损失和风险
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16,9,4,1;或8,6,4,2,或10,7,6,1等.
·序数效用的存在性公理
1.连通性(可比)
2.传ຫໍສະໝຸດ Baidu性
3.对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29§
§效用函数的构造
一、离散型的概率分布
后果元素有限
·各后果效用设定的步骤NM法
由公理4:若 ,则可找到0<α<1,使 α +(1-α)
又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布
所有P的集合记作p
iii,抽奖(lottery)与确定当量
若 ( ; )
则称确定性后果 为抽奖( ; )的确定当量
2.效用的定义(A)
在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系 一致，即:
若 p, iff u( )≥u( )
Friedmann-Savage效用曲线(1948):
§损失、风险和贝叶斯风险
一、损失函数L
有些文献采用损失函数进行分析
∵u(c)=u(θ,a)
∴l(θ,a)-u(θ,a)则损失函数与效用作用相同
为了使损失值非负，可取
l(θ,a)= u(θ,a)-u(θ,a)
二、风险函数
自然状态集Θ-----参数空间
即使是死亡，亦不至于无穷劣
例：i,过马路
若死亡为无穷劣，则不能过马路
ii,狂犬病疫苗
上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.
例：Allais悖论（Paradox〕
例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答
Savage的回答是A组宁择i，
B组宁择ii，
Allais指出：B组的i, ii,均以的$500,000取代的$0，即与A组的i,ii,相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。
则称u为效用函数
三、效用存在性公理理性行为公理
Von Neumann-Morenstern, 1994 [169]
·公理1连通性(Connectivity)又称可比性
p,则 or or
·公理2传递性(Transitivity)
p,若 , 则
·公理3替代性公理(加等量时优先关系不变)
若 p, 且0 1
以上是初期对风险的解释(Pratt C.,1964)
2.对后果的偏好强度
钱的边缘价值：设某人现有积蓄为0，增加800地的作用(价值)与有了800元后再加1200元相等,则此人的财富的价值函数是凹函数。
若他认为800元,0; ,2000),则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中立。为此有必要对确定性后果的偏好强度加以量化。
iii, x>0时u(x)通常是凹的递减的边缘价值
风险厌恶
x>0与x<0的形状不同,负债较多有追求风险的倾向.
2.钱的效用曲线的构成
设某人现有1000元存款(某商店有资产10万，企业有1000万等等)
i, NM法(见§
利用 ～α +(1-α)
ii,修正的NM法
利用 ～ +
例:设u(0)=0), u(1000)=1
*关于线性：将ii. u(α, ; 1-α, )=αu( ) +(1-α)u( )推广到一般,
若 ∈p; ≥0 , i=1,2,…m; =1;则u( )= u( )
四、基数效用与序数效用(Cardinal & Ordinal Utility)
基数：实数：1，2，3,π
序数：第一，二，…，4，3，2，1
有300～<0>+<1000> u(300)=
又125～<0>+<100> u(125)=
550～<300>+<1000> u(550)=
由0～<a>+<500>
设a=-250
则u(-250)=-u(500)=
-250～<b>+<0>
原因：i,价值函数是S型
ii,在一定范围内相对风险态度不变
iii,负债到一定程度以上有冒险倾向
Savage当时语塞。
·效用的公理化定义
在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使
i, 当且仅当u( )＞u( )
ii. u(α, ; 1-α, )=αu( ) +(1-α)u( )
iii,对满足上述条件的 , 必有 ( ) =b ( )+c ,其中b, c∈ , b＞0
则u(P)称为(基数)效用函数
第一步：
选定 , C ,使
令u( )=0, u( )=1
所选择的 、 应使比较易于进行.
第二步：对 ,求α(0<α<1),使 α +(1-α)
则u( )=u(α +(1-α) )=αu( )+(1-α)u( )
第三步：若 ,求α(0<α<1),使 α +(1-α)
则u( )=u(α +(1-α) )=αu( )+(1-α)u( )
损失和风险
第三章效用、损失和风险
(Utility,Loss and Risk)
本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184
§3—1效用的定义和公理系统
一、引言
·为什么要引入效用
决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示；
后果价值待定：以效用度量。
1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；
ii,由定义之ii，可测价值函数具有基数性质但与基数效用不同：VF不反映DMer的风险态度。
iii，它定在后果空间上，能起序数效用的作用但又与OUF不同：能反映后果的偏好强度.
