平面向量的概念及表示教学设计
高中数学教案《平面向量及其应用》
教学设计：《平面向量及其应用》一、教学目标1.知识与技能：使学生理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法（有向线段、坐标表示）、向量的模、方向角等；掌握向量的加法、减法、数乘及数量积的运算法则和几何意义；能运用向量知识解决简单的几何与物理问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；引导学生运用数形结合的思想，理解向量运算的几何背景，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神；通过团队合作解决问题，增强学生的沟通能力和团队协作能力。
二、教学重点和难点●重点：平面向量的基本概念、向量的基本运算（加法、减法、数乘、数量积）及其几何意义。
●难点：理解向量数量积的概念、性质及其在解决实际问题中的应用；向量运算的坐标表示法及其应用。
三、教学过程1.导入新课o情境创设：通过展示风力发电机叶片的运动、航海中的航向与速度变化等实例，引出向量的概念，说明向量在现实生活中的应用价值。
o问题引入：提问学生如何描述这些运动中的方向和大小，引导学生思考向量的必要性。
o概念引入：正式给出平面向量的定义，强调其作为“有方向的量”的特性。
2.新知讲授o基本概念讲解：详细解释向量的表示方法（有向线段、坐标表示）、模长、方向角等概念，并通过图示加深理解。
o向量运算教学：●加法与减法：通过“平行四边形法则”和“三角形法则”演示向量的加法与减法，强调其几何意义。
●数乘：讲解数乘的定义，通过伸缩变换的直观演示，理解数乘对向量方向和大小的影响。
●数量积：引入数量积的概念，通过投影长度的计算，讲解其计算公式和性质，强调其在度量角度、判断方向等方面的应用。
3.例题解析o选取典型例题，覆盖向量运算的所有类型，逐步引导学生分析、解题，重点讲解解题思路和方法。
o强调解题过程中向量运算的几何背景，促进学生数形结合思维的发展。
4.学生活动o小组讨论：分组讨论向量在日常生活或专业领域的应用实例，每组选代表分享，增强课堂互动性。
平面向量的概念教案
平面向量的概念教案一、教学目标：1. 知识与技能：学生能够理解平面向量的概念，掌握平面向量的基本运算法则，并能够熟练进行向量的相加、相减、数量乘法等运算。
2. 过程与方法：通过例题演练，培养学生独立思考、分析问题、解决问题的能力；通过实际应用，加深学生对平面向量概念的理解和运用。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，形成积极的学习态度，提高解决实际问题的能力。
二、教学重点和难点：重点：平面向量的概念及基本运算法则。
难点：向量的数量乘法及在平面向量应用中的解决问题。
三、教学步骤：1. 导入新课：通过提问和引导学生联想等方式，引出向量的概念。
例如：什么是向量？向量有哪些性质？向量在生活中的应用等。
2. 确定学习目标：向学生解释接下来我们要学习平面向量，所以我们需要了解什么是平面向量及其基本性质，以及平面向量的加法、减法和数量乘法等基本运算，掌握这些内容。
3. 学习新知识：向学生详细讲解平面向量的定义、表示方法、平行向量、零向量、共线向量等基本概念和性质。
并讲解平面向量的基本运算法则，如向量的加法、减法、数量乘法等。
4. 练习与巩固：布置练习题，让学生积极参与，巩固学习内容。
5. 拓展应用：引导学生通过实际问题，运用平面向量的概念进行解决问题，提高学生的综合运用能力。
6. 总结归纳：通过本节课学习，对平面向量的概念和基本运算法则进行归纳总结，巩固所学知识。
四、教学手段：1. 教师讲解2. 学生讨论3. 课堂练习4. 实例演练五、教学资源：1. 教科书2. 多媒体课件3. 平面向量的实际应用例题材料六、教学反馈：1. 教师在学习过程中及时纠正学生的错误认识和解题方法。
2. 布置练习题，检验学生学习效果，及时发现学生的问题。
七、教学设计理念：通过让学生参与讨论和思考，培养其分析问题、解决问题的思维能力；通过实例演练，加深学生对平面向量概念的理解和运用；通过应用实际问题，引导学生运用所学知识解决实际问题的能力。
平面向量及其应用单元教学设计
平面向量及其应用单元教学设计一、教学目标1.了解平面向量的概念和基本性质；2.掌握平面向量的运算法则和性质；3.能够应用平面向量解决实际问题，如平面几何、力的合成等。
二、教学重点1.平面向量的概念和基本性质；2.平面向量的运算法则和性质。
三、教学难点1.平面向量的运算法则和性质的灵活应用；2.高级问题的解题思路。
四、教学过程第一课时：平面向量的概念和基本性质1.引入（5分钟）通过引入平面几何中的问题，如平面上两点的连线，引导学生了解平面向量的概念，激发学生的兴趣。
2.概念解释（10分钟）给出平面向量的定义，并通过一些实际例子进行解释，让学生理解平面向量的基本概念和含义。
强调向量有大小和方向之分。
3.向量的表示（10分钟）介绍向量的表示方法，如用有序数对表示、用字母表示等，并通过图示向学生做具体演示，帮助学生理解。
4.向量的相等和相反（10分钟）让学生通过比较向量的对应坐标来判断向量的相等和相反的概念，引导学生思考向量的性质。
5.向量的性质（10分钟）讲解向量的性质，如平行四边形法则、三角形法则、平行性、垂直性等，并给予一些实例进行解释和演示。
第二课时：平面向量的运算法则和性质1.平行向量与共线向量（10分钟）通过对两个向量的坐标做比较，让学生通过观察判断向量的平行和共线性质，并解释其原理。
2.向量的加法（15分钟）介绍向量的加法法则，通过向量的对应坐标相加得到结果向量的坐标，然后通过图示向学生做具体演示，并做练习题帮助巩固。
3.向量的减法（15分钟）介绍向量的减法法则，通过向量的对应坐标相减得到结果向量的坐标，然后通过图示向学生做具体演示，并做练习题帮助巩固。
4.向量的数量积（10分钟）介绍向量的数量积运算法则，通过两个向量对应坐标相乘并相加得到结果标量，让学生理解向量的数量积运算。
第三课时：平面向量的应用1.平面几何问题（10分钟）通过一些实际问题，如平面上的三角形面积、距离问题等，让学生应用平面向量解决几何问题。
教案平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示教学目标：1. 理解平面向量的概念。
2. 学习平面向量的坐标表示方法。
3. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。
教学重点：1. 平面向量的概念。
2. 坐标表示方法。
3. 线性运算与坐标表示。
教学难点：1. 理解平面向量的坐标表示方法。
2. 掌握平面向量的线性运算与坐标表示。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向量概念的复习。
2. 向量表示方法的学习。
二、平面向量的概念（10分钟）1. 引导学生了解平面向量的定义。
2. 通过实例让学生理解平面向量的概念。
