(通用版)202x版高考数学大一轮复习 第4讲 函数概念及其表示 理 新人教A版
函数的概念(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
2024届高考数学一轮复习课件
考点知识梳理
1.函数的概念
一般地，设A，B是非空的 实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x，
按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 .
(2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个
函数为同一个函数.
考点知识梳理
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和 列表法 .
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
考向典题讲解
题型三：给出函数解析式求解定义域
【例3】(2023·北京·高三专题练习)函数 ( ) =
−1
的定义域为________．
2 +1
【答案】 ≥ 1
−1
【解析】令 2 +1 ≥ 0，可得 − 1 ≥ 0，解得 ≥ 1．
故函数 ( ) =
−1
的定义域为
【例1】(2023·山东潍坊·统考一模)存在函数 满足：对任意 ∈ 都有( )
A． = 3 B． sin = 2
C． 2 + 2 =
D． = 2 + 1
【答案】D
【解析】对于A，当 = 1时， 1
当 = −1时， −1
= (1) = 1；
按 = − 2 ，在 的范围中必有唯一的值与之对应，
2 ∈ [0,4]，则− 2 ∈ [−4,0]，则 的范围要包含[−4,0]，故选：A．
(通用版)高考数学大一轮复习 第4讲 函数的概念及其表示学案 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学
第4讲 函数的概念及其表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A ,B 设A ,B 是两个设A ,B 是两个对应关系f :A →B按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 一个数x ,在集合B 中都有 的数f (x )与之对应按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 一个元素x ,在集合B 中都有 的元素y 与之对应名称 称 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应 为从集合A 到集合B的一个映射记法 y=f (x ),x ∈A对应f :A →B2.函数的三要素函数由 、 和对应关系三个要素构成.在函数y=f (x ),x ∈A 中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫作函数的 .与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的 . 3.函数的表示法函数的常用表示方法: 、 、 . 4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(6)y=log a x(a>0,a≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tan x的定义域为x x≠kπ+π,k∈Z.22.抽象函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.,+∞;当a<0时,值域为(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4aa-a24a].(-∞,4aa-a24a(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(3)y=aa(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±√a;②y2=x-1;③y=√a-2+√1-a;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编] 已知函数f (x )={a +1,a ≥0,a 2,a <0,则f (-2)= ,f [f (-2)]= .3.[教材改编] 函数f (x )=√8-aa +3的定义域是 .4.[教材改编] 已知集合A={1,2,3,4},B={a ,b ,c },f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,那么该函数的值域C 的不同情况有 种. 题组二 常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错. 5.函数y=√a -2·√a +2的定义域是 .6.设函数f (x )={(a +1)2,a <1,4-√a -1,a ≥1,则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 .7.已知f (√a )=x-1,则f (x )= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x 2,值域为{1,4}的“同族函数”共有 个.探究点一 函数的定义域 角度1 求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f (x )=ln(x 2-x )的定义域为 ( )A .(0,1]B .[0,1]C .(-∞,0)∪(1,+∞)D .(-∞,0)∪[1,+∞) (2)函数f (x )=√1-2a +√a +3的定义域为 ( )A .(-3,0]B .(-3,1]C .(-∞,-3)∪(-3,0]D .(-∞,-3)∪(-3,1][总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=a(2a)的定义域是()ln aA.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2][总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-√3,√3],则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f (x+1)=3x+2,则函数f (x )的解析式是( ) A .f (x )=3x-1 B .f (x )=3x+1 C .f (x )=3x+2 D .f (x )=3x+4(2)已知二次函数f (x )满足f (x+1)-f (x )=-2x+1,且f (2)=15,则函数f (x )= .(3)设函数f (x )对不为0的一切实数x 均有f (x )+2f (2018a)=3x ,则f (x )= .[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f [g (x )]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f [g (x )]=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法:已知f (x )与f (1a )或f (-x )之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).变式题 (1)已知函数f (2x-1)=4x+3,且f (t )=6,则t= ( ) A .12B .13C .14D .15(2)若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )-2f (-x )=5x+1,则f (x )= ( ) A .x+1 B .x-1 C .2x+1 D .3x+3(3)若f (x )为一次函数,且f [f (x )]=4x+1,则f (x )= . 探究点三 以分段函数为背景的问题微点1 分段函数的求值问题例4 (1)[2018·衡水调研] 设函数f (x )={a +1,a ≥0,12a ,a <0,则f [f (-1)]= ( )A .32 B .