PI控制器

PI 控制原理
1.1 比例（P ）控制
比例控制是一种最简单的控制方式。

其控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。

在信号变换过程中，P 控制器值改变信号的增益而不影响其相位。

在串联校正中，加大了控制器增益k ，可以提高系统的开环增益，减小的系统稳态误差，从而提高系统的控制精度。

控制器结构如图1：
图1
1.2 比例-微分控制
具有比例-微分控制规律的控制器称PI 控制器，其输出信号m(t)同时成比例的反应出输入信号e(t)及其积分，即：
⎰+=t
i
dt t e T k t ke t m 0)()()( （1）
式（1）中，k 为可调比例系数；i T 为可调积分时间常数。

PI 控制器如图2所示。

图2
在串联校正时，PI 控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s 左半平面的开环零点。

位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，
缓和PI 控制器极点对系统稳定性及动态性能产生的不利影响。

只要积分时间常数i T
足够大，PI 控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱，在控制工程中，PI 控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。

2 P 和PI 控制参数设计
2.1 初始条件：
反馈系统方框图如图3所示。

K (s)D =1（比例P 控制律），s
K K (s)D I
+
=2（比例积分PI 控制律），)6s )(1s (1s G 1+-+=
s (s)，)
2s )(1s (1
G 2++=(s)
2.2 P 控制器设计
2.2.1 比例系数k 的设定
由题目给出的初始条件知，当G(s)=(s)1G ，未加入D(s ）校正环节时，系统开环传递函数为：
6)1)(s -s(s 1
s (s)H(s)++=
G
s
s s 651
s 23-++= （2）
又系统结构图可知系统为单位负反馈系统所以闭环传递函数为：
)6)(1(11)
6)(1(1
)(+-+++-+=
s s s s s s s s s φ
1
551
23+-++=s s s s （3）
则系统的闭环特征方程为：D(s)=1552
3+-+s s s =0. 按劳斯判据可列出劳斯表如表1：
Y
图3
3s 1 -5 2s 5
1
1s 5
24-
0s
1
表1
由于劳斯表第一列符号不相同，所以系统不稳定，需要校正。

由任务要求得，当D(s)=D 1(s),G(s)=G 1(s)时，即加入P 控制器后，系统开环传递函数为：
6)1)(s -s(s 1)
k(s (s)H(s)++=
G （4）
其闭环传递函数为：
k s k s s k
ks s +-+++=
)6(5)(23φ （5）
则系统的闭环特征方程为：D(s)=0)6(52
3=+-++k s k s s 按劳斯判据可列出劳斯表如表2：
3s
1 K-6 2s
5
k
1s
530
4-k
0s
k 0
表2
要使系统稳定则必须满足劳斯表第一列全为正，即：
{
03040>->k k （6）
所以系统稳定的条件为k>7.5.
当单位阶跃信号输入时，系统稳态误差系数：
)
()(lim 0
p s H s G K s →= （7）
由式（4）得系统为1型系统，所以P K = ∞ 所以稳态误差：
011
1)(=∞+=+=
∞P ss K R e
(8)
2.2.2 加入P 控制器后系统动态性能指标计算
1）k 取不同值时的特征根
由式（5）得系统稳定的条件为k>7.5。

下面对k 分别取7.5、15、30来讨论分析系统的动态性能指标。

当k=7.5时系统的闭环特征方程为：
05.75.15)(2
3=+++=s s s s D （9）
通过MATLAB 求得系统特征根，其程序如下： den=[1,5,1.5,7.5] roots(den)%求系统特征根 其运行结果如下： ans =
-5.0000 -0.0000 + 1.2247i -0.0000 - 1.2247i
即求得其特征根分别为：1s =-5，2s =j1.2247，31s =-j1.2247,。

