和差公式及倍角公式的运用

和差公式及倍角公式的运用

一、和差公式

;

tan tan 1tan tan )tan(,sin sin cos cos )cos(,sin cos cos sin )sin(β

αβ

αβαβαβαβαβαβαβα

二、倍角公式

α

α

ααααααααα22222tan 1tan 22tan ,1cos 2sin 21sin cos 2cos ,

cos sin 22sin

三、应用类型

（题型一）-----给角求值

例1、求)280cos(200cos )160sin(100sin 0000 的值．

【解析】原式=2130sin )10sin 20cos 20sin 10(cos 00000 ．

或原式=.2

1

60cos )80cos 20cos 20sin 80(sin 00000

例2、计算025.22sin 21 的结果等于 （ ）．

A ．

2

1

B ．22

C ．33

D ．23

【解析】2

2

45cos 5.22sin 210

2

． 答案：B

例3、已知3

2

sin

α，则)2cos(απ 的值为 （ ）． A ．35

B ．91

C ．9

1

D ．35 【解析】9

1

19421sin 2)sin 21(2cos )2cos(2

2

ααααπ．

答案：B

例4、已知α为第三象限角，5

3

cos

α，则 α2tan ． 【解析】∵α为第三象限角，5

3cos

α， ∴5

4)5

3(1cos 1sin 2

2

αα， 于是 3

4

cos sin tan

ααα， ∴724)3

4(134

2tan 1tan 22tan 2

2

α

αα． 例5、求000070sin 50sin 30sin 10sin 的值．

【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式

解：∵αααcos sin 22sin ，∴α

α

αcos 22sin sin

， ∴原式=00

000070cos 2140sin 50cos 2100sin 2110cos 220sin ••• =00000020sin 240sin 40sin 280sin 2180sin 220sin •••=16

1

．

法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式 解：原式=00020cos 40cos 21

80cos •••=00080cos 40cos 20cos 2

1

=0000020sin 280cos 40cos 20cos 20sin 221• =000020sin 480cos 40cos 40sin =0

0020

sin 880cos 80sin =0020sin 16160sin =161． 或原式=00020cos 40cos 21

80cos •••=00080cos 40cos 20cos 2

1

=16120sin 160sin 16120sin 80cos 80sin 8180cos 40cos 20sin 240sin 210

00000

000 • • ••． 提示：∵αααcos sin 22sin ，∴α

ααsin 22sin cos ，因此.20sin 240sin 20cos 000

法三：构造对偶式，列方程求解

.70cos 50cos 10cos ,70sin 50sin 10sin 000000 y x 令

则00000070cos 70sin 50cos 50sin 10cos 10sin •• xy

=000140sin 21100sin 2120sin 21••

=00040sin 80sin 20sin 81••=00020sin 40sin 80sin 81

•• =00070cos 50cos 10cos 81=y 8

1 ∵0 y ，∴81 x ，从而有000070sin 50sin 30sin 10sin =16

1

．

例6、求下列各式的值 （1）2

1

8sin 2

π； （2）12

tan

12

tan 1ππ 【解析】（1）原式=4

2

4cos 21)8sin 21(2118sin

22

122

πππ）（； （2）原式=

326

tan 1212tan 212tan 1212tan 12tan 12

2

πππ

ππ． 【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点：

（1）对“二倍角”应该有广义的理解，如：α4是α2的二倍角，α是2

α的二倍角，α3是

2

3α

的二倍角等； （2）公式逆用：主要形式有ααα2sin cos sin 2 ，,2sin 2

1cos sin ααα

,sin 22sin cos ,cos 22sin sin αααααα

,2cos sin cos 22ααα .2tan tan 1tan 22αα

α

【变式训练】

同步练习、求下列各式的值

⑴ 000080cos 60cos 40cos 20cos ； ⑵)8

sin 8

)(cos 8

sin 8

(cos ππππ

；⑶

8

tan 18

tan

2

π

π