三、坐标表示方法（15分钟）1. 讲解平面向量的坐标表示方法。
2. 让学生通过实例掌握坐标表示方法。
四、线性运算与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的线性运算。
2. 让学生通过实例掌握线性运算与坐标表示。
五、巩固练习（10分钟）1. 让学生完成一些有关平面向量的练习题。
2. 引导学生运用所学的知识解决实际问题。
教学反思：本节课通过讲解平面向量的概念、坐标表示方法以及线性运算与坐标表示，让学生掌握平面向量的基本知识。
在教学过程中，要注意引导学生通过实例理解概念和方法，提高学生的实际操作能力。
要加强练习，使学生巩固所学知识。
六、平面向量的几何解释（15分钟）1. 向量起点与终点的表示。
2. 通过图形让学生理解向量的几何解释。
七、向量加法与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量的加法。
2. 让学生通过实例掌握向量加法与坐标表示。
八、向量减法与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的减法。
2. 让学生通过实例掌握向量减法与坐标表示。
九、数乘向量与坐标表示（15分钟）1. 讲解平面向量的数乘。
2. 让学生通过实例掌握数乘向量与坐标表示。
十、向量共线定理（20分钟）1. 讲解向量共线定理。
2. 让学生通过实例理解向量共线定理的应用。
十一、向量垂直与坐标表示（20分钟）1. 讲解平面向量垂直的条件。
2. 让学生通过实例掌握向量垂直与坐标表示。
教案平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示教案内容：一、教学目标1. 让学生理解平面向量的概念，掌握平面向量的坐标表示方法。
2. 能够运用坐标表示法解决一些简单的向量问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重点与难点1. 重点：平面向量的概念，坐标表示方法的推导及应用。
2. 难点：平面向量坐标的运算规律，空间想象能力的培养。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的概念及坐标表示方法。
2. 利用图形演示，帮助学生直观理解向量的坐标表示。
3. 运用例题解析，引导学生掌握向量坐标的运算规律。
4. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件：平面向量坐标表示的相关图片和动画。
2. 教学素材：多媒体设备，黑板，粉笔。
3. 练习题：针对本节课内容的练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾标量与向量的概念，引出平面向量的定义。
2. 讲解：向量的概念，向量的坐标表示方法，向量坐标的运算规律。
3. 演示：利用图形演示向量的坐标表示，让学生直观理解。
4. 例题：解析平面向量坐标的运算规律，引导学生运用坐标表示法解决问题。
5. 练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 总结：本节课的主要内容，强调平面向量坐标表示的重要性。
7. 作业：布置相关作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解平面向量的概念，并通过图形演示，让学生直观地理解向量的坐标表示。
在讲解向量坐标的运算规律时，要结合实例进行分析，让学生更好地掌握。
要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。
六、教学拓展1. 引导学生思考：坐标表示法在实际问题中的应用，如物理学中的力的分解、几何中的位移等。
2. 讲解向量坐标的转换：如何将空间直角坐标系中的向量转换为平面坐标系中的向量。
七、课堂互动1. 提问：请同学们举例说明平面向量的坐标表示在实际问题中的应用。
2. 小组讨论：如何利用向量坐标表示法解决几何问题。
平面向量的概念教学设计
平面向量的概念情境一在历史上伽利略是最早对动力学作了定量研究的人。
1589—1591年，他对物体的自由下落运动作了细致的观察，从实验和理论上否定了统治两千年的亚里士多德的落体运动观点（重物比轻物下落快），指出如忽略空气阻力，重量不同的物体在下落时同时落地，物体下落的速度和它的重量无关。
伽利略对运动基本概念，包括速度、加速度等都作了详尽研究并给出了严格的数学表达式。
尤其是加速度概念的提出，在力学史上是一个里程碑。
有了加速度的概念，力学中的动力学部分才能建立在科学基础之上，而在伽利略之前，只有静力学部分有定量的描述。
伽利略还对物体在斜面上的运动，抛射体的运动等做过实验和观察。
在这些研究基础上他提出了加速度的概念及其数学表达式。
问题1：教材的章引言材料，和上面的阅读材料中，有哪些物理量概念？这些概念有没有共同的特征？物理中怎么统一称呼这样的量？数学上怎么处理？答：力，位移，速度，加速度。
这些都是即有大小又有方向的量，物理中都称为矢量。
数学中，把这样的量称为向量向量的概念：即有大小，又有方向的量。
情境二数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应。
所以数轴上不同的点可以表示不同的数量。
问题2：如何表示向量呢？答：向量由其大小和方向完全确定。
有向线段是向量的直观表示，用有向线段表示向量时，向量的方向与有向线段的指向有关，与起点的位置无关。
向量的大小就是有向线段的长度（模）。
有向线段即是带有方向的线段，所以还是线段，具有端点。
起始位置叫起点，箭头位置叫终点。
线段可以用两个大写字母或一个小写字母表示。
有向线段带方向，由起点指向终点，所以可以用两个大写字母（先起点再终点）加上方水平箭头表示；也可以小写字母加箭头表示，印刷体用黑体小写字母表示。
追问：向量的大小怎么表示？答：向量AB （或a ）的大小，一般记作AB 或a问题3：知道了向量的概念与表示，是否能发现一些特殊的向量？答：我们知道在实数中0和1很特殊，类比到向量，我们规定：长度为0的向量叫做零向量，记作0长度为1的向量叫做单位向量注意：零向量的长度为0，几何表示退化成了可以出发到任意方向的点，所以零向量的方向是不确定的。
《平面向量的概念》教学设计
《平面向量的概念》一、教学内容分析：1、课程要求要求了解向量的实际背景，通过位移等物理背景引入向量的概念；理解向量的概念，掌握向量的表示方法，掌握生活中的向量。
通过对平面向量的有关概念、表示的学习，培养数学抽象、直观想象，逻辑推理的核心素养。