√2+1C .1D .3(2)已知函数f (x )={2a ,a <2,a (a -1),a ≥2,则f (log 27)= .[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值. 微点2 分段函数与方程例5 (1)已知函数f (x )={(3+a )a +a ,a <1,log a a ,a ≥1,若f [f (1)]=3,则a=( )A .2B .-2C .-3D .3(2)函数f (x )={2a ,a ≤0,a -ln a ,a >0,若f (0)+f (a )=2,则a 的值为 .[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 微点3 分段函数与不等式问题例6 (1)[2018·惠州二模] 设函数f (x )={2-a -1,a ≤0,a 12,a >0,若f (x 0)>1,则x 0的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-1,+∞)C .(-∞,-2)∪(0,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)[2018·全国卷Ⅰ] 设函数f (x )={2-a ,a ≤0,1,a >0,则满足f (x+1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解. 应用演练1.【微点1】若函数f (x )={2a +1,a <0,√a ,a ≥0,则f (1)+f (-1)=( )A .0B .2C .-2D .12.【微点2】设函数f (x )={22a -1+3,a ≤0,1-log 2a ,a >0,若f (a )=4,则实数a 的值为 ( )A .12 B .18C .12或18D .1163.【微点3】已知函数f (x )={3+log 2a ,a >0,a 2-a -1,a ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为 ( )A .[-1,1]B .[-2,4]C .(-∞,-2]∪(0,4)D .(-∞,-2]∪[0,4]4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考] 已知函数f (x )={a 2-2a ,a ≥0,1a,a <0,则不等式f (x )≤x 的解集为 ( )A .[-1,3]B .(-∞,-1]∪[3,+∞)C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞)5.【微点2】设函数f (x )={3a -a ,a <1,2a ,a ≥1,若f [a (56)]=4,则b= .第4讲 函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】 知识聚焦1.非空数集 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 f :A →B f :A →B2.定义域 值域 定义域 值域3.解析法 图像法 列表法4.对应关系 对点演练1.④ [解析] ①②对于定义域内任给的一个数x ,可能有两个不同的y 值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.2.4 5 [解析] 因为f (-2)=(-2)2=4,所以f [f (-2)]=f (4)=4+1=5.3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数有意义,需8-x ≥0且x+3≠0,即x ≤8且x ≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7 [解析] 只含有一个元素时有{a },{b },{c };有两个元素时,有{a ,b },{a ,c },{b ,c };有三个元素时,有{a ,b ,c }.所以值域C 共有7种不同情况.5.{x|x ≥2} [解析] 要使函数有意义,需{a -2≥0,a +2≥0,解得x ≥2,即定义域为{x|x ≥2}.6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f (x )是分段函数,∴f (x )≥1应分段求解. 当x<1时,f (x )≥1⇒(x+1)2≥1⇒x ≤-2或x ≥0,∴x ≤-2或0≤x<1. 当x ≥1时,f (x )≥1⇒4-√a -1≥1,即√a -1≤3,∴1≤x ≤10. 综上所述,x ≤-2或0≤x ≤10,即x ∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x 2-1(x ≥0) [解析] 令t=√a ,则t ≥0,x=t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0). 8.9 [解析] 设函数y=x 2的定义域为D ,其值域为{1,4},D 的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D 的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.(1)C (2)A [解析] (1)由x 2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). (2)由题意,自变量x 应满足{1-2a ≥0,a +3>0,解得{a ≤0,a >-3,故函数的定义域为(-3,0].例2 [思路点拨] (1)由f (x )的定义域得f (2x )的定义域,再结合ln x ≠0求解;(2)由x ∈[-1,1],求得x 2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x ≤2即可得函数f (lg x )的定义域.(1)D (2)C [解析] (1)∵f (x )的定义域为[0,2],∴要使f (2x )有意义,则有0≤2x ≤2,∴0≤x ≤1,∴要使g (x )有意义,应有{0≤a ≤1,ln a ≠0,∴0<x<1,故选D .(2)因为f (x 2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x ≤1,故0≤x 2≤1,所以1≤x 2+1≤2.因为f (x 2+1)与f (lg x )是同一个对应法则,所以1≤lg x ≤2,即10≤x ≤100,所以函数f (lg x )的定义域为[10,100].故选C .变式题 (1)A (2)[-1,2] [解析] (1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A . (2)因为函数y=f (x 2-1)的定义域为[-√3,√3], 所以-√3≤x ≤√3,所以-1≤x 2-1≤2, 所以函数y=f (x )的定义域为[-1,2].例3 [思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f (x )和f (2018a)的方程组,消去f (2018a)即可得f (x )的解析式.(1)A (2)-x 2+2x+15 (3)4036a-x [解析] (1)由于f (x+1)=3(x+1)-1,所以f (x )=3x-1.(2)由已知令f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),则f (x+1)-f (x )=2ax+b+a=-2x+1,∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f (2)=15,∴c=15,∴f (x )=-x 2+2x+15.(3)f (x )+2f (2018a)=3x①,且x ≠0,用2018a代替①中的x ,得f (2018a)+2f (x )=3×2018a②, 解①②组成的方程组,消去f (2018a )得f (x )=4036a-x.变式题 (1)A (2)A (3)2x+13或-2x-1 [解析] (1)设t=2x-1,则x=a +12,故f (t )=4×a +12+3=2t+5,令2t+5=6,则t=12,故选A .(2)因为3f (x )-2f (-x )=5x+1①,所以3f (-x )-2f (x )=-5x+1②,联立①②,解得f (x )=x+1,故选A .