线性代数矩阵的特征值
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一、向量内积
定义45(向量的内积) 设a(a1, a2, , an )T b(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量
向量a和b的内积(记为aTb)定义为
n
aTbaibi a1b1a2b2 anbn i1
例如 设a(1, 1, 0, 2)T b(2, 0, 1, 3)T 则a和b的内积为
定义47(向量的正交性) 如果两个向量a与b的内积等于零 即aTb0 则称向量a与
b互相正交(垂直) 定义48(正交向量组)
如果Rn中的非零向量组a1 a2 as 两两正交 即 aiTaj0(ij)
则称该向量组为正交向量组
举例 零向量与任意向量的内积为零 因此零向量与任意向 量正交
二、正交向量组
(1) ||a||0 当且仅当ao时 有||a||0 (2) ||ka|||k|||a|| (k为实数) (3) 对任意向量a b 有|aTb|||a||||b|| 单位向量 长度为1的向量称为单位向量
已知向量 a(a0) 求向量 1 a 的过程称为把向量 a 单位化 || a ||
二、正交向量组
施密特正交化方法
对于Rn中的线性无关向量组a1 a2 as 令 b1a1
b2
a2
a2T b1 b1T b1
b1
b3
a3
a3T b1T
b1 b1
b1
a3T b2T
b2 b2
b2
bs
as
aTs b1T
b1 b1
b1
aTs b2T
b2 b2
b2
aTs bs1 bsT1bs1
bs1
可以验证 向量组b1 b2 bs是正交向量组 并且与向量
aTb(1)2100(1)23 4
一、向量内积
定义45(向量的内积) 设a(a1, a2, , an )T b(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量
向量a和b的内积(记为aTb)定义为
n
aTbaibi a1b1a2b2 anbn i1
内积的性质 (1) aTbbTa (2) (ka)TbkaTb (3) (ab)TcaTcb Tc (4) aTa0 当且仅当ao时 有aTao
组a1 a2 as可以相互线性表示
例3 设线性无关的向量组a1(1, 1, 1, 1)T a2(3, 3, 1, 1)T a3(2, 0, 6, 8)T 试将a1 a2 a3正交化
解 利用施密特征值正交化方法 令
b1a1(1, 1, 1, 1)T
b2
a2
a2T b1T
b1 b1
b1
(3, 3, 1, 1)T 4 (1,1,1,1)T (2, 2, 2, 2)T 4
其中a b c为Rn中的任意向量
定义46(向量的长度) 设a(a1, a2, , an )T是Rn中的向量 向量a的长度(记为||a||)
定义为 || a|| aTa a12 a22 an2
例如 在R2中 向量a(3, 4)T的长度为 || a|| aTa (3)2 42 5
说明 不向难量看长出度也在称R为2中向向量量范a的数长 度就是坐标平面上对应的点
到原点的距离
定义46(向量的长度) 设a(a1, a2, , an )T是Rn中的向量 向量a的长度(记为||a||)
定义为
|| a|| aTa a12 a22 an2 向量长度的性质
(1) ||a||0 当且仅当ao时 有||a||0 (2) ||ka|||k|||a|| (k为实数) (3) 对任意向量a b 有|aTb|||a||||b||
定义47(向量的正交性) 如果两个向量a与b的内积等于零 即aTb0 则称向量a与
b互相正交(垂直) 定义48(正交向量组)
如果Rn中的非零向量组a1 a2 as 两两正交 即 aiTaj0(ij)
则称该向量组为正交向量组 定理48
Rn中的正交向量组线性无关 >>>
举例 Rn中的初始单位向量组e1 e2 en 是两两正交的 eiTej0(ij) 该向量组为正交向量组
定理49 设Q为n阶实矩阵 则Q为正交矩阵的充分必要条件是其
列(行)向量组是单位正交向量组 >>>
