的四边形是平行四边形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的菱形是正方形6.下列图形中可由其中的部分图形经过平移得到的是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2a2⋅3ab=______．8.已知函数f(x)=1x−2，那么f(0)=______．9.若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，则k的值可以是____.(写出一个值即可)．10.若关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，则k值为．11.从0～9这些自然数中，任取一个，是4的倍数的概率是______ ．12. 如果将抛物线y =3(x +1)2向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是______．13. 每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数(BMI)标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为________名．14. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD =2米的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一直线上，如果测得BD =20米，FD =4米，EF =1.8米，则树的高度为__________．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗=______．16. 波波和爸爸两人以相同路线从家出发，步行前往公园．图中OA 、BC 分别表示爸爸和波波所走的路程y(米)与爸爸步行的时间x(分)的函数图象，已知爸爸从家步行到公园所花的时间比波波的2倍还多10分钟．则在步行过程中，他们父子俩相距的最远路程是______ 米．17. 如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，AB =6，AC =4，CD 是△ABC 的中线，将△ABC 沿直线CD 翻折，点B′是点B 的对应点，点E 是线段CD 上的点，如果∠CAE =∠BAB′，那么CE 的长是______．18. 如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r 的取值范围是______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19. 化简：(12)−2−|2√2−3|+3√18；20. 解不等式组{2x ≤x +4x+33−x <−1．四、解答题（本大题共5小题，共58.0分）21. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB =AD ，BD 平分∠ABC ，若CD =3，BD =2√6，sin∠DBC =√33，求对角线AC 的长．22.某旅游商店8月份营业额为15万元，9月份下降了20%.受“十一”黄金周以及经济利好因素的影响，10月份、11月份营业额均比上一个月有所增长，10月份增长率是11月份增长率的1.5倍，已知该旅游商店11月份营业额为24万元．(1)问：9月份的营业额是多少万元？(2)求10月份营业额的增长率．23.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．(1)求证：△ABE≌△ADE；(2)求证：EB2=EF⋅EG；(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，AE：EC=1：3，求BG的长．24.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m,0)是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．(1)求证：OD⊥BE．(2)若DE=√6，AB=6，求AE的长．(3)若△CDE的面积是△OBF面积的2，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．3【答案与解析】1.答案：D解析：此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．解：A．4√6与√3不是同类二次根式，故本选项错误；B.√18=3√2与√3不是同类二次根式，故本选项错误；C.√32=√62与√3不是同类二次根式，故本选项错误；D.√12=2√3与√3是同类二次根式，故本选项正确；故选D．2.答案：B解析：【试题剖析】【试题解析】解：∵设x2−12x=y，∴x2−12x −4xx2−12=3，可转化为：y−4y=3，即y−4y−3=0．故选：B．直接利用已知将原式用y替换得出答案．此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．3.答案：A解析：此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．解：根据统计图的特点可知：空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是扇形统计图；故选A．4.答案：C解析：本题主要考查的是反比例函数的图象，求反比例函数的解析式的有关知识．把点(2,3)代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．，解：由题意得3=k2解得k=6．故选C．5.答案：D解析：解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，故错误；B、有一个角是90°的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D、对角线相等的菱形是正方形，正确；故选D．利于平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法，难度不大．6.答案：A解析：根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．解：A、可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项正确；B、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；C、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；D、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误．故选：A．7.答案：6a3b解析：解：2a2⋅3ab=6a3b，故答案为：6a3b.根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，计算可得．本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．8.答案：−12解析：本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案．将x=0代入f(x)=1x−2求解即可．解：∵函数f(x)=1x−2，∴f(0)=10−2=−12，故答案为：−12．9.答案：2(答案不唯一)解析：本题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．根据正比例函数的性质可得k>0，写一个符合条件的数即可．解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过一、三象限，∴k>0∴k的值可以是2．故答案为2．10.答案：98解析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．根据关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根可得△=(−3)2−4×2k=0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=(−3)2−4×2k=0，∴9−8k=0，∴k=9．8故答案为9．811.答案：310解析：解：∵从0−9这10个自然数中任取一个数，每个数被取到的机会相同，即这10个结果出现的机会相同，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，∴P(是4的倍数)=3．10．故答案为：310首先得出从0−9有10个自然数，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，进而得出概率．此题主要考查了概率公式，正确理解列举法求概率应用的条件，是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.答案：y=3(x+3)2+1解析：解：抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，把点(−1,0)向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到点(−3,1)，所以所得到的抛物线的表达式为y=3(x+3)2+1．故答案为y=3(x+3)2+1．先得到抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，再根据题意把点(−1,0)向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点(−3,1)，则可根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.答案：150解析：本题考查用样本估计总体．用全校学生乘以样本中体重超标学生占的比例，即可求解．=150(名)解：2000×15200故答案为150．14.答案：3米解析：本题考查相似三角形的应用，属于中档题．过E作EH⊥AB于H，交CD于G，利用相似三角形的性质即可得出结论．解：如图，过E作EH⊥AB于H，交CD于G；则：CG=CD−EF=0.2米，EG=FD=4米，EH=BF=BD+DF=24米；可得CG//AH ，可知：△CEG∽△AEH ，则有：CG AH =EG EH ，即：0.2AH =424，解得：AH =1.2米；∴AB =AH +BH =AH +EF =3米，故答案为3米．15.答案：−13a ⃗ −12b ⃗解析：本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ， ∵DE =DC ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ， ∵DE//AB ，∴EF ：AF =DE ：AB =1：2，∴EF =13AE ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −12b ⃗ ，故答案为−13a ⃗ −12b ⃗ ． 16.答案：1200解析：解：波波所花的时间为(50−10)÷2=20(分钟)，爸爸的速度为3000÷50=60(米/分钟)，波波的速度为3000÷20=150(米/分钟)．根据题意得：线段OA的解析式为y=60x(0≤x≤50)；线段BC的解析式为y=150(x−10)=150x−1500(10≤x≤30)．