《固体物理学》房晓勇-习题01第一章 晶体的结构
固体物理学_答案(黄昆 原著 韩汝琦改编)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
固体物理填空简答,有答案版
第一章 晶体结构1、填空题1.1理论证明由10种对称素只能组成（ 32 ）种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型1.2 根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为（ 7大晶系 ）对应的只有（14种布拉伐格子 ）1.3面心立方晶体在（100）方向上表面二维布拉伐格子是（ 正方格子 ）在（111）方向上表面二维布拉伐格子是( 密排结构 )1.4晶体表面二维晶格的点群表示，由于晶格周期性在Z 轴方向的限制，二维晶格的对称素只有( 6 )个，即垂直于表面的n 重转轴( 1、2、3、4、6 )，垂直于表面的镜面反演( 1 ) 个。
由( 6 )种对称素可以组成( 10 )种二维点群，按照点群对基矢的要求划分，二维格子有( 4 )个晶系，( 5 )种布拉伐格子1.5在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的（ 周期性 ）又要考虑晶体的（ 宏观对称性 ）1.6六角密积属（ 六角晶系 ）, 一个晶胞( 平行六面体 )包含（ 两个 ）原子.1.7对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =ai +2aj +2ak 正交的倒格子晶面族的面指数为( 122 ), 其面间距为( a32π). 1.8典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( 343R V π ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 1.9金刚石晶体的结合类型是典型的( 共价结合 )晶体, 它有( 6 )支格波 1.10按照惯例，面心立方原胞的基矢为（ )(2),(2),(2321i k a a k j a a j i a a +=+=+= ），体心立方原胞基矢为（ )(2),(2),(2321i k j aa k j i a a k j i a a ++-=++-=-+= ）。
2、简答题1.10简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。
基元：组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。
《固体物理学》房晓勇-思考题01第一章晶体的结构
《固体物理学》房晓勇-思考题01第⼀章晶体的结构第⼀章晶体的结构思考题1.1 为什么⾃然界中⼤多数固体以晶态形式存在？为什么⾯指数简单的晶⾯往往暴露在外表⾯？解答：在密勒指数（⾯指数）简单的晶⾯族中，⾯间距d 较⼤。
对于⼀定的晶格，单位体积内格点数⽬⼀定，因此在晶⾯间距⼤的晶⾯上，格点（原⼦）的⾯密度必然⼤。
⾯间距⼤的晶⾯，由于单位表⾯能量⼩，容易在晶体⽣长过程中显露在外表⾯，所以⾯指数简单的晶⾯往往暴露在外表⾯。
1.2 任何晶⾯族中最靠近原点的那个晶⾯必定通过⼀个或多个基⽮的末端吗？解答：根据《固体物理学》式（1-10a ）()()()()111222333cos ,cos ,110cos ,a a n h d a a n h d a a a n h d==-??=1.3 解理⾯是⾯指数低的晶⾯还是指数⾼的晶⾯？为什么？解答：晶体容易沿解理⾯劈裂，说明平⾏于解理⾯的原⼦层之间的结合⼒弱，即平⾏解理⾯的原⼦层的间距⼤. 因为⾯间距⼤的晶⾯族的指数低, 所以解理⾯是⾯指数低的晶⾯.1.4在14种布喇菲格⼦中，为什么没有底⼼四⽅、⾯⼼四⽅和底⼼⽴⽅？解答：参考陈⾦富P33页，徐⾄中1-131）图（a ）代表向c 轴俯视所观察到的体⼼四⽅的格点分布。
格点②距离由格点①组成的晶⾯的C/2处。
如C=a ，则点阵为bcc;如图所⽰，为已经伸长的bcc ，c ≠a ，它是体⼼四⽅点阵。
如图（b ）与图（a ）代表同样的点阵，只是观察的⾓度不同，图中①构成四⽅⾯⼼格点，⾯⼼格点间的距离a '=，如2a C '==，则点阵为fcc ；对于⼀般的C 值，图（b ）是沿c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a ）是体⼼点阵，从（b ）看是⾯⼼点阵，本质上相同，都称为体⼼四⽅点阵。
2）类似的底⼼四⽅和简单四⽅是同⼀种点阵。
3）底⼼⽴⽅不再具有⽴⽅对称性。
所以不存在。
1.5许多⾦属既可以形成体⼼⽴⽅结构，也可以形成⾯⼼⽴⽅结构。
《固体物理学》房晓勇思考题参考解答
R = hai + kb j + lck (2)
如果是立方晶系 a = b = c ，
( ) n = h d i + k d j + l d k = d hi + k j + lk (1′) a b ca
