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2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题含解析

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四川省遂宁市2020年高二第二学期数学期末考试试题含解析

四川省遂宁市2020年高二第二学期数学期末考试试题含解析

四川省遂宁市2020年高二第二学期数学期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若321()nx x -二项展开式中的系数只有第6项最小，则展开式的常数项的值为（ ） A ．-252B ．-210C ．210D ．102．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z 满足|12||2|32z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对 应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ） A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A ．34 种B ．35 种C ．120 种D ．140 种5．已知线性回归方程ˆˆ0.6y bx=+相应于点()3,6.5的残差为0.1-，则ˆb 的值为（ ） A ．1B ．2C ．0.5-D ．3-6．已知圆:M ()22536x y ++=，定点()5,0N，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足2Q NP =N ，GQ 0⋅NP =，则点G 的轨迹方程是（ ）A ．22194x y +=B ．2213631x y +=C ．22194x y -=D ．2213631x y -=7．幂函数的图象过点(14,2) ，那么(8)f 的值为（ ）A 2B ．64C ．22D ．1648．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题： ①若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1(,0)k e∈-；②若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则k 0<；③若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥； ④若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数1(0,)2a ∈.则正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18B ．38C ．58D ．7810．已知，是单位向量，且，向量与，共面，，则数量积=（ ）A ．定值－1B ．定值1C ．最大值1，最小值－1D ．最大值0，最小值－111．已知三棱锥D ABC -外接球的表面积为12π，ABC ∆是边长为1的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则三棱锥D ABC -的体积为（ ） A ．23B ．23C 3D 6 12．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．5B 5C 62- D 26-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．若离散型随机变量X 的分布列如下，则a =__________.X0 1P2a 22a 14．已知1ab ==，向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值为________．15．某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人.现采用分层抽样调查学生的视力情况.已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了__________人。

2019-2020学年四川省遂宁市数学高二(下)期末检测试题含解析

2019-2020学年四川省遂宁市数学高二(下)期末检测试题含解析

2019-2020学年四川省遂宁市数学高二(下)期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A ．36B ．36332π-+C ．36π+D ．3633π-+【答案】D【解析】 【分析】 根据(),d P C 可画出满足题意的点P 所构成的平面区域；分别求解区域各个构成部分的面积，加和得到结果.【详解】由(),d P C 定义可知，若曲线C 为边长为6的等边三角形ABC ，则满足题意的点P 构成如下图所示的阴影区域其中AE AC ⊥，AD AB ⊥，IH AC ⊥，JG AC ⊥，1AD AE IH JG ====2233DAE ππππ∠=--=Q ，1AD = 21121233S ππ∴=⨯⨯= 6IAH π∠=Q ，1IH = 3AH ∴= 413312S ∴== 又2623HG AC AH =-=- (36231623S ∴=-⨯=-又2616S =⨯= ∴阴影区域面积为：12343336181863333633S S S S S ππ=+++=++-=- 即点集(){},1D P d P C =≤所表示的图形的面积为：3633π-+本题正确选项：D【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是能够根据定义，找到距离等边三角形三边和顶点的最小距离小于等于1的点所构成的区域，易错点是忽略三角形内部的点，造成区域缺失的情况.2．将曲线y=sin2x 按照伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩后得到的曲线方程为（ ） A ．3sin 2y x ''=B ．3sin y x =''C ．13sin 2y x =''D ．1sin 43y x '=' 【答案】B【解析】【分析】 根据23x x y y'=⎧⎨'=⎩反解,x y ,代入2y sin x =即可求得结果. 【详解】由伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩可得:1213x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩代入曲线2y sin x =,可得: 13y sinx ''=,即3y sinx ''=. 故选:B .【点睛】本题考查曲线的伸缩变换,属基础题,难度容易.3．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）A ．35B ．25C ．23D ．310【答案】B【解析】【分析】记事件{A =第一次取到的是合格高尔夫球}，事件{B =第二次取到不合格高尔夫球}，由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数()428n A B ⋂=⨯=，事件A 发生所包含的基本事件数()4520n A =⨯=，然后即可求出答案.【详解】记事件{A =第一次取到的是合格高尔夫球} 事件{B =第二次取到不合格高尔夫球}由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数()428n A B ⋂=⨯=事件A 发生所包含的基本事件数()4520n A =⨯=所以()()()82205n A B P B A n A ⋂=== 故选：B【点睛】 本题考查的是条件概率，较简单.4．已知函数()f x cosx sinx =⋅，给出下列四个说法：2014πf 3⎛⎫= ⎪⎝⎭①；②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 其中正确说法的序号是( )A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④ 【答案】B【解析】【分析】根据函数的周期性可排除②，同时可以确定①对．由x ∈ ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可去绝对值函数化为()1sin22f x x =，可判断③对．由取特值，可确定④错． 【详解】()()()cos sin cos sin f x x x x x πππ+=++=-，所以函数()f x 的周期不为π，②错，()()()2cos 2sin 2cos sin f x x x x x πππ+=++=，周期为2T π=．2014πf 3⎛⎫ ⎪⎝⎭=4cos sin 333f πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，①对． 当x ∈ ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin sin22f x x x x ==，2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以f(x)在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．③对．131,4242f f ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以④错．即①③对，填①③． 【点睛】本题以绝对值函数形式综合考查三角函数求函数值、周期性、单调性、对称性等性质，需要从定义角度入手分析，也是解题之根本．5．如图，,E F 分别为棱长为1的正方体的棱1111,A B B C 的中点，点,G H 分别为面对角线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是（ ）A ．该四面体体积有最大值，也有最小值B ．该四面体体积为定值C ．该四面体体积只有最小值D ．该四面体体积只有最大值【答案】D【解析】【分析】 易证EF AC P ，从而可推出EFG ∆面积为定值，则只需研究点H 到平面EFG 的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围【详解】Q ,E F 分别为棱长为1的正方体的棱1111,A B B C 的中点，所以11EF AC P ，又11AC AC ∥，故点G 到EF 的距离为定值，则EFG ∆面积为定值，当点H 与点A 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点A ，当点H 与点1A 重合时，h 有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值故选D【点睛】本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题 6．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35B ．25C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ；∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a ab b -=⎧⎨+=⎩， 解得a ＝3，b ＝4，∴z ＝3+4i ，∴|z|22345=+=．故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 7．如图是计算11113531+++⋯+的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）A ．2=+n n ,16?i >B ．2=+n n ,16?i ≥C ．1=+n n ,16i >?D ．1=+n n ,16?i ≥ 【答案】A【解析】该程序是求数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前16项和，①处变量n 每次增加2，②处是循环控制条件，循环体共执行了16次，故16i >时，退出循环，选A.8．设a ，b 均为正实数，则“1ab >”是“222a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】确定两个命题1ab >⇒222a b +>和222a b +>⇒1ab >的真假可得．【详解】∵a ，b 均为正实数，若1ab >，则222a b +≥>，命题1ab >⇒222a b +>为真； 若14,8a b ==，满足220,0,2a b a b >>+>，但112ab =<，故222a b +>⇒1ab >为假命题． 因此“1ab >”是“222a b +>”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断．解题时必须根据定义确定命题p q ⇒和 q p ⇒的真假．也可与集合包含关系联系．9．0=⎰（ ）A ．πB ．2πC ．2D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据定积分0ò表示直线0,2,0x x y ===与曲线y =即可求出结果. 【详解】因为定积分0ò表示直线0,2,0x x y ===与曲线y =又y =224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分0ò表示圆224x y +=的14，其中0,02y x ≥≤≤，故20124ππ=⋅⋅=⎰. 故选A【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，熟记定积分几何意义即可，属于基础题型.10．已知点M 的极坐标为π(5,)3，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )A ．π(5,-)3B ．4π(5,)3C ．2π(5,)3-D ．5π(5,)3- 【答案】D由于3π 和53π-是终边相同的角，故点M 的极坐标53π⎛⎫ ⎪⎝⎭，也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【详解】点M 的极坐标为53π⎛⎫⎪⎝⎭，，由于3π 和53π-是终边相同的角， 故点M 的坐标也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故选D ．【点睛】 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．11．函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为（ ）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y +-= 【答案】A【解析】【分析】先求出切点的坐标和切线的斜率，再写出切线的方程.【详解】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）, 由题得11()2,(1)211f x k f x ''=-+∴==-+=-， 所以切线方程为y+2=-1·(x-1),即：10x y ++=故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．已知复数11i z i +=-，则复数z 的模为（ ）A ．2B C ．1 D ．0【答案】C【解析】根据复数的除法运算求出z i =，然后再求出||||1z i ==即可．【详解】 由题意得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+， ∴||||1z i ==．故选C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数z ，属于基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位:分)X 服从正态分布()2110,10N ,记(]90,110X ∈为事件(],80,100A X ∈为事件B ,则()|P B A __________.(结果用分数示)附：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=. 【答案】2795 【解析】分析：利用条件概率公式，即可得出结论.详解：由题意，()()()()()110.475,0.990.680.155,0.950.680.13522P A P B P AB ==-==-=， ()0.13527|0.47595P B A ∴==. 故答案为：2795. 点睛：本题考查条件概率，考查正态分布，考查计算能力，属于中档题.14．在复平面上，复数z 对应的点为(2,1)A -，则|1|z +=________.【解析】【分析】由已知可得z ，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由已知可得，z ＝﹣2+i ，则z+1＝﹣1+i ，∴|z+1|=．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．15．随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 【答案】25 【解析】设1ξ=时的概率为p ，则()110121155E p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯--= ⎪⎝⎭，解得35p =，故()()()()22213120111215555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯= 考点：方差.16．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______．【答案】2【解析】【分析】根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.【详解】Q 城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.本市共有城市数24 ,∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，∴每个个体被抽到的概率是61244=， Q 丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为1824⨯=,故答案为2. 【点睛】本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()|21||1|f x x x =-++．(1)解不等式()3f x …；(2)记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t++…． 【答案】 (1) {|11}x x -≤≤ (2)见解析【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得()g x 最小值，即得值域为M ，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果.【详解】（1）依题意，得()3,1,12,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得()1,3{33,x f x x ≤-≤⇔-≤或11,{223,x x -<<-≤或1,{233,x x ≥≤ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=，当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，∴[)3,M =+∞. 原不等式等价于()()23223133331t t t t t t t t t t -+-+--+-==. ∵t M ∈，∴30t -≥， 210t+>. ∴()()2310t t t -+≥. ∴2313t t t+≥+. 【点睛】 含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．18．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm³的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒？（精确到1秒） （2）细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度. （精确到0.1cm ）【答案】 (1) 一沙时为1986秒;(2) 沙堆高度约为2.4cm. 【解析】 【分析】 【详解】（1）开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为216833H =⨯=，底面半径为28433r =⨯=22118163333V r H ππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭39.71（秒）所以，沙全部漏入下部约需1986秒（2）细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径4， 设高为H '2110244381V H ππ'=⨯⨯=64 2.37 2.427H =≈'=锥形沙堆的高度约为2.4cm.19．C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()3m a b =r与()cos ,sin n =A B r平行． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若7a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）2． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）根据平面向量//m n r r，列出方程，在利用正弦定理求出tan A 的值，即可求解角A 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出bc 的最大值，即得ABC ∆的面积的最大值.试题解析：（1）因为向量()m a =r与()cos ,sin n =A B r平行，所以0asinB ＝，由正弦定理得sinAsinB －0sinBcosA ＝，又sin 0B ≠，从而tanA 0<A<π，所以A ＝3π.（2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a ，b ＝2，A ＝3π， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bcsinA ＝2. 考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.20．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（I ）求的分布列；（II）若要求，确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【答案】（I）（II）2（III）【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，2，21，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=1125，P（X≤2）=1725．由此能确定满足P（X≤n）≥1．5中n的最小值．（Ⅲ）由X的分布列得P（X≤2）=1725．求出买2个所需费用期望EX1和买21个所需费用期望EX2，由此能求出买2个更合适试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，11，11的概率分别为1．2，1．4，1．2，1．2，从而；；；；；；．所以的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为2．（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当时，．当时，．可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．考点：离散型随机变量及其分布列21．已知椭圆M 的方程是2212x y +=，直线y x m =+与椭圆M 交于A 、B 两点，且椭圆M 上存在点P 满足OP OA OB =+u u u v u u u v u u u v，求m 的值.【答案】2± 【解析】 【分析】设出点A,B 的坐标，联立准线方程与椭圆方程，结合韦达定理和平面向量的坐标运算法则可得关于实数m 的方程，解方程即可确定m 的值. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2234220x mx m ++-=， ()222(4)12228240m m m ∆=--=-+>，解得m <()1212,,OP OA OB P x x y y =+∴++u u u r u u u r u u u rQ ，12121242,233x x m y y x x m m +=-+=++=Q ，42,33P m m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭在椭圆2212x y +=上，22422233m m ⎛⎫⎛⎫∴-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得m =【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．已知数列{}n a 满足12a =，()1*121222n n n n a a a na n N -+++⋅⋅⋅+=∈.（1）求n a ；（2）求证：()*122311113261112n n a a a n n n N a a a +----<++⋅⋅⋅+<∈---. 【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意变换得到数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，得到通项公式. （2）11112n n n a b a +-=<-，11111232n n nn a b a +-=≥--⋅，代入计算得到答案.【详解】（1）由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得3121212222n n n na a na a a +-+++⋅⋅⋅+=， 所以当2n ≥时 ()312122112222n n n n n a a a a a ----+++⋅⋅⋅+=， 因此有()()112112222nn n n n n a a na n +---=-≥，即()1221n n n a na n a +=--， 整理得12(2)n n a a n +=≥，又12a =，212a a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求得2nn a =.（2）记1111212112121212n nn nn n n a b a +++---==<=---， 故122311111111112222n n a a a na a a +---++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+=---， 又112111212111111122121212222422232nnn nn n n n nn a b a ++++----====-=-≥-----⋅-⋅， 所以122311111111111326211112233223612n n n n a a a n n n n a a a +⎛⎫- ⎪----⎝⎭++⋅⋅⋅+≥-=-+⋅>-=----. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列的放缩能力和应用能力.。

