人教版-等比数列优质课件
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人教高中数学等比数列优秀PPT
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。 2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。 4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事” 5.美方发起贸易战，进行恫吓威胁， 不会给 中国发 展带来 困难和 影响， 只会更 加激发 中国人 民的勇 气、士 气与硬 气。 6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。 7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。 8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。 9. 弊端重重的人类中心主义亟须克服 自身认 识的偏 见，而 中华民 族的中 道智慧 是一个 可取的 办法。
已知a1,q, an时
【注】使用等比数列前n项求和公式时应注意 q=1还是 q≠1。
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想
一 想
在等比数列 {an} 中，若已知五个 量 a1, an, n, q, Sn 中的任意三个量, 请问: 能否求出其余两个量 ?
na1
Sn
a1
(1
q
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知识盘点
• 等比数列的前n项和公式：
na1
人教高中数学等比数列优秀PPT
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。 2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。 4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事” 5.美方发起贸易战，进行恫吓威胁， 不会给 中国发 展带来 困难和 影响， 只会更 加激发 中国人 民的勇 气、士 气与硬 气。 6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。 7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。 8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。 9. 弊端重重的人类中心主义亟须克服 自身认 识的偏 见，而 中华民 族的中 道智慧 是一个 可取的 办法。
已知a1,q, an时
【注】使用等比数列前n项求和公式时应注意 q=1还是 q≠1。
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想
一 想
在等比数列 {an} 中，若已知五个 量 a1, an, n, q, Sn 中的任意三个量, 请问: 能否求出其余两个量 ?
na1
Sn
a1
(1
q
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知识盘点
• 等比数列的前n项和公式：
na1
4-3-1等比数列的概念课件(人教版)(第二课时)课件(人教版)
解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}. 由题意，知an=1050×1.05n-1,
bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24,
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n) =1.05n× (104-4n).
出发，利用指数、对数的知识进行证明。
(1) 若{an }为等差数列, 公差d 2, 证明数列 3an 为等比数列;
(2)
若{an }为等比数列,
公比q
1 9
,
证明数列log3
an 为等差数列.
证明 : (1)由已知得an1 an 2. 设bn 3an ,则
bn1 bn
3an1 3an
3an1 an
所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2,
akal=(a1qk-1) (a1ql-1) = a12qk+l-2, 因为m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 所以aman=akal . 特别地，若m+n=2k (m, n, k∈N*), 则aman=ak2 .
（1）{ an }；√ （2）{lg an} ×
3.已知数列{an}是等比数列.(教材P31练习5） (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么?
当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗?
ban
是首项为ba1 , 公比为bd的等比数列.
4.3.1等比数列的概念PPT课件(人教版)
3.在等比数列{an}中，a1a3=36，a2+a4=60.求a1和公比q.
4.对于数列{an },若点(n,an )(n N )都在函数y cq2的图象上,
其中c,q为常数,且c 0,q 0,q 1,试判断数列an是否是
等比数列,并证明你的结论.
5. 已知数列an是等比数列
（1）a3，a5，a7是否成等比数列？为什么？a1，a5，a9呢？
②
5, 52 , 53 , , 510.
③
古巴比伦人用60进制记数，这里转化为十进制.
2.《庄子·天下》中提到：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭.”如 果将“一尺之棰”的长度看成单位 “1”，那么从第1天开始，各天得 到的“棰”的长度依次是
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，…
④
2 4 8 16
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min 就通过分裂繁育一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开 始，各次分裂产生的后代个数依次是
f (n).
反之，任给函数f ( x) ka x (k,a为常数, k 0,a 0,且a 1),则f (1) ka，f (2) ka2， ，f (n) kan， 构成一个等比 数列{kan }，其首项为ka，公比为a.
例1 若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，
求an的第5项. 解分法析1：：等由比a4数 列48，ana6由 a112，，q得唯一确定，可利用条件
推导一：归纳法
设一个等比数列an 的公比为q.根据等比数列的定义，可得
an1 an q.