( ) R = hai + kb j + lck = ha i + k j + lk (2′)
比较两式得 n = d R ，即n与R平行，晶列 hkl 垂直于同指数的晶面（hkl） a2
第一章 晶体的结构习题
第一章 晶体的结构
思考题
1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？
解答：
在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距 d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定，
因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容
是沿 c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a）是体心点阵，从（b）看是面心点阵，本质上相同，都称 为体心四方点阵。 2）类似的底心四方和简单四方是同一种点阵。 3）底心立方不再具有立方对称性。所以不存在。 1.5 许多金属既可以形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积
1）图（a）代表向 c 轴俯视所观察到的体心四方的格点分布。格点②距离由格点①组成的 晶面的 C/2 处。如 C=a，则点阵为 bcc;如图所示，为已经伸长的 bcc，c≠a，它是体心四 方点阵。如
图（b）与图（a）代表同样的点阵，只是观察的角度不同，图中①构成四方面心格点，
面心格点间的距离 a′ = 2a ，如 C = a′ = a ，则点阵为 fcc；对于一般的 C 值，图（b） 22
固体物理题库第一章晶体的结构
固体物理题库第一章晶体的结构(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章晶体的结构一、填空体（每空1分）1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。
2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，，原胞与晶胞的体积比 1：1 ，配位数为6 。
3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：2 ，配位数为 8 。
4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：4 ，配位数为 12 。
5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。
6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。
7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。
8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。
9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。
10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素： 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ， m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32个点群。
11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。
12. 晶体原胞中含有 1 个格点。
13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。
二、基本概念1. 原胞原胞：晶格最小的周期性单元。
固体物理学习题解答
《固体物理学》习题解答第一章 晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。
解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。
氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl －组成的正负离子对。
金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2a a a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩a j k a k i a i j相应的晶胞基矢都为：,,.a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩a ib jc k2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。
