固体物理2.4 结构基元的傅里叶分析
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S (v1v2 v3 ) f {1 exp[iπ(v1 v2 v3 )]} 0 2 f 当v1 v2 v3为奇数 x 当v1 v2 v3为偶数
y
所以，实验上不可能发现衍射面指数之和 为奇数的衍射谱线或斑点
6
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
积分遍及与单个原子相关的电子浓度为 非零的区域
8
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
原子形状因子的计算
f j dVn j (r ) exp(iG r )
z
假设电子分布呈球对称性采用 球坐标系计算
fj
0
G
O
r
0 0
j
定义原子的形状因子为
f j dVn j ( ) exp(iG )
3
反映原子的对入射波的散射本领
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
结构因子可以利用原子的形状因子重新写为
SG f j exp(iG rj ) j 再把 r j 写成 rj x j a1 y j a2 z j a3 而 G v1b1 v2b2 v3b3
对于前向散射，k ' k ，G k 0 同样
有上述结果
10
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
一些说明： 由于 X 射线衍射给出的固体中的总电子分 布与相应的自由原子的总电子分布比较接近， 但是这个结果并不意味着最外层的电子或者价 电子在形成固体时没有进行重新分布。它只是 表明，自由原子形状因子的数值能很好地描述 X 射线散射强度，而 X 射线散射强度对于电子 的小幅度重新分布是不敏感的。
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
1. 结构因子
当衍射条件 k G 满足时，振幅散射 F dVn (r ) exp( iG r )
对于一个有 N 个晶胞的晶体
FG N
cell
dVn (r ) exp( iG r ) NS G
j 1
2
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
2. 原子形状因子 SG dVn (r ) exp( iG r ) cell SG dVn j (r rj ) exp(iG r ) j 令 r rj ，则 SG exp(iG rj ) dVn j ( ) exp(iG )
π
2π
0
n j (r ) exp(iGr cos )r 2 sin drdd
2 π 0
2π n j (r )r dr exp(iGr cos )d( cos ) 4π
0
sinGr n j (r )r dr Gr
2
9
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
SG 称为结构因子，是一个晶胞的散射振幅， 并令晶胞某一顶点处的 r 0
1
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
设晶胞有 s 个原子，r j 第 j 个原子中心的位 矢，第 j 个原子对 r 处的电子浓度的贡献为 n j (r rj ) r ri ri r 晶胞内所有原子在 r 处 r rj 给出的总的电子浓度为 rj s n( r ) n j ( r r j )
这样得到结构因子的通用公式
SG (v1v2v3 ) f j exp[i 2π(v1 x j v2 y j v3 z j )]
j
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固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
3. 衍射波强度
I | FG | N | SG |
2 2 * I | SG |2 SG SG 2
7
11 1 1 11 (0 0 0), (0 ), ( 0 ), ( 0) 22 2 2 22
y
x
Байду номын сангаас
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
2.4. 3
原子形状因子
原子形状因子是原子散射本领的量度，其 值既与原子中电子的数目和分布有关，又与辐 射的波长及散射角度有关
f j dVn j (r ) exp(iG r )
如果在 r 0 处集中了上述总的电子密度， 那么只有 Gr 0 时才对积分有贡献
sinGr 1 Gr 0 Gr 即等于原子中电子的数目 f j 4π n j (r )r 2dr Z lim
0
f j 4π
0
sinGr n j (r )r dr Gr
2
所以，f 是整个原子对入射波的散射振幅与 一个假设位于原子核处的电子的散射振幅之比
11
2.4. 2 面心立方晶格的结构因子 考虑简单格子的情况，晶胞 z 中4个全同原子分别处于 (x1 y1 z1) 分别为 所以 S (v1v2 v3 ) f {1 exp[iπ(v2 v3 )] exp[iπ(v3 v1 ) exp[iπ(v1 v2 )}
4 f 0 v1 , v2 , v3同时为奇或偶 其它
I { f j cos[2 π(v1 x j v2 y j v3 z j )]}
j j
2
{ f j sin[2 π(v1 x j v2 y j v3 z j )]}2
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第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
2.4. 1 体心立方晶格的结构因子 z 考虑简单格子的情况，两个 全同原子分别处于 x1=y1=z1=0和 x1=y1=z1=1/2 处，因此
y
所以，实验上不可能发现衍射面指数之和 为奇数的衍射谱线或斑点
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第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