(3)设f (x )=ax+b (a ≠0),由f [f (x )]=af (x )+b=a 2x+ab+b=4x+1,得a 2=4,ab+b=1,解得a=2,b=13或a=-2,b=-1,∴f (x )=2x+13或f (x )=-2x-1.例4 [思路点拨] (1)先求f (-1)的值,再求f [f (-1)]的值;(2)先估算log 27的范围,再确定选用哪段解析式求值.(1)D (2)72 [解析] (1)由题意可得f (-1)=12-1=2,∴f [f (-1)]=f (2)=3,故选D .(2)因为2<log 27<3,所以1<log 27-1<2,所以f (log 27)=f (log 27-1)=2log 27-1=2log 27÷2=72. 例5 [思路点拨] (1)先求得f (1)=0,再据f (0)=3求分段函数中的参数;(2)分a ≤0和a>0两种情况讨论求解.(1)D (2)0或1 [解析] (1)根据题意可知f (1)=log a 1=0,所以f [f (1)]=f (0)=(3+a )×0+a=a=3,即a=3,故选D .(2)∵f (x )={2a ,a ≤0,a -ln a ,a >0,∴f (0)=20=1.当a>0时,f (a )=a-ln a ,则有1+a-ln a=2,解得a=1; 当a ≤0时,f (a )=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6 [思路点拨] (1)分x 0≤0和x 0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D (2)D [解析] (1)当x 0≤0时,由f (x 0)=2-a 0-1>1,即2-a 0>2,解得x 0<-1; 当x 0>0时,由f (x 0)=a 012>1,解得x 0>1.∴x 0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)f (x )的图像如图所示.当{a +1≤0,2a ≤0,即x ≤-1时,若满足f (x+1)<f (2x ),则满足x+1>2x ,即x<1,此时x ≤-1;当{a +1>0,2a <0,即-1<x<0时,f (x+1)<f (2x )恒成立.综上,x 的取值范围是x<0.故选D .应用演练1.A [解析] 由函数f (x )={2a +1,a <0,√a ,a ≥0,得f (1)+f (-1)=√1+2-1+1=0.2.B [解析] 因为f (a )=4,所以{22a -1+3=4,a ≤0或{1-log 2a =4,a >0, 所以{a =12,a ≤0或{a =18,a >0,所以a=18,故选B .3.B [解析] 由于f (x )={3+log 2a ,a >0,a 2-a -1,a ≤0,所以当x>0时,3+log 2x ≤5,即log 2x ≤2=log 24,得0<x ≤4; 当x ≤0时,x 2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x ≤0. 所以不等式f (x )≤5的解集为[-2,4].4.A [解析] 当x ≥0时,由x 2-2x ≤x ,得0≤x ≤3; 当x<0时,由1a ≤x ,得-1≤x<0. 故不等式f (x )≤x 的解集为[-1,3].5.12 [解析] 由f [a (56)]=4,可得f (52-a )=4. 若52-b ≥1,即b ≤32,可得252-a =4,解得b=12.若52-b<1,即b>32,可得3×(52-a )-b=4,解得b=78<32(舍去).故答案为12.【备选理由】 例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.例1 [配合例2使用] [2018·邵阳期末] 设函数f (x )=log 2(x-1)+√2-a ,则函数f (a2)的定义域为( ) A .(1,2] B .(2,4] C .[1,2) D .[2,4)[解析] B 要使函数f (x )有意义,则需{2-a ≥0,a -1>0⇒1<x ≤2,故1<a 2≤2,即2<x ≤4,所以选B .例2 [配合例4使用] [2018·柳州高级中学三模] 已知函数f (x )={a 2+sin π2a ,a ≥1,-a (a +3),a <1,则f (-2018)=( )A .-2B .2C .4+√22D .-4-√22[解析] A 当x<1时,f (x )=-f (x+3),可得f (x+3)=-f (x ),则f [(x+3)+3]=-f (x+3)=f (x ), 可知当x<1时,f (x )是周期为6的周期函数,则f (-2018)=f (-336×6-2)=f (-2)=-f (-2+3)=-f (1).而当x ≥1时,f (x )=x 2+sinπ2a,∴f (1)=2,∴f (-2018)=-f (1)=-2.例3 [配合例5使用] 已知f (x )={1a -1,a >1,a +1,a ≤1,若f (1-a )=f (1+a )(a>0),则实数a 的值为 . [答案] 1[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f (1-a )=f (1+a )得2-a=1a ,即a 2-2a+1=0,∴a=1.例4 [补充使用] [2018·武邑中学模拟] 若函数f (x )={a +a ,a ≤2,log 4a ,a >2的值域为R,则a 的取值范围是 . [答案] a ≥-32[解析] ∵f (x )=log 4x 在x>2时的值域为(12,+∞),∴f (x )=x+a 在x ≤2时的最大值必须大于等于12,即满足2+a ≥12,解得a ≥-32..故答案为a≥-32。
高考数学大一轮复习 第二章 第4课 函数的概念及其表示
第4课函数的概念及其表示法(本课对应学生用书第8-10页)自主学习回归教材1. 函数的概念设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数y=f(x)的定义域;所有输出值y组成的集合叫作函数的值域.2. 函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域、值域和对应法则.当函数的定义域及对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.3. 函数的表示法:解析法、列表法和图象法.1. (必修1P26练习5改编)若函数f(x)=x-x2,则f(x+1)-f(x)=.[答案]-2x2. (必修1P35习题7改编)已知函数y=2x1,x0,-2x,x0,⎧+≤⎨>⎩那么使函数值为5的x的值是.[答案]-2[解析]当x>0时,y<0,y≠5;当x≤0时,由x2+1=5,得x=-2.3. (必修1P26习题4改编)设集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤4},有以下4个对应法则:①f:x→y=x2;②f:x→y=3x-2;③f:x→y=-x+4;④f:x→y=4-x2.其中不能构成从A到B的函数的是.(填序号)[答案]④[解析]容易作出题中给出的四个函数的图象,对于函数y=4-x2,集合A中的2对应的数为0,不在集合B中.4. (必修1P32习题7改编)已知一个函数的解析式为y=x2,它的值域为{1,4},这样的函数有个.[答案]9[解析]列举法:定义域可能是{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-2,2},{-1,-2,2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,1,-2,2}.5. (必修1P36习题9改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合最好的图象是.(填序号)(第5题)[答案]③。
【学海导航】高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念课件 文 新人教A
【解析】(1)当a>0时，2－2a＋a＝－1－a－2a， 解得a＝－32，无解； 当a<0时，－1＋a－2a＋2＋2a＋a，解得a＝－34，故选A. (2)由f(12)＝f(6＋6)＝2f(6)－1＝2[2f(3)－1]－1＝5，f(3)＝2.