其中有两个极点在虚轴上，系统临界稳定。

同理通过调用MATLAB 中的roots 函数即可分别求得k=15，k=20时的特征根。

K=15时，特征根为：1s =-3.6608，2s =-0.6696+j1.9103，31s =-0.6696-j1.9103。

K=30时，特征根为：1s =-1.6194，2s =-1.6903 -j 3.9583，31s =-1.6903 -j 3.9583。

2）k 取不同值时的单位阶跃响应
由式（7）得当k=7.5时其闭环传递函数为：
5.75.155
.75.7)(231++++=
s s s s s φ （10）
当k=15时闭环传递函数为： 159515
15)(232++++=
s s s s s φ （11）
当k=30时闭环传递函数为：
3024530
30)(233++++=
s s s s s φ （12）
用MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出不同k 值时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：
num1=[7.5,7.5]; den1=[1,5,1.5,7.5]; t1=0:0.1:15;
y1=step(num1,den1,t1); num2=[15,15]; den2=[1,5,9,15]; y2=step(num2,den2,t1); num3=[30,30]; den3=[1,5,24,30]; y3=step(num3,den3,t1);
plot(t1,y1,'r.',t1,y2,'--g',t1,y3,'b'),grid 程序运行后输出曲线图如图4：
3）分别讨论不同k 值时的系统动态性能指标 如图2知当k=7.5时系统单位阶跃响应为无阻尼振荡。

当k=15时系统传递函数为式（11），下面借助LTIViewer 计算本控制系统单位阶跃响应时的性能指标。

MATLAB 程序如下： num=[15,15]; den=[1,5,9,15]; step(num,den); sys=tf(num,den); ltiview;
程序运行后在弹出的LTIViewer 框中导入sys 函数，然后对绘制的曲线进行相应的设置后可以得到阶跃响应的各项指标点，效果图如图5所示：
当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下： 上升时间：........................................s t r 373.0=
峰值时间：.........................................s
t p 24.1=
超调量：..............................................%
7.89%p =σ
图4
5
10
15
调节时间：..........................................
s
t 65.6s =（0.05∆=）
当k=30时系统传递函数为式（12），同理，通过MATLAB 绘出单位阶跃响应曲线图如图6所示。

上升时间：........................................s t r 24.0=
峰值时间：.........................................s
t p 72.0=
超调量：..............................................%
2.68%p =σ
调节时间：.......................................... s t 69.2s =（0.05
∆=）
图5
Step Response
Tim e (sec)
A m p l i t u d e
0123456789
0.20.40.60.811.2
1.41.61.82
2.2.3加入P 控制器后系统动态性能分析：
由式（2）得系统为含一个积分环节的三阶系统，在未加入P 控制器之前通过劳斯判据
得系统处于不稳定状态。

当加入适当的P 控制器即比例环节后即可改善系统的稳定性。

同时根据图4以及不同k 值时的暂态系能指标可知通过增大控制器的开环增益可提高系统对阶跃信号的响应速度，降低系统的超调量，缩短系统的调节时间。

从而提高了系统的跟踪性能和稳定性。

Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
00.51 1.52 2.53 3.54
0.20.40.60.811.2
1.41.61.8
图6
2.3 PI 控制器设计
2.3.1 原系统性能分析
当未加入PI 控制器时系统为二阶系统，其开环传递函数为： )
2)(1(1
)()(++=s s s H s G （13）
系统闭环传递函数为：
3
31
)(2++=s s s φ （14）
借助MATLAB 可绘制出系统单位阶跃响应曲线,具体程序如下：
num=[1]; den=[1,3,3]; step(num,den); sys=tf(num,den); ltiview;
程序运行后可得如下响应曲线图6：
图6
Step Response
Time (sec)A m p l i t u d e
2 2.530
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
由图6可看出该二阶系统处于过阻尼状态。

其稳态态误差系数： )()(lim 0
p s H s G K s →= （15）
=)
2)(1(1
lim
0++→s s s =0.5 （16）
所以其稳态误差为： p
ss k e +=
∞11
)(=0.667 （17）
2.3.2 加入PI 控制器后系统性能指标
初始条件条件：
D(s)=))(11()(112s
k k k s k k s D +=+
= （18） 由式（18）知系统中串入了PI 控制器，比例系数为k ，积分时间常数1k k T i =。

当D(s)=D 2(s),G(s)=G 2(s)时，系统开环传递函数：
)
2)(1(1
)()()(1+++=s s s k k s H s G （19）
=)
2)(1(1+++s s s k
k s k
（20）
=s
s s k ks 2323
1
+++ （21）
其闭环传递函数为：
1231
)2(3)(k s k s s k ks s +++++=
φ （22）
则闭环特征方程为：D(s)=
0)2(3123=++++k s k s s 根据劳斯判据可列出劳斯表如表3： 3s 1 K+2
2s 3
1k
1
s 32
1+-k k 0
0s
1k
表3
劳斯判据中要满足系统稳定则劳斯表第一列必需满足符号相同。