当x=10时，60x−(150x−1500)=600；当x=30时，150x−1500−60x=1200．∵1200>600，∴他们父子俩相距的最远路程是1200米．故答案为：1200．根据父子所需时间之间的关系可算出波波所花的时间，由速度=路程÷时间即可分别算出父亲及波波的速度，再根据路程=速度×时间即可找出线段OA、BC的函数解析式，代入x=10及x=30求出y 值，比较后即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据路程=速度×时间找出线段OA、BC的函数解析式是解题的关键．17.答案：165解析：解：如图，∵△CDB′是由△CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CB′D，AD=DB=DB′，∴∠DBB′=∠DB′B，∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，∴∠ABB′=∠ACE，∵AD =DB =DB′=3，∴∠AB′B =90°，∵∠ACE =∠ABB′，∠CAE =∠BAB′，∴△ACE∽△ABB′，∴∠AEC =∠AB′B =90°，在Rt △ADC 中，∵AC =4，AD =3，∴CD =√AC 2+AD 2=5， ∵12AC ⋅AD =12⋅CD ⋅AE ， ∴AE =AC⋅ADCD =125，在Rt △ACE 中，CE =√AC 2−AE 2=√42−(125)2=165．故答案为165．先证明∠AB′B =90°，再证明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC =90°，利用面积法求出AE ，再利用勾股定理求出EC 即可．本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型．18.答案：√10−√5<r <√10+√5解析：解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC =90°，则EF 是⊙O 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG ⊥AF ，则点G 是AF 的中点，∴GF =12AF =2，∴OG 是△AEF 的中位数，∴OG=12AE=1，∴OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，∵圆D与圆O有两个公共点，∴√10−√5<r<√10+√5，故答案为：√10−√5<r<√10+√5．连接EF，知EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G是AF的中点，据此可得GF=12AF=2，OG=12AE=1，继而求得OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，最后根据两圆的位置关系可得答案．本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．19.答案：解：原式=4−(3−2√2)+3√2，=4−3+2√2+√22，=1+52√2．解析：这是一道考查实数的运算的题目，解题关键在于根据负整数指数幂和绝对值以及去分母，将原式进行化简，再进行合并．20.答案：解：解不等式2x≤x+4，得：x≤4，解不等式x+33−x<−1，得：x>3，则不等式组的解集为3<x≤4．解析：求得每一个不等式的解集，再进一步求得公共部分即可．此题考查一元一次不等式组的解集求法，其简单的求法就是利用口诀求解，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”．21.答案：解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，如图，则∠E=90°，∵sin∠DBC=√3，BD=2√6，3∴DE=2√2，∵CD=3，∴CE=1，BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB//CD，同理AD//BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，∴OC=√BC2−BO2=√3，∴AC=2√3．解析：本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形有关知识，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2√2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，根据勾股定理得到结论．22.答案：解：(1)9月份的营业额=15×(1−20%)=12(万元)；(2)设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，, x2=−2(不合题意，舍去)，解得：x1=13=0.5．∴10月份的增长率为1.5×13答：10月份的增长率为50%．解析：本题考查了一元二次方程的应用，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．(1)用8月份的营业额×(1+增长率)计算九月份的营业额即可；(2)设设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，解方程即可．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，又AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)；(2)∵AB//CG，∴∠ABG=∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED=EB，∠ABG=∠ADE，∴∠EGD=∠ADE，∵∠FED=∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFED，所以ED2=EF⋅EG；∴EB2=EF⋅EG；(3)∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB=4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA=OC=2，OB=2√3，∵AE ：EC =1：3，∴AE =OE =1．∴BE =√(2√3)2+1=√13．∵AD//BC ，∴AE EC =EF BE =13， ∴EF =13BE =√133．由(2)得EB 2=EF ⋅EG ，∴EG =√13)2√133=3√13， ∴BG =BE +EG =4√13．解析：【试题解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定性质菱形的性质．线段间的转化是解题的关键．(1)用SAS 证明即可；(2)先证明△EDF∽△EGD ，得到ED 2=EF ⋅EG ，代换ED =EB 即可；(3)根据已知先求出BE 和EF 值，再根据EB 2=EF ⋅EG 求出EG 值，最后用BG =BE +EG 计算即可．24.答案：解：(1)由题意得：{−1−b +c =0c =3，解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3；(2)令−x 2+2x +3=0，∴x 1=−1，x 2=3，即B(3,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +b′，∴{b′=33k +b′=0，解得：{k =−1b′=3， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3，设P(a,3−a)，则D(a,−a 2+2a +3)，∴PD =(−a 2+2a +3)−(3−a)=−a 2+3a ，∴S △BDC =S △PDC +S △PDB =12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a) =12PD ⋅3 =32(−a 2+3a) =−32(a −32)2+278， ∴当a =32时，△BDC 的面积最大，此时P(32,32)；(3)由(1)，y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴E(1,4)，设N(1,n)，则0≤n ≤4，取CM 的中点Q(m 2,32)，∵∠MNC =90°，∴NQ =12CM ，∴4NQ 2=CM 2，∵NQ 2=(1−m 2)2+(n −32)2， ∴4[(1−m 2)2+(n −32)2]=m 2+9，整理得，m =n 2−3n +1，即m =(n −32)2−54，∵0≤n ≤4，当n =32时，m 最小值=−54，n =4时，，综上，m 的取值范围为：−54≤m ≤5．解析：(1)由y =−x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A(−1,0)，C(0,3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；(2)首先令−x 2+2x +3=0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y =kx +b′，由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P(a,3−a)，即可得D(a,−a 2+2a +3)，即可求得PD 的长，由S △BDC =S △PDC +S △PDB ，即可得S △BDC =−32(a −32)2+278，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时点P 的坐标；(3)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m =(n −32)2−54，然后根据n 的取值得到最小值和最大值．此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大． 25.答案：(1)证明见解析；(2)4；(3)AC =√2BC ．解析：(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；(2)先证△CDE∽△CAB 得CE CB =DE AB ，据此求得CE 的长，依据AE =AC −CE =AB −CE 可得答案；(3)由BD =CD 知S △CDE =S △BDE ，证△OBF∽△ABE 得，据此知S △ABE =4S △OBF ，结合S ▵CDE S ▵OBF =23知S △ABE =6S △CDE ，S △CAB =8S △CDE ，由△CDE∽△CAB 知，据此得出CDCA =2√2，结合BD =CD ，AB =AC 知BC AB =√2，从而得出答案．【详解】(1)连接AD ，∵AB 是直径，∴∠AEB =∠ADB =90°，∵AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD ，BD =CD ，∴BD ⌢=ED ⌢，∴OD ⊥BE ；(2)∵∠AEB =90°，∴∠BEC =90°，∵BD =CD ，∴BC =2DE =2√6，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180°，∵∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CECB =DEAB，即2√6=√66，∴CE=2，∴AE=AC−CE=AB−CE=4；(3)∵BD=CD，∴S△CDE=S△BDE，∵BD=CD，AO=BO，∴OD//AC，∵△OBF∽△ABE，∴，∴S△ABE=4S△OBF，∵S▵CDES▵OBF =23，∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴，∴CDCA =2√2，∵BD=CD，AB=AC，∴BCAB =√2，即AC=√2BC．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．。

