《数学分析(一)》题库及答案

《数学分析（一）》题库及答案
一．单项选择
1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。

A ．]1,2[-
B ．]2,1[-
C ．[0,3]
D ．[1,3]
2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。

A ．充分但非必要条件
B ．必要但非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
3、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=1,11,21,1)(x x
x x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。

4、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0
,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。

A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在
5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。

A ．a
B ．2a
C ．2
1 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。

A ．单调减少，曲线上凸
B ．单调增加，曲线上凸
C ．单调减少，曲线下凸
D ．单调增加，曲线下凸
二、填空题
1、函数)43cos(π+=x
y 的周期为________。

2、=+∞→x x x
)21(lim ________。

3、设x y 2sin =，则='''y ________。

4、设,2x
e y =则y '''=_______。

5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→x
bx f x )(lim 0_______。

6、曲线x
y 1=的渐近线是_______、_______。

三、判断对错
1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。

2. 数列{}n x 收敛的充要条件是{}n x 的任一子列{}k n x 都收敛。

3. 设函数)(x f 在（a 、b ）上可导，则0)('>x f 是在)(x f （a 、b ） 内严格递增的充分必要条件。

4. 设[]a a x f ,)(-在上是奇函数，则[]a a x f ,)(--在上也是奇函数。

5. 数列{}n x 的任一子列{}
k n x 都收敛是{}n x 收敛的必要而非充分的条件。

6. 设0)(,0)(),()(22≠>=-=a g a x x g x g a x x f 且连续在其中，则 )(2)()(lim
a ag a
x a f x f a x =--→。

7. 设函数)(x f 是可导的奇函数，则导函数)('x f 是偶函数。

8. 函数0)(x x f y 在=可导是))(,()(00x f x x f y 在点=存在切线的充分而非必要的条件。

9. 设22()g(),()f x x a x g x x a =-=其中在连续，且0)(≠a g ，则)()()(lim
a g a a x a f x f a x +=--→。

10. 函数)(x f 的最大值也是)(x f 的极大值。

11.设在区间(a 、b)上）、是（则b a x f x f )(,0)(''>上的凸函数。

12.若函数0)(x x f 在可导，则曲线0)(x x f y 在=必有切线。

13. 函数a x x f =在)(可导的充要条件是对任意数列{},0,0,→≠n n n x x x 都有发n
n n x a f x a f )()(lim -+∞→存在且相等。

四、求极限
1. n n n 3
13131212
121lim 22++++++∞→ ; 2. 1
1lim 1--→m n x x x , (n, m 为正整数)； 3. )1
11(lim 0--→x x e x ; 4. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-∞→)11ln(lim 2x x x x ；
5. 11
(2)3lim (2)3n n
n n n ++→∞-+-+; 6. a
x a x a x --→22sin sin lim ; 7. 22011lim()sin x x x
→-; 8. 11)
2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n n
n n ; 9. n
n n 2sin 2lim +∞→; 10. 2tan )1(lim 1
x x x π-→; 11. x x x 1)21(lim 0
-→; 12．)1211
1(lim 222n n n n n ++++++∞→ ； 13．x x x
x 10)11(lim -+→； 14．)2
122321(lim 2n n n -+++∞→ ； 15．2)
2(sin ln lim 2x x x -→ππ 16.x x x 2cot 2sin lim 0
→； 17.))
1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n ； 18.5020
30)
15()58()63(lim --++∞→x x x x ； 19．x
x x x -+→1lim 20； 20．))
12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 21．3)
15()3)(2)(1(lim
----∞→x x x x x 五、计算导数或微分
1. 设')1ln(2y x x y 求++=；
2. 设);1('),1('),(',)1(3-+=+x f x f x f x x f 求
3. 设)(x f 为二阶可导函数，求)(ln x f y =的二阶导数；
4. 设',ln 1ln 1y x
x y 求-+=； 5. 设'),arcsin(sin 2y x y 求=；
6. 设',y x x x y 求++=；
7. 设);(',)(3x f x x f 求=
8. 设',)(sin 32y x y 求=；
9. 设)1('),1('),(',)1(3-+=-x f x f x f x x f 求；
10.设)(),1ln()()5(x f x x f 求+=；
11.设y =求dy 。

12.设',cos sin 1y x
x y 求=； 13.设)(x f 是可导函数，'),(cos )(sin 22y x f x f y 求+=；
14.设',)
1(2)3(54y x x x y 求++⋅-=。