四、实对称矩阵的特征值和特征向量
任意的n阶矩阵不一定能与对角矩阵相似 然而 实对称 矩阵却一定能与对角矩阵相似 其特征值、特征向量具有许 多特殊的性质
四、实对称矩阵的特征值和特征向量
定理410 实对称矩阵的特征值都是实数
说明 如果a(a1, a2, , an )T b(b1, b2, , bn )T 按性质(3)有
n
n
n
|aibi | ai2 bi2
i1
i1
i1
定义46(向量的长度) 设a(a1, a2, , an )T是Rn中的向量 向量a的长度(记为||a||)
定义为
|| a|| aTa a12 a22 an2 向量长度的性质
定理411 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的>>>
定理412 设A为实对称矩阵 则存在正交矩阵Q 使得Q1AQ为对角
矩阵 这是因为 对角矩阵A有n个线性无关的特征向量 如果利
用施密特正交化方法把A的每个特征值对应的线性无关的特 征向量正交化 再单位化 则以这些单位正交化的特征向量为 列向量的矩阵Q是正交矩阵 且Q 1AQ为对角矩阵
1 2 0
例 4
已知实对称矩阵
A
2 0
2 2
23
求正交矩阵 Q
使Q 1AQ为对角矩阵
b3
a3
a3T b1T
b1 b1
b1
a3T b2T
b2 b2
b2
(2, 0, 6, 8)T 12(1,1,1,1)T 32(2, 2, 2, 2)T
4
4
(1,1, 1,1)T
向量组b1 b2 b3是正交向量组
三、正交矩阵
定义49(正交矩阵) 设n阶实矩阵Q 满足QTQI 则称Q为正交矩阵
正交矩阵的性质 (1)若Q为正交矩阵 则其行列式的值为1或1 (2)若Q为正交矩阵 则Q可逆 且Q1QT (3)若P、Q都是正交矩阵 则它们的积PQ也是正交矩阵
举例 单位矩阵I为正交矩阵 平面解析几何中 两直角坐标系间的坐s
sin cos
三、正交矩阵
定义49(正交矩阵) 设n阶实矩阵Q 满足QTQI 则称Q为正交矩阵
正交矩阵的性质 (1)若Q为正交矩阵 则其行列式的值为1或1 (2)若Q为正交矩阵 则Q可逆 且Q1QT (3)若P、Q都是正交矩阵 则它们的积PQ也是正交矩阵
定义45(向量的内积) 设a(a1, a2, , an )T b(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量
向量a和b的内积(记为aTb)定义为
n
aTbaibi a1b1a2b2 anbn i1
例如 设a(1, 1, 0, 2)T b(2, 0, 1, 3)T 则a和b的内积为
定义47(向量的正交性) 如果两个向量a与b的内积等于零 即aTb0 则称向量a与
b互相正交(垂直) 定义48(正交向量组)
如果Rn中的非零向量组a1 a2 as 两两正交 即 aiTaj0(ij)
则称该向量组为正交向量组
举例 零向量与任意向量的内积为零 因此零向量与任意向 量正交
二、正交向量组
(1) ||a||0 当且仅当ao时 有||a||0 (2) ||ka|||k|||a|| (k为实数) (3) 对任意向量a b 有|aTb|||a||||b|| 单位向量 长度为1的向量称为单位向量
已知向量 a(a0) 求向量 1 a 的过程称为把向量 a 单位化 || a ||
二、正交向量组
施密特正交化方法
对于Rn中的线性无关向量组a1 a2 as 令 b1a1
b2
a2
a2T b1 b1T b1
b1
b3
a3
a3T b1T
b1 b1
b1
a3T b2T
b2 b2
b2
bs
as
aTs b1T
b1 b1
b1
aTs b2T
b2 b2
b2
aTs bs1 bsT1bs1
bs1
可以验证 向量组b1 b2 bs是正交向量组 并且与向量
aTb(1)2100(1)23 4
一、向量内积
定义45(向量的内积) 设a(a1, a2, , an )T b(b1, b2, , bn )T是Rn中的两个向量
向量a和b的内积(记为aTb)定义为
n
aTbaibi a1b1a2b2 anbn i1