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知P 为双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，A 为其左顶点，F 为其右焦点，满足||||AF PF =，3PFA π∠=，则点F 到直线PA 的距离为（ ）A B ．72 C D ．152【答案】D【解析】【分析】由题意可得APF V 为等边三角形，求出点P 的坐标，然后代入双曲线中化简，然后求出a 即可【详解】由题意可得(),0A a -，(),0F c由||||AF PF =，3PFA π∠=可得APF V 为等边三角形所以有)2c a P a c ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程可得()()22223144c a a c a b -+-= 结合222b c a =-化简可得22340c ac a --=，可解得4c a =因为c =a =所以点F 到直线PA )152a c +== 故选：D【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，双曲线的方程及化简运算能力，属于中档题.2．l m n ，，为直线，,,αβγ为平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//m α，//n β，则//αβB ．则m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥D ．则αβ⊥，l α⊆，则l β⊥【答案】B【解析】【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,A C D ，从而得到结果.【详解】A 选项：若//m n ，则α与β未必平行，A 错误B 选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，B 正确C 选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，C 错误D 选项：l 可能与β平行或相交，D 错误本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.3．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ).A ．没有白球B ．至少有一个白球C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【答案】B【解析】1122644230C C C C +表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.4．已知抛物线y 2=2x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|PF|=2，过点P 作抛物线准线的垂线交准线于点Q ，则|FQ|=（ ）A ．1B ．2 C．D．【答案】B【解析】【分析】不妨设点P 在x 轴的上方，设P （x 1，y 1），根据抛物线的性质可得x 1=32，即可求出点P 的坐标，则可求出点Q 的坐标，根据两点间的距离公式可求出．【详解】不妨设点P 在x 轴的上方，设P （x 1，y 1），∵|PF|=2，∴x 1+12=2，∴x 1=32∴y 13Q （-123），∵F （12，0），∴()22110322⎛⎫++- ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的性质，两点间的距离公式，属于基础题．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.5．下列说法中，正确说法的个数是（ ）①在用22⨯列联表分析两个分类变量A 与B 之间的关系时，随机变量2K 的观测值k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大②以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则,c k 的值分别是4e 和0. 3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1,3x y ==，则1a = A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】①分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大②对kx y ce =同取对数，再进行化简，可进行判断③根据线性回归方程y a bx =+，将2b =，1,3x y ==代入可求出a 值【详解】对于①,分类变量A 与B 的随机变量2K 越大,说明“A 与B 有关系”的可信度越大,正确;对于②,kx y ce =Q ,∴两边取对数,可得()ln ln ln ln ln kx kx y ce c e c kx ==+=+,令ln z y =,可得ln ,0.34,ln 4,0.3z c kx z x c k =+=+∴==Q , 4c e ∴=.即②正确;对于③,根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx=+中,2,1b x ==,3y =,则1a =.故 ③正确因此，本题正确答案是:①②③答案选D【点睛】二联表中2K 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大；将变量转化成一般线性方程时，可根据系数对应关系对号入座进行求解；线性回归方程的求解可根据,,b x y ,代入y a bx =+求出a 值6．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）A B ．2 C ．3 D ．0【答案】B【解析】【分析】 利用函数的定义即可得到结果.【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ， 故选B ．【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).7．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5【答案】D【解析】【分析】根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C则()0.4P A =，()0.5P B =，()0.2P AB = ()0.2(|)0.5()0.4P AB P B A P A === 故选D.【点睛】 本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．8．若函数12()3sin 21x x f x x +=+++，则(2019)(2019)f f -+=（ ） A ．0B ．8C ．4D ．6 【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式可求得()f x -，结合函数奇偶性可得到()()8f x f x +-=，从而得到结果.【详解】由题意得：()()221223sin 5sin 2121x x x f x x x +-=++=-+++ ()()2225sin 5sin 2112xx x f x x x -⋅∴-=-+-=--++ ()()1028f x f x ∴+-=-= ()()201920198f f ∴+-=本题正确选项：B【点睛】本题考查函数性质的应用，关键是能够根据解析式确定()()f x f x +-为定值，从而求得结果. 9．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ）A ．60B ．70C ．80D ．90【答案】B【解析】【分析】根据题意画出韦恩图即可得到答案．【详解】根据题意阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，得到的韦恩图如图，所以阅读过《西游记》的学生人数为106070+=人故选B.【点睛】本题考查利用韦恩图解决实际问题，属于简单题．10．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．500 【答案】A【解析】【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数.【详解】 215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式 取1x =得到4n M =二项式系数之和为2n N =429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250 故答案选A【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.11．函数()21cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】【分析】利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D.【详解】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x x f x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e (1)cos101ef -=<+，排除D ，选B. 故选：B.【点睛】 本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.12．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，∴根据等可能事件的概率得到P=故选D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知1sin cos 2αβ=，则cos sin αβ的取值范围是________. 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】可设所求cosαsinβ=x，与已知的等式sinαcosβ=12相乘，利用二倍角的正弦函数公式的逆运算化简为sin2α•sin2β=2x 后，根据三角函数的值域的范围得到关于x 的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范围【详解】设x=cosα•sinβ，sinα•cosβ•cosα•sinβ=12x ， 即sin2α•sin2β=2x．由|sin2α•sin2β|≤1，得|2x|≤1， ∴﹣12≤x≤12． 故答案为：[﹣12，12]． 【点睛】考查学生灵活运用二倍角的三角函数公式化简求值，会根据三角函数的值域范围列出不等式．本题的突破点就是根据值域列不等式．14．将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录()k k n ≤个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶色序”，当且仅当两个“k 阶色序”对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的“k 阶色序”.若某圆的任意两个“k 阶色序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.“4阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为__________．【答案】1【解析】分析：由题意可得，“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2 ×2×2=1种，从两个方面进行了论证，即可得到答案．详解：“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2×2×2=1种， 一方面，n 个点可以构成n 个“4阶色序”，故“4阶魅力圆”中的等分点的个数不多于1个；另一方面，若n=1，则必需包含全部共1个“4阶色序”，不妨从（红，红，红，红）开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，红，蓝，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，红，红，蓝，红，蓝”符合条件．故“4阶魅力圆”中最多可有1个等分点．故答案为：1．点睛：本题主要考查合情推理的问题，解题的关键分清题目所包含的条件，读懂已知条件.15．某超市国庆大酬宾，购物满100元可参加一次游戏抽奖活动，游戏抽奖规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处，小球自由落下过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，落入A 袋得奖金4元，落入B 袋得奖金8元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为12.已知李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士的活动奖金期望值为_____元.【答案】5【解析】【分析】先记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，分别求出其对应概率，再由题意得到抽取活动奖金的可能取值，进而可求出结果.【详解】记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，由题意可得()33111224⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P B ，所以3()1()4=-=P A P B . 因为李女士当天在该超市购物消费128元，按照活动要求，李女士可参加一次抽奖，抽取活动奖金的可能取值为4,8=X ，所以期望为()4()8()325=+=+=E X P A P B .故答案为5【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型.16．已知向量(,21)a m m =-v ，(1,2)b =-v ，若//a b v v ，则42a b +=v v _________．【答案】【解析】分析：根据//a b v v ，建立方程求出m ，详解：Q 向量(),21a m m v =-，()1,2b v =-，且//a b v v ，∴221m m -=-，解得14m =，11(,)42a =-v∴42(3,6)a b +=-v v ，42a b +==v v故答案为.点睛：本题考查两个向量共线的性质，两个向量的线性运算以及向量模的计算，属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知数列{}n a 各项均为正数，满足2333(1)122n n a n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L ． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】（1）11a =，22a =，33a =；（2）猜想：n a n =；证明见解析.【解析】【分析】（1）分别代入1,2,3n =，根据0n a >，解方程可求得结果；（2）猜想n a n =，验证1n =时成立；假设n k =时成立，则1n k =+时，利用假设可证得结论成立，从而证得结果.【详解】 （1）当1n =时，231212a ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭，又0n a > 11a ∴= 当2n =时，23323122a ⋅⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：22a = 当3n =时，2333341232a ⋅⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：33a = (2)猜想：n a n =证明：（1）当1n =时，由（1）可知结论成立；（2）假设当n k =时，结论成立，即k a k =成立，则当1n k =+时，由()23331122k a k k ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭L 与()()2313321212k a k k +⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭L 得：()()()()()2222311212112222k k k a k a k a k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()2322222221241114412k a k k k k k k k k k +∴+=+++=+++=++ 又0n a > 11k a k +∴=+成立 根据（1）、（2）猜想成立，即：n a n = 【点睛】本题考查数列中的项的求解、利用数学归纳法证明问题.利用数学归纳法证明时，要注意在证明1n k =+时结论成立时，必须要用到n k =时假设成立的结论，属于常规题型.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为3x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABO V 的面积．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=；直线l的普通方程为30x --=；（2. 【解析】 【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出曲线C 的直角坐标方程；根据直线l 的参数方程，消去参数，即可得到普通方程；（2）先由题意，先设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t，将直线的参数方程化为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入224x y x +=，根据参数下的弦长公式求出AB ，再由点到直线距离公式，求出点O到直线:30l x --=的距离，进而可求出三角形的面积.【详解】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，即224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=；由3x y t⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去t可得：30x --=，即直线l的普通方程为30x --=；（2）因为直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，由3x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可化为312x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入224x y x +=得，230t +-=，则有12t t +=123t t =-， 因此12AB t t =-===又点O 到直线:30l x --=的距离为32d ==， 因此ABO V的面积为12ABO S AB d =⨯⨯=V 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数下的弦长问题，属于常考题型.19．已知等比数列{}n a 的前n 项和12n n S λ+=+，其中λ为常数.（1）求λ；（2）设2log n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）2λ=- （2）()11222n n n n T ++=+-【解析】 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-求出当2n ≥时{}n a 的通项，根据{}n a 为等比数列得到1a 的值后可得2λ=- . （2）利用分组求和法可求{}n n a b +的前n 项和n T . 【详解】（1）因为12n n S λ+=+，当1n =时，114a S λ==+，当2n ≥时，12nn S λ-=+， 所以11222n n nn n n a S S +-=-=-=，因为数列{}n a 是等比数列，所以2nn a =对1n =也成立，所以42λ+=，即2λ=-.（2）由（1）可得2nn a =，因为2log n n b a =，所以2log 2nn b n ==，所以n T ()()()()2321212222123122n n n n n -+=++++++++⋅⋅⋅+=+-L ，即()11222n n n n T ++=+-.【点睛】（1）数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系是11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现n a 与n S 之间的相互转化.（2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()14，，求MA MB +的值． 【答案】（1）22(2)4x y +-=（2）【解析】试题分析:（1）由222=,sin x y y ρρθ+= 可将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先将直线l 的参数方程代入圆C 方程，再根据参数几何意义得MA MB + 12t t =+，最后根据韦达定理求MA MB +的值．试题解析：（1）224sin 4x y y ρθ=⇒+=；（2）直线l 的参数方程代入圆C方程得210t -+=⇒ MA MB +12t t =+= 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t|＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.21．（1）已知命题p :实数m 满足22127(0)m a am a +<>，命题q :实数m 满足方程22112x ym m+=--表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）设命题p :关于x 的不等式1x a >的解集是{|0}x x <；q :函数y =R .若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）13[,]38；（2）1(0,)[1,)2⋃+∞ 【解析】分析：（1）利用一元二次不等式的解法化简p ，利用椭圆的标准方程化简q ，由包含关系列不等式求解即可；（2）化简命题p 可得01a <<，化简命题q 可得12a ≥，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围.详解：（1）由22127(0)m a am a +<>得：34a m a <<，即命题:34(0)p a m a a <<>由22112x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，可得210m m ->->，解得312m <<，即命题3:12q m <<. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以31342a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩或31342a a ≥⎧⎪⎨<⎪⎩解得：1338a ≤≤，∴实数a 的取值范围是13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）解：命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为{|01}P a a =<< 对于命题q :函数y =R 的充要条件是20ax x a -+≥①恒成立.当0a =时，不等式①为0x -≥，显然不成立；当0a ≠时，不等式①恒成立的条件是()20140a a a >⎧⎪⎨∆=--⨯≤⎪⎩，解得12a ≥ 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为1{|}2Q a a =≥由“p q ∨是真命题，p q ∧是假命题”，可知命题p 、q 一真一假当p 真q 假时，a 的取值范围是()1{|0}2R P Q a a ⋂=<<ð当p 假q 真时，a 的取值范围是(){|1}R P Q a a ⋂=≥ð 综上，a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.点睛：本题主要考查根据命题真假求参数范围、一元二次不等式的解法、指数函数的性质、函数的定义域，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 22．在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目. （Ⅰ）3名女生相邻，有多少种不同的站法？（Ⅱ）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？ 【答案】（Ⅰ）720种；（Ⅱ）4320种 【解析】 【分析】（Ⅰ）相邻问题用“捆绑法”；（Ⅱ）有限制元素采取“优先法”. 【详解】解：（Ⅰ）3名女生相邻可以把3名女生作为一个元素，和4名男生共有5个元素排列，有55120A =种情况，其中3名女生内部还有一个排列，有336A =种情况，∴一共有1206720⨯=种不同的站法.（Ⅱ）根据题意，女生甲不能站在最左端，那么除最左端之外，甲有166C =种站法， 将剩余的6人全排列，安排在剩余的位置，有66720A =种站法，∴一共有67204320⨯=种不同的站法. 【点睛】本题主要考查排列的应用，较基础.。

遂宁市高二数学下学期期末考试试题理含解析

遂宁市高二数学下学期期末考试试题理含解析
B. 该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1。5倍
C。 该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍
D。 该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当
【答案】C
【解析】
【分析】
先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解。
A。x-2y—1=0B. 2x+y—2=0
C。x+2y—1=0D。 2x-y—2=0
【答案】A
【解析】
【分析】
线段AB经过抛物线y2＝4x焦点,由“阿基米德三角形”的特征可得P点坐标,从而得直线PF的斜率，又PF⊥AB，即得直线AB斜率，由点斜式可求直线AB的方程．
【详解】抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0),准线方程为：x＝﹣1，
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分。）
13。 抛物线 的焦点坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程为 ,所以焦点在 轴上，且焦点为 。
故答案为
【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.
14。 在 的展开式中， 的系数为__________________。（用数字作答）
【答案】60。
【解析】
试题分析：因为 ，所以 的系数为
考点：二项式定理
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项。可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
(2）已知展开式 某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值,最后求出其参数。