15.设),1ln(2x x y ++=求y '；
16.设x e y x cos =，求y '；
17.设4323
12x x x x y +-+=，求dy ； 18．设x
x y tan =，求y '； 19．设32)(sin x y =，求y '；
20．设x x x y -=ln ，求dy ；
六、计算
1． 求函数432)(x x x f -=的极值
2． 求函数2
12)(x x x f +=的极值 3． 求函数155)(3
45++-=x x x x f 在区间[-1，2]上的最大值和最小值 4.求函数211232)(23+--=x x x x f 的极值
5.求曲线4
2
x y =在点)1,2(p 处的切线方程与法线方程。

6.求双曲线x
y 1=
在点2=x 处的切线方程与法线方程。

七、证明
1．设函数)(x f 在点a 处具有连续的二阶导数，证明： )('')(2)()(lim 2
0a f h a f h a f h a f h =--++→ 2. 证明方程033=+-c x x ，（这里C 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。

3．设函数f 在[a 、b]上可导，证明：存在）
、（b a ∈ξ使得 []222()()()'()f b f a b a f ξξ-=-，这里[]b a 、∉0
4． 函数)(x f y =二阶可导，且)()()(321x f x f x f ==其中321x x x <<，证明至少存在一点),(31x x ∈ξ使得
0)(''=ξf 。

5． 证明方程12=x x 在（0、1）内恰有一个根。

6.证明在]1,1[-上，恒有2arccos arcsin π=
+x x 。

八、1.求函数155)(345++-=x x x x f 在区间]2,1[-的最大值和最小值。

2．求函数2)(x e
x f -=在区间]1,1[-上的最大值与最小值。

《数学分析（一）》作业参考答案
一．选择
1、A ；
2、B ；
3、D ；
4、C ；
5、B ；
6、C ；
二、填空题
1、π6
2、2e
3、x 2cos 8-;
4、8x e 2
5、bA
6、o y x ==,0
三、判断对错
1． ×； 2． √； 3． ×； 4． √； 5． ×; 6． ×; 7． √； 8． √；
9． ×; 10． ×； 11． √； 12． √; 13． √。

四．求极限
1． 2； 2． ;m n 3． ;21 4． 2
1; 5． ;31 6． a 2sin ; 7． 31-; 8． 31; 9． 1; 10． π2; 11． 2-e ．； 12． 1； 13． 2e ; 14． 3; 15． 8
1-。

16.解 x x x 2cot 2sin lim 0→ =x x
x 2tan 2sin
lim 0→ =x
x
x 22lim 0→ =4
1 17.解：)
1(1321211+++⋅+⋅n n =)1
11()3121()211(+-++-+-n n =1-1
1+n ∴(lim ∞→n )
1(1321211+++⋅+⋅n n ） =)111(lim +-∞
→n n =1
18.解：5020
30)
15()88()63(lim --+∞→x x x x
= ∞→x lim 50
20
30)15()58()63(x
x x --+ =50
20
30)15(lim )58(lim )63(lim x
x x x x x --⋅+∞→∞→∞→ =5020
305
83⋅ 19．解：x
x x x 11lim 20-+→ =)
11(1
)1(lim 220++-+→x x x x =11lim 20++→x x
x
=0
20．解：))
12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n =)]121121()5131()311[(21lim
+--++-+-∞→n n n =
)1211(lim 21+-∞→n n =2
1 21．解：3
)15()3)(2)(1(lim ----∞→x x x x x =3
)15()31)(21)(11(lim x
x x x x ----∞→ =
1251513=
五．计算导数或积分
1． ;11'2x y +=
2． ;)2(3)1(',3)1(',)1(3)('222-=-=+-=x x f x x f x x f 3． []21''(ln )'(ln );y f x f x x ''=- 4． 2)ln 1(1'x x y -=; 5． x
x y 4sin 12sin '-=
6． x x x x x x x x x x y ++++++=81
24'; 7． ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=;0,3,0,3)('22x x x x x f ; 8． ;cos sin 6'222x x x y = 9． 3．2)1(3)('+=x x f , 2)2(3)1('+=+x x f , 23)1('x x f =-
10． 5)5()1(24)(x x f +=; 11．
d y =; 12． '4csc2cot 2y x x =-; 13． 22''(sin )'(cos )sin 2y f x f x x ⎡⎤=-⎣⎦;
14． ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++-++-=)1(51)2(2134)1(2)3('54x x x x x x y 15.))1((ln(2'++='x x y
=
)1(1122'++++x x x x =
)11(1122x x x x ++++ =211
x
+ 16.)cos ('='x e y x
=)(cos cos )('+'x e x e x x
=x e x e x x sin cos -
= )sin (cos x x e x - 17.)3
12(432x x x x d dy +-+= =)()31
()2(432x d x d x d dx +-+
=dx x x x )441(32+-+
18．解：)tan ('='x
x y =22tan sec x
x x x - 19．解：])[(sin 32'='x y
=)(sin )(sin 32
22'x x
=)(cos )(sin 32222'⋅x x x
=222)(sin cos 6x x x
20．解：)ln (x x x d dy -=
=dx x x d -)ln (
第 9 页 共 11 页 =dx x d x xdx -⋅+)(ln ln =dx dx x
x xdx -⋅+1ln =xdx ln
六．计算
1． 解：令,0)23(2)('2=-=x x x f 得驻点)1.1(;2
3,0-∈==x x x 当时， .0)('>x f )(x f ∴严格增，0=∴x 非极植点；又,09)2
3(''<-=f 23=∴x 是极大值点，极大值16
27)23(=f 。