内积的性质 (1) aTbbTa (2) (ka)TbkaTb (3) (ab)TcaTcb Tc (4) aTa0 当且仅当ao时 有aTao
组a1 a2 as可以相互线性表示
例3 设线性无关的向量组a1(1, 1, 1, 1)T a2(3, 3, 1, 1)T a3(2, 0, 6, 8)T 试将a1 a2 a3正交化
解 利用施密特征值正交化方法 令
b1a1(1, 1, 1, 1)T
b2
a2
a2T b1T
b1 b1
b1
(3, 3, 1, 1)T 4 (1,1,1,1)T (2, 2, 2, 2)T 4
其中a b c为Rn中的任意向量
定义46(向量的长度) 设a(a1, a2, , an )T是Rn中的向量 向量a的长度(记为||a||)
定义为 || a|| aTa a12 a22 an2
例如 在R2中 向量a(3, 4)T的长度为 || a|| aTa (3)2 42 5
说明 不向难量看长出度也在称R为2中向向量量范a的数长 度就是坐标平面上对应的点
到原点的距离
定义46(向量的长度) 设a(a1, a2, , an )T是Rn中的向量 向量a的长度(记为||a||)
定义为
|| a|| aTa a12 a22 an2 向量长度的性质
(1) ||a||0 当且仅当ao时 有||a||0 (2) ||ka|||k|||a|| (k为实数) (3) 对任意向量a b 有|aTb|||a||||b||
定义47(向量的正交性) 如果两个向量a与b的内积等于零 即aTb0 则称向量a与
b互相正交(垂直) 定义48(正交向量组)
如果Rn中的非零向量组a1 a2 as 两两正交 即 aiTaj0(ij)
则称该向量组为正交向量组 定理48
Rn中的正交向量组线性无关 >>>
举例 Rn中的初始单位向量组e1 e2 en 是两两正交的 eiTej0(ij) 该向量组为正交向量组
定理49 设Q为n阶实矩阵 则Q为正交矩阵的充分必要条件是其
列(行)向量组是单位正交向量组 >>>
四、实对称矩阵的特征值和特征向量
任意的n阶矩阵不一定能与对角矩阵相似 然而 实对称 矩阵却一定能与对角矩阵相似 其特征值、特征向量具有许 多特殊的性质
四、实对称矩阵的特征值和特征向量
定理410 实对称矩阵的特征值都是实数
说明 如果a(a1, a2, , an )T b(b1, b2, , bn )T 按性质(3)有
n
n
n
|aibi | ai2 bi2
i1
i1
i1
定义46(向量的长度) 设a(a1, a2, , an )T是Rn中的向量 向量a的长度(记为||a||)
定义为
|| a|| aTa a12 a22 an2 向量长度的性质
定理411 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的>>>
定理412 设A为实对称矩阵 则存在正交矩阵Q 使得Q1AQ为对角
矩阵 这是因为 对角矩阵A有n个线性无关的特征向量 如果利
用施密特正交化方法把A的每个特征值对应的线性无关的特 征向量正交化 再单位化 则以这些单位正交化的特征向量为 列向量的矩阵Q是正交矩阵 且Q 1AQ为对角矩阵
1 2 0
例 4
已知实对称矩阵
A
2 0
2 2
23
求正交矩阵 Q
使Q 1AQ为对角矩阵
b3
a3
a3T b1T
b1 b1
b1
a3T b2T
b2 b2
b2
(2, 0, 6, 8)T 12(1,1,1,1)T 32(2, 2, 2, 2)T
4
4
(1,1, 1,1)T
向量组b1 b2 b3是正交向量组
三、正交矩阵
定义49(正交矩阵) 设n阶实矩阵Q 满足QTQI 则称Q为正交矩阵
正交矩阵的性质 (1)若Q为正交矩阵 则其行列式的值为1或1 (2)若Q为正交矩阵 则Q可逆 且Q1QT (3)若P、Q都是正交矩阵 则它们的积PQ也是正交矩阵
举例 单位矩阵I为正交矩阵 平面解析几何中 两直角坐标系间的坐s
sin cos
三、正交矩阵
定义49(正交矩阵) 设n阶实矩阵Q 满足QTQI 则称Q为正交矩阵
正交矩阵的性质 (1)若Q为正交矩阵 则其行列式的值为1或1 (2)若Q为正交矩阵 则Q可逆 且Q1QT (3)若P、Q都是正交矩阵 则它们的积PQ也是正交矩阵