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若关于x 的不等式22ln 0x a x +-<有解，则实数a 的取值范围是( )A ．1,ln 22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭B ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1ln 2,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭2．设集合，那么集合A 中满足条件“”的元素的个数为 ( )A ．60B ．100C ．120D ．1303．小明、小红、小单三户人家，每户3人，共9个人相约去影院看《老师好》，9个人的座位在同一排且连在一起，若每户人家坐在一起，则不同的坐法总数为（ ） A ．33!⨯B ．33(3!)⨯C ．4(3!)D ．9!4．已知函数||()||x f x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个相异实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞ C ．()1,0-D ．(),1-∞-5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若120x x +>，则()()12f x f x +的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值D ．无法确定正负6．定义语句“mod r m n =”表示把正整数m 除以n 所得的余数赋值给r ，如7mod31=表示7除以3的余数为1，若输入56m =，18n =，则执行框图后输出的结果为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．17．椭圆C ：的左右顶点分别为，点P 在C 上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ） A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭9．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．20,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．20,2⎛ ⎝⎦D ．222⎣ 10．设()f x 是一个三次函数，()f x '为其导函数.图中所示的是()y xf x ='的图像的一部分.则()f x 的极大值与极小值分别是（ ）.A ．()1f 与()1f -B ．()1f -与()1fC ．()2f -与()2fD ．()2f 与()2f -11．设集合{}{}23,log ,,P a Q a b ==，若{}1P Q =，则P Q =（ ）A ．{}3,1B ．{}3,2,1C ．{}3,2D ．{}3012,,, 12．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ） A ．大前提错误B ．推理形式错误C ．小前提错误D ．非以上错误二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设函数21()ln(2)2f x x b x =-+在[1,)-+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是______. 14．设函数22,(0)()(),(0)x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩，且函数()f x 为奇函数，则()2g -=________.15．直线与圆交于两点，则________．16．已知函数2()(3)x f x x e =-，给出以下结论：①曲线()y f x =在点(0,3)处的切线方程为310x y -+=； ②在曲线()y f x =上任一点处的切线中有且只有两条与x 轴平行； ③若方程()f x m =恰有一个实数根，则36m e -<-；④若方程()f x m =恰有两个不同实数根，则02m e ≤<或36m e -=-. 其中所有正确结论的序号为__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点(1,)(0)P t t >是抛物线C 上一点，且||2PF =. （1）求t ，p 的值；（2）过点P 作两条互相垂直的直线，与抛物线C 的另一交点分别是A ，B . ①若直线AB 的斜率为25-，求AB 的方程； ②若ABC ∆的面积为12，求AB 的斜率.18．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：()31f x x =，()()233,2xf x f x ==，()42121x x f x -=+，()()56sin ,cos .2f x x f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ （I ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（II ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望. 19．（6分）用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 20．（6分）设()sin xf x e x =函数.(Ⅰ)求函数()f x 单调递增区间；(Ⅱ)当[0,]x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值.21．（6分）假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为23，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标爆炸，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完．现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量X ．（1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率； （2）求随机变量X 的概率分布与数学期望E(X)． 22．（8分）设函数()cos(2)f x x ϕ=+．（1）若函数()f x 为奇函数，ϕ∈(0，π)，求ϕ的值； （2）若ϕ＝3π，()2f α＝13，α∈(0，2π)，求()f α的值． 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】先将不等式转化为2ln 2a x x <-，然后构造函数2()ln 2f x x x =-，只要a 小于()f x 的最大值即可【详解】解：由22ln 0x a x +-<，得2ln 2a x x <-，令2()ln 2(0)f x x x x =->，则2'114()4(0)x f x x x x x-=-=>当102x <<时，'()0f x >；当12x >时， '()0f x < 所以()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减所以当12x =时，()f x 取最大值1111()ln 2ln 22242f =-⨯=--，所以1ln 22a <--故选：A 【点睛】此题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题 2．D 【解析】 【分析】根据题意，中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案. 【详解】集合A 中满足条件“”中取0的个数为2,3,4. 则集合个数为：故答案选D 【点睛】本题考查了排列组合的应用，根据中取0的个数分类是解题的关键. 3．C 【解析】 【分析】分两步，第一步，将每一个家庭的内部成员进行全排列；第二步，将这三个家庭进行排列 【详解】先将每一个家庭的内部成员进行全排列，有3(3!)种可能然后将这三个家庭（ 家庭当成一个整体）进行排列，有33A 种可能所以共有3343(3!)(3!)A ⋅=种情况故选：C【点睛】本题考查的是排列问题，相邻问题常用捆绑法解决. 4．B 【解析】分析：将方程()f x k =恰有两个不同的实根，转化为方程xe k x =-恰有两个不同的实根，在转化为一个函数xy e =的图象与一条折线y k x =-的位置关系，即可得到答案.详解：方程()f x k =恰有两个不同的实根，转化为方程xe k x =-恰有两个不同的实根，令xy e =，y k x =-，其中y k x =-表示过斜率为1或1-的平行折线，结合图象，可知其中折线与曲线xy e =恰有一个公共点时，1k =，若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1,)+∞，故选B.点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力. 5．A 【解析】 【分析】依据奇函数的性质，()f x 在[)0,+∞上单调递减，可以判断出()f x 在(),-∞+∞上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断()()12f x f x +的符号。

遂宁市2019-2020学年高二下期末考试数学试题(理)有答案

遂宁市2019-2020学年高二下期末考试数学试题(理)有答案

遂宁市高二第二学期教学水平监测数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．复数()()ai i +-21为纯虚数，则实数a 的值为A ．2-B ．2C ．12- D ．122．已知,,a b R ∈则使得a b >成立的一个必要不充分条件为A ．||||a b >B ．1a b >+C ．1a b >-D ．22a b >3．在63)x的展开式中，常数项为A ．135B ．105C ．30D ．15 4．已知,x y 的取值如图所示，若y 与x 线性相关，且线性回归方程为 6y b x =+，则b 的值为A ．110B ．12C ．110-D ．12-5．设函数sin cos y x x x =+的图象上点(,())P t f t 处的切线斜率为k ， 则函数()k g t =的大致图象为6．运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名。