2、教材的地位和作用向量是高中阶段学习的一个新的矢量，向量概念是《平面向量》的最基本内容，它的学习直接影响到我们对向量的进一步研究和学习，如向量间关系、向量的加法、减法以及数乘等运算，还有向量的坐标运算等,因此为后面的学习奠定了基础.3、教学重点：向量的相关概念，向量的几何表示和符号表示二、教学目标设计1、知识与技能目标1)识记平面向量的定义，会用有向线段和字母表示向量，能辨别数量与向量；2)识记向量模的定义，会用字母和线段表示向量的模.2、过程与方法目标学生通过对向量的学习，能体会出向量来自于客观现实，提高观察、分析、抽象和概括等方面的能力，感悟数形结合的思想.3、情感态度与价值观目标通过构建和谐的课堂教学氛围，激发学生的学习兴趣，使学生勇于提出问题，同时培养学生数学抽象，直观想象，逻辑推理的核素素养.教学难点：向量的几何表示的理解三、学情分析（1）能力分析：对于我校的学生，基础知识较薄弱，虽然他们的智力发展已到了形成运演阶段，但并不具备较强的抽象思维能力、概括能力及数形结合的思想.（2）认知分析：之前，学生有了物理中的矢量概念，这为学习向量作了最好的铺垫。
（3）情感分析：部分学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究.四、教学策略分析教法：启发教学法，引探教学法，问题驱动法，并借助多媒体来辅助教学学法：在学法上，采用的是发现，归纳，练习。
从问题出发，引导学生分析问题，让学生经历观察分析、概括、归纳、类比等发现和探索过程.五、教学过程课上教学过程：1、创设问题情境，引出向量的实际背景问题1：左图是我某天晨跑的路线图，一共4公里，从水晶城到达维也纳，用时25分钟；请问在这个事件中出现了哪些物理量？问题2：你还能举出哪些与位移，时间，路程类似的物理量？问题3：物理上有标量和矢量之分，请问速度，加速度，路程，位移，力，时间，功等这些“量”哪些是矢量，哪些是标量，他们有什么不同？【设计意图】数学的学习应该是与学生的生活融合起来，由生活的实例引入，在数学教育中渗透德育，在对比于物理学中的速度、位移等学生已有的知识给出本章研究的问题平面向量形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。
平面向量教案3篇
平面向量教案3篇平面向量教案1一、教学目标：1. 理解平面向量的定义及相关术语；2. 掌握平面向量的基础运算和性质，如向量的加、减、数乘、模长等；3. 能够利用向量解决几何、三角学以及力学等问题。
二、教学重难点：教学重点：向量的基础运算和性质；教学难点：向量问题的解答。
三、教学方法：讲述法、举例法、实验法。
四、教学过程：1. 前置知识概括为了有利于学生对本次课程的学习，首先需要对平面向量有一定的了解。
向量是运用在三角学以及计算机科学中的一个概念，它表示一个方向和一个大小。
在二维空间中，向量通常用一个有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
然而，在本课程中，我们将会介绍另一种同样重要的表现向量的方式：平面向量。
2. 讲解平面向量的定义及相关术语平面向量即为有向线段，表示为 $\vec{a}$，具有大小和方向。
平面向量有以下几个重要的术语：（1）起点：向量 $\vec{a}$ 的起点是线段的始点，表示为 $A$。
（2）终点：向量 $\vec{a}$ 的终点是线段的末点，表示为 $B$。
（3）长度：向量 $\vec{a}$ 的长度等于线段 $AB$ 的长度，可以用$|\vec{a}|$表示。
（4）方向角：向量 $\vec{a}$ 的方向角是向量与$x$轴正方向的夹角，通常用 $\theta$表示。
（5）方向余弦：向量 $\vec{a}$ 的方向余弦分别是向量在$x$和$y$轴上的投影与向量长度的比值，分别用 $\cos\alpha$ 和$\cos\beta$表示。
（6）坐标表示：用有序数对 $(a_x, a_y)$ 表示向量 $\vec{a}$，其中 $a_x$ 和 $a_y$ 分别表示向量在$x$轴和$y$轴上的分量。
3. 讲解向量的基本运算及性质（1）向量的加法：设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为两个向量，它们的和记为 $\vec{a}+\vec{b}$，可通过作一平行四边形得到。
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、教学目标1. 了解平面向量的概念和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和乘法运算法则；3. 能够应用平面向量解决简单的几何和物理问题。
二、教学内容1. 平面向量的定义和表示；2. 平面向量的加法和减法；3. 平面向量的数量积和向量积；4. 平面向量在几何和物理问题中的应用。
三、教学过程步骤一：引入1. 通过展示一些与平面向量相关的真实生活例子，引起学生对平面向量的兴趣和好奇心。
2. 引导学生思考并讨论平面向量的定义和表示方法。
步骤二：知识讲解1. 介绍平面向量的定义：一个平面向量是由大小和方向确定的有向线段。
2. 解释平面向量的表示方法：以坐标表示和以向量符号表示。
3. 讲解平面向量的加法和减法运算法则。
步骤三：运算实践1. 给出一些平面向量的具体数值，让学生进行加法和减法运算练。
2. 提供一些几何图形，让学生将其分解为平面向量并进行计算。
步骤四：引入向量积和数量积1. 介绍向量积和数量积的概念和定义。
2. 解释向量积和数量积在几何和物理问题中的应用。
步骤五：应用实例1. 给出一些具体的几何和物理问题，让学生运用平面向量的知识进行求解。
2. 引导学生讨论解题思路，进行实际操作。
四、教学评价1. 在课堂上进行小组讨论和问题解答，检验学生是否理解和掌握了平面向量的相关知识。
2. 布置一些练题和作业，评估学生对平面向量运算的应用能力。
五、教学资源1. 平面向量的教学课件；2. 练题和作业。
六、教学反思以学生为中心，注重综合实践和问题解决能力的培养，通过生动的例子和实际运用让学生更好地理解和应用平面向量的知识。
同时，及时反馈学生的学习情况，帮助他们及时纠正错误和理清思路。
平面向量单元教学设计名师公开课获奖教案百校联赛一等奖教案
平面向量单元教学设计一、教学目标：1. 掌握平面向量的定义与性质。
2. 学会使用向量的加减法进行计算。
3. 理解向量的数量积和向量积的概念。
4. 掌握解决平面向量相关问题的方法和技巧。
5. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容：1. 平面向量的基本概念和性质：（1）向量的定义与表示。
（2）零向量、单位向量、相等向量、相反向量的概念。
（3）向量的平行与垂直关系。
2. 平面向量的运算：（1）向量的加法与减法。
（2）向量的数量积及其性质。
（3）向量的向量积及其性质。
3. 平面向量的应用：（1）向量解决几何问题的方法和技巧。
（2）平面向量在力学中的应用。
三、教学过程：1. 导入：通过提出一个问题或引入一个实际问题，激发学生对平面向量感兴趣。
2. 学习向量的定义和表示。
（1）讲解向量的定义，并通过实例演示向量的表示方法。
（2）通过绘图法和分解法，教授向量的表示与计算。
（3）巩固学生对向量定义和表示方法的理解，提供一些相关练习。
3. 学习向量的运算。