所以
a2 a1q, a3 a2q (a1q)q a1q2 , a4 a3q (a1q2 )q a1q3 ,
不完全 归纳法
数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念(共16张ppt)
等比数列的概念
课堂游戏
找出一张纸，将其对半翻折，重复几次，你能发现什 么规律？
引入新知
找规律
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字母 d 表示．
课堂典例
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，13，16，19，112，…； (2)23，232，233，234，…； (3)1,0,1,0,1,0，…；
(4)1，－4,16，－64,256，…；
(5)a，a，a，a，a….
课堂典例
例 2 5－2 和 5＋2 的等差中项与等比中项分别为
形成概念
思考：类比等差中项的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比中项的概念吗?
等比中项的概念
若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． 此时，G2＝ab．
概念辨析
想一想，类比推理
类比等差数列通项公式的推导过程，你能根据等比数 列的定义式推导它的通项公式吗？
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母 q 表示．
概念辨析
想一想，类比推理
对比等差数列，请同学们互相探讨等比数列的项、公 比 q 有无条件限制？等比数列的单调性如何？
A. 5，±2
课堂游戏
找出一张纸，将其对半翻折，重复几次，你能发现什 么规律？
引入新知
找规律
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字母 d 表示．
课堂典例
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，13，16，19，112，…； (2)23，232，233，234，…； (3)1,0,1,0,1,0，…；
(4)1，－4,16，－64,256，…；
(5)a，a，a，a，a….
课堂典例
例 2 5－2 和 5＋2 的等差中项与等比中项分别为
形成概念
思考：类比等差中项的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比中项的概念吗?
等比中项的概念
若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． 此时，G2＝ab．
概念辨析
想一想，类比推理
类比等差数列通项公式的推导过程，你能根据等比数 列的定义式推导它的通项公式吗？
形成概念
思考：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出 等比数列的概念吗?
等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母 q 表示．
概念辨析
想一想，类比推理
对比等差数列，请同学们互相探讨等比数列的项、公 比 q 有无条件限制？等比数列的单调性如何？
A. 5，±2
4-3-1等比数列的概念(第一课时)课件(人教版)
析 (2)a2＋a5＝18，a3＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198，，
③ ④
由④÷③得 q＝21，从而 a1＝32.
解法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，
又 an＝1，所以 32·12n－1＝1， 即 26－n＝20，所以 n＝6.
一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．
分析：三个数成等比数列，可怎么设为？
解： 设前三个数分别为a，a，aq(q≠0)，则第四个数为 2aq－a， q
a＋ 由题意得 q
2aq－a
＝21，
a＋aq＝18，
解得 q＝2 或 q＝35.
当 q＝2 时，a＝6，这四个数为 3,6,12,18；
an a1q n1
当q=1时，这是一 个常数列， an ≠ 0。
注：方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用。
小试牛刀
求下列等比数列的通项公式
(1)2，4，8，16，32，64, … (2) 1 , 1 , 1 , 1 , …
2 4 8 16 (3)1，3，9，27，81，243，…
an 2 2n1 2n
（第一课时）
复习回顾
1.等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列. 符号表示：
2.等差中项的定义：
如果在 a与b中间插入一个数A，使a ，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b 的等差中项,
A ab. 2
3.等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d , n N 不完全归纳法、累加法
a4 a3q (a1q 2 )q
a1q3
…… a n a1q n1
4.3.2.1等比数列的前n项和公式课件(人教版)
1－3n 解：(1)由题设知{an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，所以 an＝3n－1，Sn＝ 1－3 ＝
12(3n－1)． (2)因为 b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，
所以公差 d＝5， 故 T20＝20×3＋20×219×5＝1 010.
6．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则 排成如下数表． 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)·bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列； ③a66＝25.
当已知a1，q与an时，用Sn＝a11－－aqnq 比较方便．
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求{an}的通项公式． (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得a22 ＝a1a5， 则(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，将a1＝1代入并化简得d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去). 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝22n－1，所以bn＋1＝22n＋1，所以bbn＋n 1 ＝22n＋1－(2n－1)＝4，所以数列{bn} 是首项为2，公比为4的等比数列．
∴an＝3an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项 a1＝－2，公比 q＝3 的等比数列，
∴S5＝a1
1－q5 1－q
－2× 1－35 ＝
1－3
＝－242.故选 B.