2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析

2020年上海市中考数学一模试卷含答案解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+2B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C．y＝﹣2（x+1）2+2D．y＝﹣2（x+1）2﹣22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4B．3：6：5C．1：3：2D．1：4：25．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A．33°B．36°C．42°D．49°6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．已知f（x）＝，那么f（3）＝．9．已知线段AB＝2，如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP的值为．10．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．12．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）13．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为米．14．如图，在菱形ABCD中，O、E分别是AC、AD的中点，联结OE．如果AB＝3，AC＝4，那么cot∠AOE＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD＝．16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．17．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF 与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三．解答题（共7小题，满分78分）19．计算：3tan30°﹣+cos45°+20．已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？22．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．23．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）24．已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF ⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，每题4分，满分24分）1．【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：B．2．【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝＝＝5，∴sin B＝＝，故选：A．3．【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．4．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．5．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，故选：C．6．【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．二．填空题（共12小题，每题4分，满分48分）7．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．【分析】将x＝3代入f（x）＝计算即可．【解答】解：当x＝3是，f（3）＝＝，故答案为．9．【分析】直接利用黄金分割的定义计算．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP＝AB＝×2＝﹣1．故答案为﹣1．10．【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，∴a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2，∵x1＜x2＜2，∴y1＞y2．故答案为＞．11．【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．【解答】解：∵y＝x2+a，∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∵﹣3＜﹣2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．12．【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．13．【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴＝，∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴＝，∴DG＝1.8m，∵OE＝0.6m，∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6＝2.4m．故答案为：2.4．14．【分析】连接OD，根据菱形的性质、勾股定理求出OD，根据三角形中位线定理得到∠AOE＝∠ACD，根据余切的定义计算，得到答案．【解答】解：连接OD，∵四边形ABCD为菱形，∴OD⊥AC，OA＝OC＝AC＝2，由勾股定理得，OD＝＝＝，∵O、E分别是AC、AD的中点，∴OE∥CD，∴∠AOE＝∠ACD，∴cot∠AOE＝cot∠ACD＝＝＝，故答案为：．15．【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC 的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．【解答】解：延长AD和BC交于点E．∵在直角△ABE中，tan A＝＝，AB＝3，∴BE＝4，∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，∴∠DCE＝∠A，∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tan A＝＝，∴设DE＝4x，则DC＝3x，在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，∴4＝16x2+9x2，解得：x＝，则CD＝．故答案是：．16．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．17．【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DEF∽△ABC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：如图，在△DEF中，DE＝，EF＝2，DF＝，则＝，＝＝，＝＝，∴＝＝，∴△DEF∽△ABC，△DEF的面积＝×2×1＝1，故答案为：1．18．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．三．解答题（共7小题，满分78分）19．【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×﹣+×+＝﹣2+2+﹣1＝2﹣1．20．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．21．【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝，∴CG＝10cm，∴KH＝10cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝，∴DK＝10cm，∴（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10，答：比原来降低了（10﹣10）厘米．22．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．23．【分析】在Rt△ABD中可得出BD＝，在Rt△ABC中，可得BC＝，则可得BD﹣BC＝13，求出AB即可．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．24．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．25．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD ＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到＝，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，F A＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有F A＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．。

2020-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编-23题含详解