比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．函数31()ln 13f x x x =-+的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．38．甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加遂宁市劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有 A ．72种 B ．48种 C ．36种 D ．54种9．已知圆(x ＋3)2＋y 2＝64的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N 的坐标为(3，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．设F 为抛物线28y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上不同的三点，且0FA FB FC ++=，O 为坐标原点，若OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，则222123++=S S S A ．36 B ．48 C ．54 D ．64 11．已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, ()0,g x ≠()()()(),f x g x f x g x ''<()(),x f x a g x =(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-， 在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ (n =1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和不小于6364的概率是A ．15B ．52C ．12D ．5312．设(3,A -为抛物线2:2(0)C y px x =>的准线上一点，F 为C 的焦点，点P 在C 上且满足||||PF m PA =，若当m 取得最小值时，点P 恰好在以原点为中心，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为A ．3B ．32 C 1D第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2019-2020学年四川省遂宁市高二期末数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年四川省遂宁市高二期末数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年四川省遂宁市高二期末数学（理）试题一、单选题1．过点(1,1)且斜率不存在的直线方程为（ ） A ．1y = B ．1x =C ．y x =D ．1y x =+【答案】B【解析】根据题意，结合直线的方程的形式即可得答案． 【详解】根据题意，过点()1,1且斜率不存在的直线方程为1x = 故选：B ． 【点睛】本题考查直线的方程，注意垂直x 轴的直线的形式，属于基础题．2．空间直角坐标系中A B 、两点坐标分别为(2,3,5)、(3,1,4)则A B 、两点间距离为（ ）A ．2B CD ．6【答案】C【解析】根据所给的两个点的坐标，代入空间中两点之间的距离的公式，整理成最简结果，得到要求的A 与B 之间的距离 【详解】∵A ，B 两点的坐标分别是A （2，3，5），B （3，1，4），∴|AB |==故选：C ． 【点睛】本题考查空间两点之间的距离公式，意在考查计算能力，是一个基础题， 3．若方程2220x y a ++=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．0a = C ．0a ≤ D ．0a >【答案】A【解析】利用一般方程表示圆得a 的不等式求解 【详解】由题222x y a +=-，则20a ->解得0a <【点睛】本题考查圆的一般方程，是基础题4．直线1:30l ax y --=和直线2:(2)20l x a y +++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．1-C ．2-D ．3或1-【答案】B【解析】由a •（a +2）+1＝0，解得a ．经过验证即可得出． 【详解】由a •（a +2）+1＝0，即a 2+2a +1＝0，解得a ＝﹣1． 经过验证成立． ∴a ＝﹣1． 故选：B ． 【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BD 所成的角为（ ） A ．4πB ．3π C ．2π D ．6π 【答案】C【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与C 1D 所成的角． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，则A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），D 1（0，0，1），AC =u u u r（﹣1，1，0），1D B =u u u u r （1， 1，﹣1）， 设异面直线AC 与1BD 所成的角为θ，则cosθ＝|cos 1AC D B u u u r u u u u r＜，＞|110AC D B AC D B⋅==⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r ， ∴θ2π=．∴异面直线AC 与C 1D 所成的角为2π．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（ ）A ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥；B ．若α⊥面γ，β⊥面γ，l αβ=I ，则l ⊥面γC ．若,//,//,//,//m n A m m n n αβαβ⋂=，则//αβ.D ．若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥β【答案】D【解析】在A 中，由线面平行的性质定理得m ⊥n ；在B 中，由线面垂直的判定l γ⊥；在C 中，由面面平行的性质定理得//αβ；在D 中，若由线面垂直、面面垂直的性质定理得a βP 或a β⊥． 【详解】由m ，n 是两条不同的直线，α，β是三个不同的平面，知：在A 中，若,//m n αα⊥，则m n ⊥；则由线面平行的性质得m n ⊥，故A 正确； 在B 中，若α⊥面γ，β⊥面γ，l αβ⋂=，则由线面垂直的判定知l γ⊥ 故B 正确；在C 中，若,//,//,//,//m n A m m n n αβαβ⋂=，则由面面平行的判定定理得//αβ，故C 正确；在D 中，若αβ⊥，a α⊂，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得a βP 或a β⊥，故D 不正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．7．若实数，满足，则的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．D ．9【答案】A【解析】试题分析：作出可行域如下图所示，当直线过点时，有最小值，此时，故选A ．【考点】线性规划．8．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数2sin8y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C．116D．18【答案】D【解析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可．【详解】由已知，可得大圆的直径为y＝3sin8πx的周期，由T2168ππ==，可知大圆半径为8，则面积为S＝64π，一个小圆的周长242l r rπ==∴=故小圆的面积S′＝π•22＝4π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P2'81648SSππ===，故选：D．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题．9．如图所示，1111ABCD A B C D-是长方体，O是11B D的中点，直线1A C交平面11AB D 于点M，则下列结论正确的是（）A．,,A M O三点共线B．1,,,A M O A不共面C．,,,A M C O不共面D．1,,,B B O M共面【答案】A【解析】先观察图形判断A，M，O三点共线，为了要证明A，M，O三点共线，先将M看成是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，利用同样的方法证明点O、A也是在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，从而证明三点共线．【详解】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A 1、C 1、C 、A 四点共面， ∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1， ∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， ∴A 、M 、O 三点共线． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质及推论、三点共线及空间想象能力，属于基础题． 10．若直线1:1l y kx k =-+与直线2l 关于点(3,3)对称，则直线2l 一定过定点（ ） A ．(3,1) B ．()2,1C ．()5,5D ．(0,1)【答案】C【解析】求出直线l 1过定点，结合点的对称性进行求解即可． 【详解】∵1y kx k =-+＝k （x ﹣1）+1， ∴l 1：y ＝kx ﹣k +1过定点（1，1），设定点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x ，y ），则132132xy +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得55x y =⎧⎨=⎩，即直线l 2恒过定点()5,5故选：C 【点睛】本题主要考查直线过定点问题，利用点的对称性是解决本题的关键．11．坐标原点()0,0O 在动直线(2)(2)0m x n y -+-=上的投影为点P ，若点()1,1Q --，那么PQ 的取值范围为（ ）A． B． C．⎡⎣D．1⎡⎣【答案】A【解析】动直线()()220m x n y -+-=过定点M （2，2），由条件得到P 在以OM 为直径的圆上，利用中点坐标公式求出圆心A 的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r 和|AQ |，判断出点Q 与圆的位置关系，再求出线段PQ 的范围． 【详解】∵动直线()()220m x n y -+-=过定点M （2，2）， 点()0,0O 在动直线()()220m x n y -+-=上的投影为点P ， ∴∠OPQ ＝90°，则P 在以OM 为直径的圆上， ∴此圆的圆心A 坐标为（022+，022+），即A （1，1），半径r 12=OM =()1,1Q --∴|AQ |=Q 在圆外，∴PQ 的取值范围为故选：A ． 【点睛】本题考查了恒过定点的直线方程，圆的轨迹方程，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，确定点P 的轨迹是关键，属于中档题12．已知正方形ABCD 的边长为4，CD 边的中点为E ，现将,ADE BCE ∆∆分别沿,AE BE 折起，使得,C D 两点重合为一点记为P ，则四面体P ABE -外接球的表面积是（ ）A ．1712πB ．1912πC ．193πD ．763π【答案】D【解析】由题意画出图形，找出四面体P ﹣ABE 外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式求解． 【详解】 如图，PE ⊥P A ，PE ⊥PB ，PE ＝2，△P AB 是边长为4的等边三角形， 设H 是△P AB 的中心，OH ⊥平面P AB ，O 是外接球的球心，则OH 112PE ==，PH =，则2222193R OP OH PH ==+=．故四面体P ﹣ABE 外接球的表面积是S 27643R ππ==． 故选：D ．【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题13．直线1y x =+与直线1y kx =-垂直，则实数k 的值为_____ 【答案】1-【解析】利用垂直得直线的斜率即可求解 【详解】直线1y x =+与直线1y kx =-垂直，则111k k ⨯=-∴=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查直线的位置关系，是基础题14．如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 _____【答案】5.6或285【解析】利用平均数与方差公式直接求解即可 【详解】由题去掉最高与最低分后的测试成绩为82,84,84,86,89，则平均数8284848689855x ++++==方差()()()()()2222221288582858485848586858955s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 故答案为：5.6或285【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数与方差的计算，是基础题15．两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为_____ 【答案】23【解析】基本事件总数n 336A ==，两名男生相邻包含的基本事件个数m 2222A A ==4，由此能求出两名男生相邻的概率． 【详解】两名男生和两名女生随机站成一排照相，基本事件总数n 336A ==，两名男生相邻包含的基本事件个数m 2222A A ==4则两名男生相邻的概率为p 23m n ==． 故答案为：23【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知点(,)P x y 是直线20(0)x ky k ++=<上一动点，,PA PB 是圆22:(1)1C x y -+=的两条切线，,A B 为切点，若弦AB k 的值为_____【答案】【解析】当AB 最小时，∠AOB 最小，PC 最小，再利用点到线的距离公式求解即可 【详解】∵AB 最小等价于∠AOB 最小等价于PC 最小，而PC 的最小值是点C 到直线20x ky ++=的距离．当AB =∠AOB ＝120°，此时PC ＝2，∴221k =+又k <0，∴k 5=-， 故答案为：5-． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查圆的切线长，考查圆的几何性质的合理运用，找到临界位置是关键，属中档题．三、解答题17．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB,E 是PD 的中点.（1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO ，由三角形中位线的性质可得EO ∥P A ，结合线面平行的性质可得//PB 平面EAC ；（2）由面面垂直的性质可得P A ⊥CO ，由矩形的性质可知AD ⊥CD ，由面面垂直的性质可得CD ⊥平面P AD ，故平面PDC ⊥平面P AD . 试题解析： （1）连结交于，连结，则是的中位线，所以，又平面，平面，平面；（2），而 ，又.18．“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展.扫黑除恶期间，大量违法分子主动投案，某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计，y 表示第x 天主动投案的人数，得到统计表格如下：x1 2 3 4 5 6 7 y3455567（1）若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）判定变量x 与y 之间是正相关还是负相关.（写出正确答案，不用说明理由） （3）预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）.参考公式：()()()1122211ˆnni i i i i i nn i i i i x x y y x y nxy bx x x nx====---==--∑∑∑∑， ˆˆay bx =-. 【答案】(1) 41977ˆyx =+ (2) 正相关 (3)7人 【解析】（1）先计算x ，y ，再利用公式计算ˆˆb a ，，即可求解回归方程（2）利用回归直线的斜率确定正相关 （3）将8x =代入回归直线即可预测 【详解】（1）根据表中的数据，可得()1123456747x =++++++=，()1345556757y =++++++= 则()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222222214352445345544555455646574754714243444546474--+--+--+--+--+--+--==-+-+-+-+-+-+-又由419547ˆ7a=-⨯= 故所求回归直线方程为41977ˆyx =+ （2）正相关（3）当8x =时，根据方程得4195187777y =⨯+=≈， 故预测第八天有7人 【点睛】本题考查回归直线方程，考查计算能力，是基础题19．已知动点M 与两个定点()()0,03,0O A ，的距离之比为12； （1）求动点M 的轨迹方程；（2）过点M 所代表的曲线外一点()3,3P 作该曲线的两条切线，切点分别为,B C ，求BPC ∠的正弦值；（3）若点M 所代表的曲线内有一点(0,1)Q ,求过点Q 且倾斜角为4π的直线与此曲线所截得的弦长.【答案】(1) 22(1)4x y ++= (2)25(3)4 【解析】（1）设,Mx y ，由点点距列关系式得方程（2）由几何关系在Rt PBG ∆中计算2sin cos 55BPG BPG ∠=∠=，，由二倍角公式计算BPC ∠的正弦值；（3）利用点斜式求解直线方程得直线过圆心得到弦长 【详解】（1）解：设,M x y （），由题意有：()2222143x y x y +=-+ 化简得：()2214x y ++=（2）因为点3,3P （）到圆心()1,0-的距离d ，令圆心为G所以在Rt PBG ∆中，2sin cos 5BPG BPG ∠=∠=，则sin 2sin cos 25BPC BPG BPG ∠=∠⋅∠= （3）过点()0,1Q 倾斜角为4π的直线方程为10x y -+= 该直线恰好过圆心，所以与曲线截得的弦长恰好为圆的直径，即弦长4d = 【点睛】本题考查轨迹方程的求解，考查切线及几何性质，考查弦长公式，是对圆的几何性质得考查，是中档题20．每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影《泰坦尼克号》中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”.为了推动我市旅游发展和带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”.我市某地将按“泰坦尼克号”原型1:1比例重新修建.为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市2070~岁的人群中抽取了a 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如下表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[)2030， 100.5 第2组[)3040， x0.9第3组 [)4050， 54m第4组 [)5060，n0.36第5组 [)6070，y0.2（1）求出()m x y n ++的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄在[)3040，段的概率.【答案】(1)54 (2)2人，3人，1人 (3)25【解析】（1）利用频率分布直方图得各组的频率结合回答正确的人数占本组的频率计算 （2）确定抽样比得各组人数（3）列举法得没有年龄段在[)3040，及基本事件总数，利用古典概型求解 【详解】（1）第1组的人数为：10200.5=人，第1组的频率为：0.01100.1⨯＝ 202000.1a ∴== 2000.20.936,2000.20.156x y ∴=⨯⨯==⨯⨯=540.9,2000.250.36182000.3m n ===⨯⨯=⨯，故()()0.93661854m x y n ++=⨯++= （2）抽样比为：6110818=人 ∴第2组抽取的人数为：136218⨯=人；第3组抽取的人数为：154318⨯=人； 第4组抽取的人数为：118118⨯=人 （3）记[)3040，中2人为A 1,A 2，[)4050，中3人为B 1,B 2,B 3，[)5060，中1人为C ，则在抽取的6人中随机抽取2人的所有事件为A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 1C ，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 2C ，B1B2，B 1B 3，B 1C ，B 2B 3，B 2C ，B 3C 共15个，其中不含A 1,A 2的有6个∴所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3040，的概率：62155m p n === 【点睛】本题考查频率分布直方图及应用，考查分层抽样，考查古典概型，考查计算能力，是中档题21．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，12AB AC AA ===，E 是BC 的中点，F 是1A E 上一点，且12A F FE =.（1）证明：AF ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A E B --余弦值的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】（1）证明出1~AEF A EA ∆∆，可得出190AFE A AE ∠=∠=o，即有1AF A E ⊥，再证明出BC ⊥平面1A AE ，可得出AF BC ⊥，然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AF ⊥平面1A BC ；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，然后利用空间向量法计算出二面角11B A E B --余弦值的大小. 【详解】（1）由题意知，等腰直角三角形ABC ∆中，中线AE BC ⊥，且122AE BC == 在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，AE ∵、BC ⊂平面ABC ，从而知1AA AE ⊥，1AA BC ⊥，一方面，在1Rt A AE ∆中，因为12A A =，2AE =16A E 由12A F FE =，可得6EF =，从而可知1A E AE EF AE =，又1AEF A EA ∠=∠， 则得1~AEF A EA ∆∆，由此可得190AFE A AE ∠=∠=o，即有1AF A E ⊥.另一方面，由1AA BC ⊥，AE BC ⊥，1AA AE A ⋂=，得BC ⊥平面1A AE ， 又AF ⊂平面1A AE ，则知BC AF ⊥.综上，1AF A E ⊥，且AF BC ⊥，又1BC A E E =I ，故AF ⊥平面1A BC ，得证之； （2）由题意，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，且有()0,0,0A 、()10,0,2A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()1,1,0E ，从而有()1,1,0AE =u u u r 、()11,1,2EA =--u u u r 、()112,0,0A B =u u u u r， 由12A F FE=u u u u r u u u r，可得11222,,3333AF AE EF AE EA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 记(),,n x y z =r为平面11A B E 的一个法向量，则有111200200x y z n EA x n A B ⎧---=⋅=⎧⎪⇔⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩u u u v v u u u u v v ，取1z =，得()0,2,1n =r .又由（1）知AF ⊥平面1A BC ，故可取()31,1,12m AF ==u r u u u r为平面1A BE 的一个法向量，那么可得15cos ,53n n n m mm ⋅===⋅r u rr u r r u r 因此，二面角11B A E B --15. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．已知过定点(1,1)且与直线y x =垂直的直线与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，点22C m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭满足CA CB =. （1）若以原点为圆心的圆E 与ABC ∆有唯一公共点，求圆E 的轨迹方程； （2）求能覆盖ABC ∆的最小圆的面积；（3）在（1）的条件下，点()00,P x y 在直线3240x y +-=上，圆E 上总存在两个不同的点M N 、使得OM ON OP +=u u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点），求0x 的取值范围.【答案】(1) 221x y += (2) =2S π (3) 24(0,)13【解析】（1）CA CB =，得C 在直线y x =上，求出m = ，确定圆的半径则方程可求（2）由几何关系得能覆盖三角形ABC 的最小圆是以AB 为直径的圆，计算AB =，则圆的面积可求（3）由OM ON OP +=u u u u r u u u r u u u r ，则有OP 与MN 互相垂直平分，1,<利用点在直线上得0x 的不等式求解 【详解】（1）因为CA CB =，所以C 在线段AB 的垂直平分线上，即在直线y x =上，故2m =以原点为圆心的圆E 与ABC ∆有唯一公共点，此时圆的半径1r == 故：圆E 的方程为221x y +=（2）由于三角形ABC 为钝角三角形且AB 为最长边，故能覆盖三角形ABC 的最小圆是以AB 为直径的圆由于点2,00,2A B （），（），所以AB =所以能覆盖该三角形的最小圆面积=2S π（3）OM ON OP +=u u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），则有OP 与MN 互相垂直平分，所以圆心到直线MN 的距离小于1.()22001, 4..........1x y <∴+< 又000033240,22x y y x +-=∴=-，代入（1）得 22000324240213x x x ⎛⎫+-<⇒<< ⎪⎝⎭所以实数0x的取值范围为24 0,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆的方程，考查向量的几何应用，考查转化与推理能力，准确将向量转化是关键，是中档题。

四川省遂宁市高二下册第二学期期末考试数学理科含答案【精校】.doc

四川省遂宁市高二下册第二学期期末考试数学理科含答案【精校】.doc

遂宁市高中2019级第四学期期末教学水平监测数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

） 1．已知i 是虚数单位，则11z i=-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知命题52,:>∈∀xR x P ，则P ⌝为A ．52,>∉∀x R xB ．52,≤∈∀xR x C ．52,00≤∈∃x R x D ．52,00>∈∃x R x3．设抛物线22y px =的焦点与椭圆221204x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A ．1x =- B ．2x =- C ．3x =- D ．4x =-4．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与x 的线性回归方程为ˆ8ˆˆ2 4 5 6 8 y2535605575A ．5B ．10C ．12D ．205．“22m ≥”是“函数221y x mx =-+在(),-∞+∞内存在零点”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a 的值为A ．23B ．75C ．77D ．139 7．运行下列程序，若输入的,p q 的值分别为65,36，则输出的p q -的值为 A ．47 B ．57 C ．61 D ．678．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市 某农业经济部门决定派出五位相关专家对三 个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一 位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同 一地区，则不同的派遣方案种数为A ．18B ．24C ．28D ．369．已知函数()f x 在0x >上可导且满足()()0xf x f x '->，则下列一定成立的为A ．()()f f e e ππ>B ．()()f f e π<C ．()()f f e eππ< D ．()()f f e π> 10．若函数32()21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为A ．34a >-B ．53a <- C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 11．已知抛物线22(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值为F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，则MOF ∆的内切圆半径为A B 1 D ．212．已知函数32()312()f x x mx nx m N *=-++∈在1x =-处取得极值，对任意,()270x R f x '∈+>恒成立，则1240344035()()...()()2018201820182018f f f f ++++= A ．4032 B ．4034 C ．4035 D ．4036第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2020年四川省遂宁市数学高二第二学期期末监测试题含解析