即：
⎩⎨⎧>>+-00
21
1k k k （23）
所以系统稳定的条件为：201+<<k k 稳定时的允许区域如图7：
当单位阶跃信号输入时，系统稳态误差系数：
)()(lim 0
p s H s G K s →= （24）
=)
2)(1(lim
10
+++→s s s k
k s k s =∞
（25）
所以稳态误差：
11
1)(=∞+=+=∞P ss K R e （26）
2.3.3 k 和1k 取不同值对系统系能的影响
下面在保持系统稳定且保证积分时间常数大于原系统的时间常数的情况即11>k k 的范围内分别取三组参数求取系统的闭环传递函数的特征根。

1）当k=6，1k =5时，将参数带入式（22）得系统传递函数为： 5
835
6)(2
3++++=
s s s s s φ
（27） 通过MATLAB 求特征方程，具体程序如下：
den=[1,3,8,5]
roots(den)%求系统特征根
程序运行后输出结果如下： ans =
-1.0992 + 2.2427i -1.0992 - 2.2427i -0.8016
所以特征根为：1s =-0.8016，2s =-1.0992+j2.2427，31s =-1.0992-j2.2427。

通过调用MATLAB 中step 函数绘制单位阶跃响应曲线，程序如下：
num=[6 5]; den=[1 3 8 5]; sys=tf(num,den); t=0:0.1:10;
step(sys,t)%求单位阶跃响应曲线
运行后输出响应曲线如图8。

图8
Step Response
Tim e (sec)
A m p l i t u d e
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
如图8所示，通过对绘制的曲线进行相应的设置后可以在Figure 上得到阶跃响应的各项指标点，当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下： 上升时间：........................................s t r 635.0= 峰值时间：.........................................s t p 4.1= 超调量：..............................................%9.18%p =σ
调节时间：.......................................... s t 39.3s =（0.05∆=）
2）当k=20，1k =5时，将参数带入式（22）得系统传递函数为： 5
2235
20)(2
3++++=
s s s s s φ （28） 运用MATLAB 即可算出特征根为：1s =-0.2342，2s =-1.3829 + j4.4091，31s =-1.3829 - j4.4091。

同时可求出系统单位阶跃响应曲线如图9：
上升时间：........................................s t r 876.0=
峰值时间：.........................................s t p 7.0=
图9
Step Response
Time (sec)
012345678910
超调量：..............................................%3.29%p =σ 调节时间：.......................................... s t 88.4s =（0.05∆=）
3）当k=20，1k =10时，将参数带入式（22）得系统闭环传递函数为：
10
22310
20)(2
3++++=s s s s s φ （29） 运用MATLAB 即可算出特征根为：1s =-0.4810，2s =-1.2595 + j4.3820，31s =-1.2595 - j4.3820。

系统单位阶跃响应曲线如图10：
Step Response
Time (sec)
图10
上升时间：........................................s t r 294.0= 峰值时间：.........................................s t p 7.0= 超调量：..............................................%36%p =σ
调节时间：.......................................... s t 15.3s =（0.05∆=）
将k=20，1k =10带入式（22）得系统开环传递函数为：
G(s)H(s)= s
s s s 2310
2023
+++ (30)
G(s)H(s)= )
21)(1()
5.01(5s s s s +++ （31）
所以系统的开环频率特性为：
G(j ω)H(j ω)= )
21)(1()
5.01(5ωωωj j s j +++
(32)
通过MATLAB 绘制系统波特图，其程序如下：
num=[20,10]%描述闭环系统传递函数的分子、分母多项式 den=[1,3,2,0]
bode(num,den)%调用bode 图绘制函数 grid%添加栅格
程序运行后Figure 上显示bode 图如图11.：
根据bode 图可轻易得出系统相位裕度：γ=︒
32
2.3.4 加入PI 控制器后系统动态性能分析
由式（18）知本系统中PI 控制器的积分时间常数1k k T i =，比例系数由k 决定。

通过改变积分时间常数的大小即可调节加入积分器后对系统稳定性及动态过程的影响
为便于分析k 和1k 取不同参数时对系统性能的影响，在此借助MATLAB 分别求取出在5组不同PI 控制器参数下以及未加PI 控制器校正时系统的单位阶跃响应曲线并绘制在一张图上以便于对比分析控制器取不同参数时对系统暂态性能的影响，以及加PI 控制器后对稳态性能的影响。