素材3
(1)函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对任意正实数m，n
二 函数的解析式
【例 2】求下列函数的解析式： (1)已知二次函数满足 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5，求 f(x)； (2)已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求 f(x)．
【分析】 根据条件可灵活运用不同的方法求解．
【解析】 (1)方法 1：待定系数法． 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f(3x＋1)＝a(3x＋1)2＋b(3x＋1)＋c＝9ax2＋(6a＋ 3b)x＋a＋b＋c. 又 f(3x＋1)＝9x2－6x＋5， 所以 9ax2＋(6a＋3b)x＋a＋b＋c＝9x2－6x＋5.
x>0 x≤0
，
若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【解析】依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2， 又因为 2x>0，所以 a≤0， 所以 f(a)＝a＋1＝－2，故 a＝－3，故选 A.
5.如图所表示的函数的解析式为( )
A．y＝32－x－23x3＋2 321<0x≤≤x2≤ 1
a≠0，函数f(x)＝ 2－x＋x－a2a
（x<1） （x≥1）
，若f(1－a)＝f(1＋
a)，则a的值为( )
A．－43
3 B.4
C．－53
3 D.5
三 分段函数与抽象函数
高三数学第一轮复习课件函数的概念及其表示课件演示文稿
－x2＋2x，x≤0， lnx＋1，x＞0.
❶若|f(x)|≥ax❷，则 a 的取值范围是
( )．
A．(－∞，0]
B．(－∞，1]
C．[－2,1]
D．[－2,0]
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[审题]一审条件❶：f(x)＝－ lnxx2＋＋12x，，xx＞≤00，， 转化为一元二次函数 与对数函数的图象问题．如图(1)．
(1) 二审条件❷：|f(x)|≥ax，由 f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2)．
(2)
第30页，共31页。
三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下方，则当a＞0时， 不合题意；当a＝0时，符合题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－ x2＋2x≤0， 所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax， 即x2≥(a＋2)x，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2. 综上－2≤a≤0. 答案 D [反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需 有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因 此要检验结果是否符合要求．
(5)分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几 个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域等于 各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但它 表示的是一个函数．
第6页，共31页。
2．函数定义域的求法
类型
第21页，共31页。
【 训 练 2 】 (2014·烟 台 诊 断 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
2cos
π3x，x≤2 000，
则 f[f(2 013)]＝
2x－2 008，x＞2 000，
人教版高中数学高考一轮复习--函数的概念及其表示(课件)
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第二章
2.1 函数的概念及其表示
课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关
系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要
图象、求值及方程(不等式)问题,提升数学运算和数学抽象素养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
内容
两个集合 A,B
函数
设 A,B 是两个非空数集
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的
对应关系 f:A→B 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
(2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x);
4.设 f(x)= 0, = 0,g(x)=
则 f(g(π))的值为( B )
0,为无理数,
1, < 0,
A.1
B.0
C.-1
D.π
2024高考数学基础知识综合复习第4讲函数的概念与性质课件
1 2
f(x1)-x1<f(x2)-x2,从而说明 y=f(x)-x 是(0,+∞)内的增函数;又如当 0<x1<x2
( 1 ) ( 2 )
1
2
2 ( 1 )- 1 ( 2 )
时,
>0,则可转化为 -
1 - 2
1 2
( )2
的定义域为(0,+∞),g(x)= 2 的定义域为(0,+∞),f(x)=
=1,
( )
以这两个函数是同一函数,故 C 正确;对于
( )2
C,f(x)=
g(x)=
2
( )
=1,所
2 -16
D,f(t)= -4 的定义域为(-∞,4)∪
2 -16
(4,+∞),g(t)=t+4(t≠4)的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞),f(t)= -4 =t+4,所以这两个函
数是同一函数,故 D 正确.故选 CD.
归纳总结决定一个函数的三要素:定义域、值域、对应法则,值域可由定义
域和对应法则决定,因此当且仅当定义域、对应法则相同的函数才是同一
个函数.
考向2
函数的定义域和值域
例 2(2022 浙江学考)函数
A.{x|x>2}
C.{x|x≠2}
解析 要使
∴函数
1
f(x)= 的定义域是(
4
典例 4(2022 浙江学考)已知函数 f(x)=
则 f(-1)=___________,
log 2 , ≥ 1,
2
f[f(-1)]=____________.
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的概念及其表示
§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。
函数的概念及表示课件-2024届高考数学一轮复习
f （2 x 2－2）的定义域是［－
≤ x ≤－
，－
或 ≤x≤
］∪［ ，
.所以函数
］.
Байду номын сангаас
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考点二
求函数的解析式
例3 （1） 已知 f （ ＋1）＝ x ＋2 ，则 f （ x ）＝
≥1）
x 2－1（ x
.
（2） 已知 f （ x ）是二次函数，且 f （0）＝2， f （ x ＋1）－ f （ x ）＝ x
− > ，
＝lg[1－lg（1－ x ）].所以
解得－9＜ x ＜1，即
− （ − ） > ，
函数 f （ f （ x ））的定义域为（－9，1）.
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[拓展探究]
1.
−1
2
设函数 f （ x ）＝lg（1－ x ），则函数 y ＝ f （
）的定义域
为 （－1，3）
2
函数的单调性
式
适应性卷
第8题比较大小
八 第9题单调性、奇
省 偶性、切线、零
点
第8题对数比较大
山
小第12题抽象函
东
数的性质
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1. 重点：指对幂函数的图象与性质.
高考预测 2. 热点：抽象函数的性质；构造函数比较大小、不等式.
3. 关注点：抽象函数、指对幂函数与导数交汇.
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【课时目标】
理解函数的概念；理解函数的表示法；了解分段函数，
并能简单应用.