2020年四川省遂宁市数学高二第二学期期末监测试题含解析

2020年四川省遂宁市数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若函数()322,020x x a x f x x x a x ⎧-->=⎨+-≤⎩，恰有2个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．4027⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．(()41,]0+27--⋃∞， C ．4127⎛⎫-- ⎪⎝⎭， D ．()410+27⎛⎫--⋃∞ ⎪⎝⎭，， 【答案】D【解析】【分析】将问题转化为()322,02,0x x x g x x x x ⎧->=⎨+≤⎩与y a =恰有2个交点；利用导数和二次函数性质可得到()g x 的图象，通过数形结合可确定0a >或()213g a g ⎛⎫-<<⎪⎝⎭时满足题意，进而求得结果. 【详解】 令()322,02,0x x x g x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，则()f x 恰有2个零点等价于()y g x =与y a =恰有2个交点当0x >时，()32g x x x =-，则()232g x x x '=- ∴当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；当2,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '> ()g x ∴在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 当0x ≤时，()()22211g x x x x =+=+- ()g x ∴在(),1-∞-上单调递减，在(]1,0-上单调递增可得()g x 图象如下图所示：若()y g x =与y a =有两个交点，则0a >或()213g a g ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭又()11g -=-，2844327927g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ()41,0,27a ⎛⎫∴∈--+∞ ⎪⎝⎭U 即当()41,0,27a ⎛⎫∈--+∞ ⎪⎝⎭U 时，()f x 恰有2个零点 本题正确选项：D【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为平行于x 轴的直线与曲线的交点个数的问题，利用数形结合的方式找到临界状态，从而得到满足题意的范围.2．将曲线y=sin2x 按照伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩后得到的曲线方程为（ ） A ．3sin 2y x ''=B ．3sin y x =''C ．13sin 2y x =''D ．1sin 43y x '=' 【答案】B【解析】【分析】 根据23x x y y'=⎧⎨'=⎩反解,x y ,代入2y sin x =即可求得结果. 【详解】由伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩可得:1213x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩代入曲线2y sin x =,可得: 13y sinx ''=,即3y sinx ''=. 故选:B .【点睛】本题考查曲线的伸缩变换,属基础题,难度容易.3．若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51[,)8+∞ B ．(],3-∞ C ．51,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．[)3,+∞ 【答案】A【解析】【分析】由函数()f x 在区间[]1,4上单调递减，得到不等式'()0f x ≤在[]1,4x ∈恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t 的取值范围.【详解】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减， 所以'2()3230f x x tx =-+≤在[]1,4x ∈恒成立，所以(1)0,(4)0,f f '≤'≤⎧⎨⎩即40,5180,t t -≤⎧⎨-≤⎩解得：518t ≥. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题.4．若集合{}24M x x=，{|13}N x x =<≤，则()R N M ⋂=ð( ) A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x < 【答案】A【解析】分析：求出M 及R C M ，即可得到()R N C M ⋂. 详解：{}24{|2,2},M x x x x x ==-Q 或则{|22},R C M x x =-≤< (){|13}{|22}{|12}R N C M x x x x x x ⋂=<<⋂-≤<=<≤.故选C.点睛：本题考查集合的综合运算，属基础题.5．已知抛物线22(0)C y px p =>：，过点(3,0)P 的任意一条直线与抛物线交于,A B 两点，抛物线外一点(),0Q t ，若∠OQA =∠OQB ，则t 的值为( )A ．p -B ．pC ．32-D ．3-【答案】D【解析】【分析】设出点和直线，联立方程得到关于y 的韦达定理，将OQA OQB ∠=∠转化为,QA QB 斜率相反，将根与系数关系代入得到答案.【详解】 设221212(,),(,)22y y A y B y p p，设直线AB ：3x ay =+又22y px =22(3)y p ay ⇒=+2260y pay p ⇒--=224240p a p ∆=+>恒成立121226y y pa y y p +=⎧⎨=-⎩ BQ AQ OQA OQB k k ∠=∠⇒=- 即211212122221()()222y y y y y y t y y y y p t t p p =-⇒+=+--3t =-答案为D【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去x 可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题.6．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（ ）A ．56B ．81100C ．23D ．13【答案】A【解析】【分析】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ，根据条件概率的计算公式，即可得出结果.【详解】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ，由题意可得()0.9=P A ，()0.75=P AB ， 所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为()0.755()()0.96P AB P B A P A ===. 故选A 【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型. 7．已知，若函数在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．B ．（C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】 通过参变分离、换元法，把函数的零点个数转化成直线与抛物线的交点个数. 【详解】，函数在有两个不同零点方程在有两个不同的根，设，在有且仅有两个不同的根与抛物线有且仅有两个不同的交点，【点睛】 通过换元把复杂的分式函数转化为熟知的二次函数，但要注意换元后新元的取值范围.8．执行如图所示的程序框图，若输入的a 为2，则输出的a 值是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．-1【答案】A【解析】【分析】 根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案．【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得： 第一次循环：1112a ==--，满足判断条件，1k =； 第二次循环：111(1)2a ==--，满足判断条件，2k =； 第三次循环：12112a ==-，满足判断条件，3k =； 第四次循环：1112a ==--，满足判断条件，4k =； 第五次循环：111(1)2a ==--，满足判断条件，5k =； 第六次循环：2a =，不满足判断条件，输出结果2a =，故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．已知平面α与平面β相交,a 是α内的一条直线,则（）A ．在β内必存在与a 平行的直线B ．在β内必存在与a 垂直的直线C ．在β内必不存在与a 平行的直线D ．在β内不一定存在与a 垂直的直线【答案】B【解析】 分析：由题意可得，a 是α内的一条直线，则a 可能与平面α和平面β的交线相交，也有可能不相交，然后进行判断详解：在A 中，当a 与平面α和平面β的交线相交时，在β内不存在与a 平行的直线，故错误 在B 中，平面α和平面β相交，a 是α内一条直线，由线面垂直的性质定理得在β内必存在与a 垂直的直线，故正确在C 中，当a 与平面α和平面β的交线平行时，在β内存在与a 平行的直线，故错误在D 中，由线面垂直的性质定理得在β内必存在与a 垂直的直线，故错误故选B点睛：本题主要考查的是空间中直线与平面之间的位置关系、直线与直线的位置关系，需要进行分类讨论，将可能出现的情况列举出来，取特例来判断语句的正确性10． “5n =”是“*,nn N ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式的通项可知当5n =时，只需3r =即可得到常数项，可知充分条件成立；当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立，从而得到结果.【详解】n ⎛ ⎝展开式的通项公式为：(()35621rn r n r r r n r r n n C C x ---⎛⋅⋅=⋅- ⎝ 当5n =时，通项公式为：()15556521r r r rC x --⋅-令1550r -=，解得：3r =，此时为展开式的常数项，可知充分条件成立令350n r -=，解得：35n r = ∴当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立∴“5n =”是“*,nn N ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的充分不必要条件本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到二项式定理的应用；关键是能够熟练掌握二项展开式通项公式的形式，进而确定当x 幂指数为零时所需要的条件，从而确定是否含有常数项.11．下列结论错误的是（ ）A ．命题“若p ，则q ”与命题“若￢q ，则￢p ”互为逆否命题B ．命题p ：]01[x ∀∈，，e 1x ≥，命题q ：x ∃∈R ，210x x ++<，则“p q ∨”为真 C ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题D ．命题P ：“0x ∃∈R ，使得2020x ≥﹣”的否定为￢P ：“x ∀∈R ，220x <﹣ 【答案】C【解析】【分析】由逆否命题的定义即可判断A ；由指数函数的单调性和二次函数的值域求法，可判断B ；由命题的逆命题，可得m ＝0不成立，可判断C ；运用命题的否定形式可判断D ．【详解】解：命题“若p 则q ”与命题“若￢q 则￢p ”互为逆否命题，故A 正确；命题[]:0,1p x ∀∈，1x e ≥，由[]1,x e e ∈，可得p 真； 命题:q x R ∃∈，210x x ++<，由于221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，则q 假， 则“p q ∨”为真，故B 正确；“若22am bm <，则a b <”的逆命题为“若a b <，则22am bm <”错误，如果0m =，不成立，故C 不正确； 命题P ：“0x R ∃∈，使得2020x ≥﹣”的否定为￢P ：“x R ∀∈，220x <﹣”，故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查四种命题和命题的否定，考查判断能力和运算能力，属于基础题．12．函数121x y x -=+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A ．-3B ．3C ．13D ．13- 【答案】A【解析】【分析】先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得a 的值。

四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试卷含答案

四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试卷含答案
1. 函数 f (x) ln 2 cos x 的导数为
A． 1 sin x 2
B． sin x
C． sin x
D． 1 sin x 2
2. 命题“ x0 0, x02 0 ”的否定是
A．∀x≤0，x2＜0
B．∀x≤0，x2≥0
C． x0 0, x02 0
D． x0 0, x02 0
形码粘贴是否正确。 2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在
答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求。）
3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现遂宁市某家庭 2019
年全年的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构
随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得
到了如图折线图：
1
则下列结论中正确的是 A．该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半
B．该家庭 2019 年教育医疗的消费额是 2015 年教育医疗的消费额的 1.5 倍
C．该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的六倍
D．该家庭 2019 年生活用品的消费额与 2015 年生活用品的消费额相当
4.
双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0) 的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为
则 d12 +d22 的最大值为

四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷(文科)D卷

四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷(文科)D卷

四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷（文科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合｛5,6｝等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且,若f(x)在上是减函数,那么f(x)在上是（）A . 增函数B . 减函数C . 先增后减的函数D . 先减后增的函数3. （2分） (2017高一上·绍兴期末) 已知函数f（x）=x2+2（m﹣1）x﹣5m﹣2，若函数f（x）的两个零点x1 ， x2满足x1＜1，x2＞1，则实数m的取值范围是（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，1）C . （﹣1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）4. （2分） (2017高一上·武汉期中) 下列式子中成立的是（）A . log0.34＜log0.36B . 1.72.4＞1.72.5C . 2.50.2＜2.40.2D . log34＞log435. （2分） (2016高一上·芒市期中) 函数f（x）=5 + 的定义域为（）A . {x|1＜x≤2}B . {x|1≤x≤2}C . {x|x≤2且x≠1}D . {x|x≥0且x≠1}6. （2分） (2016高一上·广东期中) 已知函数y=x2+2x+a（a∈R）的图象如图所示，则下列函数与它的图象对应正确的是（）A .B .C .D .7. （2分）设函数f（x）=log2x，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）已知圆及以下三个函数：①；②；③．其中图象能等分圆面积的函数个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 09. （2分）有如下四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)， < ；p2：∃x0∈ ，＝；p3：∀x∈R,2x>x2；p4：∀x∈(1，＋∞)，其中真命题是（）A . p1 ， p3B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p2 ， p410. （2分）设集合,函数，且,则的取值范围是（）A . （0，]B . (，]C .D .11. （2分）若函数，则下列结论中，必成立的是（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·肇庆模拟) 下列说法中不正确的个数是（）①“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件②命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是“∃x0∈R，cosx0≥1”③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．A . 3B . 2C . 1D . 0二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 若，，，，则下列各式：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；⑸ ；⑹ ；⑺ ；⑻其中正确的是________.14. （1分） (2016高一上·张家港期中) 一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为________（万元）（用数字作答）．15. （2分） (2017高二下·临川期末) 研究函数f（x）= 的性质，完成下面两个问题：①将f（2），f（3），f（5）按从小到大排列为________；②函数g（x）= （x> 0）的最大值为________．16. （1分） (2018高一下·临沂期末) 给出下列结论：① ；②若，是第一象限角，且，则；③函数图象的一个对称中心是；④设是第三象限角，且，则是第二象限角.其中正确结论的序号为________．三、三.解答题 (共6题；共40分)17. （10分） (2016高二上·河北期中) 设命题p：若实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （5分） (2017高一上·武汉期末) 现有一圆心角为，半径为12cm的扇形铁皮（如图）．P，Q是弧AB上的动点且劣弧的长为2πcm，过P，Q分别作与OA，OB平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？19. （5分）(2018·银川模拟) 已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．（I）若在区间上的最大值为，求的值；（Ⅱ）当时，判断方程是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．20. （10分） (2017高一上·徐汇期末) 设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．21. （5分） (2017·民乐模拟) 在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4=0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2=|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．22. （5分）(2017·临翔模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，t≠0），其中0≤a ＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4sinθ，曲线．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标系；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共40分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。

2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题含解析

2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题含解析

2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为,a b ，则椭圆22221x y a b +=的离心率e >( )A ．118B ．536C ．16D ．13【答案】C 【解析】224,2c e a b a b a ==>>>1,3,4,5,6;2,5,6b a b a ====共6种情况61366p ==2．函数()f x =的最大值为（ ）A ．5BC ．1D ．2【答案】B 【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数()f x 的最大值.详解：由柯西不等式得222(12)+≥，≤=即x=65时取最大值） 故答案为B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 二元柯西不等式的代数形式：设a b c d ,,,均为实数，则 22222()()()a b c d ac bd ≥+++，其中等号当且仅当ad bc =时成立.3．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出x 与销售额y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出x 与年销售额y 满足线性回归方程 6.517.5y x =+，则m 的值为（ ） A ．45 B ．50C ．55D ．60【答案】D 【解析】分析：求出x ,代入回归方程计算y ，利用平均数公式可得出m 的值. 详解：2456855x ++++==,6.5517.550y ∴=⨯+=,30405070505m ++++∴=,解得60m =，故选D.点睛：本题主要考查平均数公式的应用，线性回归方程经过样本中心的性质，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于基础题.4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为( )A ．22188x y -=B ．2211616x y -=C ．22188y x -=D ．22188x y -=或22188y x -=【答案】A 【解析】分析：先利用双曲线的渐近线相互垂直得出该双曲线为等轴双曲线，再利用焦点位置确定双曲线的类型，最后利用几何元素间的等量关系进行求解. 详解：因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a b =，又双曲线2222:x y C a b-=的一个焦点坐标为()4,0，所以2216a =，即228a b ==，即该双曲线的方程为22188x y -=.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，要注意以下等价关系的应用：，其两条渐近线相互垂直. 5．已知随机变量()23X N σ~，，且()4025P X >=．，则()2P X ≥=（ ） A ．1．25 B ．1．3C ．1．75D ．1．65【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的图像和性质求解即可. 【详解】由题得()2025P X <=．， 所以()2P X ≥=10.250.75-=. 故选：C 【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．2x xy =B ．22xy =-C ．e xy x =- D ．|2|2x y x =﹣【答案】D 【解析】 【分析】对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果． 【详解】对于A ，函数()2xx f x =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，所以不满足题意．对于B ，当0x ≥时，()f x 单调递增，不满足题意． 对于C ，当0x ≥时，()0f x >，不满足题意．对于D ，函数22xy x =﹣为偶函数，且当0x ≥时，函数有两个零点，满足题意． 故选D ． 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 7．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】构造新函数()()f xg x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 8．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n =1000)，利用2×2列联表和2χ统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得24.453χ=，经查阅临界值表知()23.8410.05P χ≈，下列结论正确的是( )A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”【答案】C 【解析】 【分析】将计算出的24.453χ=与临界值比较即可得答案。