（1）讲解向量的加法与减法的概念和计算方法。
（2）讲解向量的数量积的概念和计算方法，并介绍数量积的几何意义。
（3）讲解向量的向量积的概念和计算方法，并介绍向量积的几何意义。
（4）通过例题演示向量运算的应用。
4. 学习平面向量的应用：（1）介绍平面向量在几何问题中的应用，如解决平面几何中的平行、垂直等问题。
（2）介绍平面向量在力学中的应用，并进行相关实例分析。
5. 小结与拓展：对本节课内容进行总结，并提供一些拓展的问题给学生，激发学生的思考和兴趣。
四、教学评价和反馈方式：1. 课堂练习：通过课堂练习来检查学生对平面向量的理解和掌握情况。
2. 个人作业：布置一些个人作业来让学生巩固与运用所学的知识。
3. 知识问答：设置一些知识问答的活动，让学生在竞争中巩固所学知识。
4. 课堂讨论：安排一些小组或全班讨论活动，培养学生的团队合作精神和表达能力。
五、教学资源：1. 教学课件：提供给学生课堂学习的参考资料。
中职数学平面向量教案
中职数学平面向量教案第一章：向量的概念1.1 向量的定义介绍向量的概念，向量的表示方法（字母表示和箭头表示）通过实际例子解释向量的方向和大小1.2 向量的几何表示介绍向量的几何表示方法，箭头表示向量的方向和长度绘制向量图，让学生理解向量的直观表示1.3 向量的坐标表示介绍向量的坐标表示方法，二维和三维空间中的向量坐标表示解释坐标轴上的向量表示，以及坐标系中的向量表示第二章：向量的运算2.1 向量的加法介绍向量的加法运算，同一直线上的向量加法，不同直线上的向量加法利用图形和坐标表示向量的加法运算2.2 向量的减法介绍向量的减法运算，通过加上相反向量实现向量的减法利用图形和坐标表示向量的减法运算2.3 向量的数乘介绍向量的数乘运算，即向量与实数的乘积解释数乘运算的性质和运算规律，利用图形和坐标表示向量的数乘运算第三章：向量的数量积3.1 向量的数量积定义介绍向量的数量积概念，即向量的点积解释数量积的性质和运算规律3.2 数量积的计算公式介绍数量积的计算公式，即两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积利用图形和坐标表示数量积的计算3.3 数量积的应用介绍数量积的应用，如判断两个向量的垂直关系，计算向量的模长和夹角利用实际例子展示数量积的应用第四章：向量的叉积4.1 向量的叉积定义介绍向量的叉积概念，即向量的叉积结果为一个向量，其方向垂直于原来的两个向量解释叉积的性质和运算规律4.2 叉积的计算公式介绍叉积的计算公式，即两个向量的叉积结果的模长等于它们的模长的乘积与夹角的正弦值的乘积，方向垂直于原来的两个向量利用图形和坐标表示叉积的计算4.3 叉积的应用介绍叉积的应用，如计算平行四边形的面积，求解两个向量的夹角利用实际例子展示叉积的应用第五章：向量的线性相关性5.1 向量的线性相关性定义介绍向量的线性相关性概念，即一组向量中存在至少一个向量可以由其他向量通过线性组合表示解释线性相关性的性质和判定条件5.2 向量的线性组合介绍向量的线性组合，即一组向量的加权和利用图形和坐标表示向量的线性组合5.3 向量的线性无关性介绍向量的线性无关性，即一组向量中没有任何一个向量可以由其他向量通过线性组合表示利用判定条件判断一组向量是否线性无关第六章：向量的应用6.1 物理中的应用介绍向量在物理学中的应用，如速度、加速度、力等物理量的向量表示通过实际例子解释向量在物理学中的作用6.2 几何中的应用介绍向量在几何中的应用，如计算线段的长度、夹角的大小、平行四边形的面积等通过实际例子解释向量在几何中的作用第七章：向量的分解7.1 向量的分解概念介绍向量的分解概念，即将一个向量分解为两个或多个向量的和解释向量分解的意义和作用7.2 向量的正交分解介绍向量的正交分解，即将一个向量分解为两个垂直向量的和利用正交基底进行向量分解，解释正交分解的性质和运算规律7.3 向量的坐标分解介绍向量的坐标分解，即将一个向量分解为坐标轴上的分量之和利用坐标表示向量的分解，解释坐标分解的性质和运算规律第八章：向量的方程8.1 向量的方程概念介绍向量的方程概念，即用向量的运算表达式描述向量之间的关系解释向量方程的意义和作用8.2 向量的线性方程组介绍向量的线性方程组，即由多个线性方程组成的方程组解向量的线性方程组，解释解的性质和判定条件8.3 向量的非线性方程介绍向量的非线性方程，即方程中包含向量的非线性运算通过实际例子解释向量非线性方程的解法和应用第九章：向量的空间9.1 向量的空间概念介绍向量的空间概念，即由向量组成的几何空间解释向量空间的意义和性质9.2 向量空间的基本性质介绍向量空间的基本性质，如向量加法、数乘运算的封闭性，线性组合的性质等解释向量空间的公理体系和判定条件9.3 向量空间的子空间介绍向量空间的子空间，即由原向量空间中的一部分向量组成的子集解释子空间的性质和运算规律，以及子空间之间的关系第十章：向量的进一步应用10.1 向量在工程中的应用介绍向量在工程技术中的应用，如力学、电路、控制等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在工程中的应用和作用10.2 向量在计算机科学中的应用介绍向量在计算机科学中的应用，如图形学、计算机图形处理、机器学习等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在计算机科学中的应用和作用10.3 向量在其他领域的应用介绍向量在其他领域中的应用，如经济学、生物学、环境科学等领域的向量表示和方法通过实际例子解释向量在其他领域的应用和作用重点和难点解析1. 向量的概念与几何表示：重点关注向量的定义和几何表示方法，理解向量的方向和大小。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
教学设计1：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示教学目标知识与技能：了解平面的法向量的概念，并会求已知平面的法向量；了解平面的法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；掌握正射影的概念，并能做出简单图形在某一平面内的正射影,并说出其图形的形状；掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题。
过程与方法：经历数量积的应用过程，以及由数量积的运算法则得出求平面法向量的方法，体会知识的由来及应用过程，并能熟练的求出平面的法向量。
情感、态度与价值观：向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通过本节学习，体会他们之间的联系，并逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣。
教学重点、难点重点：平面的法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理。