5．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
12(3n－1)． (2)因为 b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，
所以公差 d＝5， 故 T20＝20×3＋20×219×5＝1 010.
6．将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一项”的规则 排成如下数表． 记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知： ①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有(n＋1)·bn＋1－nbn＝0； ②表中每一行的数从左到右均构成公比为q(q>0)的等比数列； ③a66＝25.
当已知a1，q与an时，用Sn＝a11－－aqnq 比较方便．
在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求{an}的通项公式． (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得a22 ＝a1a5， 则(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，将a1＝1代入并化简得d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去). 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知bn＝22n－1，所以bn＋1＝22n＋1，所以bbn＋n 1 ＝22n＋1－(2n－1)＝4，所以数列{bn} 是首项为2，公比为4的等比数列．
∴an＝3an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项 a1＝－2，公比 q＝3 的等比数列，
∴S5＝a1
1－q5 1－q
－2× 1－35 ＝
1－3
＝－242.故选 B.
5．设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N*. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn； (2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.
4.3.1等比数列的概念(第2课时)课件(人教版)
∵
，
dn
bn 1an r
a1
q
∴数列{d n }是以 为首项, 为公比的等比数列.
b1
r
应用小结
由等比数列衍生的新数列
n}为递减数列；
0<q<1
q>1
q＝1
(3)当______________________时，等比数列{a
n}为常数列(这个常数列中各项均不等于 0)；
q<0
(4)当______________________时，等比数列{a
n}为摆动数列．
笔记小结
由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：
结论：等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
a1>0
a1<0
或பைடு நூலகம்
q>1
0<q<1
(1)当______________________时，等比数列{a
n}为递增数列；
a1>0
a1<0
或
(2)当______________________时，等比数列{a
∴an2 an 1an 1 ,∴an 1 ,an ,an 1是等比数列.
同理可证,当n k 0时,an2 an k an k ,∴an k ,an ,an k 也是等比数列.
新知探究三：等比数列的判断
例 3.在数列{an }中，若 an >0，且 an ＋1＝2an ＋3(n∈N*)．证明：
∴a52 a3 a7 ,∴a3 ,a5 ,a7是等比数列.
同理可得a52 a1a9 ,∴a1 ,a5 ,a9也是等比数列.
，
dn
bn 1an r
a1
q
∴数列{d n }是以 为首项, 为公比的等比数列.
b1
r
应用小结
由等比数列衍生的新数列
n}为递减数列；
0<q<1
q>1
q＝1
(3)当______________________时，等比数列{a
n}为常数列(这个常数列中各项均不等于 0)；
q<0
(4)当______________________时，等比数列{a
n}为摆动数列．
笔记小结
由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：
结论：等比数列的单调性
已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则
a1>0
a1<0
或பைடு நூலகம்
q>1
0<q<1
(1)当______________________时，等比数列{a
n}为递增数列；
a1>0
a1<0
或
(2)当______________________时，等比数列{a
∴an2 an 1an 1 ,∴an 1 ,an ,an 1是等比数列.
同理可证,当n k 0时,an2 an k an k ,∴an k ,an ,an k 也是等比数列.
新知探究三：等比数列的判断
例 3.在数列{an }中，若 an >0，且 an ＋1＝2an ＋3(n∈N*)．证明：
∴a52 a3 a7 ,∴a3 ,a5 ,a7是等比数列.
同理可得a52 a1a9 ,∴a1 ,a5 ,a9也是等比数列.
4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式(课件(人教版))
不存在等比中项．
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．
第四章4.3.1第2课时 等比数列的应用及性质PPT课件(人教版)
又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差为－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，
∴a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得 a23＝a1·a5.
1
所以a8＝103
3
同理 a4a5a6＝a35＝ a52
3
2=
a2a8
3 1 1 2
1
2 53 103 =502 =5
2
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3.