试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。
解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，１。
所以，其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，∞。
所以，其晶面指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。
所以，其晶面指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。
所以，其晶面指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方：6π；。
证明：由于晶格常数为a ，所以：(1)．构成简立方时，最大球半径为2m aR =，每个原胞中占有一个原子，334326m a V a ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭36m V a π∴= (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R =，每个晶胞中占有两个原子，334322348m V a a π⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭328m V a ∴=(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R =，每个晶胞占有４个原子，334244346m V a a π⎛⎫∴=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭346m V a ∴=(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c 的长度的一半，由几何知识易知3m R =c 。
《固体物理学》房晓勇习题参考解答
………………（4）
(
d 2U dr d ⎧ 1 ⎡ N mA nB ⎤ ⎫ ) = ⋅ ⎨ ( m +1 − n +1 ⎥ ⎬ 2 V0 dV dV dr ⎩ 3NBr 2 ⎢ r ⎦ ⎭r = r0 ⎣2 r
=
1 N ⋅ 9V02 2
⎡ m 2 A n 2 B 3mA 3nB ⎤ ⎢ − m + n − m + n ⎥ ……………（5） r0 r0 r0 ⎦ ⎣ r0
得
mA nB = r0m +1 r0n +1
1
⎛ nB ⎞ n − m r0 = ⎜ ⎟ ⎝ mA ⎠
d 2U m(m + 1) A n(n + 1) B mA | =− + = − m+ 2 2 r = r0 m+ 2 n+2 dr r0 r0 r0 ⎡ n(n + 1) B ⎤ mA = − m+ 2 ⎡ ⎢m + 1 − n−m ⎥ ⎣ m + 1 − ( n + 1) ⎤ ⎦ mAr r 0 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
在体心立方结构中，每个晶胞有 2 个原子，N 个原子有 N/2 个晶胞，又因为 a =
N N⎛ 2 ⎞ 4N 3 3 V0 = a 3 = ⎜ R0 ⎟ = R0 2 2⎝ 3 ⎠ 9
12 12 ⎛ A6 ⎞ ε A62 mnε A6 3 mnε A6 3 mn mn ε3 3 =N × = = = K = U0 A ⎜ ⎟ 12 3 3 1/ 6 9V0 2 A12 24 A12 R0 A12 ⎠ 4N 3 3 2σ 3 ⎡ ⎤ ⎝ ⎛ ⎞ 2 A 9 R0 24 A12 ⎢⎜ 12 ⎟ σ ⎥ 9 A ⎢ ⎥ ⎣⎝ 6 ⎠ ⎦ 5/ 2
《固体物理学》房晓勇习题参考解答
)
12
得 当考虑 6 最近邻时
4
第二章 晶体的结合和弹性
A6 = ∑
i =1
N
(
mi
2 2 n12 + n2 + n3
) (
6
=
6 12 + 02 + 02 24
6
) (
6
+
12 12 + 12 + 02 24
) (
6
+
8 12 + 12 + 12
)
6
+
(
N
6 02 &43;
02 + 12 + 22
N ⎛ N 1 e2 ⎞ 1 1 e2 ⎛ 1⎞ • ⎜ 2 • ∑ (−1)n +1 • ⎟ U 0 = ⎜ ∑ (−1) n ⎟ × 2 × 2N × = −N 4πε 0 nR ⎠ 2 4πε 0 R ⎝ n =1 n⎠ ⎝ n =1
一维离子晶格的马德隆常数
M = 2 • ∑ (−1)
n =1
mi
1
2 2 n12 + n2 + n3
) (
=
mi
2 2 n12 + n2 + n3
)
12
雷纳德-琼斯参数
A6 = ∑ A6,i = ∑