难点：平面的法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及定理的应用。
教学方法：根据诱思探究学科教学论中提出的学习方式来设计教学过程，遵循“探索——研究——运用”规律，侧重学生的自主学习，让学生动脑思考，整个教学过程贯穿“体验为主线，思维为主攻”于始终，以达到本节的学习目的。
教学过程一.自主学习，归纳总结1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．3．两平面平行或垂直的判定方法设n1，n2分别是平面α、β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.4．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．二.典例精析，方法形成例1已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中abc≠0，如图，求平面ABC的一个法向量．【解】由已知可得＝－＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a，b,0)，＝－＝(0,0，c)－(a,0,0)＝(－a,0，c)．设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝(x，y，z)·(－a，b,0)＝－ax＋by＝0，n·＝(x，y，z)·(－a,0，c)＝－ax＋cz＝0.由解得y＝x，z＝x.不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab.因此，可取n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量．反思与感悟求平面的法向量直接使用待定系数法即可．其中平面内的两个不共线向量可以任找，平面的法向量不唯一．跟踪训练1已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．【解】设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)．由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．∵n⊥且n⊥，∴令x＝1，得y＝z＝1.∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．例2在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.证明建系如图，设A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F(0，a，)，故＝(0,0，－a)，＝.设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即，取x1＝1，∴n1＝(1，－1,0)为平面ABC的一个法向量．同理可得，平面BEF的一个法向量为n2＝(1,1，－)，∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－)＝0.∴平面BEF⊥平面ABC.反思与感悟例题是利用向量法来完成证明的，并且给出了求平面法向量的方法．向量法证明线面关系的优越性体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”．跟踪训练2已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)∵＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．由n2⊥，n2⊥，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.例3在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO ⊥平面A1DB.证明方法一取F、G分别为DD1和AD的中点．连接EF、FG、GO、AC.由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1内的射影．又A1D⊥FG，∴A1D⊥EO(三垂线定理)．又AC⊥BD，CO为EO在平面ABCD内的射影，∴EO⊥BD(三垂线定理)．又A1D∩BD＝D，∴EO⊥平面A1BD.方法二连接AC、A1O、A1E，A1C1，设正方体棱长为2，由方法一已证BD⊥OE，又OE2＝()2＋12＝3.A1O2＝22＋()2＝6，A1E2＝(2)2＋12＝9.所以A1E2＝OE2＋A1O2.∴A1O⊥OE，又A1O∩BD＝O，∴OE⊥平面A1DB.反思与感悟利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法，其基本环节有三个．跟踪训练3如图，已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，求证：AB⊥PC.证明∵PO⊥平面ABC，O为垂足．∴PC在平面ABC内的射影为OC.又O为△ABC的垂心，∴AB⊥OC.据三垂线定理得AB⊥PC.三. 课堂小结，明确规律1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜率的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．四.当堂训练，及时反馈1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(2，3，8)，则() A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确【解析】u·v＝(1，2，－1)·(2，3，8)＝1×2＋2×3－1×8＝0.∴u⊥v.∴α⊥β.【答案】B2．设平面α的法向量为(1，－2，2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于() A．2 B．4C．－2 D．－4【解析】∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m (2，λ，4)，∴λ＝－4.【答案】D3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，它的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1)B ．(1，3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1，3，－32) 【解析】要判断点P 是否在平面内，只需判断向量PA 与平面的法向量n 是否垂直，即PA ·n 是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A ，PA ＝(1，0，1)，则PA ·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA ＝(1，－4，12)，则PA ·n ＝(1，－4，12)·(3，1，2)＝0. 