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁育成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁育成28＝256.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差为－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，
∴a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得 a23＝a1·a5.
1
所以a8＝103
3
同理 a4a5a6＝a35＝ a52
3
2=
a2a8
3 1 1 2
1
2 53 103 =502 =5
2
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3.
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁育成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁育成28＝256.
4.3.1等比数列课件(人教版)
an
是可பைடு நூலகம்看作关于
q
的指数函数，即
f(x)＝a1·qx(x∈R) q
例题讲解
例3 在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
(1) 因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn－1＝2n－1.
1， 8
1， 16
1 ，…， 32
像这样，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母q 表示(显然q≠0).
即 an q(n 2) an1
注意点： (1)定义的符号表示：aan－n 1＝q(n∈N*且 n≥2)或aan＋n1＝q(n∈N*). (2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)比必须是同一个常数. (4)等比数列中任意一项都不能为0. (5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
知识梳理
等比中项：
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项， 此时，G2＝ab
注意 (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
试一试 5－2 和 5＋2 的等差中项与等比中项分别为
试一试 若等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，则数列{an}的公比为
A.－2
B.2
C.－3
√D.3
设等比数列{an}的公比为q， 因为a1＋a2＝3，a4＋a5＝81， 所以aa11＋q3＋a1qa＝1q43＝，81， 所以aa1q1311＋＋qq ＝217，
人教版高中数学必修5精品课件 24%20等比数列(19张)
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。
其定义式：
判断一个数列是否为等比数列的依据
an q(n 2) an1
或 an1 q(n N *) an
an 0
人教版高中数学必修5精品课件 24%20等比数列(19张)
人教版高中数学必修5精品课件 24%20等比数列(19张)
课堂互动
名称
等比数列
概念 从第2项起,每一项与它前一项的比等于 同一个非零常数
常数
公比 q 0
定义式 通项公式
an q,n 2 an1
an a1 q n1
通项
变形
an amqnm n, m N *
中项 公式
G2 ab 或 G ab
人教版高中数学必修5精品课件 24%20等比数列(19张)
a1q3
……
a a q n1
n
1
人教版高中数学必修5精品课件 24%20等比数列(19张)
3.等比数列的通项公式： an a1qn1
思考：如何用 a1 和 q 表示 an？
❖ 方法：累加法
等 a2 a1 d
差 数
a3 a2 d
列 a4 a3 d ……
+）an an1 d
类比
累乘法
若 a,G成,b等比数列，那么Ｇ叫做 与 的a等比b中项，
有：
G2 ab
G ab
注意：1）“ a,G,b 成等比数列” 是 “ G2 ab ”的 充分不必要条件
2）任意两个数 a, b 都有唯一等差中项为 a b ；
2
当 ab 0 时，才有等比中项，且有两个 ab 。
人教版高中数学必修5精品课件 24%20等比数列(19张)
人教版高中数学第二章4 等比数列(共21张PPT)教育课件
1
n
项公式为：a a qn1
n
1
分析：此式子从方程的角度考虑有几个量？
学以致用
例3：已知等比数列 an，a3 =20，a6 =160 ,
求 q , an
变1：已知等比数列 an，a3 =20，a5 =80 ,
求 q , a4
变2：已知等比数列 an，a3 =20 a７ =320 ,
求 q , a5
自我测验
练1：下列数列中哪些是等比数列？ （1）1，4，16，64，256， 是，q=4
（2）-2，4，-8，16，-32， 是，q=-2
（3）0，1，2，4，8，
否
（4）-3，-3，-3，-3，-3， 是，q=1 练2：在等比数列{bn}中，b1=2，公比为2，则
b6的值为_____6_4_____ ．
牢记在心
a
1.等
比
数
列 ： n q(q 0, n 2, n N * )
a
n 1
2.等 比 中 项 公 式 ：G ab
3. 等 比 数 列 通 项 公 式 ：
a a qn1 (q 0,且n 2, n N * )
n
1
课后作业：今日事，今日毕
1.完成课后探究任务。 2.整理今天讲的知识点。 3.课本P53习题2.4 A组 1：（1）（2）（3）
自我测验
练3： 2 1与 2 -1的等比中项是：___1__.