【考情概述】
函数的概念及表示是新高考考查的重点内容之一，常以
高考数学大一轮复习第4讲函数的概念及其表示学案理新人教a版
第4讲函数的概念及其表示1.函数与映射的概念2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.3.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(6)y=log a x(a>0,a≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tan x的定义域为xx≠kπ+,k∈Z.2.抽象函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为-,+∞;当a<0时,值域为-∞ -.(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±;②y2=x-1;③y=-+-;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编]已知函数f(x)=则f(-2)= ,f[f(-2)]= .3.[教材改编]函数f(x)=-的定义域是.4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.5.函数y=- · 的定义域是.则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.6.设函数f(x)=--7.已知f()=x-1,则f(x)= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.探究点一函数的定义域角度1求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1]B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪[1,+∞)(2)函数f(x)=-+的定义域为 ()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1][总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2][总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)= .(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f(x)= .[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).变式题 (1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t=()A.B.C.D.(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=()A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)= .探究点三以分段函数为背景的问题微点1分段函数的求值问题例4 (1)[2018·衡水调研]设函数f(x)=则f[f(-1)]=()A.B.+1C.1D.3则f(log27)= .(2)已知函数f(x)=-[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.微点2分段函数与方程例5 (1)已知函数f(x)=若f[f(1)]=3,则a=()A.2B.-2C.-3D.3(2)函数f(x)=-若f(0)+f(a)=2,则a的值为.[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.微点3分段函数与不等式问题例6 (1)[2018·惠州二模]设函数f(x)=--若f(x0)>1,则x0的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=-则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.应用演练1.【微点1】若函数f(x)=则f(1)+f(-1)=()A.0B.2C.-2D.12.【微点2】设函数f(x)=--若f(a)=4,则实数a的值为()A.B.C.或D.3.【微点3】已知函数f(x)=--则不等式f(x)≤5的解集为 ()A.[-1,1]B.[-2,4]C.(-∞,-2]∪(0,4)D.(-∞,-2]∪[0,4]4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考]已知函数f(x)=-则不等式f(x)≤x的解集为()A.[-1,3]B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)5.【微点2】设函数f(x)=-若f=4,则b= .第4讲函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→B f:A→B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④[解析] ①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.2.45[解析] 因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.3.(-∞,-3)∪(-3,8][解析] 要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7[解析] 只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.5.{x|x≥2}[解析] 要使函数有意义,需-解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.6.(-∞,-2]∪[0,10][解析] ∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.当x≥1时,f(x)≥1⇒4-- ≥1,即- ≤3,∴1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x2-1(x≥0)[解析] 令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).8.9[解析] 设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.(1)C(2)A[解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).(2)由题意,自变量x应满足-解得故函数的定义域为(-3,0].-例2[思路点拨] (1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.(1)D(2)C[解析] (1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有∴0<x<1,故选D.(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lg x)是同一个对应法则,所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].故选C.变式题(1)A(2)[-1,2][解析] (1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A.(2)因为函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],所以- ≤x≤,所以-1≤x2-1≤2,所以函数y=f(x)的定义域为[-1,2].例3[思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f的方程组,消去f即可得f(x)的解析式.(1)A(2)-x2+2x+15(3)-x [解析] (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.(3)f(x)+2f=3x①,且x≠0,用代替①中的x,得f+2f(x)=3×②,解①②组成的方程组,消去f得f(x)=-x.变式题(1)A(2)A(3)2x+或-2x-1[解析] (1)设t=2x-1,则x=,故f(t)=4×+3=2t+5,令2t+5=6,则t=,故选A.(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,联立①②,解得f(x)=x+1,故选A.(3)设f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-1.例4[思路点拨] (1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.=2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故选D.(1)D(2)[解析] (1)由题意可得f(-1)=-(2)因为2<log27<3,所以1<log27-1<2,所以f(log27)=f(log27-1)=-=÷2=.例5[思路点拨] (1)先求得f(1)=0,再据f(0)=3求分段函数中的参数;(2)分a≤0和a>0两种情况讨论求解.(1)D(2)0或1[解析] (1)根据题意可知f(1)=log a1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,即a=3,故选D.∴f(0)=20=1.(2)∵f(x)=-当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6[思路点拨] (1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D(2)D[解析] (1)当x0≤0时,由f(x0)=--1>1,即 ->2,解得x0<-1;当x0>0时,由f(x0)=>1,解得x0>1.∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)f(x)的图像如图所示.当即x≤-1时,若满足f(x+1)<f(2x),则满足x+1>2x,即x<1,此时x≤-1;当即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x<0.故选D.应用演练1.A[解析] 由函数f(x)=得f(1)+f(-1)=+-+1=0.2.B[解析] 因为f(a)=4,所以-或-所以或所以a=,故选B.3.B[解析] 由于f(x)=--所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0<x≤4;当x≤0时,x2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x≤0.所以不等式f(x)≤5的解集为[-2,4].4.A[解析] 当x≥0时,由x2-2x≤x,得0≤x≤3;当x<0时,由≤x,得-1≤x<0.故不等式f(x)≤x的解集为[-1,3].5.[解析] 由f=4,可得f-=4.若-b≥1,即b≤,可得 -=4,解得b=.