【答案】B4.如图，正方体AC 1中，平面A 1ACC 1的一个法向量可以是( )A ．BCB ．11A BC ．1BBD ．BD【解析】∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD 为平面A 1ACC 1的一个法向量．【答案】D5．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM ·n ＝0的点M 的轨迹是________．【答案】过点A 且与向量n 垂直的平面6.如图，已知PO ⊥平面ABC ，且O 为△ABC 的垂心，则AB 与PC 的关系是________．【解析】∵O 为△ABC 的垂心，∴CO ⊥AB .又∵OC 为PC 在平面ABC 内的射影，∴由三垂线定理知AB ⊥PC .【答案】垂直7.如图所示：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB .证明：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为a ，则A (a ，0，0)，A 1(a ，0，a )，D 1(0，0，a )，B 1(a ，a ，a )，B (a ，a ，0)，C 1(0，a ，a )．∴N (a 2，0，a )，M (a ，a 2，a )，E (a 2，a ，a )，F (0，a 2，a )， ∴AN ＝(－a 2，0，a )，NM ＝(a 2，a 2，0)， DB ＝(a ，a ，0)，DF ＝(0，a 2，a )，设平面AMN 与平面EFDB 的法向量分别为m ＝(x 1，y 1，z 1)和n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AN ＝0，m ·NM ＝0，∴⎩⎨⎧－a 2x 1＋0×y 1＋az 1＝0，a 2x 1＋a 2y 1＋0×z 1＝0， ∴y 1＝－x 1＝－2z 1，取z 1＝1，∴平面AMN 的一个法向量为m ＝(2，－2，1)，同理由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB ＝0，n ·DF ＝0，可得x 2＝－y 2，y 2＝－2z 2， 令z 2＝1，∴平面EFDB 的一个法向量为n ＝(2，－2，1)， ∵m ＝n ，∴m ∥n ，∴平面AMN ∥平面EFDB .8.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点． 证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2，0，0)，A 1(2，0，1)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，E (0，0，12)． 则1AA ＝(0，0，1)，AC ＝(－2，2，0)，1AC ＝(－2，2，1)， AE ＝(－2，0，12)．设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA ＝0，n 1·AC ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0. 令x 1＝1，得y 1＝1，∴n 1＝(1，1，0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1＝0，n 2·AE ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1， ∴n 2＝(1，－1，4)．∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .。
平面向量》单元教学设计
平面向量》单元教学设计向量是数学中重要且基本的概念之一，具有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
引入向量概念后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理可以转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而将图形的基本性质转化为向量的运算体系。
在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能够使用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算水平和解决实际问题的水平。
一、单元教学目标本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。
通过本章研究，应引导学生：1.了解向量的实际背景，能够使用平面向量和向量相等的含义，能够理解向量的几何表示。
2.熟练掌握向量加减法的运算，并能够求出其几何意义。
3.熟练掌握向量数乘的运算，并能够解释其几何意义和两个向量共线的含义。
4.能够说出向量的线性运算性质及其几何意义。
5.理解平面向量的基本定理及其意义。
6.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
7.熟练使用坐标表示平面向量的加、减和数乘运算。
8.能够解释用坐标表示的平面向量共线的条件。
9.了解平面向量数量积的含义及其物理意义，通过物理中“功”等实例进行说明。
10.体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
11.熟记数量积的坐标表达式，并能够实行平面向量数量积的运算。
12.能够使用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
13.通过向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算水平和解决实际问题的水平。
二、研究者特征分析向量是近代数学中重要的和基本的概念之一，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。
对于学生来说，向量是比较新的内容，但他们对此充满了探求的欲望，理应能够在研究中体会到成功的乐趣。
在研究本单元内容之前，学生已经熟知了实数的运算体系，并具备了物理知识，这为研究向量准备好了各方面条件。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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6.1 平面向量的概念 教案
