2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题含解析

2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题

一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）

1．设0,0a b >>33a b 与的等比中项，则11

a b

+的最小值为（ ） A ．8 B ．

1

4

C ．1

D ．4

【答案】D 【解析】

33a b 与的等比中项，∴3=3a •3b =3a +b ，∴a +b=1． a ＞2，b ＞2．

∴

11a b +=()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ．

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误

2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】B 【解析】 【分析】

对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案. 【详解】

复数()133z i i i =+=-+，

所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】

本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题. 3．若()10

1d a x x =

+⎰，10

cos d b x x =⎰，1

e d x

c x =⎰，则（ ）

A ．a b c <<

B ．b c a <<

C ．b a c <<

D ．c a b <<

【答案】C 【解析】 【分析】

直接由微积分基本定理计算出,,a b c 可得． 【详解】

因为()1

210131d 22

a x x x x ⎛⎫

=⎰+=+= ⎪⎝⎭，()0

101cos d sin sin11b x x x =⎰==<，

010

1

3

e d e

e 12

x

x c x =⎰==->

，所以b a c <<， 故选：C. 【点睛】

本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键．

4．已知实数x ，y 满足约束条件5001

20

2x y y x y x ⎧

⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩

，若不等式()()22

12420a x xy a y -++-≥恒成立，

则实数a 的最大值为（ ） A ．

7

3

B ．

53

C

D

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数y

t x

=

，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，

处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，． 题中的不等式即：(

)

22

2

2

224a x y

x xy y +≤++，则：22222

224421221

x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立， 原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫

=≤≤ ⎪+⎝⎭

的最小值，整理函数的解析式有：

()

2

22

1111

2424

22121

113

1

2241

1

2

1

2

2

t t t

f t

t t

t

t

⎛⎫

⎪

⎪

⎛⎫ ⎪

++-

⎪ ⎪

=⨯=⨯+=+

⎪ ⎪

⎪

++ ⎪

⎝⎭-++

⎪

⎪

-

⎝⎭

，令

1

2

m t=-，则

1

1

2

m

≤≤，

令()

3

4

g m m

m

=+，则

()

g m在区间

13

2

⎛⎫

⎪

⎪

⎝⎭

，上单调递减，在区间

3

1

⎛⎫

⎪

⎪

⎝⎭

，上单调递增，

且()

17

21

24

g g

⎛⎫

==

⎪

⎝⎭

，，据此可得，当

1

1

2

m t

==

，时，函数()

g m取得最大值，则此时函数()

f t取得最小值，最小值为：()

2

2

412117

1

2113

f

⨯+⨯+

==

⨯+

．综上可得，实数a的最大值为

7

3

．本题选择A选项．

【方法点睛】

本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．

5．下列函数中，在定义域内单调的是（）

A．

1

2

x

y

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

B．

2

y

x

=

C．2

y x

=D．

1

y x

x

=+

【答案】A

【解析】

【分析】

指数函数01

a

<<是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.