若-b<1,即b>,可得3×--b=4,解得b=<(舍去).故答案为.【备选理由】例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.例1[配合例2使用] [2018·邵阳期末]设函数f(x)=log2(x-1)+-,则函数f的定义域为()A.(1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)[解析] B要使函数f(x)有意义,则需--⇒1<x≤2,故1<≤2,即2<x≤4,所以选B.例2[配合例4使用] [2018·柳州高级中学三模]已知函数f(x)=-则f(-2018)=()A.-2B.2C.4+D.-4-[解析] A当x<1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),可知当x<1时,f(x)是周期为6的周期函数,则f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而当x≥1时,f(x)=x2+sin,∴f(1)=2, ∴f(-2018)=-f(1)=-2.例3[配合例5使用] 已知f(x)=-若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为.[答案] 1[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,∴a=1.例4[补充使用] [2018·武邑中学模拟]若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是.[答案] a≥-[解析] ∵f(x)=log4x在x>2时的值域为∞,∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于,即满足2+a≥,解得a≥-.故答案为a≥-.。
高考数学一轮总复习 第4讲 函数的概念及解析式与定义域课件 理 新人教A版
第二十页，共50页。
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所以函数 y＝f(x＋1)＋f(x2－3x)的定义域 是{x|－1≤x≤0 或 x＝3}．
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【点评】函数的定义域就是指使这个式子有 意义的所有实数 x 的集合．在一些具体函数综合 问题中，函数的定义域往往具有隐蔽性，所以在 研究这些问题时，必须树立“定义域优先”的原 则．而逆向问题应注意命题的等价转化．
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理解函数(hánshù)的概念；掌握简单函数(hánshù)的 定 义 域 的 求 法 ； 掌 握 求 函 数 (hánshù) 解 析 式 的 常 用 方 法．
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1．函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
1.设 A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，则 f：A→B
不是函数的是( )
A．f：x→y＝12x
B．x→y＝13x
C．x→y＝14x
D．x→y＝61x
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【解析】 因为 x∈A，y＝12x∈[0,3] B. 由函数定义可知，对于 6∈A，在集合 B 中找不 到对应元素， 故 f：x→y＝21x 不是函数．
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4.函数 y＝ xx－＋12＋lg(4－x)的定义域是
.
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【解析(jiě xī)】
故该函数的定义域为[－2,1)∪(1,4)．
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【解析】若 a≥0，则 1－21a＝a，所以 a＝23； 若 a<0，则1a＝a，所以 a2＝1， 所以 a＝－1(a＝1 舍去)． 综上得 a＝－1 或23.
通用版020版高考数学大一轮复习第4讲函数的概念及其表示学案理新人教A版
探究点三 以分段函数为背景的问题
微点 1 分段函数的求值问题
{x + 1,x ≥ 0,
例 4 (1)[2018·衡水调研] 设函数 f(x)=
1
2x,x < 0,
则 f[f(-1)]=
( )
3
A.2 B. 2+1
C.1 D.3
{ (2)已知函数 f(x)=
f(x
2x,x < 2, - 1),x ≥
{ 5.{x|x≥2} [解析]
要使函数有意义,需
x x
+
2 2
≥ ≥
00,,解得 x≥2,即定义域为{x|x≥2}.
6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1 应分段求解.
8-x
3.[教材改编] 函数 f(x)= x + 3 的定义域是 . 4.[教材改编] 已知集合 A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 那么该函数的值域 C 的不同情况有 种. 题组二 常错题 ◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解 析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错. 5.函数 y= x - 2· x + 2的定义域是 .
(3)配凑法:由已知条件 f[g(x)]=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式.
( )1
(4)解方程组法:已知 f(x)与 f 或 f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个
x
等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).
微点 3 分段函数与不等式问题
通用版高考数学大一轮复习第4讲函数的概念及其表示学案理新人教A版
第4讲函数的概念及其表示1.函数与映射的概念2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.3.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(6)y=log a x(a>0,a≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tan x的定义域为x x≠kπ+,k∈Z.2.抽象函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从而解得x的范围,即为f[g(x)]的定义域.(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.3.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为-,+∞;当a<0时,值域为-∞ -.(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一常识题1.[教材改编]以下属于函数的有.(填序号)①y=±;②y2=x-1;③y=-+-;④y=x2-2(x∈N).2.[教材改编]已知函数f(x)=则f(-2)= ,f[f(-2)]= .3.[教材改编]函数f(x)=-的定义域是.4.[教材改编]已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有种.题组二常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.5.函数y=- · 的定义域是.则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.6.设函数f(x)=--7.已知f()=x-1,则f(x)= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.探究点一函数的定义域角度1求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1]B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪[1,+∞)(2)函数f(x)=-+的定义域为 ()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1][总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是()A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2][总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)= .(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f=3x,则f(x)= .[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).变式题 (1)已知函数f(2x-1)=4x+3,且f(t)=6,则t=()A.B.C.D.(2)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=()A.x+1B.x-1C.2x+1D.3x+3(3)若f(x)为一次函数,且f[f(x)]=4x+1,则f(x)= .探究点三以分段函数为背景的问题微点1分段函数的求值问题例4 (1)[2018·衡水调研]设函数f(x)=则f[f(-1)]=()A.B.+1C.1D.3则f(log27)= .(2)已知函数f(x)=-[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.微点2分段函数与方程例5 (1)已知函数f(x)=若f[f(1)]=3,则a=()A.2B.-2C.-3D.3(2)函数f(x)=-若f(0)+f(a)=2,则a的值为.[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.微点3分段函数与不等式问题例6 (1)[2018·惠州二模]设函数f(x)=--若f(x0)>1,则x0的取值范围是()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=-则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.应用演练1.【微点1】若函数f(x)=则f(1)+f(-1)=()A.0B.2C.-2D.12.【微点2】设函数f(x)=--若f(a)=4,则实数a的值为()A.B.C.或D.3.【微点3】已知函数f(x)=--则不等式f(x)≤5的解集为 ()A.[-1,1]B.[-2,4]C.(-∞,-2]∪(0,4)D.