工程力学第3章

M = M1 + M 2 + L + M n = ∑ M i
（3-5）
第3章 力矩和平面力偶系 平面力偶系的平衡条件 2. 平面力偶系的平衡条件 由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零； 反 之，合力偶矩为零，则平面力偶系平衡。因此,平面力偶系平衡 的充分和必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。 即
第3章 力矩和平面力偶系
图3-4
第3章 力矩和平面力偶系 这样由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系称为力偶。力偶用符号(F，F′)表示，两力之间的垂直距离d 称为力偶臂， 如图3-5所示。 力偶两力作用线所决定的平面称 为力偶的作用面，力偶使物体转动的方向称为力偶的转向。 实 践证明，力偶只能对物体产生转动效应，而不能使物体产生移 动效应。力偶对物体的转动效应，可用力偶中的力与力偶臂的 乘积再冠以适当的正负号来确定，称为力偶矩，记做M(F，F′), 或简写为M，即
所以 FB = FA = 20 N ，方向如图3-9(b)所示。
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-4 多刀钻床在水平工件上钻孔（图3-10），每个钻头的 切削刀刃作用于工件的力在水平面内构成一力偶。已知切制三 个孔对工件的力偶矩分别为 ， 。 M 1 = M 2 = 13.5 N m M 3 = 17 N m 求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B两处用螺栓固定，A 和B之间的距离，试求两个螺栓在工件平面内所受的力。 解：(1) 求三个主动力偶的合力偶矩
M = ∑ M i = M1 M 2 M 3 = 13.5 13.5 17 = 44N m
负号表示合力偶矩为顺时针方向。
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-10
第3章 力矩和平面力偶系 (2) 求两个螺栓所受的力。 选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的 反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶， 设它们的方向如图所示， 由平面力偶系的平衡条件，有
第3章 力矩和平面力偶系
图3-5
第3章 力矩和平面力偶系 1. 力偶的性质 根据力偶的定义，力偶具有以下一些性质。 性质一 力偶在任意轴上投影的代数和为零，如图3-6，故力 偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力平衡。 力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响， 力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。因此，力与力偶是静 力学中的两种基本元素。
M O ( F ) = ± F d = ±2 S ABO
（3-1）
力矩是相对某一矩心而言的，离开了矩心，力矩就没有意 义。而矩心的位置可以是力作用面内任一点，但并不一定是物 体内固定的转动中心，换句话说，平面上的一个力可以对平面 内任意一点取矩，而力矩一般不相同。
第3章 力矩和平面力偶系 由以上力对点之矩的概念， 可得到以下结论： (1) 力的大小为零或力的作用线通过矩心时， 其力矩为零； (2) 力沿其作用线滑动时， 不会改变力对矩心的力矩； (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
F通过刚体的重心C时，刚体只发生移动。如果将力F平行移动到 刚体上任一点D，则刚体既发生移动，又发生转动，即作用效果
发生改变。那么，在什么条件下，力平行移动后与未移动前对 刚体的作用效果等效呢？力的平移定理解决了这一问题。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-11
第3章 力矩和平面力偶系 力的平移定理 作用于刚体上某点的力，可以平行移动到 刚体内任意一点，但同时必须附加一个力偶，此附加力偶的力 偶矩等于原力对平移点的力矩，力偶的转向决定于原力对平移 点的力矩的转动方向。 证明 如图3-12(a)所示，假设有一力F作用在刚体上A点， 要把它平移到刚体上另一点B处。根据加减平衡力系原理，在B 点加一对平衡力F′和F″，并使它们与力F平行，而且F′=-F″=F， 如图3-12(b)所示，显然，它们对刚体的作用与原来的一个力F对 刚体的作用等效。在这三个力中，力F与F″组成一对力偶(F, F″)。 于是，原来作用在A点的力，现在被一个作用在B点的力F′和一 个附加力偶(F, F″)所取代，如图3-12(c)所示， 此附加力偶的力 偶矩大小为 M = M B (F ) = Fd （3-7）
第3章 力矩和平面力偶系
第3章 力矩和平面力偶系
力对点之矩及合力矩定理 3.1 力对点之矩及合力矩定理 3.2 平面力偶系 3.3 力的平移定理 思考题 思考题 习题
第3章 力矩和平面力偶系
3.1 力对点之矩及合力矩定理
以扳手拧紧螺母为例（如图3-1所示），人施于扳手上的力 F使扳手和螺母一起绕转动中心O点转动，即产生转动效应。 由 经验可知，转动效应的大小不仅与力F的大小和方向有关，且与 转动中心O点到力F作用线的垂直距离d有关。因此，力F对扳手 的转动效应可用乘积Fd冠以适当的正负号来度量。这个量称为 力对点之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示，即
∑Mi = 0
（3-6）