i =1 i =1 N N
N
N
( (
mi
2 2 + n3 n12 + n2
)
A12 = ∑ A12,i = ∑
i =1 i =1
mi
2 2 + n3 n12 + n2
mn mn −U 0 = U 0 2 9V0 9V0
固体物理学：第一章 第一节 晶格及其平移对称性
8个原子，2不等价原子 配位数：4
钙钛矿(Perovskite)结构(ABO3)
以CaTiO3为原型，A位于定点，B位于体心，而 O位于6个面心。BO6构成了氧八面体。典型材料如 CaTiO3, BaTiO3等等
5个原子 A, B周围都有6个氧原子，形成氧八面体
第一章 晶体的结 构及其对称性
§1.1 晶格及其平移对称性
一、晶体结构及基元
凝聚态
液体 固体->晶体(单晶和多晶)、准晶体和非晶体 软物质
晶体：原子空间周期性排列，有长程序。只有某 些特殊的平移和旋转操作下，才能保持不变，其 对称性是破缺的。同时晶体的很多物理性质表现 出各向异性，有固定的熔点。
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a
a3 i j k 2
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
fcc点阵
面心立方以顶点为原点，到其近邻的三个面 心为基矢。立方体的边长为a。
a1 a2
a
a1 j k 2
a
a2 i k 2
a 3 a i j 2
三、基矢和元胞
基矢
晶体可以看做点阵和基元的组合。通过点阵的结 点可以做许多平行的直线，这些直线把结点连接 成一个网格，称为晶格。
为了在数学上精确地描述点阵，我们可以选
择三个不共面的基本矢量
a
1
,
a
2
,
a
作为点阵
3
的基矢，点阵可以由矢量得到：
3
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 liai
晶体结构
晶格(crystal lattice)：晶体空间中点的规则几何排 列叫做晶格；原子、分子或离子位于这些点上， 形成晶体。 晶体结构：晶体中空间点的具体排列形式。
固体物理-第一章习题解答参考 ppt课件
绕对顶点联线转180度，共3条；
以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共24个对称操作
ppt课件
4
1.2 面心立方晶格在晶胞基矢坐标系中，某一晶面族的密勒指为 (hkl)，求在
原胞基矢坐标系中，该晶面族的晶面指数。
晶胞基矢：a
ai ,
b
aj ,
c
ak
ab c
c
a1
a2
b
a3
a
与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：
a
2
i ,b
2
j,
c
2
k
a
a
a
原胞基矢
a1
a 2
(
j
k)
a2
a 2
(i
k)
a1 a2 a3
a3
a 2
(i
熔点固定 --达到某温度时开始熔化，继续加热，在晶体没有完全熔化之前，温度不再
上升。
各向异性 -- 晶体的性质与方向有关 对称性 -- 晶体性质在某些特定方向上完全相同
非晶体 没有固定熔点、没有固定几何形状、各项同性、没有解理性
多晶体 各项同性、具有固定熔点、没有固定的几何形状、没有解理性
准晶体
ppt课件
准晶体 粒子有序排列介于晶体和非 晶体之间。但没有平移对称 性、只具有5重旋转对称性。
单晶体 粒子在整个固体中严格周期性排 列，具有严格的平移对称性、具 有8种基本点对称操作性。
多晶体 粒子在微米尺度内有序排 列形成晶粒，晶粒随机堆积
固体物理学第一章1
选取原胞的另一种方式如下：用直线连接一个给定格点的所有近邻格点，在这些 连线的中点作垂直平分线或垂直平分面，这样所包围的最小体积就是维格纳-塞茨 原胞（Wigner-Seitz cell）。
赵铧
16
简单立方晶格的立方单元已是最小的周期性单元，所以就取它为原胞，晶 格基矢1， 2， 3 就沿三个立方边，长短相等：
六角密排晶格的原胞
六角密排晶格的典型单元
Be, Mg, Zn, Cd 等金属
具有六角密排晶格结构
赵铧
7
4. 金刚石晶格
由面心立方单元的中心 到顶角引8条对角线, 在 其中互不相邻的4条对角 线的中点,各加上一个原 子, 就得到金刚石晶格 结构
其特点: 每个原子有4个 最近邻, 它们正 好在一个正四 面体的顶角 A
B
AB
A B
金刚石晶格结构的典型单元
赵铧
8
5. 化合物晶体的结构
(1) 岩盐NaCl晶体结构
它好象是一个简单立方晶格, 但是, 在每一行相间地排列着 正的Na+离子和负的Cl–离子.
碱金属 Li, Na, K, Rb 和卤 族元素 F, Cl, Br, I 的化合物 都具有 NaCl 晶体结构.
Na+
Cl–
Na+
Cl–
NaCl晶格结构中的典型单元
赵铧
9
(2) CsCl晶体结构
它好象一个体心立方, 体心位置有一种离子, 顶角为另一个离子.
体心位置和顶角位置 完全等价, 各占一半, 正好容纳数目相等的 正,负离子.