2020年四川省遂宁市数学高二(下)期末监测试题含解析

2020年四川省遂宁市数学高二(下)期末监测试题含解析

2020年四川省遂宁市数学高二(下)期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．空间中不共面的4点A，B，C，D，若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平面α的12倍，这样的平面α的个数为（）A．8 B．16 C．32 D．48【答案】C【解析】【分析】由题意分类讨论各种情况，然后利用加法原理确定满足题意的平面的个数即可.【详解】第一种情况，A，B，C，D点在平面α的同侧.当平面α∥平面BCD时，A与平面α的距离是α与平面BCD的距离的2倍.这种情况下有4个平面.第二种情况，A，B，C，D中有3个点在平面α的一侧，第4个点在平面α的另一侧，这时又有两种情形：一种情形是平面α与平面BCD平行，且A与平面α的距离是平面α与平面BCD距离的2倍.这时有4个平面.另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面α）的距离是D到平面EFK距离的一半.∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，∴这种情形下的平面α有3×4=12（个）.第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面α两侧各种有两点.容易看出：点A到平面EFMN（平面α）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．就A，C与B，D分别位于平面α两侧的情形来看，就有A离平面α远，B离平面α远，C离平面α远，D 离平面α远这四种情况.又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，∴平面α有4×3=12（个）.综上分析，平面α有4+4+12+12=32（个）. 故选C. 【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，计数原理的应用，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．34132nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．14【答案】C 【解析】 【分析】化简二项式展开式的通项公式，令x 的指数为零，根据n 为正整数，求得n 的最小值. 【详解】()33714113322r rn rrr n r n r r n n T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令370n r -=，则73r n =，当3r =时，n 有最小值为7.故选C. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.3．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（=新工件的体积材料利用率原工件的体积）（ ）A ．89πB ．169πC ．321)πD ．312(21)π【答案】A 【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分别为，，，长方体上底面截圆锥的截面半径为，则，如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知，而长方体的体积322162()327a a a ++-≤⨯=，当且仅当，时，等号成立，此时利用率为，故选A.考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m nB ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥I ，，，则n β⊥D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交； 选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥.【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.5．函数f(x)=x 3-x 2+mx+1不是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数()2'32f x x x m =-+，转化为2320x x m -+=有两个不同的实数根即可求解.【详解】因为f(x)=x 3-x 2+mx+1， 所以()2'32f x x x m =-+，又因为函数f(x)=x 3-x 2+mx+1不是R 上的单调函数, 所以2320x x m -+=有两个不同的实数解， 可得141203m m ∆=->⇒<， 即实数m 的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想的应用，属于基础题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将单调性问题转化为方程问题是解题的关键6．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意实数x ，都有()(2)f x f x x =-+，当0x <时，()21f x x '<+，若()()242f a f a a -≤--+，则实数a 的最小值是（ ）A ．1B ．1-C ．12D ．12-【答案】A 【解析】构造函数()()2g x f x x x =--，根据等式()()2f x f x x -=+可得出函数()y g x =为偶函数，利用导数得知函数()y g x =在(),0-∞上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在()0,∞+上单调递增，由()()242f a f a a -≤--+，得出()()2g a g a -≤-，利用函数()y g x =的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可. 【详解】构造函数()()2g x f x x x =--，对任意实数x ，都有()()2f x f x x -=+，则()()()()()()()2222g x f x x x f x x x x f x x x g x =--=--+-=-+---=-， 所以，函数()y g x =为偶函数，()()g x g x ∴=.当0x <时，()()210g x f x x ''=--<，则函数()y g x =在(),0-∞上单调递减， 由偶函数的性质得出函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，()()242f a f a a -≤--+Q ，即()()()()()()22222f a a a f a a a -----≤-----，即()()2g a g a -≤-，则有()()2g a g a -≤，由于函数()y g x =在()0,∞+上单调递增，2a a ∴-≤，即()222a a -≤，解得1a ≥，因此，实数a 的最小值为1，故选A. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别是11BC CD 、的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．1MNCC ⊥B ．MN ⊥平面11ACC A C ．//MN ABD ．//MN 平面ABCD【答案】C 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】∵在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，则B （2，2，0），C 1（0，2，2），M （1，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），N （0，1，1），1110002MN CC =--=u u u u v u u u u v （，，），（，，），10MN CC ∴⋅=u u u u v u u u u v，∴MN⊥CC 1，故A 正确；112002202200A AC AC MN AC MN MN CC AC CC C =-⋅=-+=∴⊥⊥⋂=u u u v u u u v u u u u v（，，），（，，），，，又，，∴MN⊥平面ACC 1A 1，故B 成立；∵ 020110AB MN ==--u u u v u u u u v（，，），（，，）， ∴MN 和AB 不平行，故C 错误；平面ABCD 的法向量 0010n MN n =⋅=u u u u v vv（，，），， 又MN ⊄平面ABCD ，∴MN∥平面ABCD ，故D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（ ） A ．12B ．25C ．35D ．45【答案】B 【解析】 【分析】先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数1215C C n =，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C m =，结合条件概率的计算方法，可得m P n=. 【详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数1215C C 10n ==，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为2124C C 4m ==，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为42105m P n ===. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题. 9．抛物线y ＝214x 上一点M 到x 轴的距离为d 1，到直线34x y -＝1的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为（ ） A ．85B ．135C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，将12d d +的最小值转化为抛物线焦点到直线43120x y --=的距离减1来求解. 【详解】根据题意12d d +的最小值等于抛物线焦点到直线43120x y --=的距离减1，而焦点为()01，故12min 15125d d +=-=（），故选D. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 10．命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 A ．9a ≤ B ．8a ≥C ．9a ≥D ．10a ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，利用参数分离的方法求出使命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的a 的取值范围，a 的取值范围构成的集合应为正确选项的真子集，从而推出正确结果． 【详解】Q 命题“对任意实数[1,3]x ∈，关于x 的不等式20x a -≤恒成立”为真命题9a ∴≥根据选项满足是9a ≥的必要不充分条件只有8a ≥，故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件． 11．设e a =，πln πb =，3ln3c =，则,,a b c 大小关系是( ) A ．a c b << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据,,a b c 三个数的特征，构造函数()ln xf x x=，求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】解:考查函数()ln xf x x=，则2ln 1()(ln )x f x x -'=，()f x 在(e,)+∞上单调递增，e 3π<<Q ， (e)(3)(π)f f f ∴<<，即e 3πlne ln3ln π<<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性判断三个数大小问题，根据三个数的特征构造函数是解题的关键.12．已知有穷数列{}(1,n a n =2，3，⋯，6}满足(1,n a ∈2，3，⋯，10}，且当(,1,i j i j ≠=2，3，⋯，6)时，.i j a a ≠若123a a a >>，则符合条件的数列{}n a 的个数是( )A ．33107C A B ．331010C CC ．33107A AD ．63106C A【答案】A 【解析】 【分析】先选出三个数确定为123,,a a a ，其余三个数从剩下的7个里面选出来，排列顺序没有特殊要求. 【详解】先确定123,,a a a ，相当于从10个数值中选取3个，共有310C 种选法，再从剩余的7个数值中选出3个作为456,,a a a ，共有37A 种选法，所以符合条件的数列{}n a 的个数是33107C A ，故选A.【点睛】本题主要考查利用排列组合的知识确定数列的个数，有无顺序要求，是选择排列还是组合的依据.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为35，乙发球得1分的概率为23，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________. 【答案】2875【解析】 【分析】先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果 【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分 所以概率为3222322212855355355375⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 【点睛】本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题.14．已知圆C ：2212x y +=的两焦点为1F ，2F ，点()00,P x y 满足2200012x y <+<，则12PF PF +的取值范围为______.【答案】2,⎡⎣ 【解析】 【分析】点()00,P x y 满足2200012x y <+<则点()00,P x y 在椭圆2212x y +=内,且不包含原点.故根据椭圆定义再分析即可. 【详解】由题有点()00,P x y 在椭圆2212x y +=内,且不包含原点.故12PF PF <+, 又当()00,P x y 在线段12F F 上（不包含原点）时取得最小值2.故122PF PF ≥+.故答案为：2,⎡⎣ 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其性质,属于基础题型.15．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________【答案】4. 【解析】分析：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD 中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC 的侧棱长为2a,PO 为三棱锥的高，做PD 垂直于AB ，连OD ，则PD 为侧面的高，OD 为底面的高的三分之一，在三角形POD中6OD ==⇒=故全面积为：1111122⨯⨯⨯⨯故答案为4. 点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到. 16．已知复数z 满足（1+2i ）•（1+z ）＝﹣7+16i ，则z 的共轭复数z =_____． 【答案】4﹣6i 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算法则求得复数z ，再根据共轭复数的概念可得答案. 【详解】由（1+2i ）•（1+z ）＝﹣7+16i ，得716112i z i -+=-+(716)(12)1(12)(12)i i i i -+-=-+-253015i +=-56146i i =+-=+， 所以46z i =-. 故答案为：46i -. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． (1)设集合{}2560A x x x =-+=}，{}10A x mx =+=，且B A ⊆，求实数m 的值. (2)设1z ，2z 是两个复数，已知11z i =+，2z =1z ·2z 是实数，求2z .【答案】 (1) 12m =-或13m =-或0m = (2) 222z i =-或222z i =-+ 【解析】【分析】 （1）解方程2560x x -+=得到集合A ，再分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果； （2）先设2z a bi =+，根据题中条件，得到228a b +=，0a b +=，即可求出结果.【详解】解：(1)由2560x x -+=解得：2x =或3x =∴{}2,3A =，又∵B A ⊆∴当B =∅时，此时0m =符合题意.当B ≠∅时，则0m ≠.由10+=mx 得，1x m=- 所以12m -=或13m-= 解得：12m =-或13m =- 综上所述：12m =-或13m =-或0m =(2)设2z a bi =+，∵2z ==即228a b += ①又12(1)()()()z z i a bi a b a b i =++=-++，且1z ，2z 是实数，∴0a b += ②由①②得，2a =，2b =-或2a =-，2b =∴222z i =-或222z i =-+【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，以及复数的运算，熟记子集的概念，以及复数的运算法则即可，属于常考题型.18．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为13cos ,13sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），在以坐标为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l cos 4m πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线M 的普通方程，并指出曲线M 是什么曲线；（2）若直线l 与曲线M 相交于,A B 两点，AB 4=，求m 的值.【答案】 (1) 曲线M 的轨迹是以()1,1为圆心，3为半径的圆. (2) m =【解析】【分析】（1）由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程，得出结论；（2）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式，列出方程，即可求解。

2019-2020学年四川省遂宁市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)

2019-2020学年四川省遂宁市高二下学期期末数学试卷(文科) (解析版)