三、相对风险态度
设效用函数u和测价值函数v在X上都是单调递增，且连续二次可微。
1.风险的局部测度
> 0 u在x处凹,风险厌恶
r(x)=-u”(x)/u’(x) = 0 u在x处线性,风险中立
< 0 u在x处凸,风险追求
2.偏好强度的局部测度
>0在x处有递减的边缘价值
m(x)=-v”(x)/v’(x)=0在x处有不变的边缘价值
<0在x处有递增的边缘价值
3.真正的(相对)风险态度的定义
若m(x)＜r(x)称为在X'区内相对风险厌恶
u( )=α/(α-1)
第四步：若 ,求α(0<α<1),使 α +(1-α)
则u( )=u(α +(1-α) )=αu( )
u( )=1/α
第五步：一致性校验
设 且 , , 已知，
由 α +(1-α) 求得u’( )
若u’( )与已知的u( )不符，则反复进行二、三、四步，直到一致性校验通过.
例
设
行动集A -----决策空间
观察值集X -----测度空间
决策规则δ:x→a , ,Δ为策略空间
·区别：
1.基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布),是实数;
序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数
2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)
原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c,πb+c;其中b, c∈ , b＞0.
而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一),原序数列可变换为
2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。
例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。
例二：
上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义
有人认为打赌不如礼品,即
则对任何 ∈p,必有 +(1-) +(1-)
或者表达成： ,则 +(1-) +(1-)
即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。
·公理4连续性公理----偏好的有界性
若 则存在01, 01,
使 +(1-) +(1-)
由 +(1-) 可知 不是无穷劣,即u( )
由 +(1-) 可知 不是无穷优,即u( )
3.效用表示时间偏好十分复杂，我们在第八章再介绍。
二、可测价值函数
——确定性后果偏好强度的量化
定义：
在后果空间X上的实值函数v，对ω，x, y, z∈X有
i,ωxyz当且仅当υ(ω)-υ(x)≥υ(y)-υ(z),且
ii, v对正线性变换是唯一确定的。
则称υ为可测价值函数
说明：i，ωxyz表示ω,x之间偏好强度之差超过y,z之间偏好强度之差,
1.符号
i,AB(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed) A to B)
AB(即ARB) A不劣于B
A～B(即AIB) A无差别于B (Indifference)
ii,展望(prospect):可能的前景
即各种后果及后果出现概率的组合
P=( … … )
既考虑各种后果(consequence)
*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preference order)的问题
*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。
*除风险偏好之外，还时间偏好。i,折扣率ii,其他
m(x)=r(x)称为在X'内相对风险中立
m(x)=r(x)称为在X'内相对风险追求
四、风险酬金
kE(x)-S
这是决策人为了避免风险而顾意损失的金额
k=f(v,P)
五、钱的效用
1.性质
i,单调递增：愈多愈好
有界：全世界财富总量不足$ , u( )与u( )几乎无差异
ii, x较小(相对于决策人资产而言)时,u(x)近乎线性
8小时／日处效率最高(效用／小时)
例2.见讲义P31之例
·注意：效用的唯一性(在正线性变换下唯一)使效用的值域为整个实轴，而不必限于[0,1]
§风险与效用
一、效用函数包含的内容
1.对风险的态度
风险厌恶(Risk Aversion)
风险中立(Risk Neutralness)
风险追求(Risk Proneness)即有冒险倾向
而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).
Daniel Bernoulli在1738年指出：
若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。
二、效用的定义
一、u( )=0, u( )=1
二、 + u( )=
三、 + u ( )=
校验设 + u’( )=≠
重复二、三、若u ( )不变u ( )=则通过校验.