积分遍及与单个原子相关的电子浓度为 非零的区域
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固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
原子形状因子的计算
f j dVn j (r ) exp(iG r )
z
假设电子分布呈球对称性采用 球坐标系计算
fj
0
G
O
r
0 0
j
定义原子的形状因子为
f j dVn j ( ) exp(iG )
3
反映原子的对入射波的散射本领
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
结构因子可以利用原子的形状因子重新写为
SG f j exp(iG rj ) j 再把 r j 写成 rj x j a1 y j a2 z j a3 而 G v1b1 v2b2 v3b3
对于前向散射，k ' k ，G k 0 同样
有上述结果
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第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
一些说明： 由于 X 射线衍射给出的固体中的总电子分 布与相应的自由原子的总电子分布比较接近， 但是这个结果并不意味着最外层的电子或者价 电子在形成固体时没有进行重新分布。它只是 表明，自由原子形状因子的数值能很好地描述 X 射线散射强度，而 X 射线散射强度对于电子 的小幅度重新分布是不敏感的。
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
1. 结构因子
当衍射条件 k G 满足时，振幅散射 F dVn (r ) exp( iG r )
对于一个有 N 个晶胞的晶体
FG N
cell
dVn (r ) exp( iG r ) NS G
j 1
2
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
2. 原子形状因子 SG dVn (r ) exp( iG r ) cell SG dVn j (r rj ) exp(iG r ) j 令 r rj ，则 SG exp(iG rj ) dVn j ( ) exp(iG )
π
2π
0
n j (r ) exp(iGr cos )r 2 sin drdd
2 π 0
2π n j (r )r dr exp(iGr cos )d( cos ) 4π
0
sinGr n j (r )r dr Gr
2
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第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
SG 称为结构因子，是一个晶胞的散射振幅， 并令晶胞某一顶点处的 r 0
1
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第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
设晶胞有 s 个原子，r j 第 j 个原子中心的位 矢，第 j 个原子对 r 处的电子浓度的贡献为 n j (r rj ) r ri ri r 晶胞内所有原子在 r 处 r rj 给出的总的电子浓度为 rj s n( r ) n j ( r r j )
这样得到结构因子的通用公式
SG (v1v2v3 ) f j exp[i 2π(v1 x j v2 y j v3 z j )]
j
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第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
3. 衍射波强度
I | FG | N | SG |
2 2 * I | SG |2 SG SG 2
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11 1 1 11 (0 0 0), (0 ), ( 0 ), ( 0) 22 2 2 22
y
x
Байду номын сангаас
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第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
2.4. 3
原子形状因子
原子形状因子是原子散射本领的量度，其 值既与原子中电子的数目和分布有关，又与辐 射的波长及散射角度有关
f j dVn j (r ) exp(iG r )
如果在 r 0 处集中了上述总的电子密度， 那么只有 Gr 0 时才对积分有贡献
sinGr 1 Gr 0 Gr 即等于原子中电子的数目 f j 4π n j (r )r 2dr Z lim
0
f j 4π
0
sinGr n j (r )r dr Gr
2
所以，f 是整个原子对入射波的散射振幅与 一个假设位于原子核处的电子的散射振幅之比
11
2.4. 2 面心立方晶格的结构因子 考虑简单格子的情况，晶胞 z 中4个全同原子分别处于 (x1 y1 z1) 分别为 所以 S (v1v2 v3 ) f {1 exp[iπ(v2 v3 )] exp[iπ(v3 v1 ) exp[iπ(v1 v2 )}
4 f 0 v1 , v2 , v3同时为奇或偶 其它
I { f j cos[2 π(v1 x j v2 y j v3 z j )]}
j j
2
{ f j sin[2 π(v1 x j v2 y j v3 z j )]}2
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固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.4 结构基元的傅里叶分析
2.4. 1 体心立方晶格的结构因子 z 考虑简单格子的情况，两个 全同原子分别处于 x1=y1=z1=0和 x1=y1=z1=1/2 处，因此