专题2021年分类汇编-23题专题一A字型X型【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB、AC上，△ABC的高AH交GF于点l．（1）求证：BD•EH＝DH•CE；（2）设DE＝n•EF（n为正实数），求证：11nBC AH EF+=．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD 上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：①如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；②如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）专题二相似三角形之等量代换【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB ＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB，联结AC，点E在边BC上，且∠CDE＝∠CAD，DE与AC交于点F，CE•CB＝AB•CD．（1）求证：AD∥BC；（2）当AD＝DE时，求证：AF2＝CF•CA．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．专题三相似三角形之面积比【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE ∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB．专题四相似三角形综合题【知识梳理】【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠C，AE⊥BD，DF⊥BC，点E、F分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC；（2）联结EF，如果∠ADB＝∠BDF，求证：DF•DC＝EF•BC．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．专题2021年分类汇编-23题专题一A 字型X 型【历年真题】1．（2020秋•嘉定区期末）如图，已知矩形DEFG 的边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G ，F 分别在边AB 、AC 上，△ABC 的高AH 交GF 于点l ．（1）求证：BD •EH ＝DH •CE ；（2）设DE ＝n •EF （n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△BDG ∽△ABH ，△FEC ∽△ACH ，对应边成比例整理即可得结；（2）根据已知条件证明△AGF ∽△ABC ，对应边成比例即可证明结论．【解答】（1）证明：∵四边形DEFG 是矩形，∴GD ⊥BC ，FE ⊥BC ，DG ＝EF ，∵AH ⊥BC ，∴GD ∥AH ∥FE ，∴BD BG =DH GA CE FC =HE FA∵GF ∥BC ∴BG FC =GA FA ∴BD CE =DH EH∴BD •EH ＝DH •CE ；（2）证明：∵DF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF AF =BC AC ，∵FC EF =AC AH ，∴GF EF 1BC AH AF FC AC AC+=+=，∵GF ＝DE ＝n •EF ，∴1n EF EF BC AH += ，∴11n BC AH EF+=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．2．（2020秋•金山区期末）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD上，联结AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．（1）求证：AB2＝BF•DE；（2）若BE DNDE DC=，求证：EF∥MN．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由菱形的性质得AB＝AD，则∠ABD＝∠ADB，易证∠AED＝∠BAF，则△AED∽△FAB，得AD DE BF AB=，即AD•AB＝BF•DE，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，则△BME∽△DAE，得BE BMDE AD=，进而证出BM DNBC DC=，则MN∥BD即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，∴∠AED＝∠BAF，∴△AED∽△FAB，∴AD DEBF AB=，即AD•AB＝BF•DE，∴AB2＝BF•DE；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BME∽△DAE，∴BE BM DE AD=，∵BE DNDE DC=，∴BM DNAD DC=，∴BM DNBC DC=，∴MN∥BD，∴EF∥MN．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键．3．（2020秋•黄浦区期末）某班级的“数学学习小组心得分享课”上，小智跟同学们分享了关于梯形的两个正确的研究结论：③如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点的直线与两底分别交于点M、N，则AM CNDM BN=；④如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，过两腰延长线交点P的直线与两底分别交于点K、L，则AK BLDK CL=．接着小明也跟同学们分享了关于梯形的一个推断：过梯形对角线交点且平行于底边的直线被梯形两腰所截，截得的线段被梯形对角线的交点平分．（1）经讨论，大家都认为小明所给出的推断是正确的．请你结合图示（见答题卷）写出已知、求证，并给出你的证明；（2）小组还出了一个作图题考同学们：只用直尺将图3中两条平行的线段AB、CD同时平分．请保留作图过程痕迹，并说明你作图方法的正确性（可以直接运用小智和小明得到的正确结论）．（注意：请务必在试卷的图示中完成作图草稿，在答题卷上直接用2B铅笔或水笔完成作图，不要涂改．）【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【分析】（1）写出已知，求证，证明即可．（2）连接CA，DB，延长CA交DB延长线于点F，连接AD，BC交于点F，作直线EF交AB于点M，交CD于点N，点M，N即为所求作．【解答】解：（1）已知：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，EF经过点O，且EF∥BC，求证：OE＝OF．证明：∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE AO=BC AC，OF DO=BC DB，∵AD∥BC，∴AO DO=AC DB，∴EO OF=BC BC，∴EO＝OF．（2）如图3中，点M，N即为所求作．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．专题二相似三角形之等量代换【历年真题】1．（2020秋•闵行区期末）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA 的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ADF∽△CDB，可得∠F＝∠B，由余角的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CBD，可得AB BEBC BD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BCAD CD=，设AF BCAD CD=＝k，∴AF＝kAD，BC＝kCD，∴DF＝AD，BD CD，∴DF AD BD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△CDB，∴∠F＝∠B，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；方法2：∵AF•CD＝BC•AD，∴AF BC AD CD=，又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△FAD∽△BCD，∴∠B＝∠F，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；（2）∵BE＝CE，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△CBD，∴AB BE BC BD=，∴BC•12BC＝AB•BD，∴BC2＝2BD•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，且AF•DF＝BF•EF．求证：（1）∠ADC＝∠BEC；（2）AF•CD＝EF•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）利用AF•DF＝BF•EF和∠AFE＝∠BFD可判断△AFE∽△BFD，所以∠AEF＝∠BDF，然后根据等角的补角相等得到结论；（2）由△AFE∽△BFD得到∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，再证明∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，于是可证明△AEF∽△CBA，利用相似比得到AF EFAC AB=，然后证明AD＝AB＝CD，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AF•DF＝BF•EF，∴AF EF BF DF=，而∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴∠AEF＝∠BDF，∵∠AEF+∠BEC＝180°，∠BDF+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠BEC；（2）∵△AFE∽△BFD，∴∠EAF＝∠FBD，∠AEF＝∠BDF，∵EB＝EC，AB＝AD，∴∠EBC＝∠C，∠ADB＝∠ABD，∴∠EAF＝∠C，∠ABC＝∠AEF，∴△AEF∽△CBA，∴AF EFAC AB，∴EF•AC＝AB•AF∵∠DAC＝∠C，∴AD＝CD，∴AB＝AD＝CD，∴EF•AC＝CD•AF，即AF•CD＝EF•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．3．（2020秋•青浦区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD相交于点E，AE⋅CE＝DE⋅BE（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果DA2＝DE•DB，求证：AB•EC＝BC•AE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，可得△ADE∽△BCE，得∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，根据AB＝AD，进而可以证明结论；（2）根据DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，可得△ADB∽△ADE，对应边成比例，结合（1）△ADE∽△CBE对应边成比例，进而可得结论．【解答】证明：（1）∵AE⋅CE＝DE⋅BE，∠AED＝∠BEC，∴△ADE∽△BCE，∴∠DAE＝∠CBE，∠ADE＝∠BCE，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，∴∠ABE＝∠ACB，∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB；（2）∵DA2＝DE•DB，∠ADB＝∠ADE，∴△ADB∽△EDA，∴AB AD AE DE=，∵△ABE∽△ACB，∴AD DE BC EC=，∴AD BCDE EC=，∴AB BCAE EC=，∴AB•EC＝BC•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．4．（2020秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、G在边AC上，点E在边BC上，DB＝DC，EG∥AB，AE、BD交于点F，BF＝AG．（1）求证：△BFE∼△CGE；（2）当∠AEG＝∠C时，求证：AB2＝AG•AC．