人教版初中数学《第9章三角形》竞赛专题复习

第9章三角形 §9．1全等三角形

9．1．1★已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．B ∠的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直 且交BD 延长线于E ，求证：2BD CE =．

解析如图，延长CE 、BA ，设交于F ．则F B E A C F ∠=∠，AB AC =，得A B D A C F △△≌，CF BD =．

又BE CF ⊥，BE 平分FBC ∠，故BE 平分CF ，E 为CF 中点，所以2CE FC BD ==．

9．1．2★在ABC △中，已知60A ∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，P 、Q 为ABC △形外两点，使PE AB ⊥，2AB PE =

，QF AC ⊥，2

AC

QF =，若1GP =，求PQ 的长． F A

E D

B

C

解析如图，连结EG 、FG ，则EG AC ∥，FG AB ∥，故150PEG QFG ∠=︒=∠．又1

2Q F A C E G ==，

1

2

PE AB FG =

=，故PEG GFQ △△≌，所以PG GQ =，30EGP FGQ FQG FGQ ∠+∠=∠+∠=︒，又60EGF ∠=︒，所以90PGQ ∠=︒

，于是PQ ==

A

B

C

G Q

P

E

F

9．1．3★在梯形ABCD 的底边AD 上有一点E ，若ABE △、BCE △、CDE △的周长相等，求BC

AD

． 解析作平行四边形ECBA '，则A BE CEB '△△

≌，若A '与A 不重合，则A '在EA （或延长线）上，但由三角形不等式易知，A '在EA 上时，ABE △的周长>A BE '△的周长；A '在EA 延长线上时，ABE △的周长A BE '<△周长，均与题设矛盾，故A 与A '重合，AE BC ∥，同理ED BC ∥，

1

2

BC AD =． B C

E D

AA'

9．1．4★★ABC △内，60BAC ∠=︒，40ACB ∠=︒，P 、Q 分别在边BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分

别是BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+． 解析延长AB 到D ，使BD BP =，连结DP ．易知80ABC ∠=︒，所以40QBC ACB ∠=︒=∠，AC AQ QC AQ QB =+=+．

A

B

C

D

Q

P

因1

402

BDP BPD ABC ACB ∠=∠=∠=︒=∠，所以ADP ACP △△≌，

AC AD AB BD AB BP ==+=+． 于是BQ AQ AB BP +=+．

9．1．5★★设等腰直角三角形ABC 中，D 是腰AC 的中点，E 在斜边BC 上，并且AE BD ⊥．求证： BDA EDC ∠=∠．

解析如图，作BAD ∠的平分线AF ，F 在BD 上．

A

B

C

E

F

D

由于45BAF ACE ∠=︒=∠，AB AC =，ABF CAE ∠=∠，故ABF CAE △△≌，故EC AF =． 又45C FAD ∠=∠=︒，AD CD =，于是AFD CED △△≌，于是ADB EDC ∠=∠．

9．1．6★★设ABE △、ACF △都是等腰直角三角形，AE 、AF 是各自的斜边，G 是EF 的中点，求证：GBC △也是等腰直角三角形．

解析如图，作AQ 、GP 、EM 、FN 分别垂直于直线BC ，垂足为Q 、P 、M 、N ．

A

E F

G

M

B

Q P

C

由90EBM ABQ BAQ ∠=︒-∠=∠，AB BE =，EMB BQA △△≌，故有EM BQ =，BM AQ =．同理FN QC =，CN AQ =，所以BM CN =， EM FN BQ QC BC +=+=． 又EG GF =得BP CP =，且()11

22

GP EM FN BC =+=，故GP BP CP ==．又由GP BC ⊥，故 结论成立．

9．1．7★★已知AB AC ⊥，AB AC =，D 、E 在BC 上（D 靠近B ），求证：222DE BD CE =+的充要条件是45DAE ∠=︒．

A

B

D

E

F

C

解析如图，作FC BC ⊥，且FC BD =，则45ACF B ∠=︒=∠，又AB AC =，故ABD ACF △△≌，AD AF =，且490D F BAC ∠=∠=︒．

若45DAE ∠=︒，则45EAF ∠=︒，因AD AF =，得ADE AFE △△≌，则 222222DE EF EC FC EC BD ==+=+．

反之，若222DE EC BD =+，由222EF EC FC =+得EF DE =．又AD AF =，故ADE AEF △△≌，又90DAF ∠=︒，于是45DAE ∠=︒．

9．1．8★★两三角形全等且关于一直线对称，求证：可以将其中一个划分成3块，每一块通过平移、 旋转后拼成另一个三角形．

解析如图，设ABC △与A B C '''△关于l 对称，分别找到各自的内心I 、I '，分别向三边作垂线ID 、IE 、 IF 与I D ''、I E ''、I F ''，于是6个四边形AFIE ……均为轴对称的筝形，且四边形AFIE ≌四边形A E J F ''''，所以两者可通过平移、旋转后重合；同理，另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．

A

E

C

D

F B

A'

B'

C'

D'

F'E'

l l'l

9．1．9★★★已知：两个等底等高的锐角三角形，可以将每个三角形分别分成四个三角形，分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色，使得同色三角形全等．

解析如图，设BC B C ''=，A 至BC 距离等于A '至B C ''距离，取各自的中位线FE 、FE ''，则F E F E '=．

由ABC △、A B C '''△均为锐角三角形，可在BC 、B C ''上各取一点D 、D '，使图中标相同数字的角相等，于是AEF D E F '''△△≌，DEF A E F '''△△≌，FBD FD B ''△△≌，EDC E C D '''△△≌． 评注还有一种旋转而不是对称的构造法．

A B

D

E

F A'B'D'

C'

E'

F'

123451465

264152

43251

9．1．10★已知ABC △与A B C '''△中，A A '∠=∠，BC B C ''=，ABC A B C S S '''=△△，ABC △与 A B C '''△是否一定全等？