这就是平面力偶系的平衡方程，用这个方程可以求解一个未知量。
第3章 力矩和平面力偶系 例 3-3 图3-9(a)所示简支梁AB上，受作用线相距为d=20
cm的两反向力F与F′组成的力偶和力偶矩为M的力偶的作用。 若F=F′=100N， M=40 Nm，梁长l=1m，求支座A和B的约束反 力。
第3章 力矩和平面力偶系
图3-6
第3章 力矩和平面力偶系 性质二 力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力
偶矩，而与矩心的位置无关。 证明 如图3-5所示，在力偶(F，F′)的二力作用点A、B连
线上任意取一点O为矩心，并设O点到力F的距离为x， 按力矩 定义，F与F′对O点的力矩和为
M O (F) + M O (F′) = Fx + F ′( x + d ) = F ′d
第3章 力矩和平面力偶系 3.1.2 合力矩定理 在计算力矩时，力臂一般可通过几何关系确定，但有时几 何关系比较复杂，直接计算力臂比较困难。这时，如果将力适 当进行分解，计算各分力的力矩可能会比较简单。合力矩定理 建立了合力对某点的矩与其分力对同一点矩之间的关系, 对于 平面汇交力系可叙述如下： 合力矩定理 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，
M O (F ) = ± F d
（3-1）
式中O点称为矩心，O点到在力Ｆ的作用线的垂直距离d称为力 臂，正负号的规定如下：力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩 为正，反之为负。由此式可见，平面内力对点之矩，只取决于 力矩的大小及其正负号，说明力矩是代数量。
第3章 力矩和平面力偶系
图 3-1
第3章 力矩和平面力偶系 在国际单位制中，力F矩的单位是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒ 米（）。 从几何上看，力对O点的矩在数值上等于ΔABO面积的两 倍，即
即
M O ( F ) + M O ( F ′) = M ( F , F ′)
第3章 力矩和平面力偶系 性质三 用效应。 力偶的这一性质说明力偶对物体的作用与力偶在作用面内 的位置无关。须指出，这一性质只适用于刚体而不适用于变形 体。 保持力偶的转向和力偶矩的大小不变， 力偶可
以在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对刚体的作
第3章 力矩和平面力偶系 性质四 只要保持力偶的转向和力偶臂的大小不变， 可
以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短， 而不会改变力 偶对刚体的作用效应。 力偶的这一性质说明力偶中力或力偶臂都不是力偶的特征 量，只有力偶矩才是力偶作用的度量。因此，力偶可以用一段 带箭头的弧线表示， 其中弧线所在平面表示力偶的作用面， 箭头指向表示力偶的转向，再标注力偶矩的大小。图3-7表示 力偶矩为M的一个力偶，四种表示方法等效。
图 3-9
第3章 力矩和平面力偶系 解 取梁AB为研究对象，因为只受主动力偶作用，而力偶
只能用力偶来平衡，故两支座反力必构成一对力偶。现已知FB 的方向，则FA与FB平行且反向，如图3-9(b)所示。由平面力偶系 的平衡条件， 有
∑Mi = 0
FA l + F d M = 0
解得
M F d FA = = 20 N l
Ft = Fn cos α
Fr = Fn sin α
根据合力矩定理
M O( F n ) = M O ( F t ) + M O ( F r )
因为径向力Fr过矩心O，故MO(Fr)=0，于是
D D M O ( Fn ) = M O ( Ft ) = F = Fn cos α = 73.7 N m 2 2
M ( F , F ′) = M = ± F d
（3-4）
第3章 力矩和平面力偶系 式中的正负号表示力偶的转向，通常规定，逆时针转动取正 逆时针转动取正 顺时针转动取负号。力偶矩与力矩一样都是代数量，力偶 号，顺时针转动取负号 矩的单位与力矩的单位也相同，是牛[顿]﹒米（）或千牛[顿]﹒ 米（）。 力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面，称为力偶的 力偶矩的大小、力偶的转向和力偶的作用面 三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。
F1 = F cos α
根据合力矩定理，力F对A点之矩
F2 = F sin α
M A ( F ) = M A ( F1 ) + M A ( F2 ) = F1l1 F2 l 2 = F (l1 cos15 0 + l 2 sin 15 0 ) = 3970 N cm = 39.7 N m
负号说明力F使手柄绕A点顺时针转动。
∑Mi = 0
FA l M 1 M 2 M 3 = 0
解得
M1 + M 2 + M 3 FA = = 220 N l
所以 FB = FA = 220 N ，方向如图3-10所示。
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3.3 力的平移定理
力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、方向 和作用点。当力沿其作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。 但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平行移动 到另一位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。 设在刚体上作用一力F，如图3-11所示，由经验可知，当力