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CE CGBE AG=，进而可得CE CGBE BF=，由等腰三角形的性质可得∠DBC＝∠DCB，由相似三角形的判定可得结论；（2）通过证明△ABE∽△CBA，可得AB BEAC AB=，可得结论．【解答】证明：（1）∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵EG∥AB，∴CE CG BE AG=，∵BF＝AG，∴CE CG BE BF=，∴△BFE∼△CGE；（2）∵△BFE∼△CGE，∴∠BEF＝∠GEC，∠BFE＝∠EGC，∵∠AEG＝∠C，∠GEB＝∠AEG+∠AEB＝∠C+∠EGC，∴∠AEB＝∠EGC，∴∠BEF＝∠GEC＝∠BFE＝∠EGC，∴BE＝BF，EC＝GC，∴BE＝AG，∵GE∥AB，∴∠AEG＝∠BAE，∴∠BAE＝∠C，又∵∠ABE＝∠ABC，∴△ABE∽△CBA，∴AB BE AC AB=，∴AB 2＝AC •BE ＝AC •AG ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABE ∽△CBA 是本题的关键．5．（2020秋•奉贤区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠DCB ，联结AC ，点E 在边BC 上，且∠CDE ＝∠CAD ，DE 与AC 交于点F ，CE •CB ＝AB •CD ．（1）求证：AD ∥BC ；（2）当AD ＝DE 时，求证：AF 2＝CF •CA．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△ABC ∽△ECD ，可得∠CDE ＝∠ACB ＝∠CAD ，可得结论；（2）由“ASA ”可证△ADF ≌△DEC ，可得AF ＝CD ，通过证明△ADC ∽△DFC ，可得CD CF AC CD=，可得结论．【解答】证明：（1）∵CE •CB ＝AB •CD ，∴AB BC EC DC=，又∵∠B ＝∠DCB ，∴△ABC ∽△ECD ，∴∠CDE ＝∠ACB ，∵∠CDE ＝∠CAD ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∴AD ∥BC ；（2）∵AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DEC ，在△ADF 和△DEC 中，DAC=CDE AD=DE ADF=DEC ⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ADF ≌△DEC （ASA ），∴AF ＝CD ，∵∠CDE ＝∠DAC ，∠DCA ＝∠DCF ，∴△ADC ∽△DFC ，∴CD CF AC CD=，∴CD 2＝CF •CA ，∴AF 2＝CF •CA ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AF ＝CD 是本题的关键．6．（2020秋•杨浦区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．（1）求证：DF DE=BD BE；（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明△DAF∽△BCD，利用相似比得到AD DF=BC BD，再证明△ADE∽△CBE，则AD DE=BC BE，然后利用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到DF DE=BD BE，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AF∥CD，∴∠ADC+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠BCD，∴△DAF∽△BCD，∴AD DF=BC BD，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴AD DE=BC BE，∴DF DE=BD BE；（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，∴∠ECD＝∠CBD，而∠CDE＝∠BDC，∴△DCE∽△DBC，∴DC DE=BD DC，∴DC2＝DE•DB，∵DF DE=BD BE，∴DE•DB＝DF•BE，∴DC2＝DF•BE，即线段CD是线段DF、BE的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．专题三相似三角形之面积比【历年真题】1．（2020秋•崇明区期末）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED ＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：22DF EF BD BE=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△ACB，可得AE ABAD AC=，根据∠A＝∠A，证明△ADC∽△AEB，即可得结论；（2）根据已知条件证明△EDF∽△EBD，可得DF EF DEBD DE BE==，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AE AB AD AC=，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴DF EF DEBD DE BE==，2()DF EF DEBD DE BE= ，∴22DF EF BD BE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2020秋•长宁区期末）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CH ⊥AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE ∽△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD的面积的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACH ＝∠CBH ，根据等腰三角形的性质得到∠CED ＝∠CDE ，进而得到∠AEC ＝∠ADB ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，根据相似三角形的性质得到AD BD AE CD=，根据相似三角形的面积公式计算，证明结论．【解答】证明：（1）∵AC ⊥BC ，CH ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠AHC ＝90°，∴∠ACH ＝∠CBH ，∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠CDE ，∴∠AEC ＝∠ADB ，∴△ACE ∽△ABD ；（2）过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，∴∠CAD ＝∠G ，∵△ACE ∽△ABD ，∴AD BD AE CD =，∠CAD ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠G ，∴AB ＝BG ，∵BG ∥AC ，∴△ADC ∽△GDB ，∴BG BD AC CD =，∴AD BD AE CD=，∴ACD ABD ACE ACDS S S S ∆∆∆∆=，∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．（2020秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD2＝AE•AC．求证：（1）△BCD∽△CDE；（2）22CD AD BC AB=．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）由题意可证△ADE∽△ACD，可得∠ADE＝∠ACD，由平行线的性质可得∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE＝∠ACD，可得结论；（2）由相似三角形的性质可得CD DEBC CD=，可得22CD CD DE DEBC BC CD BC=⋅=，由平行线分线段成比例可得结论．【解答】证明：（1）∵AD2＝AE•AC，∴AD AC AE AD=，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴∠ADE＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，∠B＝∠ADE，∴∠B＝∠ACD，∴△BCD∽△CDE；（2）∵△BCD∽△CDE，∴CD DE BC CD=，∴22CD CD DE DE BC BC CD BC=⋅=，∵DE∥BC，∴DE ADBC AB=，∴22CD ADBC AB=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．专题四相似三角形综合题【历年真题】1．（2020秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．（1）求证：CA2＝CE•CB；（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△DCE∽△BCD，可得DC CEBC CD=，可得结论；（2）由直角三角形的性质可得AM＝ME＝CM，进而可得∠MCE＝∠MEC，通过证明点A，点C，点E，点D四点共圆，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性质可得结论．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，∴∠A＝∠DEB，∵CA＝CD，∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DEB，∴∠CDB＝∠CED，又∵∠DCE＝∠DCB，∴△DCE∽△BCD，∴DC CE BC CD=，∴CD2＝CE•CB，∴CA2＝CE•CB；（2）如图，∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，∴AM＝ME＝CM，∴∠MCE＝∠MEC，∵∠ACB＝∠ADE＝90°，∴点A，点C，点E，点D四点共圆，∴∠AEC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，又∵∠MCE+∠ACH＝90°，∴∠CAD+∠ACH＝90°，∴CH⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．2．（2020秋•普陀区期末）已知：如图，AD ∥BC ，∠ABD ＝∠C ，AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=；（2）联结EF ，如果∠ADB ＝∠BDF ，求证：DF •DC ＝EF •BC ．