(-∞,-2]∪[0,4]4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考]已知函数f(x)=-则不等式f(x)≤x的解集为()A.[-1,3]B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)5.【微点2】设函数f(x)=-若f=4,则b= .第4讲函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→B f:A→B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④[解析] ①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.2.45[解析] 因为f(-2)=(-2)2=4,所以f[f(-2)]=f(4)=4+1=5.3.(-∞,-3)∪(-3,8][解析] 要使函数有意义,需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7[解析] 只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时,有{a,b,c}.所以值域C共有7种不同情况.5.{x|x≥2}[解析] 要使函数有意义,需-解得x≥2,即定义域为{x|x≥2}.6.(-∞,-2]∪[0,10][解析] ∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.当x≥1时,f(x)≥1⇒4-- ≥1,即- ≤3,∴1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x2-1(x≥0)[解析] 令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).8.9[解析] 设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.(1)C(2)A[解析] (1)由x2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).(2)由题意,自变量x应满足-解得故函数的定义域为(-3,0].-例2[思路点拨] (1)由f(x)的定义域得f(2x)的定义域,再结合ln x≠0求解;(2)由x∈[-1,1],求得x2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x≤2即可得函数f(lg x)的定义域.(1)D(2)C[解析] (1)∵f(x)的定义域为[0,2],∴要使f(2x)有意义,则有0≤2x≤2,∴0≤x≤1,∴要使g(x)有意义,应有∴0<x<1,故选D.(2)因为f(x2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x≤1,故0≤x2≤1,所以1≤x2+1≤2.因为f(x2+1)与f(lg x)是同一个对应法则,所以1≤lg x≤2,即10≤x≤100,所以函数f(lg x)的定义域为[10,100].故选C.变式题(1)A(2)[-1,2][解析] (1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A.(2)因为函数y=f(x2-1)的定义域为[-所以-x≤,所以-1≤x2-1≤2,所以函数y=f(x)的定义域为[-1,2].例3[思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f(x)和f的方程组,消去f即可得f(x)的解析式.(1)A(2)-x2+2x+15(3)-x [解析] (1)由于f(x+1)=3(x+1)-1,所以f(x)=3x-1.(2)由已知令f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+b+a=-2x+1,∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f(2)=15,∴c=15,∴f(x)=-x2+2x+15.(3)f(x)+2f=3x①,且x≠0,用代替①中的x,得f+2f(x)=3×②,解①②组成的方程组,消去f得f(x)=-x.变式题(1)A(2)A(3)2x+或-2x-1[解析] (1)设t=2x-1,则x=,故f(t)=4×+3=2t+5,令2t+5=6,则t=,故选A.(2)因为3f(x)-2f(-x)=5x+1①,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1②,联立①②,解得f(x)=x+1,故选A.(3)设f(x)=ax+b(a≠0),由f[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,得a2=4,ab+b=1,解得a=2,b=或a=-2,b=-1,∴f(x)=2x+或f(x)=-2x-1.例4[思路点拨] (1)先求f(-1)的值,再求f[f(-1)]的值;(2)先估算log27的范围,再确定选用哪段解析式求值.=2,∴f[f(-1)]=f(2)=3,故选D.(1)D(2)[解析] (1)由题意可得f(-1)=-(2)因为2<log27<3,所以1<log27-1<2,所以f(log27)=f(log27-1)=-=÷2=.例5[思路点拨] (1)先求得f(1)=0,再据f(0)=3求分段函数中的参数;(2)分a≤0和a>0两种情况讨论求解.(1)D(2)0或1[解析] (1)根据题意可知f(1)=log a1=0,所以f[f(1)]=f(0)=(3+a)×0+a=a=3,即a=3,故选D.∴f(0)=20=1.(2)∵f(x)=-当a>0时,f(a)=a-ln a,则有1+a-ln a=2,解得a=1;当a≤0时,f(a)=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6[思路点拨] (1)分x0≤0和x0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D(2)D[解析] (1)当x0≤0时,由f(x0)=--1>1,即 ->2,解得x0<-1;当x0>0时,由f(x0)=>1,解得x0>1.∴x0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)f(x)的图像如图所示.当即x≤-1时,若满足f(x+1)<f(2x),则满足x+1>2x,即x<1,此时x≤-1;当即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x<0.故选D.应用演练1.A[解析] 由函数f(x)=得f(1)+f(-1)=+-+1=0.2.B[解析] 因为f(a)=4,所以-或-所以或所以a=,故选B.3.B[解析] 由于f(x)=--所以当x>0时,3+log2x≤5,即log2x≤2=log24,得0<x≤4;当x≤0时,x2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x≤0.所以不等式f(x)≤5的解集为[-2,4].4.A[解析] 当x≥0时,由x2-2x≤x,得0≤x≤3;当x<0时,由≤x,得-1≤x<0.故不等式f(x)≤x的解集为[-1,3].5.[解析] 由f=4,可得f-=4.若-b≥1,即b≤,可得 -=4,解得b=.若-b<1,即b>,可得3×--b=4,解得b=<(舍去).故答案为.【备选理由】例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.例1[配合例2使用] [2018·邵阳期末]设函数f(x)=log2(x-1)+-,则函数f的定义域为()A.(1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)[解析] B要使函数f(x)有意义,则需--⇒1<x≤2,故1<≤2,即2<x≤4,所以选B.例2[配合例4使用] [2018·柳州高级中学三模]已知函数f(x)=-则f(-2018)=()A.-2B.2C.4+D.-4-[解析] A当x<1时,f(x)=-f(x+3),可得f(x+3)=-f(x),则f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x),可知当x<1时,f(x)是周期为6的周期函数,则f(-2018)=f(-336×6-2)=f(-2)=-f(-2+3)=-f(1).而当x≥1时,f(x)=x2+sin,∴f(1)=2, ∴f(-2018)=-f(1)=-2.例3[配合例5使用] 已知f(x)=-若f(1-a)=f(1+a)(a>0),则实数a的值为.[答案] 1[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f(1-a)=f(1+a)得2-a=,即a2-2a+1=0,∴a=1.例4[补充使用] [2018·武邑中学模拟]若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是.[答案] a≥-[解析] ∵f(x)=log4x在x>2时的值域为∞,∴f(x)=x+a在x≤2时的最大值必须大于等于,即满足2+a≥,解得a≥-.故答案为a≥-.。
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 4 第4讲 二次函数与幂函数课件 理
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2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝_____ax_2_＋__bx_＋__c_(a_≠__0_)_____． ②顶点式：f(x)＝_____a_(x_－__m_)_2＋__n_(a_≠__0_)____． ③零点式：f(x)＝____a_(x_－__x_1)_(x_－__x_2)_(a_≠__0_)___．
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法二：(利用顶点式) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为 f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12. 所以 m＝12.又根据题意函数有最大值 8，所以 n＝8， 所以 f(x)＝ax－122＋8. 因为 f(2)＝－1，所以 a2－122＋8＝－1， 解得 a＝－4，所以 f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
调递减，则 a 的取值范围是( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a<－3
D．a≤－3
解析：选 D.函数 f(x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其 对称轴是 x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知， 区间(－∞，6)应在直线 x＝－2a 的左侧， 所以－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D.