Cs+ ( Cl– )
Cl– ( Cs+ )
固体物理习题1
固体物理习题第一章1．题图1－1表示了一个由两种元素原子构成的二维晶体，请分析并找出其基元，画出其布喇菲格子，初基元胞和W －S 元胞，写出元胞基矢表达式。
解：基元为晶体中最小重复单元，其图形具有一定任意性（不唯一）其中一个选择为该图的正六边形。
把一个基元用一个几何点代表，例如用B 种原子处的几何点代表（格点）所形成的格子 即为布拉菲格子。
初基元胞为一个晶体及其空间点阵中最小周期性重复单元，其图形选择也不唯一。
其中一种选法如图所示。
W －S 也如图所示。
左图中的正六边形为惯用元胞。
2.画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。
(1) 氯化钾 （2）氯化钛 （3）硅 （4）砷化镓 （5）碳化硅 （6）钽酸锂 （7）铍 （8）钼 （9）铂基矢表示式参见教材（1－5）、（1－6）、（1－7）式。
3. 对于六角密积结构，初基元胞基矢为→1a =→→+j i a 3(2 ） →→→+-=j i a a 3(22）求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六角的。
倒空间 ↑→ji i (B) 由倒格基矢的定义，可计算得Ω⨯=→→→3212a a b π=a π2)31(→→+j i →→→→→+-=Ω⨯=j i a a a b 31(22132ππ→→→→=Ω⨯=k ca ab ππ22213正空间二维元胞（初基）如图（A ）所示，倒空间初基元胞如图（B ）所示（1）由→→21b b 、组成的倒初基元胞构成倒空间点阵，具有C 6操作对称性，而C 6对称性是六角晶系的特征。
（2）由→→21a a 、构成的二维正初基元胞，与由→→21b b 、构成的倒初基元胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
4．用倒格矢的性质证明，立方晶格的[hkl]晶向与晶面（hkl ）垂直。
证：由倒格矢的性质，倒格矢→→→→++=321b l b k b h G hkl 垂直于晶面（h 、k 、l ）。
《固体物理学》第一二章参考答案
第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理习题解答
《固体物理学》习题解答( 仅供参考)参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006年6月第一章晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。
解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。
氯化钠的基元为一个Na+和一个Cl－组成的正负离子对。
金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2a a a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为：,,.a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩a ib jc k2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。
试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。
解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，１。
所以，其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，∞。
所以，其晶面指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。
所以，其晶面指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。
所以，其晶面指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为： 简立方：6π；体心立方：8；面心立方：6；六角密集：6；金刚石：16。
《固体物理学》房晓勇-习题01第一章晶体的结构
第一章 晶体的结构1.1试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
解：我们知体心立方格子的基矢为：()()()123222a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：()()()1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩()31231Ω2a a a a =⋅⨯=23222222222222222222i jk aa a aa a aa aa a i j k a a a a a a a a a --⨯=-=++--- 2222a a j k =+ ()()()223132π2π2πΩ22a b a a j k j k a a =⨯=+=+同理()()232π2π,b i k b i j a a=+=+ ()()()1232π2π2πb j k a b i k a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。
我们知面心立方格子的基矢为()()()123222a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩()()()1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩()31231Ω4a a a a =⋅⨯=2300222202200222222ij ka a a a aa a a i j k a aa a a a ⨯==++-222444a a a i j k =-++()()222223132π2π2πΩ24444a a a ab a a i j k i j k a a ⎛⎫=⨯=-++=-++ ⎪⎝⎭同理()()232π2π,b i j k b i j k a a=-+=+-()()()1232π2π2πb i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
固体物理答案-第一章1
1
j k
j a k a 2 a 2
1
a2
i
a
a
a
a
a2 a3
2 a 2
2 a 2
2 j 2 a a 2 2
2 k 2 a a 2 2
a
2 a 2
a2 2
j
a2 2
k
a2 a3
a2 2
j
a2 2
k
a1 a 2 a 3 a 3 2
3
2π 6
a
1 2 3 图1.3 面心立方晶胞
（4） 对六角密积结构，任一个原子有12个最近临，若原子以 刚性球堆积，如图1.4所示， 中心在1的原子与中心在2，3，
4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切， 即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上， 1 4 O 5 8 6 a 2 O h 5 8 a 图1.5 正四面体 7
体心立方的原胞基矢:
a
a1 a2 a3
i 2
a a
j k
b1 b2 b3
2
a a a
2
a3
a
i 2 i 2
i a 2 a 2
j k
2 2
3 a1
a1 a 2 a 3 a 3 2
证明：设 a , b , c 分别沿 i , j , k 方向。a a i , b b j , c c k
与晶面族（hkl）正交的倒格矢为 k hkl h a k b l c
固体物理答案-第一章1
(2)
uh1 vh2 wh3 0
(3)
欲要u、v、w不同时为零，即要方程组(1)、(2)、(3)有非零
解，由线性方程理论知道，其系数行列式必须为零，于是
得到
h1 h2 h3 h1 h2 h3 0 h1 h2 h3
第三十页，编辑于星期六：三点 十六分。
1.12 对于六角密积结构，固体物理学原胞的基失为
Ω
又
A BC AC B AB C
第二十五页，编辑于星期六：三点 十六分。
所以
a3
a1
a1
a2
a3
a1
a2
a1
a3
a1
a1
a2
Ωa1
可知
b1
2π Ω
2π Ω
2
Ωa1
2π Ω
2π 2
Ω
a1
a1
同理得
b2
a2
, b3
a3 .