高中数学“平面向量的概念”的教案一、教学目标1. 知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，掌握向量的几何表示，理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义。
2. 过程与方法：通过对向量概念的引入和分析，培养学生观察、抽象、概括的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。
3. 情感态度价值观：经历向量概念的形成过程，体会向量在实际生活中的广泛应用，感受数学的价值。
二、教学重难点1. 教学重点：平面向量的概念、几何表示、相等向量与共线向量。
2. 教学难点：向量的概念，向量与数量的区别。
三、教学方法问题驱动法、启发引导法、讲练结合法。
四、教学过程1. 情景引入：通过播放“旅行者在沙漠中迷失方向”的视频，提出问题“在这个情境下，我们可以用什么来描述旅行者的位移？”引发学生思考。
2. 探索新知：通过分析视频中的位移和方向，引出向量的概念，让学生理解向量的实际背景和意义。
讲解向量的几何表示，包括向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量.注意点：①向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移；②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素；③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．（2）向量的表示法①有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．②向量的表示方法：Ⅰ字母表示法：如,,,a b c等.Ⅱ几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段AB（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB表示向量，通常我们就说向量AB.注意点：用有向线段来表示向量注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。
（3）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，叫做向量的模，记作||AB．（4）零向量：长度为0的向量，记作0；其方向是任意的．（5）单位向量：长度等于1个单位的向量．（6）平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．（7）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （8）相反向量：长度相等且方向相反的向量．3. 达标检测：通过练习题检测学生对向量概念的理解和掌握程度，巩固所学知识。
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的实际背景，了解向量在现实生活中的应用。
2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等向量、相反向量等。
3. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘等。
4. 培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
二、教学内容1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、工程学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。
2. 向量的定义：介绍向量的概念，强调向量是有大小和方向的量。
3. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括箭头表示法、坐标表示法等。
4. 相等向量、相反向量：介绍相等向量和相反向量的概念，强调它们的性质和运算规律。
5. 向量的线性运算：介绍向量的加法、减法和数乘运算，包括运算规则、运算性质等。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念和运算规律。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式展示向量的实际背景和运算过程。
3. 采用小组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4. 结合例题讲解，让学生通过实践操作理解和掌握向量的运算方法和技巧。
四、教学评估1. 通过课堂提问、作业批改等方式及时了解学生的学习情况，发现问题并及时解决。
2. 设计一些实际问题，让学生运用所学的向量知识解决，评估学生对知识的掌握程度。
3. 组织课堂讨论，评估学生的参与程度和团队协作能力。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括向量的实际背景图片、向量运算的动画演示等。
2. 教材：提供相关章节的学习材料，供学生预习和复习使用。
3. 练习题库：提供丰富的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固所学知识。
4. 参考资料：提供一些相关的研究论文、书籍等，供有兴趣深入学习的学生参考。
六、教学安排1. 课时安排：本章节共需4课时，每课时45分钟。
2. 课堂活动安排：第一课时：向量的实际背景介绍，向量的定义和表示方法学习。
【公开课教案】平面向量的概念及表示(一课时)
公开课教案课题：平面向量的概念及表示（一课时）一、教学三维目标知识与技能向量与数量的区别，向量的几何表示，向量的长度，零向量，单位向量，平行向量，共线向量，相等向量等基本概念。
过程与方法本节从物理学中的位移，力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念。
情态与价值本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。