二、连续型后果集
·当C为连续变量时,u(c)是光滑的，因此可分段构造，求特征点的效用，再连成光滑曲线
例1.每天学习时间的效用曲线
在10～12小时／日处效用最大
·序数效用的存在性公理
1.连通性(可比)
2.传ຫໍສະໝຸດ Baidu性
3.对任何确定的后果x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29§
§效用函数的构造
一、离散型的概率分布
后果元素有限
·各后果效用设定的步骤NM法
由公理4:若 ,则可找到0<α<1,使 α +(1-α)
又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布
所有P的集合记作p
iii,抽奖(lottery)与确定当量
若 ( ; )
则称确定性后果 为抽奖( ; )的确定当量
2.效用的定义(A)
在集合p上的实值函数u，若它和p上的优先关系 一致，即:
若 p, iff u( )≥u( )
Friedmann-Savage效用曲线(1948):
§损失、风险和贝叶斯风险
一、损失函数L
有些文献采用损失函数进行分析
∵u(c)=u(θ,a)
∴l(θ,a)-u(θ,a)则损失函数与效用作用相同
为了使损失值非负，可取
l(θ,a)= u(θ,a)-u(θ,a)
二、风险函数
自然状态集Θ-----参数空间
即使是死亡，亦不至于无穷劣
例：i,过马路
若死亡为无穷劣，则不能过马路
ii,狂犬病疫苗
上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然.
例：Allais悖论（Paradox〕
例如，1953年Allais在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威Svage回答
Savage的回答是A组宁择i，
B组宁择ii，
Allais指出：B组的i, ii,均以的$500,000取代的$0，即与A组的i,ii,相对应，照公理3、A、B两组中i,ii,的优先关系应当不变。
则称u为效用函数
三、效用存在性公理理性行为公理
Von Neumann-Morenstern, 1994 [169]
·公理1连通性(Connectivity)又称可比性
p,则 or or
·公理2传递性(Transitivity)
p,若 , 则
·公理3替代性公理(加等量时优先关系不变)
若 p, 且0 1
以上是初期对风险的解释(Pratt C.,1964)
2.对后果的偏好强度
钱的边缘价值：设某人现有积蓄为0，增加800地的作用(价值)与有了800元后再加1200元相等,则此人的财富的价值函数是凹函数。
若他认为800元,0; ,2000),则与其说此人是风险厌恶不如说他是相对风险中立。为此有必要对确定性后果的偏好强度加以量化。
iii, x>0时u(x)通常是凹的递减的边缘价值
风险厌恶
x>0与x<0的形状不同,负债较多有追求风险的倾向.
2.钱的效用曲线的构成
设某人现有1000元存款(某商店有资产10万，企业有1000万等等)
i, NM法(见§
利用 ～α +(1-α)
ii,修正的NM法
利用 ～ +
例:设u(0)=0), u(1000)=1
*关于线性：将ii. u(α, ; 1-α, )=αu( ) +(1-α)u( )推广到一般,
若 ∈p; ≥0 , i=1,2,…m; =1;则u( )= u( )
四、基数效用与序数效用(Cardinal & Ordinal Utility)
基数：实数：1，2，3,π
序数：第一，二，…，4，3，2，1
有300～<0>+<1000> u(300)=
又125～<0>+<100> u(125)=
550～<300>+<1000> u(550)=
由0～<a>+<500>
设a=-250
则u(-250)=-u(500)=
-250～<b>+<0>
原因：i,价值函数是S型
ii,在一定范围内相对风险态度不变
iii,负债到一定程度以上有冒险倾向
Savage当时语塞。
·效用的公理化定义
在上述公理系统中，若p上存在实值函数u，使
i, 当且仅当u( )＞u( )
ii. u(α, ; 1-α, )=αu( ) +(1-α)u( )
iii,对满足上述条件的 , 必有 ( ) =b ( )+c ,其中b, c∈ , b＞0
则u(P)称为(基数)效用函数
第一步：
选定 , C ,使
令u( )=0, u( )=1
所选择的 、 应使比较易于进行.
第二步：对 ,求α(0<α<1),使 α +(1-α)
则u( )=u(α +(1-α) )=αu( )+(1-α)u( )
第三步：若 ,求α(0<α<1),使 α +(1-α)
则u( )=u(α +(1-α) )=αu( )+(1-α)u( )
损失和风险
第三章效用、损失和风险
(Utility,Loss and Risk)
本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，184
§3—1效用的定义和公理系统
一、引言
·为什么要引入效用
决策问题的特点：自然状态不确定——以概率表示；
后果价值待定：以效用度量。
1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量；
ii,由定义之ii，可测价值函数具有基数性质但与基数效用不同：VF不反映DMer的风险态度。
iii，它定在后果空间上，能起序数效用的作用但又与OUF不同：能反映后果的偏好强度.