练4：正项等比数列{an}中，满足a2，a5是方程
x2-7x+10=0的两根,则lga2+lga5= （ B ）
A.﹣1 B.1
C.2
D.0
课后探究
如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再 对折，再对折……对折4次后报纸层数是多 少？厚度呢？对折50次后厚度又是多少？你 相信这时报纸的厚度超过了地球和月球之间 的距离了吗？
4.3.1等比数列的概念及通项公式(第1课时)课件(人教版)
是等差数列，也是等比数列；
0,0,0,0,…
是等差数列，不是等比数列；
(2) = 时，{}为非零常数列.
非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1.
课堂练习
1. 判断下列数列是否为等比数列. 如果是，写出它的公比.
×
1 1 1 1 1 1
(3) ， ， ， ， ， ;×
3 6 9 12 15 18
解：因为 是 与 的等比中项，所以
= = × = .
所以 = ± = ±.
因此， 的第5项是24或-24.
探究二：等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列通项公式的推导，你能根据等比数列的定义及
递推公式推导它的通项公式吗？
取值规律？你发现了什么规律？
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
追问：你能否类比等差数列的概念，归纳出等比数列的概念以及它的
递推关系？
等比数列的概念：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，
a1 2
2
{an }的通项公式为an 2 n 1 或an 23 n.
例题精讲
课本例2 已知等比数列 的公比为，试用 的第项 表示 .
解：由题意 , 得
am a1q m 1 ,
an a1q
n 1
①
②
,
等比数列的通项公式：
= − ( ≠ , ∈ + )
, , , … , .
, , , , ,…
2,4,8,16,32,64,…
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
择决定命运，环境造就人生！
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追 踪
利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
提 升
利用等比数列的性质填空：
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
an=amqn-m (m，n∈N*)
【例】a10=a5q( )， a12=a20q( )
是等比数列通 项公式的推广
追
踪 在等比数列{an}中： 训
练
(1)a5=3，q=
1 3
，a9=＿＿。
(2)a4=4，a7=-32，则q=＿＿。
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
追 踪
利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
提 升
利用等比数列的性质填空：
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
an=amqn-m (m，n∈N*)
【例】a10=a5q( )， a12=a20q( )
是等比数列通 项公式的推广
追
踪 在等比数列{an}中： 训
练
(1)a5=3，q=
1 3
，a9=＿＿。
(2)a4=4，a7=-32，则q=＿＿。
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
4-3-1-1等比数列的概念与通项公式课件(人教版)
3．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1. ∴an＋1＝12an.又∵S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1≠0. 又由 an＋1＝12an 知 an≠0，∴aan＋n 1＝12. ∴{an}是等比数列．
[解] (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)，即 bn＋1＝2bn，
因为 b1＝a1＋1＝2≠0，所以 bn≠0，所以bbn＋n1＝2， 所以{bn}是等比数列． (2)由(1)知{bn}是首项 b1＝2，公比为 2 的等比数列， 所以 bn＝2×2n－1＝2n，即 an＋1＝2n， 所以 an＝2n－1.
第四章 数列
4．3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
[课标解读]1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌 握等比数列的通项公式，等比中项的概念.3.会证明一个数列是等比数列．
[素养目标] 水平一：1.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简 单的等比数列问题(数学运算).2.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解 决问题(数学运算)．
列{an}的前 10 项之和是( B )
A．90
B．100
C．145
D．190
解析：设公差为 d，由题意得 a22＝a1·a5，∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d，∴d2－2d＝ 0，∵d≠0，解得 d＝2.∴S10＝10×1＋10× 2 9×2＝100，故选 B.
2．若 1，a,3 成等差数列，1，b,4 成等比数列，则ab的值为 ±1 . 解析：由题知 2a＝1＋3，∴a＝2.由 b2＝4 得 b＝±2，∴ab＝±1.