第二十六页，编辑于星期六：三点 十六分。
（2） 对体心立方晶体，任一个原子有8个最近临，若原子以刚
性球堆积，如图1.2所示， 体心位置O的原子与处在8个角顶
位置的原子球相切。 因为晶胞空间对角线的长度为
3a 4r，
V a 3 ， 晶胞内包含2个原子， 所以
ρ
2
4 3
π
a3
3a 4
3
3π 8
O
a
图1.2 体心立方晶胞
第十三页，编辑于星期六：三点 十六分。
处于稳定状态。 有 R 2 所以 r 3 2 0.23
Rr 3
R
2
因此，对于四面体结构， 0.41 r R 0.23
若r/R<0.23时，则得到层状结构。
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第一章 晶体的结构1.1试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
解：我们知体心立方格子的基矢为：()()()123222a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：()()()1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩()31231Ω2a a a a =⋅⨯=23222222222222222222ij kaa a a a a a a a a a ij k a a a a a a a a a --⨯=-=++--- 2222a a j k =+ ()()()223132π2π2πΩ22a b a a j k j k a a =⨯=+=+同理()()232π2π,b i k b i j a a=+=+ ()()()1232π2π2πb j k a b i k a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。
我们知面心立方格子的基矢为()()()123222a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩()()()1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩()31231Ω4a a a a =⋅⨯=2300222202200222222ij ka a a a aa a a i jka aa a a a ⨯==++-222444a a a i j k =-++()()222223132π2π2πΩ24444a a a ab a a i j k i j k a a ⎛⎫=⨯=-++=-++ ⎪⎝⎭同理 ()()232π2π,b i j k b i j k a a=-+=+-()()()1232π2π2πb i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
2.2在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成1200的共面轴123,,a a a 上的截距为312,,a a a h k i，第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为cl。
证明：()i h k =-+并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：()()()()()()()001,133,110,323,100,010,213.证明：林鸿生1.1.4 王矜奉1.2.3如图所示，某一晶面MN 与六角形平面基矢123,,a a a 轴上的截距,,,a a a OA n OB n OC n h k i==-= 且60,120AOB COB AOC ∠=∠=∠= 有()C ()()AOB OB AOC +=面积面积面积 即111sin sin sin 222OA OB AOB OC OB COB OA OC AOC ∙∠+∙∠=∙∠ 代入,,,a a aOA n OB n OC n h k i==-=和60,120AOB COB AOC ∠=∠=∠=，有000111()sin 60()sin 60()sin120222a a a a a an n n h k i k h i-+-= 得111hk ik hi--=，两边同乘（hki ）并移项得()i h k =-+得证（2）由上可知，h ，k ，i 不是独立的，()()()()()()()001,133,110,323,100,010,213.中各i 等于 111()(00)0,i h k =-+=-+=22i =，30i =，41i =，51i =61i =，73i =即得()()()()()()()()0010001,1331323,1101100,3233213→→→→ ()()()()()()1001010,0100110,2132133.→→→1.3如将等体积的硬球堆成下列结构，求证能占据的最大体积与总体积之比为： （1）简单立方6π；（2）体心立方83π；（3）面心立方62π（4）六角密积62π；（5）金刚石163π解：设N 为一个晶胞中的刚性原子数，R 表示刚性原子的球半径，V 表示晶胞体积，立方晶格的边长为a ，则致密度为：343N R Vπα⋅=（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：6)2(3413413333πππα=⋅=⋅=R R a R（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数3/4R a =，则体心立方的致密度为：83)3/4(3423423333πππα=⋅=⋅=R R a R （3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 22=，则面心立方的致密度为：62)22(3423443333πππα=⋅=⋅=R R a R （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a 2=，R a c )3/64()3/62(==，则六角密积的致密度为：62)3/64(4)2(363464363462323πππα=⋅⋅=⋅⋅=RR R c a R （5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为R ，则原胞的晶体学常数R a )3/8(=，则金刚石的致密度为：163)3/8(34834833333πππα=⋅=⋅=RR a R1.4设某一晶面族的面间距为d ，三个基矢123,,a a a的末端分别落在离原点距离为123,,,h d h d h d 的晶面上，试用反证法证明：123,,h h h 是互质的。