4a .( )
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(5)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同 一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
调 在____－__2_ba_，__＋__∞_____上单 性
第4章指数函数与对数函数(复习课件)高一数学(人教A版必修第一册)课件
y=ax为减函数,则0<a<1,y=loga(-x)为增函数,与C项中
y=loga(-x)的图象不符.
答案:B
典例
例3（2）若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象
有两个公共点,则a的取值范围是
.
解析:当a>1时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图
往往是选择题,常借助于指数函数、对数函数的图象特
征来解决;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方
程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点
个数问题.这就要求画指数函数、对数函数的图象时尽
量准确,特别是一些关键点要正确,比如,指数函数的图象
必过点(0,1),对数函数的图象必过点(1,0).
题型四 函数的零点与方程的根
4. 恒成立问题，采用分离参数，转化为求最值问题.
专题三
指数函数、对数函数图象的应用
典例
例3（1）已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( )
解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左
侧,可排除A,D选项.当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)
f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.
由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．
(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
以有2m-3<1,解得m<2.故实数m的取值范围为(-∞,2).
解题技能
(赛课课件)新人教版高考数学大一轮复习《函数及其表示》
3.已知f( 1 ) =x2+5x,则f(x)=________.
x
【解析】令t= 1 ,则x=
x
所以f(x)= 5 x (x1 ≠0).
x2
答案: 5 x (x1≠0)
x2
(1 t≠0),即f(t)=
t
1 5， t2 t
题组二:走进教材 1.(必修1P23T2改编)下列四个图形中,不是以x为自变 量的函数的图象是 ( )
【解析】选D.y=x的定义域为{x|x∈R},而y= x 2 的定义
x
域为{x|x∈R且x≠0},y= 2log2x 的定义域为{x|x∈R,且 x>0},排除A,B;y= x 2 =|x|的定义域为{x|x∈R},对应关 系与y=x的对应关系不同,排除C;而y=( 3 x )3=x的定义 域与对应关系与y=x均相同.
(2)映射的个数 若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从集合A到 集合B的映射共有nm个. (3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
2.简单函数定义域的类型 (1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实 数集合. (2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非 负的实数的集合.
3.(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别
与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 ( )
(源于必修1P18例2)
A.y=x
B.y=lg x
C.y=2x
D.y= 1
x
【解析】选D.y=10lg x=x,其定义域与值域均为(0,+∞). 函数y=x的定义域和值域都是R;函数y=lg x的定义域为 (0,+∞),值域为R;函数y=2x的定义域为R,值域为 (0,+∞);函数y= 1 的定义域与值域均为(0,+∞).
高考数学一轮复习 第4讲函数及其表示课件 理 新人教课标A
达式有意义的条件，列出不等式(组)，再求解得到自变量的取值范围；
(3)由 f(2x)的定义域求得 f(x)的定义域，然后根据 f(x)的定义域求
f(log2x)的定义域
(1)B (2)C (3)[4,16] (1)[解析] 要使函数解析式有意义，则
1－x>0， 2＋5x－3x2>0，
解得－13<x<1，因此函数的定义域为－13，1；
第4讲 │ 函数及其表示
第4讲 函数及其表示
第4讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．函数
(1)函数的定义：设A、B都是非空的数集，如果按照某种确
定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中 都有_唯__一__确__定______的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变 量， x的取值范围A叫做函数f(x)的__定__义__域__，与x的值相对应 的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的 __值__域__，显然，{f(x)|x∈A}⊆B.
B．f(x)＝ x2x－4，x∈－∞，－2∪2，＋∞
C．f(x)＝－ 4－x x2，x∈－2，0∪0，2
D．f(x)＝ 4－x x2，x∈－2，0∪0，2
第4讲 │ 要点探究
(3)[2010·合肥模拟] 已知函数 f(2x)定义域是[1,2]，则函数
f(log2x)的定义域为________．
[思路] (1)(2)是根据函数解析式求其定义域，只要根据使函数表
对于图(b)，M中任何元素，在N中都有唯一的元素和它 对应，符合定义；
对于图(c)，与M对应的一部分元素不属于N，不符合定 义；