2019-2020学年四川省遂宁市高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知i是虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0B．∀x≤0，x2≥0C．∃x0＞0，x02＞0D．∃x0＜0，x02≤03．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是（）A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当4．双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣y＝0，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．45．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．曲线f（x）＝x3﹣x在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．2x+y+2＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0 7．椭圆2x2﹣my2＝1的一个焦点坐标为（0，），则实数m＝（）A．B．C．D．8．若f（x）＝x2+mlnx在（2，+∞）是增函数，则实数m的取值范围为（）A．[﹣8，+∞）B．（﹣8，+∞）C．（﹣∞，﹣8）D．（﹣∞，﹣8] 9．执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是（）A．[e﹣2，1]B．[1，e]C．[0，1]D．[e﹣2，e]10．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0 11．已知椭圆长半轴为2，且过点M（0，1）．若过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，则的最大值为（）A．2B．C．5D．12．已知k∈R，设函数，若关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（）A．[0，e2]B．[2，e2]C．[0，4]D．[0，3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．抛物线x2＝4y的焦点坐标为．14．若复数z＝，则|z|＝．15．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABF1为等边三角形，则b的值为．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．18．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（x）23456患病人数（y）2222171410（1）求y关于x的线性回归方程；（2）计算变量x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若|r|∈[0.75，1]，则x，y相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则x，y相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则x，y相关性较弱．）参考数据：≈5.477参考公式：＝＝，相关系数r ＝．20．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d为样本容量P（K2≥k）0.050.01k 3.841 6.063521．已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，过F2的直线与C交于P，Q两点（P在第一象限），△PF1Q的周长为8，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若P，Q的中点为N（N不F2重合），在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．22．已知函数，g（x）＝（x2﹣2x）lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．已知i是虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解：∵z＝＝，∴z＝在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第二象限．故选：B．2．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0B．∀x≤0，x2≥0C．∃x0＞0，x02＞0D．∃x0＜0，x02≤0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x ≤0，x2＜0．故选：A．3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：则下列结论中正确的是（）A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当【分析】根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A＝0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A ＝0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A＝0.4A，2015年食品的消费额为0.3×A＝0.3A，，B错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A＝0.6A，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A＝0.1A，，C对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A＝0.3A，2015年生活用品的消费额为0.05×A＝0.05A，不相等，D错；故选：C．4．双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣y＝0，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【分析】由题意可得a＝b，利用离心率计算公式可得a、b、c的关系即可得出．解：由题意可得a＝b，则，所以．故选：B．5．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】利用函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增即可得出．解：由于函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增，∴a3＜b3”⇔a＜b⇔“2a＜2b”．∴“a3＜b3”是“2a＜2b”的充要条件．故选：C．6．曲线f（x）＝x3﹣x在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．2x+y+2＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0【分析】求出原函数的导函数，求得函数在x＝﹣1处的导数，再求得f（﹣1）的值，利用直线方程点斜式得答案．解：由f（x）＝x3﹣x，得f′（x）＝3x2﹣1，故切线的斜率为f'（﹣1）＝2．又f（﹣1）＝0，∴曲线f（x）＝﹣x3﹣x在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0．故选：C．7．椭圆2x2﹣my2＝1的一个焦点坐标为（0，），则实数m＝（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．解：椭圆2x2﹣my2＝1的标准方程为：，一个焦点坐标为（0，），可得，解得m＝﹣，故选：D．8．若f（x）＝x2+mlnx在（2，+∞）是增函数，则实数m的取值范围为（）A．[﹣8，+∞）B．（﹣8，+∞）C．（﹣∞，﹣8）D．（﹣∞，﹣8]【分析】求出函数的导数，问题转化为m≥﹣2x2在（2，+∞）恒成立，求出m的范围即可．解：f′（x）＝2x+，若f（x）＝x2+mlnx在（2，+∞）是增函数，则2x+≥0在（2，+∞）恒成立，即m≥﹣2x2在（2，+∞）恒成立，由y＝﹣2x2在（2，+∞）的最大值是﹣8，故m≥﹣8，故选：A．9．执行如图所示的程序框图，若输入t∈[﹣1，3]，则输出s的取值范围是（）A．[e﹣2，1]B．[1，e]C．[0，1]D．[e﹣2，e]【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s＝的值域，进而得到答案．解：由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s＝的值域，当t∈[﹣1，1）时，s＝e t﹣1∈[e﹣2，1），当t∈[1，3]时，s＝log3t∈[0，1]，故输出s的取值范围是[0，1]，故选：C．10．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0【分析】由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，可求出点P（﹣1，4），从而得到直线PF的斜率为﹣2，又PF⊥AB，所以直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求出直线AB的方程．解：由题意可知，抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，由△PAB为“阿基米德三角形”，且线段AB经过抛物线y2＝4x焦点，可得：P点必在抛物线的准线上，∴点P（﹣1，4），∴直线PF的斜率为：＝﹣2，又∵PF⊥AB，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y﹣0＝，即x﹣2y﹣1＝0，故选：A．11．已知椭圆长半轴为2，且过点M（0，1）．若过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2，若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，则的最大值为（）A．2B．C．5D．【分析】由由题意可得a，b的值，进而求出椭圆的方程，分两直线l1、l2的斜率存在和不存在设直线两直线l1、l2的方程，设P的坐标，由点到直线的距离公式求出d1，d2的表达式，进而求出d12+d22的表达式，由P在椭圆上可得其横纵坐标的关系及纵坐标的取值范围，可得d12+d22的最大值，进而可得的最大值．解：由题意，可得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1；i）若直线l1，l2的一条直线的斜率不存在，则另一条斜率为0，设直线l1的方程为x＝0，则l2的方程为y＝1，设P（x，y），则d12+d22＝x2+（1﹣y）2，而P在椭圆上，所以x2＝4﹣4y2，所以d12+d22＝5﹣3y2﹣2y＝5﹣3（y+）2+，y∈[﹣1，1]，所以y＝﹣时d12+d22有最大值，所以的最大值为；ii）当直线l1，l2的斜率存在，且不为0时，设直线l1的方程为y＝kx+1即kx﹣y+1＝0，则l2的方程为y＝﹣x+1，即x+ky﹣k＝0，设P（x，y），所以d1＝，d2＝，所以d12+d22＝＝x2+y2﹣2y+1＝4﹣4y2+y2﹣2y+1＝5﹣3y2﹣2y，同i）可得的最大值为．故选：B．12．已知k∈R，设函数，若关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（）A．[0，e2]B．[2，e2]C．[0，4]D．[0，3]【分析】当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，分k＜1、k≥1两类讨论，可求得k≥0；当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，分k≤1、k＞1两类讨论，可求得k≤3；取其公共部分即可得到答案．解：（1）当x≤1时，f（x）＝x2﹣2kx+2k，∴f（x）的对称轴为x＝k，开口向上．①当k＜1时，f（x）在（﹣∞，k）递减，（k，1）递增，∴当x＝k时，f（x）有最小值，即f（k）≥0，∴0≤k＜1；②当k≥1时，f（x）在（﹣∞，1）上递减，∴当x＝1时，f（x）有最小值，即f（1）＝1，∴1≥0显然成立，此时k≥1．综上得，k≥0；（2）当x＞1时，f（x）＝（x﹣k﹣1）e x+e3，∴f'（x）＝（x﹣k）e x，①′当k≤1时，f（x）在（1，+∞）上递增，∴f（x）＞f（1）＝﹣ke+e3≥0，∴k≤e2，∴此时k≤1；②′当k＞1时，f（x）在（1，k）递减，（k，+∞）递增，∴f（x）≥f（k）＝﹣e k+e3≥0，∴k≤3，∴此时1＜k≤3．综上：0≤k≤3，∵关于x的不等式f（x）≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为0≤k≤3，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1）．【分析】由抛物线x2＝4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p＝4，即可得到抛物线的焦点坐标．解：抛物线x2＝4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p＝4，∴∴抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）14．若复数z＝，则|z|＝．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：复数z＝＝＝1+i，∴|z|＝＝，故答案为：．15．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为1．【分析】利用求导法则：（sin x）′＝cos x及（cos x）′＝﹣sin x，求出f′（x），然后把x等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x＝代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．解：因为f′（x）＝﹣f′（）•sin x+cos x所以f′（）＝﹣f′（）•sin+cos解得f′（）＝﹣1故f（）＝f′（）cos+sin＝（﹣1）+＝1故答案为1．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABF1为等边三角形，则b的值为或．【分析】如图所示，|BF2|﹣|BF1|＝2a，|AF1|﹣|AF2|＝2a，又|AB|＝|AF1|＝|BF1|，可得|BF2|﹣|AF2|＝4a＝|AB|．于是|BF1|＝4a，|BF2|＝6a．在△BF1F2中，由余弦定理可得：|F1F2|2＝|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1||BF2|cos60°，代入化简即可得出b．当直线AB与双曲线的实轴垂直时，求出b，然后求解即可．解：如图所示，|BF2|﹣|BF1|＝2a，|AF1|﹣|AF2|＝2a，∵△ABF1为等边三角形，∴|AB|＝|AF1|＝|BF1|，∴|BF2|﹣|AF2|＝4a＝|AB|．∴|BF1|＝4a，|BF2|＝6a．在△BF1F2中，由余弦定理可得：|F1F2|2＝|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1||BF2|cos60°，化为c2＝7a2＝7∴b＝．当直线AB与双曲线的实轴垂直时，△ABF1为等边三角形，可得：，a＝1，解得b＝，则b的所有取值为：；．故答案为：；．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；（2）利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，由抛物线的定义可知3+＝5，解得p＝4，∴C的方程为y2＝8x；（2）由（1）得抛物线C的方程为y2＝8x，焦点F（2，0），设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则，则两式相减．整理得＝，∵线段AB中点的纵坐标为﹣1，则y1+y2＝﹣2∴直线l的斜率k AB＝＝＝﹣4，直线l的方程为y﹣0＝﹣4（x﹣2）即4x+y﹣8＝0．18．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x＝﹣与x＝1时都取得极值，所以得到f′（﹣）＝0且f′（1）＝0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．【解答】解；（1）f（x）＝x3+ax2+bx+c，f'（x）＝3x2+2ax+b由解得，f'（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：x（﹣∞，﹣）﹣（﹣，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x＝﹣时，f（x）＝+c为极大值，而f（2）＝2+c，所以f（2）＝2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）＝2+c．解得c＜﹣1或c＞2．19．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（x）23456患病人数（y）2222171410（1）求y关于x的线性回归方程；（2）计算变量x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若|r|∈[0.75，1]，则x，y相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则x，y相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则x，y相关性较弱．）参考数据：≈5.477参考公式：＝＝，相关系数r＝．【分析】（1）结合已知数据和参考公式求出这两个系数即可得回归方程；（2）根据相关系数r的公式求出其值，再结合r的正负性与|r|的大小进行判断即可．解：（1）由题意得，，由公式求得，，故y关于x的线性回归方程为．（2），∴r＜0，∴说明x，y负相关，又|r|∈[0.75，1]，说明x，y相关性很强．∴可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．20．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图．将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d为样本容量P（K2≥k）0.050.01k 3.841 6.0635【分析】（1）利用频率分布直方图直接完成2×2列联表，通过计算K2＝，说明是否有95%以上的把握认为“体育迷”与性别有关．（2）写出一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成，利用古典概型求解即可．解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，…（1分）从而完成2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100…将2×2列联表中的数据代入公式计算，得…因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．…（2）由频率分布直方图知“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i＝1，2，3，b j表示女性j＝1，2．Ω由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}…事件A由7个基本事件组成，因而．…21．已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，过F2的直线与C交于P，Q两点（P在第一象限），△PF1Q的周长为8，C的离心率为．（1）求C的方程；（2）若P，Q的中点为N（N不F2重合），在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意可得方程组，解出a、b、c的值，进一步即可得到椭圆C的方程；（2）存在这样的点M符合题意，设p（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ 的斜率存在，设为k，则PQ的方程为y＝k（x﹣1），由结合韦达定理，求出，通过MN⊥PQ，得到m，k的关系，即可求解m的取值范围．解：（1）由题意，可得解得，故a2＝4，c2＝1．∴椭圆C的方程为．（2）存在这样的点M符合题意，设p（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0）由F2（1，0），∵N与F2不重合，∴直线PQ的斜率存在，设为k，则PQ的方程为y＝k（x﹣1），∵P在第一象限，∴k＞0或，由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，由韦达定理，故，又点N在直线PQ上，，所以，因为MN⊥PQ，所以，整理得：所以存在实数m，且m的取值范围为．22．已知函数，g（x）＝（x2﹣2x）lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，然后对a分类分析原函数的单调性；（2）不等式等价于，记，求其导函数，得到导函数的零点，然后对m分类求解函数的最小值，由最小值大于等于0恒成立求解实数m的取值范围．解：（1）x＞0时，．由f′（x）＝0，得x＝1或．①若0＜a＜2，则，由f′（x）＜0，得1＜x＜；由f′（x）＞0，得0＜x＜1或．∴当0＜a＜2时，f（x）在递增；在上递减；②若a＝2，在定义域（0，+∞）上递增；③若a＞2，则，由f′（x）＜0，得＜x＜1，由f′（x）＞0，得或x ＞1．∴当a＞2时，f（x）在和（1，+∞）上递增，在递减；（2）不等式等价于，记，，令h'（x）＝0，得x＝1或．①当m≥2时，（舍去），x＝1．当时，h'（x）＜0，当x∈（1，e）时，h'（x）＞0，∴恒成立，故m≤3，此时m的取值范围是2≤m≤3；②当0＜m＜2时，，当时，h'（x）＞0，当时，h'（x）＜0，当x∈（1，e）时，h'（x）＞0，∴，即，解得m≤3，可得此时m的取值范围是0＜m＜2．综合①②可知0＜m≤3，∴实数m的取值范围是（0，3]．。