2． 解：令1,0)1()1)(1(2)1(212)('2
2222±==++-=+⋅-+⋅=x x x x x x x x x f 得， 由于在1-=x 附近，)('x f 由“－”变为“+”，1-=∴x 为极小值点，极小值;1)1(-=-f 在1=x 附近，)('x f 由“+”变为“－”，1=∴x 为极大值点，极大值1)1(=f 。

3．解：令015205)('234=+-=x x x x f ，得驻点3,1,0321===x x x （舍去）。

由于
,7)2(,2)1(,1)0(,10)1(-===-=-f f f f
10)1(min -=-=∴f f ，2)1(max f f =。

4． 解：令01266)('2
=--=x x x f 得2,121=-=x x 。

又018)2('',018)1('',612)(''>=<-=--=f f x x f 。

1-=∴x 是极大值点，极大值28)1(=-f ；
2=x 是极小值点，极小值1)2(=f 。

5．解：2
x y =' ，1|2='=∴=x y k ∴切线方程 )2(11-⋅=-x y ，即1-=x y ；
法线方程 )2(11-⋅-=-x y 即3+-=x y
6．解：21)1(x
x y -='=' 4
1|2-='=∴=x y k 切 ∴切线方程为)2(4
121--=-x y 即14
1+-=x y 又4=法k ∴法线方程为)2(42
1-=-
x y
即2
174-=x y
七．证明
1． 证：由罗必达法则有2
0)(2)()(lim h a f h a f h a f h --++→ )(''2)('')(''lim 2)
(')('lim
00a f h a f h a f h h a f h a f h h =-++=--+=→→ 2． 证：假设],1,0[,21∈∃x x 21x x <，使得0)()(21==x f x f ，从而由lle R 0定理知
12(,)(0,1)x x ξ∃∈⊂：0)('=ξf ，但在（0，1）上，0)1(3)('2<-=x x f ，矛盾，033=+-∴c x x 在[]1,0内不可能有两个不同的实根。

3．证：令[]][)(),()()()()(222b a x F x f a b a f b f x x F 、在则---=上可导，22()()()(),F a F b a f b b f a Rolle ==-∴由定理知）
、（b a ∈∃ξ：0)('=ξF ，即 4． 证： 由条件及Rolle 定理知),(211x x ∈∃ξ及223(,)x x ξ∈：
0)(')('21==ξξf f ，再由Rolle 定理知),(),(3121x x ⊂∈∃ξξξ：0)(''=ξf 。

5 ． 证：令,1)1(,1)0(,12)(=-=-=f f x x f x
则）
、（10∈∃∴ξ使得 ），在（即1012,0)(==x x f ξ内有一根。

又），在（10)(,0)ln 1(2)('2x f x x f x ∴>+=内严格增，最多有一个零点，故12=x x 在（0、1）内有且仅有一个根。

６．证：设,arccos arcsin )(x x x f += ]1,1[-∈x
则01111
)(22≡--+-='x x x f ，)1,1(-∈x
由拉格朗日定理的推论知
c x f ≡)(，)1,1(-∈x 。

20arccos 0arcsin )0(π=
+=f 2)(π
=∴x f ，)1,1(-∈x
又 )(x f 在]1,1[-上连续，2)(π≡
∴x f ， ]1,1[-∈x 即 2arccos arcsin π=
+x x ，]1,1[-∈x 八．1．解：令23415205)(x x x x f +-='
=0)34(22=+-x x x
第 11 页 共 11 页 得驻点3,1,0321===x x x （舍去） 0)1(=-f ， 1)0(=f ， 2)1(=f ， 7)2(-=f 2)1(,7)2(max min =-=-==∴f f f f
2．解：令02)(2=-='-x xe x f
得驻点0=x e
f f 1)1(,1)0(=±= 1)0(max ==∴f f e f f 1)1(min =
±=。