解：参考王矜奉1.2.4设该晶面的单位法向矢量为n ，由已知条件可得112233,,,a n h d a nh d a n h d ⋅=⋅⋅=假定123,,h h h 不是互质的数，则有公约数p ，且p>1；设123,,k k k 为互质的三个数，满足312123h h h p k k k === 则有112233,,,a n k pd a nk pd a n k pd ⋅=⋅⋅=今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为112233r l a l a l a =++由于123,,l l l 必定为整数而且112233r n d l a n l a n l a n ⋅==⋅+⋅+⋅得112233d l k pd l k pd l k pd =++即1122331l k l k l k p++=因为上式左边是整数，而右边是分数，显然是不成立的。
要式成立，必须满足p=1。
而此时123,,h h h 是互质的。
1.5证明：在立方晶系中，面指数为()111h k l 和()223h k l 的两个晶面之间的夹角满足()()1212121212222222111222cos h h k k l l hk lhk lθ++=++++解：三个晶轴相互垂直且等于晶格常数a ，则晶胞基矢为123,,,a ai a a j a ak ===其倒格子基矢为123222,,b i b i b i a a aπππ=== 倒格子矢量为1232()h K hb kb lb hi k j lk aπ'=++=++代表晶面族()hkl 的法线方向。
晶面族()111h k l 的法线方向对应倒格矢11112()K h i k j l k a π=++ 晶面族()223h k l 的法线方向对应倒格矢22222()K h i k j l k aπ=++设两法线之间的夹角满足1212cos K K K K γ=111222121211122222222()()cos 2222)()()()h i k j l k h i k j l k K K a a K K h i k j l k h i k j l k h i k j l k h i k j l k a a aππγππππ++++==++++++++()()1212121212222222111222cos h h k k l l hk lhk lγ++=++++1.6有一晶格，每一晶格上有一个原子，基矢（以nm 为单位）分别为i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++=。
试求：（1） 此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？ （2） 原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ （3） 该晶体的倒格子基矢；（4） 密勒指数为（121 （5） 原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？ （6） [111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？解：参考徐至中1-5，中南大学1.17（1）按基矢123,,a a a 在空间作重复平移，就可得到它的布喇菲格子，因为此晶体是简单格子，因此晶体中原子位置可以认为与格点重合。
由右图可见，它是体心立方布喇菲格子，属于立方晶系。
（2）原胞体积()()27312333 1.513.510a a a i j i j k m -⎡⎤Ω=∙⨯=∙⨯++=⨯⎣⎦晶胞体积()()2733332710V a a a i j k m -=∙⨯=∙⨯=⨯因为2VΩ=，知该晶体属于立方晶系； 参考王矜奉1.2.6我们可以构造新的矢量13()2a c a i j k =-=-++1a a a23()2a c b i j k =-=-+33()2a abc i j k =+-=+-123,,a a a 对应体心立方结构. 123,,a a a 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为, i a 31=，j a 32=，)(5.13k j i a ++= ,的晶体为体心立方结构.（3）由倒格子基矢的定义可知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=-=-⋅=⨯⋅⨯=kk a a a a a b k j k j a a a a a b k i k i a a a a a b 5.125.1392][][2)(325.13)(5.42][][2)(325.13)(5.42][][2321213321132321321πππππππππ （4）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为3211121122122b b b K -+⋅==ππd103030352(322==-+=k j i ππ以上是参考中南大学的，有些不妥，因为密勒指数是对晶胞基矢定义的，虽然《固体物理学》式（1-18）也适合计算相应面间距，但此时的倒格子基矢也应是对应的。