具体MATLAB 程序如下：
t1=0:0.1:5; num0=[4,5];
Bode Diagram
M a g n i t u d e (d B )-180
-135
-90
-45
P h a s e (d e g )
图11
den0=[1,3,6,5];
y0=step(num0,den0,t1);%k=4,k1=5时的阶跃响应曲线
num1=[6,5];
den1=[1,3,8,5];
y1=step(num1,den1,t1);%k=6,k1=5时的阶跃响应曲线
num2=[20,5];
den2=[1,3,22,5];
y2=step(num2,den2,t1);%k=20,k1=5时的阶跃响应曲线
num3=[20,10];
den3=[1,3,22,10];
y3=step(num3,den3,t1);%k=20,k1=10时的阶跃响应曲线
num4=[200,50];
den4=[1,3,202,50];
y4=step(num4,den4,t1);%k=200,k1=50时的阶跃响应曲线
num5=[1];
den5=[1,3,3];
y5=step(num5,den5,t1);%未加校正时的阶跃响应曲线
plot(t1,y0,'-+',t1,y1,'-r',t1,y2,'-g*',t1,y3,'b',t1,y4,':',t1,y5,'o'),grid 响应曲线图如图12：
图12
根据图12以及前面计算出的加入不同参数的PI 控制器后的系统暂态性能和稳态性能指标可知，加入PI 控制器后系统的稳态误差为0，从而改善了系统的稳态性能，同时不同的参数对系统的动态性能影响不同。

如图12所示，当系统比例系数k 过大时会使系统超调量加大，不利于系统的稳定，当积分时间常数1k k 较小会降低系统响应速度，增大积分时间常数可提高系统的响应速度，增大积分时间常数可提高系统的响应速度，从而改善积分环节对系统的暂态性能的不利影响。

3 P 和PI 控制器特点比较
3.1 比例（P）控制器：
在串联校正中，加大比例系数可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的控制精度，但也会降低系统的相对稳定性。

3.2比例-积分（PI）控制器：
在串联校正时，PI控制器相当于在系统中加入了一个位于原点的开环极点，从而提高了系统型别，改善了其稳态性能。

同时也增加了一个位于S平面左半平面的开环零点，减小了阻尼程度，缓和了系统极点对于系统稳定性及动态过程产生不利影响。

4 心得体会
通过本次课程设计，我加深了对自动控制原理课程知识的理解，其中一些在理论课上没搞懂的问题，在课程设计的过程中自己通过查阅大量的资料也搞懂了。

特别是系统稳定性分析，系统的校正以及比例环节，积分环节对系统稳定性以及系统动态性能和稳态性能的影响。

在整个课程设计过程中大量借助MATLAB软件进行控制系统分析，加强了我对MATLAB语言的运用能力，让我掌握了许多MATLAB在控制科学的中的运用，诸如MATLAB中计算单位阶跃响应函数step()，计算任意输入响应函数lism()，特征根的求解roots，二维绘图函数plot()，根轨迹绘制函数rlocus()等等。

在书写课程设计说明书时运用了visio 软件绘图，使用WORD软件编辑，使我掌握了许多关于办公软件的应用。

同时，在此次课程设计中，我感受到了查阅各类书籍的重要性，通过查阅图书馆的书籍可以开拓我们的视野，让我了解到自动控制原理在很多领域中的运用让我的思维不仅仅局限在课堂上，对同一个问题有多种分析思路、解决方法。

总之，这次课程设计不仅增加了我的知识积累，加强了我的独立思考能力和动手能力以及发现问题解决问题的能力为将来的学习和工作打下了很好的基础。

同时也让我认识到运用计算机分析的优越性与学习MATLAB工程软件的重要性。

课程设计的过程中我与同学、老师进行了深入的交流，通过交流我收获很大。

5 参考文献
[1] 胡寿松著.自动控制原理.北京：科学技术出版社，2001.12
[2] 陈贵银著.自动控制原理与系统.北京：北京理工大学出版社，2009.3
[3] 谢克明等著.自动控制原理.北京：电子工业出版社，2009.1
[4] 熊新民著.自动控制原理与系统.北京：电子工业出版社，2003.4
[5] 王万良.自动控制原理.高等教育出版社,2008
[6] 葛哲学.精通MATLAB.电子工业出版社,2008
21。