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AB BD DC BC =，证明△ABD ∽△DCB ，由相似三角形的性质得出AE BD DF BC=，则可得出结论；（2）证明△ADB ∽△EDF ，由相似三角形的性质得出∠ABD ＝∠EFD ，证明△EDF ∽△DBC ，得出DF EF BC DC =，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE ⊥BD ，DF ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∵∠ABD ＝∠C ，∴△ABE ∽△DCF ，∴AE AB DF DC=，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∴△ABD ∽△DCB ，∴AB BD DC BC =，∴AE BD DF BC =；（2）证明：∵∠ADB ＝∠DBF ，∠ADB ＝∠BDF ，∠BFD ＝90°，∴∠DBF ＝∠BDF ，∴∠DBF ＝ADE ＝45°，∴△AED 和△BFD 都是等腰直角三角形，∴AD BD DE DF==又∵∠ADE ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△EDF ，∴∠ABD ＝∠EFD ，∵∠ABD ＝∠C ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠EDF ＝∠DBC ，∴△EDF ∽△DBC ，∴DF EF BC DC=，∴DF •DC ＝EF •BC ．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2020秋•松江区期末）如图，已知在▱ABCD中，E是边AD上一点，联结BE、CE，延长BA、CE相交于点F，CE2＝DE•BC．（1）求证：∠EBC＝∠DCE；（2）求证：BE•EF＝BF•AE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）通过证明△DEC∽△ECB，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△EBF，可得△ABE∽△EBF，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE2＝DE•BC，∴DE CE=CE BC，∴△DEC∽△ECB，∴∠EBC＝∠DCE；（2）∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠AEB＝∠EBC，∠F＝∠ECD，∴∠AEB＝∠F，又∵∠ABE＝∠EBF，∴△ABE∽△EBF，∴BE EF=BF AE，∴BE•EF＝BE•AE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键．。

2020年中考模拟上海市松江区中考数学一模试卷含解析

2020年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么下列判断正确的( )A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a <，0b <，0c >2．如果点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内，有一点(3,4)A ，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为( ) A ．35B ．43C ．45D ．344．下列两个三角形不一定相似的是( ) A ．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形 B ．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形 C ．有一个内角为50︒的两个直角三角形D ．有一个内角是50︒的两个等腰三角形5．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r ，且0c ≠rr ，下列结论正确的是( )A ．||||a b =r rB ．20a b +=r rC ．a r 与b r 方向相同D ．a r与b r 方向相反6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5．那么sin α的值为( )A ．34B ．12C ．23D ．32二、填空题（本大题共12题） 7．已知：23x y =，那么2x y x y-=+ ． 8．已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，那么c = ． 9．若两个相似三角形的面积比为3:4，则它们的相似比为．10．已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，若2AP =，则BP = ． 11．已知Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，3AC =，2BC =，则A ∠的余切值为． 12．已知二次函数21()2f x x bx c =++图象的对称轴为直线4x =，则f （1） f （3）．（填“>”或“<” )13．在直角坐标平面中，将抛物线22(1)y x =+先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是．14．如图，已知D 是ABC ∆的边AC 上一点，且2AD DC =，如果AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，那么向量BD u u u r 关于a r、b r 的分解式是．15．如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 是小正方形的顶点，那么tan BAC ∠的值为．16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”为．18．如图，矩形ABCD 中，1AD =，AB k =，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，联结AD '，分别交边CD ，A B '于E 、F ，如果2AE D F ='，那么k = ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：223(2cos 45)3tan 30260cos60cot 30sin -︒+︒︒-︒-︒20．已知二次函数241y x x =--．（1）将函数241y x x =--的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象顶点B 坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A ，求四边形OABC 的面积．21．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，13AD AB ==，24BD =，求边DC 的长．22．如图，小岛A 在港口P 的南偏西45︒方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60︒的方向上，小岛A 离港口P 有多少海里？23．已知：如图，点D ，F 在ABC ∆边AC 上，点E 在边BC 上，且//DE AB ，2CD CF CA =g ．（1）求证：//EF BD ；（2）如果AC CF BC CE =g g ，求证：2BD DE BA =g ．24．如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)A ，点(0,3)B ．点(,0)M m 在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当BOP PBQ ∠=∠时，求PQ 的长度；（3）当PBQ ∆为等腰三角形时，求m 的值．25．已知tan 2MON ∠=，矩形ABCD 的边AB 在射线OM 上，2AD =，AB m =，CF ON ⊥，垂足为点F．（1）如图（1），作AE ONm=时，求线段EF的长度．⊥，垂足为点E，当2（2）如图（2），联结OC，当2∠的正弦值；m=，且CD平分FCO∠时，求COF（3）如图（3），当AFD∆与CDF∆相似时，求m的值．参考答案一、选择题（本题共6题）1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么下列判断正确的( )A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a <，0b <，0c >【解答】解：抛物线开口向下，因此0a <，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，所以0b >，抛物线与y 轴交在正半轴，因此0c >，故选：C ．2．如果点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：由点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，得 (1,3)A 与(,3)B m 关于对称轴2x =对称， 221m -=-，解得3m =，故选：B ．3．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内，有一点(3,4)A ，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为( ) A ．35B ．43C ．45D ．34【解答】解：过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，在Rt OAB ∆中，由题意得： AOB α∠=，(3,4)A Q ，3OB ∴=，4AB =，2233cos 534OB OA α∴===+，故选：A ．4．下列两个三角形不一定相似的是( ) A ．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形 B ．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形 C ．有一个内角为50︒的两个直角三角形D ．有一个内角是50︒的两个等腰三角形【解答】解：A 、两条直角边之比为2:3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意； B 、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意；C 、有一个内角为50︒的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；D 、有一个内角是50︒的两个等腰三角形，因为50︒是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．故选：D ．5．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r ，且0c ≠rr ，下列结论正确的是( )A ．||||a b =r rB ．20a b +=r rC ．a r 与b r 方向相同D ．a r与b r 方向相反【解答】解：Q a b c +=r r r ，3a b c -=r r r，∴2a c =r r，b c =-r r ，∴2a b =-r r，∴a r与b r 方向相反，故选：D ．6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5．那么sin α的值为( )A ．34B ．12C ．23D ．