随机过程_课件---第三章

3.1
1
定义3-1
设 是给定的概率空间， 为一指标集，对于任意 ，都存在定义在 上，取值于 的随机变量 与它相对应，则称依赖于 的一族随机变量 为随机过程，简记 ， 或 。
注：随机过程 是时间参数 和样本点 的二元函数，对于给定的时间是 是概率空间 上的随机变量；对于给定样本点 是定义在 上的实函数，此时称它为随机过程对应于 的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用 表示 处于状态 。
1
定义3-8
实随机过程 ,若对任意正整数n及任意 与任意 ，有
或
即随机过程 的有限分布在时间的平移下保持不变，则称 为严格平稳随机过程。
2
如果 是严平稳随机过程，则它的一维概率密度与时间无关，令 ，则有
由此可求得随机过程 的均值、矩和方差皆与时间无关的常数。
严平稳随机过程 的二维概率密度只与 的时间间隔 有关，而与时间起点无关，令 ，则有
2
随机过程 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
3
定义3-2
设随机过程 ，在任意 个时刻 的取值 构成 维随机向量 ，其 维联合分布函数为：
其 维联合密度函数记为 。
我们称 为随机过程 的有穷维分布函数。
3.2
1
对于任何一个时间 ，随机过程 的数学期望定义为
（5）如果平稳过程 含有一个周期分量，则 也含有一个同周期的周期分量；
（6）（非负定性）对于任意有限个 和任意的实数 ，有
（7） 在 上连续的充分必要条件为其自相关函数 于 处连续。
5
令
称为随机过程 的自相关系数，简称相关系数。
相关系数表现了随机过程在两个不同时刻随机变量之间的线性相关程度，它满足 及 。
2
如果对正态过程 在n个不同时刻 采样，所得到的一组随机变量 两两互不相关，即
则这些随机变量也是相互独立的。
在 的条件下，n维正态概率密度等于n个一维正态概率密度的连乘积。所以对于一个正态过程来说，不相关与独立是等价的。
3.5 Poisson
1
定义3-4
设 是一随机过程，若对任意正整数n及
，随机变量的增量
是相互独立的，则称 是独立增量过程。
注：设 是独立增量过程，若对任意的 ，增量 的概率分布只依赖于 而与 无关，则称随机过程 为齐次的或时齐的。
若只要时间间隔 相同，那么增量服从的分布也相同，也称此过程具有平稳性。具有独立增量和平稳增量的过程 称为独立平稳增量过程。常见的独立平稳增量过程有Poisson过程和Wiener（维纳）过程。
而且
则
2
考虑随机点在时间区间 内发生的次数，若随机点在 内发生的次数是偶数（视0为偶数），则令 ；若为奇数，且令 ；且 。又设在 内有 个随机点发生的概率与 无关，且 （即参数为 的Poisson分布）
其中 由此计算可得
于是有
故得
通过类似的计算，可以得到对于
所以相关函数为
同理可以计算当 时的情况。
综合上面的结论有
（1） ；
（2）过程有平稳的独立增量；
（3） ；
（4）
则称 为具有参数 的齐次Poisson过程。其中 表示当 时，对h的高阶无穷小。
定理3-1上述定义3-6与定义3-7是等价的。
4
例3-4
顾客依Poisson过程 到达某汽车站，其速率 人/分钟。试求：（1） 的均值、方差、自相关函数和协方差函数；（2）在第三分钟到第五分钟之间到达汽车站的顾客人数的概率分布。
2
定义3-5
如果用 表示 内随机事件发生的总数，则随机过程 称为一个计数过程。因此，计数过程满足
（1） ；
（2） 是非负整数值；
（3）对于任意两个时刻 ，有 ；
（4）对于任意两个时刻 ， 等于时间区间 中发生的事件个数。
如果计数过程 在不相交时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。
解：
（1）根据题意，强调 ，故 的均值、方差、自相关函数和协方差函数分别为
（2）第三分钟到第五分钟之间到达的人数为 ，所以其分布率为
例3-5
顾客依Poisson过程到达到达某商店，速率 人/小时，已知商店上午9：00开门，求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达到5五位顾客的概率。
解：
3.6
是时间 的函数。
2
随机过程 的二阶中心矩
称为随机过程 的方差。
随机过程 的二阶原点矩定义为
注： 是时间 的函数，它描述了随机过程 的诸样本对于其数学期望 的偏移程度。
3
随机过程 对于任意 ，其协方差函数定义为
当 时，协方差函数就是方差。
随机过程 的自相关函数（相关函数）定义为
当 时，自相关函数就是二阶原点矩。
（2）因为
所以 不是二阶矩过程。
3.3
当时间参数 取离散值 时，这种随机过程称为离散随机过程。这时， 是一串随机变量 所构成的序列，即随机序列。由于随机序列的指标表示时间，所以常称随机序列为时间序列。
1
设一维随机游动过程 ，其中 (即独立同分布随机序列，且 。求 。
解：根据期望、方差的定义和性质，有
因此 的方差为
3.4
1
如果随机过程 的任意n维概率分布都是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。
正态随机过程 的n维概率密度为
其中， 是n维向量， 是 阶的矩阵， 逆矩阵，它的第i行j列的元素为
其中， 为相关系数。
注：由上式可见，正态随机过程的n维概率分布仅取决于它的一、二阶矩函数，即只取决于它的数学期望、方差和相关系数。
这表明二维概率密度仅依赖于时间差 ，而与时刻 无关。由此可得，随机变量 的自相关函数、协方差函数只是单变量 的函数。
3
定义3-9
若实随机过程 满足：对于任意 有
（1） ；
（2） ；
（3）
则称 为宽平稳随机过程。
注：由于宽平稳随机过程的定义只涉及与一、二维概率密度有关的数字特征，所以一个严平稳随机过程只要二阶原点矩有界，则它必定是宽平稳的。但是反之不一定成立，但正态随机过程。因为正态随机过程的概率密度是由均值和自相关函数完全确定的，所以如果均值和自相关函数不随时间平移而变化，则概率密度也不随时间的平移而变化，于是一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的。
4
性质3-1
设 为平稳过程 的自相关函数，则
（1）平稳过程的自相关函数在 上是非负值，即 ；
（2）自相关函数是变量 的偶函数， ；
（3）自相关函数在 时取到最大值， ；
（4）如果平稳过程 满足条件 ，则称它为周期平稳过程，其中T为过程的周期；周期平稳过程的自相关函数必为周期函数，并且它的周期与过程的周期相同；
4
定义3-3
设 为实随机过程，若对于任意的 ，其均方函数 ，则称 为实二阶矩过程。
注：由柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式： ，可知，二阶矩过程 自相关函数一定存在。
5
判断随机过程 在下列两种情况下是否为二阶矩过程。
（1） 为常数；
（2） 具有概率密度
解：源自文库1）因为
所以 是二阶矩过程。
3
定义3-6
设随机过程 是一个计数过程，如果满足
（1） ；
（2） 是独立增量过程；
（3）对于任意 ，增量 具有参数
的Poisson分布，即
则称 为具有参数 的齐次Poisson过程。
注：Poisson过程有平稳增量且 ，并称 为此过程的速率或强度，即单位时间内发生的事件的平均个数。
定义3-7
设随机过程 是一个计数过程，参数为 ，如果满足