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析

四川省遂宁市2019-2020学年数学高二下期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（ ）A ．13B ．23C ．43D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由三视图得到该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1．再由棱锥体积公式求解． 【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，该几何体为三棱锥，底面ABC ∆是等腰直角三角形，且2AB BC ==，三棱锥的高为1． ∴该三棱锥的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=． 故选B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．2．若直线2y kx =+是曲线3y x x =-的切线，则k =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．72【答案】C 【解析】【分析】设切点坐标，求导数，写出切线斜率，由切线过点(0,2)，求出切点坐标，得切线斜率． 【详解】直线2y kx =+过定点(0,2)，设3()f x x x =-，切点为00(,)P x y ，2()31f x x '=-，2300000()31,()f x x f x x x '=-=-， ∴切线方程为320000()(31)()y x x x x x --=--，又切点过点(0,2)， ∴3200002()(31)()x x x x --=--，解得01x =-．∴23(1)12k =⨯--=． 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，在未知切点时，一般先设切点坐标，由导数得出切线方程，再结合已知条件求出切点坐标，得切线方程．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(不在端点,A B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为2a ，则点P 的轨迹所在的曲线为 A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D 【解析】 【分析】作PF AD ⊥，11PE A D ⊥，连接EF ，以A 为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式构造222PE PM a -=，整理可得结果. 【详解】作PF AD ⊥，11PE A D ⊥，垂足分别为,F E 以A 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设0,,0M t ，,,0P x y由正方体特点可知，PF ⊥平面11ADD A222PE y a ∴=+，()222PM x y t =+-()2222222PE PM y a x y t a ∴-=+---=，整理得：222x ty t =-P ∴的轨迹是抛物线本题正确选项：D 【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹问题，关键是能够通过建立空间直角坐标系，求出动点满足的方程，从而求得轨迹.4．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤< B ．{}2x x ≥- C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<< {}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.5．已知复数z 满足()212i z i -=--，则复数z 等于( ) A ．i - B ．45i -+ C ．45i -+ D ．i【答案】D 【解析】 【分析】把给出的等式通过复数的乘除运算化简后,直接利用共轭复数的定义即可得解. 【详解】()212i z i -=--,()()122+125==i i i iz i -----==-∴,=z i ∴.故选:D. 【点睛】本题考查了复数的代数形式的乘除运算,考查共扼复数,是基础题. 6．已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b =或a b =-； ②3x ≤是3x ≤的充分不必要条件；③命题p ：0(0,2)x ∃∈，200230x x --<的否定是p ⌝：(0,2)x ∀∈，2230x x -->；④“指数函数xy a =是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.以上命题正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线定理可判断①；由充分必要条件的定义可判断②；由特称命题的否定为全称命题，可判断③；由指数函数的单调性可判断④． 【详解】①，如果向量a 与b 共线，可得x a +y 0b =，不一定a b =或a b =-，故①错误； ②，|x|≤3⇔﹣3≤x ≤3，x ≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x ≤3， x ≤3是|x|≤3的必要不充分条件，故②错误；③，命题p ：∃x 0∈（0，2），200230x x --＜的否定是￢p ：∀x ∈（0，2），x 2﹣2x ﹣3≥0，故③错误；④，“指数函数y ＝a x 是增函数，而1()2xy =是指数函数，所以1()2xy =是增函数”由于a ＞1时，y ＝a x 为增函数，0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，此三段论大前提错误，但推理形式是正确的，故④正确．其中正确个数为1． 故选B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是向量共线定理和充分必要条件的判断、命题的否定和三段论，考查推理能力，属于基础题．7．设x，y满足约束条件1101x yxx y+≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2yzx=-的取值范围为( )A．22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[]1,1-C．[]22-,D．[]3,3-【答案】A【解析】【分析】作出可行域,将问题转化为可行域中的点与点(2,0)D的斜率问题,结合图形可得答案.【详解】画出满足条件得平面区域,如图所示:目标函数2yzx=-的几何意义为区域内的点与(2,0)D的斜率，过(1,2)-与(2,0)时斜率最小,过(1,2)--与(2,0)时斜率最大，min max2222,.123123z z-∴==-==----故选:A.【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数取值范围问题,解题关键是转化为斜率,难度较易.8．A、B两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局A队获胜的概率是12外，其余每局比赛B队获胜的概率都是13.假设各局比赛结果相互独立.则A队以3:2获得比赛胜利的概率为（）A．427B．281C．1681D．827【解析】分析：若“A 队以3:2胜利”，则前四局A 、B 各胜两局，第五局A 胜利，利用独立事件同时发生的概率公式可得结果.详解：若“A 队以3:2胜利”， 则前四局A 、B 各胜两局， 第五局A 胜利，因为各局比赛结果相互独立， 所以队以3:2获得比赛胜利的概率为2224211433227P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 点睛：本题主要考查阅读能力，独立事件同时发生的概率公式，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.9．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案. 【详解】复数()133z i i i =+=-+，所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题. 10．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64C ．12D ．14【答案】B 【解析】试题分析：采用分步计数原理来求解：分3步，每一步4种方法， 不同方法种数有3464=种 考点：分步计数原理11．已知12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22xn-2y =1的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（ ）A B ．1 C ．2D ．12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到21||||,||||PF m n PF m n =+=-，根据勾股定理得到2||mn c =，计算得到答案.【详解】12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22x n-2y =1的公共焦点 故21212||,2||PF PF m PF PF n +=-=，故21||||,||||PF m n PF m n =+=-112PF F F ⊥，故()222||||(||||)4m n m n c +=-+即2||mn c =2121||||||c c c e e m n mn =⋅==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.12．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．0,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．2⎣ 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m 2﹣m+2≤2，即可得出结论．易知221m m -+>，所以()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的最小值为(1)1f =.由题意可知，当()2222f x x x =-+=，∴0x =或2，22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A. 【点睛】本题考查新定义，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键． 二、填空题：本题共4小题13．抛物线24y x =上的点到()0,2的距离与到其准线距离之和的最小值是_____. 【答案】5 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p 到准线的距离转化为p 到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d ＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值． 【详解】 解：∵抛物线y 2＝4x ，∴F （1，0），如图：设p 在准线上的射影A ″，依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为 |PA ″|＝|PF|，则点P 到点A （0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d ＝|PF|+|PA|≥|AF|＝5． 故答案为：5．本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.14．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有__________种. 【答案】84 【解析】分析：先选两个空盒子，再把4个小球分为()2,2，()3,1两组，分到其余两个盒子里，即可得到答案. 详解：先选两个空盒子，再把4个小球分为()2,2，()3,1两组，故有2223224244222284C C C C A A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭. 故答案为84.点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.15．高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为__________人． 【答案】6 【解析】分析：根据分层抽样的定义直接计算即可. 详解：设抽取男生的人数为x ，因为男生36人，女生12人，从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本， 所以8116486366x x =⇒=⇒=， 取男生的人数为6，故答案为6.点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.16．复数112ii +-（i 为虚数单位）的共轭复数是______． 【答案】1355i --【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数112i i +-表示为一般形式，由此可得出复数112ii+-的共轭复数. 【详解】()()()()2112113213121212555i i i i i i i i i +++++===-+--+，因此，复数112i i +-的共轭复数为1355i --，故答案为1355i --. 【点睛】本题考查复数的除法运算以及共轭复数，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设0,0a b >>33a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．14C ．1D ．4【答案】D 【解析】33a b 与的等比中项，∴3=3a •3b =3a +b ，∴a +b=1． a ＞2，b ＞2．∴11a b +=()11a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案. 【详解】复数()133z i i i =+=-+，所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题. 3．若()101d a x x =+⎰，10cos d b x x =⎰，1e d xc x =⎰，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】直接由微积分基本定理计算出,,a b c 可得． 【详解】因为()1210131d 22a x x x x ⎛⎫=⎰+=+= ⎪⎝⎭，()0101cos d sin sin11b x x x =⎰==<，01013e d ee 12xx c x =⎰==->，所以b a c <<， 故选：C. 【点睛】本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键．4．已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．73B ．53CD【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数yt x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 题中的不等式即：()2222224a x yx xy y +≤++，则：22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立， 原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t tf tt ttt⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪++-⎪ ⎪=⨯=⨯+=+⎪ ⎪⎪++ ⎪⎝⎭-++⎪⎪-⎝⎭，令12m t=-，则112m≤≤，令()34g m mm=+，则()g m在区间132⎛⎫⎪⎪⎝⎭，上单调递减，在区间31⎛⎫⎪⎪⎝⎭，上单调递增，且()172124g g⎛⎫==⎪⎝⎭，，据此可得，当112m t==，时，函数()g m取得最大值，则此时函数()f t取得最小值，最小值为：()2241211712113f⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a的最大值为73．本题选择A选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．5．下列函数中，在定义域内单调的是（）A．12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭B．2yx=C．2y x=D．1y xx=+【答案】A【解析】【分析】指数函数01a<<是单调递减，再判断其它选项错误,得到答案.【详解】A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，指数函数x y a = 01a <<是单调递减函数,正确\ B. 2y x=反比例函数，在0x >单调递减，在0x <单调递减，但在0x ≠上不单调，错误 C. 2y x =，在定义域内先减后增，错误 D. 1y x x=+，双勾函数，0x >时先减后增，错误 故答案选A 【点睛】本题考查了函数的单调性，属于简单题.6．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ） A ．83 B ．1或83C ．82D ．1或82【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和. 【详解】8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为882188kk k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222828112C a a ⋅==，得2a =±.当2a =时，二项式为82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；当2a =-时，二项式为82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选B. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.7．一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米A ．243π-B ．36363π-C ．36243π-D ．48363π-【答案】D 【解析】分析：由已知可得水对应的几何体是一个以截面中阴影部分为底，以9为高的柱体，求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．详解：由已知中罐子半径是4米，水深2米， 故截面中阴影部分的面积S=13161416=4 3.343ππ⨯⨯-⨯-平方米， 又由圆柱形的罐子的高h=9米， 故水的体积V=Sh=48 3π- 故选D ．点睛：本题考查的知识点是柱体的体积公式，扇形面积公式，弓形面积公式，难度中档． 8．已知全集U =R ，集合2{|20},{|2}A x x x B x x =-<=<，则（） A ．()R B C A R ⋂= B ．()R B C A ⋂=∅ C ．A B A ⋃= D ．A B A =I【答案】D 【解析】 【分析】首先解出集合A ，B ，由集合基本运算的定义依次对选项进行判定。

【详解】由题可得{}|02A x x =<<，{}|-22B x x =<<； 所以{}|02A B x x A ⋂=<<=，则D 选项正确； 故答案选D 【点睛】本题考查一元二次方程、绝对值不等式的解法以及集合间基本运算，属于基础题。

9．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x f x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]【答案】B 【解析】分析：根据题意求得函数()f x 的解析式，进而得到()()'f x f x 的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由()()'2xf x f x xe -+=，得()()'2xxe f x e f x x +=，∴()'2x e f x x ⎡⎤=⎣⎦， 设()2xe f x x c =+（c 为常数），∵()01f =， ∴1c =，∴()21xx f x e+=， ∴()()22221(1)x xxxxe x e x f x e e ---==-'， ∴()()222'(1)2111f x x x f x x x -=-=-+++， ∴当x=0时，()()'1f x f x =-；当0x ≠时，()()'211f x f x x x=-++，故当0x >时，12x x+≥，当1x =时等号成立，此时21101x x -<-+≤+； 当0x <时，12x x+≤-，当1x =-时等号成立，此时22111x x-≤-+<-+． 综上可得22101x x-≤-+≤+，即函数()()'f x f x 的取值范围为[]2,0-．故选B ．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数()f x 的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．10．在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 在AB 边上，112AD AE AB ===，将ADE V 沿直线DE 折起成A DE 'V ，F 为A C '的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．直线A E '与直线BF 共面 B ．12BF =C ．A EC 'V 可以是直角三角形D ．A C DE '⊥【答案】C 【解析】 【分析】（1）通过证明,,,A E B F '是否共面，来判断直线A E '与直线BF 是否共面； （2）取特殊位置，证明12BF =是否成立；（3）寻找A EC 'V 可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）用反证法思想，说明'A C DE ⊥能否成立． 【详解】，如图，因为,,,B C E A '四点不共面，所以E ⊄面A BC '，故直线'A E 与直线BF 不共面；ADE V 沿直线DE 折起成A DE 'V ，位置不定，当面A DE '⊥面BCDE ，此时12BF ≠； 取DE 中点，连接,A G CG '，则A G DE '⊥，若有A C DE '⊥，则DE ⊥面A CG '即有DE CG ⊥，在Rt DGC ∆中，12,,602CD DG CDE ο==∠=明显不可能，故不符合；在A EC 'V 中，1A E '=,3CE =72AC =>，所以当2A C '=时，A EC 'V 可以是直角三角形； 【点睛】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力．11．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，且侧棱AA 1⊥平面ABC ，若AB=AC=3，12,83BAC AA π∠==，则球的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．100πD ．104π【答案】C 【解析】分析：求出BC ，由正弦定理可得可得ABC ∆外接圆的半径，从而可求该三棱柱的外接球的半径，即可求出三棱柱的外接球表面积.详解：3,120AB AC BAC ==∠=o Q ，BC ∴=199233()332+-⨯⨯⨯-=∴三角形ABC 的外接圆直径2r =3336=，13O A r ∴==，1AA ⊥Q 平面1,8ABC AA =，14OO =，∴该三棱柱的外接球的半径9165R OA ==+=，∴该三棱柱的外接球的表面积为22445100S R πππ==⨯=，故选C ．点睛：本题主要考查三棱柱的外接球表面积，正弦定理的应用、余弦定理的应用以及考查直线和平面的位置关系，意在考查综合空间想象能力、数形结合思想以及运用所学知识解决问题的能力.12．—个物体的运动方程为21s t t =-+其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在5秒末的瞬时速度是（ ） A ．6米/秒 B ．7米/秒C ．8米/秒D ．9米/秒【答案】D【解析】分析：求出运动方程的导数，据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=3时的值，即为物体在3秒末的瞬时速度详解：∵物体的运动方程为s=1﹣t+t 2 s′=﹣1+2t s′|t=5=9. 故答案为：D.点睛：求物体的瞬时速度，只要对位移求导数即可． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案和数有__________. 【答案】10 【解析】首先分给甲乙每班一个名额，余下的3个名额分到3个班， 每班一个，有1中分配方法；一个班1个，一个班2个，一个班0个，有236A =种分配方法；一个班3个，另外两个班0个有3种分配方法； 据此可得，不同的分配方案和数有6+3+1=10种.14．一根木棍长为4m ，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3m 的概率为______． 【答案】12【解析】 【分析】试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果． 【详解】设“长为4m 的木棍”对应区间[]0,4，“锯成的两段木棍的长度有一段大于3m ”为事件A ， 则满足A 的区间为()0,1或()3,4， 根据几何概率的计算公式可得，()2142P A ==． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题． 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.15．求经过点()43-，，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距2倍的直线方程为________. 【答案】32204y x x y =-+-=或 【解析】 【分析】根据截距是否为零分类求解. 【详解】当在x 轴上的截距为零时，所求直线方程可设为y kx =，因为过点()43-，，所以33,44k y x =-=-； 当在x 轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为12x ym m+=，因为过点()43-，，所以1,220.m x y =+-=；所以直线方程为32204y x x y =-+-=或 【点睛】本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题.16．中医药是反映中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华文明的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中成药的药物成份A 的含量x （单位：g ）与药物功效y （单位：药物单位）之间具有关系：(20)y x x =-.检测这种药品一个批次的5个样本，得到成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，估计这批中成药的药物功效的平均值为__________药物单位． 【答案】92 【解析】 【分析】由题可得1234540x x x x x ++++=，()()()22212520x x x x x x -+-++-=L进而可得222125340x x x +++=L ，再计算出125y y y +++L ，从而得出答案．【详解】5个样本12345,,,,x x x x x 成份A 的平均值为8g ，标准差为2g ，所以1234540x x x x x ++++=，()()()22212520x x x x x x -+-++-=L ，即()22221251252520x x x x x x x x +++-++++=L L ，解得222125340x x x +++=L因为2(20)20y x x x x =-=-，所以()()22212512512520460y y y x x x x x x +++=+++-+++=L L L所以这批中成药的药物功效的平均值460925y ==药物单位 【点睛】本题考查求几个数的平均数，解题的关键是求出222125x x x +++L ，属于一般题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln kf x x x=+，k ∈R . （1）若2k =，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()3e f x x≥-恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2（2）0k ≥ 【解析】 【分析】(1)利用导数求单调区间；(2)先分离参数，转化为()23k x lnx e ≥--在()0,x ∈+∞恒成立利用导数求最值即可求解． 【详解】（1）()2f x lnx x =+，()22122,0x f x x x x x-=-=>'， 所以当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增； 当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减．综上，()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2．（2）()()2233e f x k x lnx e x≥-⇔≥--．令()()23g x x lnx e =--，则()k g x ≥在()0,x ∈+∞恒成立．()'2g x lnx =-，当2x e >时，()'0g x <，()g x 单调递减；当20x e <<时，()'0g x >，()g x 单调递增． 所以()g x 的最大值在2x e =时取得，()20g e =．所以0k ≥． 【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，函数恒成立问题，分离参数，属于基础问题基础方法． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S na a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：4nT <． 【答案】（1）1()2n n a n N *+=∀∈；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据前n 项和与通项间的关系得到，221n n n S na a =+-，()1112121n n n S n a a ---=-+-，两式做差即可得到数列11n n a a n n -=+，数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即12n n a +=；（2）根据第一问得到()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，裂项求和即可. 【详解】（1）当1n =时，111221S a a =+-，即11a =，当2n ≥时，221n n n S na a =+- ①， ()1112121n n n S n a a ---=-+- ②-①②，得()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+，所以11n n a a n n -=+，且1122a =， 所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，112n a n =+，即()*12nn a n N +=∀∈． （2）由（1）得12n n a +=，所以()()22144114111n a n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++⎝⎭+，所以()()22224444444423412233411n T n n n =++++<++++⨯⨯⨯++L L ，11111111414142233411n n n L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．19．已知函数2()ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值． 【答案】（Ⅰ）1,3a b =-=；（Ⅱ）333ln24-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将点()()1,1f 代入切线方程得出()10f =，利用导数的几何意义得出()12f '=，于此列方程组求解出实数a 、b 的值；（Ⅱ）求出函数()y f x =的定义域，然后对函数()y f x =求导，利用导数求出函数()y f x =的单调区间，分析出该函数的极大值点并求出该函数的极大值。

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