32【解答】解：如图，过点A 作AE BC ⊥，AF CD ⊥，//AD BC Q ，//AB CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，Q 四边形ABCD 的面积是1.5，BC AE CD AF ∴⨯=⨯，且1AE AF ==， BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=， 1.5CD AF =⨯Q ，32CD ∴=， 32AD CD ∴== 2sin 3AF AD α∴==，故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7．已知：23x y =，那么2x y x y -+ 5．【解答】解：Q23x y =， ∴设2x a =，3y a =，∴2431235x y a a x y a a --==++．故答案为：15．8．已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，那么c = 3．【解答】解：Q 线段a 是线段b 、c 的比例中项， 2a bc ∴=， 2a =Q ，3b =，243a cb ∴==故答案为：43．9．若两个相似三角形的面积比为3:42 ．【解答】解：Q 两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，2．10．已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，若2AP =，则BP 1 ．【解答】解：根据黄金分割定义，得2AP AB BP =g4(2)BP BP =+g 2240BP BP +-=解得11BP =-±--1BP ∴=1．11．已知Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，3AC =，2BC =，则A ∠的余切值为 2．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒Q ，3AC =，2BC =， 3cot 2AC A BC ∴==，故答案为32．12．已知二次函数21()2f x x bx c =++图象的对称轴为直线4x =，则f （1） > f （3）．（填“>”或“<” )【解答】解：Q 二次函数()y f x =的图象开口向上，对称轴为直线4x =， ∴在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，134<<Q ，f ∴（1）f >（3），故答案为：>．13．在直角坐标平面中，将抛物线22(1)y x =+先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是 221y x =+ ．【解答】解：抛物线22(1)y x =+向上平移1个单位后的解析式为：22(1)1y x =++．再向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：221y x =+．故答案为：221y x =+．14．如图，已知D 是ABC ∆的边AC 上一点，且2AD DC =，如果AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，那么向量BD u u u r 关于a r、b r 的分解式是 23b a -r r ．【解答】解：2AD CD =Q ， ∴2233AD AC b ==u u ur r ， Q BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r ，BA a =-u u u r r，∴23BD b a =-u u u r r r ，故答案为23b a -r r ． 15．如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 是小正方形的顶点，那么tan BAC ∠的值为 2 ．【解答】解：连接BC ，则AB BC ⊥，在Rt ABC ∆中，22112AB =+=，222222BC =+=，22tan 22BC BAC AB ∴∠===，故答案为：2．16．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为 1:1.5 ．【解答】解：斜面AB 的坡度为20:301:1.5=，故答案为：1:1.5．17．以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”为 623．【解答】解：如图，ABC ∆中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，ABD ∆，ACE ∆都是等边三角形，P ，Q 是ABD ∆，ACE ∆的重心．取BC 的中点H ，连接AH ．AB AC =Q ，BH CH =，90BAC ∠=︒，HA HB HC ∴==，DA DB =Q ，EA EC =，DH ∴垂直平分线段AB ，EH 垂直平分线段AC ，P ∴，Q 分别在DH ，EH 上，PQH ∆是等腰直角三角形，2AB =Q ，sin 603DF BD ∴=︒=g ， P Q 是重心，33PF ∴=， 112FH AB ===Q ， 313PH QH ∴==+， 6223PQ PH ∴==+，故答案为623+． 18．如图，矩形ABCD 中，1AD =，AB k =，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，联结AD '，分别交边CD ，A B '于E 、F ，如果2AE D F ='，那么k = 21+ ．【解答】解：Q 将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，1AD A D ''∴==，AB A B k '==，90A DAB DCB ABC '∠=∠=︒=∠=∠，////A D BA CD ''∴A D F FEC DEA ''∴∠=∠=∠，且90D A '∠=∠=︒，ADE ∴∆∽△FA D ''， ∴AD DE AE A F A D D F==''''，且AE F ='，DE D ''∴==，A F '==， 90A DCF '∠=∠=︒Q ，A FD EFC ''∠=∠，∴△A D F CEF ''∆∽， ∴EC FC A D A F='''，∴=1k ∴=+，1+．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：223(2cos 45)3tan 30260cos60cot 30sin -︒+︒︒-︒-︒【解答】解：原式==2=-20．已知二次函数241y x x =--．（1）将函数241y x x =--的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象顶点B 坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A ，求四边形OABC 的面积．【解答】解：（1）2241(2)5y x x x =--=--，该函数图象顶点B 坐标为(2,5)-；（2）如图，令0y =，1x =-，(0,1)C ∴-，(2,5)B -Q ，(2,0)A ∴，∴四边形OABC 的面积11()62622AB OC OA =⨯+⨯=⨯⨯=． 21．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，13AD AB ==，24BD =，求边DC 的长．【解答】解：如图，//AD BC Q ，ADB DBC ∴∠=∠，AB AD =Q ，ADB ABD ∴∠=∠，ABD DBC ∴∠=∠，AE BD ⊥Q ，AB AD =，90AEB C ∴∠=∠=︒，12BE DE ==， 221691445AE AB BE ∴=-=-=，ABD DBC ∠=∠Q ，90AEB C ∠=∠=︒，ABE DCB ∴∆∆∽，∴AB AE BD CD =， ∴13524CD=， 12013CD ∴=． 22．如图，小岛A 在港口P 的南偏西45︒方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60︒的方向上，小岛A 离港口P 有多少海里？【解答】解：作AE PB ⊥于E ，由题意得，12 1.518PB =⨯=海里，设AE x =海里，45APE ∠=︒Q ，PE AE x ∴==，60ABE ∠=︒Q ， 33BE x ∴=，由题意得，3183x x -=，解得，2793x =+，则27296AP =+，答：小岛A 离港口P 有(27296)+海里．23．已知：如图，点D ，F 在ABC ∆边AC 上，点E 在边BC 上，且//DE AB ，2CD CF CA =g ．（1）求证：//EF BD ；（2）如果AC CF BC CE =g g ，求证：2BD DE BA =g ．【解答】证明：（1）//DE AB Q ，∴CD CE AC CB=， 2CD CF CA =Q g ．∴CD CF AC CD =， ∴CF CE CD CB=， //EF BD ∴；（2）//EF BD Q ，CEF CBD ∴∠=∠，AC CF BC CE =Q g g ， ∴AC CE BC CF=，且C C ∠=∠， CEF CAB ∴∆∆∽，CEF A ∴∠=∠，DBE A ∴∠=∠，//DE AB Q ，EDB DBA ∴∠=∠，且DBE A ∠=∠，BAD DBE ∴∆∆∽，∴BA BD BD DE= 2BD BA DE ∴=g24．如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)A ，点(0,3)B ．点(,0)M m 在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当BOP PBQ ∠=∠时，求PQ 的长度；（3）当PBQ ∆为等腰三角形时，求m 的值．【解答】解：（1）将(3,0)A ，(0,3)B 分别代入抛物线解析式，得9303b c c -++=⎧⎨=⎩．解得23b c =⎧⎨=⎩．故该抛物线解析式是：223y x x =-++；（2）设直线AB 的解析式是：(0)y kx t k =+≠，把(3,0)A ，(0,3)B 分别代入，得303k t t +=⎧⎨=⎩．解得1k =-，3t =．则该直线方程为：3y x =-+．故设(,3)P m m -+，2(,23)Q m m m -++．则BP =，23PQ m m =-+．3OB OA ==Q ，45BAO ∴∠=︒．QM OA ⊥Q ，90PMA ∴∠=︒．45AMP ∴∠=︒．45BPQ AMP BAO ∴∠=∠=∠=︒．又BOP QBP ∠=∠Q ，POB QBP ∴∆∆∽．于是BP OBBQ BP =．解得195m =，20m =（舍去）． 254325PQ m m ∴=-+=；（3）由两点间的距离公式知，222BP m =，222(3)PQ m m =-+，2222(2)BQ m m m =+-+． ①若BP BQ =，22222(2)m m m m =+-+，解得11m =，23m =（舍去）．即1m =符合题意．②若BP PQ =，2222(3)m m m =-+，解得132m =-，233m =+（舍去）．即32m =-符合题意．③若PQ BQ =，22222(3)(2)m m m m m -+=+-+，解得2m =．综上所述，m 的值为1或32-或2．25．已知tan 2MON ∠=，矩形ABCD 的边AB 在射线OM 上，2AD =，AB m =，CF ON ⊥，垂足为点F ．（1）如图（1），作AE ON ⊥，垂足为点E ，当2m =时，求线段EF 的长度．（2）如图（2），联结OC ，当2m =，且CD 平分FCO ∠时，求COF ∠的正弦值；（3）如图（3），当AFD ∆与CDF ∆相似时，求m 的值．