教学重点：向量概念，向量的几何表示，以及平行向量概念．教学难点：理解零向量，单位向量，相等向量，平行向量的含义，让学生感受向量，平行或共线向量等概念形成过程.二、教学过程1.问题情境：情景：在同一时刻,老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜,猫在B处向东南方向10m/s的速度追,猫能否追到老鼠呢？2.探究新知：（1）向量的概念问题1 你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？追问：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例．教师：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向．数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量向量——既有大小又有方向的量数量——只有大小没有方向的量思考：判断下列说法是否正确:① 由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量.② 坐标平面上的x 轴和y 轴是向量.（2）向量的表示问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它．从向量的定义看，向量是既有大小又有方向的量，那么该怎样把向量表示出来呢？教师：在物理中，我们用什么方法表示一个竖直向下的4N 的力？ 类比几何中有向线段及有向线段长度的表示方法，得到向量及向量 大小的表示方法 ① 几何表示法：常用一条有向线段表示向量(如图所示). ② 符号表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段，记作AB u u u r .(注意起终点顺序).③ 字母表示法：可表示AB u u u r 为a r .(一定要学生规范书写:印刷用黑体a ,书写用a r ) ④ 向量AB u u u r 的大小——向量AB u u u r 长度（或称为向量的模）. 记作：AB u u u r .思考：① AB u u u r 与BA u u u r 相同吗？AB u u u r 与BA u u u r 相同吗？② 若a b >r r ，则一定有a b >r r 吗？（3） 两个特殊向量问题3 在实数集中，0和1是两个特殊的元素，0是正负分界点，有0就可以定义相反数，1是单位，作用很大。
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“平面向量的概念及表示”的教学设计
一、教学内容解析
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
以位移、力等物理量为背景，抽象出既有大小又有方向的量---向量，然后介绍了向量的几何表示，向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、相等向量与共线向量。
二、教学目标设置
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
三、学生学情分析
这个班的学生是高一的，刚刚学完必修一的第一章的内容。
四、教学策略分析
利用已学的集合知识，构建学习新概念的学习体系。
借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念
五、教学过程
（一）温故而知新，主要从集合的学习体系来认知学习一个新知识的研究体系，即：定义一表示一特殊元素一特殊关系一运算。
(二)问题情镜引入，从位移等物理量引入既有大小又有方向的量并加以抽象。
问题1：在平面上，如何用点A的位置来确定点B的位置关系？
问题2：你能不能举出其他的既有大小又有方向的量？
问题3：你能不能举出只有大小没有方向的量？
(三)新课学习
1、向量的定义：既有大小又有方向的量为向量。
2、向量的表示（1）几何表示：用一个很经典的受力分析图，学生很容易想到用有向线段来表示向量。
长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
(2)符号表示：①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）；
②用小写字母表示：a、b、c ；（印刷用a，书写时应加上箭头）（此处向学生介绍数学家们有符号表示向量的过程，让学生对数学史有一定的了解，符号化的过程也不是一蹴而就的）
3、向量的有关概念：
（1）大小：
①向量的模：向量a的大小称为向量的长度（或称为模），记作|a |.
②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0.
思考：0与0的含义与书写区别.
③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
思考:平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
(2)方向
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作a //b。
规定：0与任一向量平行.
(3)大小与方向：
①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a = b。
如：平行四边形ABCD中，=.
AB DC
向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.
②相反向量：与a向量长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作- a。
规定：-0 =0。
0的相反向量仍是0 .
相等向量和相反向量都是平行向量。
解决难点：共线即平行，平行即共线。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由他的方向和模确定。
这就为向量的平移提供了基础，所以我们可以把一组平行的向量平移到同一条直线上。
这样，平行向量也叫共线向量。
平行即共线，共线即平行。
(四)理解和巩固
思考以下说法是否正确：
1、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合。
2、向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上。
3、平行于同一个向量的两个向量平行。
４、若四边形ABCD 是平行四边形，则有
＝。
对于4，要往下延伸一下：追问学生向量可以有什么应用。
例1：如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中： AB DC AB DC
（1）与→AO相等的向量为____________ （2）与→AO共线的向量为______________ （3）与→AO的模相等的向量为__________ (4）向量→AO与→CO是否相等？答___________
(五)小结
1．向量的概念；
2．向量的表示：代数表示、几何表示；
3．研究向量的两个方面：
大小：零向量、单位向量；
方向：共线向量、平行向量；
大小与方向：相等向量、相反向量
展望一下：向量是既有大小又有方向的量，它既有几何特征又有代数特征，所以它是沟通代数与几何的桥梁。
让我们拭目以待，它在解决几何问题时的高大威猛，它让几何问题的解决上了高速路。
(六)作业
希望大家在学物理时，留意矢量的应用，思考向量的运算。
事事留心皆学问，大家努力！。