三、相对风险态度
设效用函数u和测价值函数v在X上都是单调递增，且连续二次可微。
1.风险的局部测度
> 0 u在x处凹,风险厌恶
r(x)=-u”(x)/u’(x) = 0 u在x处线性,风险中立
< 0 u在x处凸,风险追求
2.偏好强度的局部测度
>0在x处有递减的边缘价值
m(x)=-v”(x)/v’(x)=0在x处有不变的边缘价值
<0在x处有递增的边缘价值
3.真正的(相对)风险态度的定义
若m(x)＜r(x)称为在X'区内相对风险厌恶
u( )=α/(α-1)
第四步：若 ,求α(0<α<1),使 α +(1-α)
则u( )=u(α +(1-α) )=αu( )
u( )=1/α
第五步：一致性校验
设 且 , , 已知，
由 α +(1-α) 求得u’( )
若u’( )与已知的u( )不符，则反复进行二、三、四步，直到一致性校验通过.
例
设
行动集A -----决策空间
观察值集X -----测度空间
决策规则δ:x→a , ,Δ为策略空间
·区别：
1.基数效用定义在展望集p上(考虑后果及其概率分布),是实数;
序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数
2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)
原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c,πb+c;其中b, c∈ , b＞0.
而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一),原序数列可变换为
2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。
例一：同是100元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的100元，与已有10000元再增加100元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。
例二：
上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义
有人认为打赌不如礼品,即
则对任何 ∈p,必有 +(1-) +(1-)
或者表达成： ,则 +(1-) +(1-)
即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。
·公理4连续性公理----偏好的有界性
若 则存在01, 01,
使 +(1-) +(1-)
由 +(1-) 可知 不是无穷劣,即u( )
由 +(1-) 可知 不是无穷优,即u( )
3.效用表示时间偏好十分复杂，我们在第八章再介绍。
二、可测价值函数
——确定性后果偏好强度的量化
定义：
在后果空间X上的实值函数v，对ω，x, y, z∈X有
i,ωxyz当且仅当υ(ω)-υ(x)≥υ(y)-υ(z),且
ii, v对正线性变换是唯一确定的。
则称υ为可测价值函数
说明：i，ωxyz表示ω,x之间偏好强度之差超过y,z之间偏好强度之差,
1.符号
i,AB(即APB)读作A优于B：(Prefer(ed) A to B)
AB(即ARB) A不劣于B
A～B(即AIB) A无差别于B (Indifference)
ii,展望(prospect):可能的前景
即各种后果及后果出现概率的组合
P=( … … )
既考虑各种后果(consequence)
*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反映决策的人偏好次序(preference order)的问题
*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养，心理和生理(身体)状态有关。
*除风险偏好之外，还时间偏好。i,折扣率ii,其他
m(x)=r(x)称为在X'内相对风险中立
m(x)=r(x)称为在X'内相对风险追求
四、风险酬金
kE(x)-S
这是决策人为了避免风险而顾意损失的金额
k=f(v,P)
五、钱的效用
1.性质
i,单调递增：愈多愈好
有界：全世界财富总量不足$ , u( )与u( )几乎无差异
ii, x较小(相对于决策人资产而言)时,u(x)近乎线性
8小时／日处效率最高(效用／小时)
例2.见讲义P31之例
·注意：效用的唯一性(在正线性变换下唯一)使效用的值域为整个实轴，而不必限于[0,1]
§风险与效用
一、效用函数包含的内容
1.对风险的态度
风险厌恶(Risk Aversion)
风险中立(Risk Neutralness)
风险追求(Risk Proneness)即有冒险倾向
而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).
Daniel Bernoulli在1738年指出：
若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的偏好的期望值最高的行动。
二、效用的定义
一、u( )=0, u( )=1
二、 + u( )=
三、 + u ( )=
校验设 + u’( )=≠
重复二、三、若u ( )不变u ( )=则通过校验.
二、连续型后果集
·当C为连续变量时,u(c)是光滑的，因此可分段构造，求特征点的效用，再连成光滑曲线
例1.每天学习时间的效用曲线
在10～12小时／日处效用最大