【解答】解：（1）如图1，延长FC 交OM 于点G ，90BCG CGB ∠+∠=︒Q ，90MON CGB ∠+∠=︒， BCG MON ∴∠=∠，则tan tan 2BCG MON ∠=∠=，24BG BC ∴==，CG == 在Rt AOE ∆中，设OE a =，由tan 2MON ∠=，可得OA =，则6OG =+，OF a ==，EF OF OE ∴=-=（2）如图2，延长FC 交OM 于点G ，由（1）得CG =， CD Q 平分FCO ∠，FCD DCO ∴∠=∠，//CD OM Q ，FCD CGO ∴∠=∠，DCO COG ∠=∠， CGO COG ∴∠=∠，CO CG ∴==，在Rt COB ∆中，由222BC BO OC +=，得22222)++=，解得1a =（舍去），2a =，OF a ∴=+=， 4cos 5OF COF OC ∠==， 3sin 5COF ∴∠=；（3）当D 在MON ∠内部时，①如图31-，FDA FDC ∆∆∽时，此时2CD AD ==， 2m ∴=；②当FDA CDF ∆∆∽时，如图32-，延长CD 交ON 于点Q ，过F 作FP CQ ⊥于P ，则135FDC FDA ∠=∠=︒，45FDP ∴∠=︒，tan tan 22PC FP PFC FP MON FP DP CD DP =∠=∠===+Q g g ， FP PD CD m ∴===，FD ∴=，FDA CDF ∆∆Q ∽， ∴FD CD DA FD=，FD ∴==，∴=，1m ∴=；当D 在MON ∠外部时，90ADF ∠>︒，90DFC ∠>︒， ADF DFC ∴∠=∠，DFI FDI ∴∠=∠，ID IF =，①如图33-，FDA DFC ∆∆∽时，此时FDA DFC ∆≅∆， 2CF AD ∴==，DAF FCD FHD ∠=∠=∠Q ，A ∴、O 重合，延长BC 交ON 于R ，24FR CF ∴==，CR =，2BR =+，112m CD AB BR ∴====；②如图34-，FDA CFD ∆∆∽时，设(0)CF t =>，延长BC 交ON 于R ，过F 作FS CD ⊥于S ，DFC FDH ∆≅∆Q ，DH FC ∴=， 152ID IF CF t ∴===， IS t ∴=，2FS t =，4CS t =，(51)DS t =+，25DH FC t ==， FDA CFD ∆∆Q ∽，∴AD DFDF FC =，2245DF AD FC DH t ∴===g ，222DF DS FS =+Q ，222454(51)t t t ∴=++，解得，1512t -=，20t =（舍去），25552DH t AD ∴==->=，矛盾，综上所述：1m =或2m =，或15m =+．。

2020年上海市虹口区中考数学一模试卷及答案解析

2020年上海市虹口区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。

）1．（4分）若cos α=12，则锐角α的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 2．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果BC ＝2，tan B ＝2，那么AC ＝（）A ．1B ．4C ．√5D ．2√53．（4分）抛物线y ＝3（x +1）2+1的顶点所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（4分）已知抛物线y ＝x 2经过A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）两点，在下列关系式中，正确的是（）A ．y 1＞0＞y 2B ．y 2＞0＞y 1C ．y 1＞y 2＞0D ．y 2＞y 1＞0 5．（4分）已知a →、b →和c →都是非零向量，在下列选项中，不能判定a →∥b →的是（）A ．|a →|＝|b →|B ．a →∥c →，b →∥c →C ．a →+b →=0D ．a +b →=2c →，a →−b →=3c →6．（4分）如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AC ＝2AD ，如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（）A ．15B ．10C ．7.5D ．5二、填空题7．（4分）如果a ：b ＝2：3，且a +b ＝10，那么a ＝．8．（4分）如果向量a →、b →、x →满足关系式2b →−3（a →+x →）＝0，那么用向量a →、b →表示向量x →= ．9．（4分）如果抛物线y ＝（1﹣a ）x 2+1的开口向下，那么a 的取值范围是．10．（4分）沿着x 轴正方向看，抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2在对称轴侧的部分是下降的（填“左”、“右”）．11．（4分）如果函数y＝（m+1）x m2−m+2是二次函数，那么m＝．12．（4分）如图，抛物线的对称轴为直线x＝1，点P、Q是抛物线与x轴的两个交点，点P 在点Q的右侧，如果点P的坐标为（4，0），那么点Q的坐标为．13．（4分）如图，点A（2，m）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，如果tanα=3 2．那么m＝．14．（4分）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为．15．（4分）如图，在梯形AEFB中，AB∥EF，AB＝6，EF＝10，点C、D分别在边AE、BF 上且CD∥AB，如果AC＝3CE，那么CD＝．16．（4分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为512，那么大正方形的面积是．。

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上海中考数学一模-2020年-23题合集
1．（2020•黄浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 分别作AD 、AB 的垂线，交边AD 、AB 延长线于点E 、F ．（1）求证：AD DE AB BF = ；
（2）联结AC ，如果CF AC DE CD =，求证：22AC AF BC BF
=．
2．（2020•静安区一模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE = ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF = ，求证：ABE ACD ∆∆∽．
3．（2020•宝山区一模）如图，ABC
∆中，AB AC
=，AM为BC边的中线，点D在边AC上，
联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BD AD
DE DC
=，联结CE．求证：
（1）2
ECD BAM
∠=∠；
（2）BF是DF和EF的比例中项．
4．（2020•安徽一模）如图，在ABC
∆中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD OC AB OD
=
，AF是BAC
∠的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE AB
⊥；
（2）AF DE AG BC
=
．
5．（2020•普陀区一模）已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOD BOC S S ∆∆=．
（1）求证：DO CO OB OA
=；（2）设OAB ∆的面积为S ，
CD k AB =，求证：2(1)ABCD S k S =+四边形．
6．（2020•青浦区一模）已知：如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，//AE BC ，BE 与AD 、AC 分别相交于点F 、G ，2AF FG FE = ．（1）求证：CAD CBG ∆∆∽；
（2）联结DG ，求证：DG AE AB AG = ．
7．（2020•浦东新区一模）如图，已知ABC ∆和ADE ∆，点D 在BC 边上，DA DC =，ADE B ∠=∠，边DE 与AC 相交于点F ．（1）求证：AB AD DF BC = ；
（2）如果//AE BC ，求证：BD DF DC FE =．
8．（2020•崇明区一模）如图，ABC ∆中，AD BC ⊥，E 是AD 边上一点，连接BE ，过点D 作DF BE ⊥，垂足为F ，且AE DF EF CD = ，联结AF 、CF ，CF 与边AD 交于点O ．求证：（1）EAF DCF ∠=∠；
（2）AF BD AC DF = ．
9．（2020•长宁金山区一模）如图，在ABC
∆中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD 交于点F，若AE平分BAC
∠，AB AF AC AE
=
．
（1）求证：AFD AEC
∠=∠；
（2）若//
EG CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD CG FC BD
=
．
10．（2020•杨浦区一模）如图，已知在ABC
∆中，AD是ABC
∆的中线，DAC B
∠=∠，点E 在边AD上，CE CD
=．
（1）求证：AC BD AB AD
=；
（2）求证：22
AC AE AD
= ．
11．（2020•徐汇区一模）如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F ，G 分别在AB 、AC 、BC 上，3AB AD =，2CE AE =，BF FG CG ==，DG 与EF 交于点H ．（1）求证：FH AC HG AB = ；
（2）联结DF ，EG ，求证：A FDG GEF ∠=∠+∠．
12．（2020•虹口区一模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 是边BC 的中点，联结AD ．过点C 作CE AD ⊥于点E ，联结BE ．（1）求证：2BD DE AD = ；
（2）如果ABC DCE ∠=∠，求证：BD CE BE DE = ．
13．（2020•嘉定区一模）已知：如图，在ABC
∆中，点D、E分别在边AB、AC上，//
DE BC，ABE C
∠=∠．
（1）求证：2
BE DE BC
= ；
（2）当BE平分ABC
∠时，求证：BD AE BE AB
=．
14．（2020•奉贤区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，2
CE DE CF
= ．
（1）求证：D CEF
∠=∠；
（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分ECF
∠，求证：AC AE CB CG
=
．
15．（2020•松江区一模）已知：如图，点D ，F 在ABC ∆边AC 上，点E 在边BC 上，且//DE AB ，2CD CF CA = ．
（1）求证：//EF BD ；
（2）如果AC CF BC CE = ，求证：2BD DE BA = ．
16．（2020•闵行区一模）已知：如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 在斜边AB 上，DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分
别为E ，F ．
（1）当ACD BCD ∠=∠时，求证：四边形DECF 是正方形；（2）当BCD A ∠=∠时，求证：CD CF CA AD
=．。