4.3等比数列(一)PPT课件(人教版)
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法
a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q …
an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1
a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
an=a1qn-1
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
这些你都记 得吗？
三、等差中项法
探究一：等比数列的定义
视察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，… (2)5, 25,125, 625... (3)1, 1 , 1 , 1 , 24 8 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q.
例 3 等比数列{an}的前三项的和为 168，a2－a5＝42，求 a5，a7 的等比 中项．
变式 1:若 a,2a＋2,3a＋3 成等比数列，求 实数 a 的值．
变式2：一等比数列有3项，如果把第2项加上
4，那么所得3项就成等差数列，如果把这个等
差数列的第3项加上32， 那么所得的3项又成等 比数列，求原等比数列.
例1.在等比数列 an中,
(1)a4 27, q 3,求an; (2)a3 12,a4 18,求a1.
变式：求出下列等比数列中的未知项：
（1）2,a,8； a 4
(2)a5 =4,a7 =6,求a9. a9 9
例2.已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，求n；
变式训练：{an}为等比数列，求下列各值． (1) 已知 a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比 q. (2) a 4 · a 7 = 512，a3 + a 8 = 124,公比 q 为整数 求 a 10.
人教版数学选择性必修二4_3等比数列课件
和为Sn，且S3＝7，S6＝63，则S9＝________．
511
归
纳
点
拨
1．在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程，
常利用等比数列的如下性质：
(1)通项公式的推广：an＝amqn－m；
(2)等比中项的推广与变形： 2 ＝am·an(m＋n＝2p)及
ak·al＝am·an(k＋l＝m＋n)．
考点突破
考点一
等比数列的基本量计算(高考热度：★★★)
[例1] (2019全国卷Ⅲ，5)已知各项均为正数的等比数列{an}
的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( C )
A．16
B．8
C．4
D．2
等比数列基本量运算的解题策略
解
题
策
略
①等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本
问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般
中项
若数列{an}中，an≠0且2 ＝an·an＋2(n∈N*)，则
公式法 {an}是等比数列
通项
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均
公式法 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，
公式法 q≠0,1)，则{an}是等比数列
(3)若cn＝anlg an，问是否存在实数k，使得{cn}中的每一
项恒小于它后面的项？若存在，求出k的取值范围；若
不存在，请说明理由．
方
法
总
结
数列与函数的综合一般体现在两个方面
• 以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函
数图象上，可以得到数列的递推关系；
511
归
纳
点
拨
1．在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程，
常利用等比数列的如下性质：
(1)通项公式的推广：an＝amqn－m；
(2)等比中项的推广与变形： 2 ＝am·an(m＋n＝2p)及
ak·al＝am·an(k＋l＝m＋n)．
考点突破
考点一
等比数列的基本量计算(高考热度：★★★)
[例1] (2019全国卷Ⅲ，5)已知各项均为正数的等比数列{an}
的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( C )
A．16
B．8
C．4
D．2
等比数列基本量运算的解题策略
解
题
策
略
①等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本
问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般
中项
若数列{an}中，an≠0且2 ＝an·an＋2(n∈N*)，则
公式法 {an}是等比数列
通项
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均
公式法 为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，
公式法 q≠0,1)，则{an}是等比数列
(3)若cn＝anlg an，问是否存在实数k，使得{cn}中的每一
项恒小于它后面的项？若存在，求出k的取值范围；若
不存在，请说明理由．
方
法
总
结
数列与函数的综合一般体现在两个方面
• 以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函
数图象上，可以得到数列的递推关系；
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式课件(人教版)
题型三 等比数列的判定与证明
例 4 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N*) (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
解析：(1)当 n＝1 时，S1＝13(a1－1)＝a1，解得：a1＝－12，
当 n＝2 时，S2＝13(a2－1)＝a1＋a2，解得 a2＝14.
4．已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则 an＝________.
解析：∵a1＝－2，a3
＝
－8
，
∴
a3＝ a1
q2＝－ －82＝4
，
∴q＝±2，
∴an＝(－2)·2n－1 或 an＝(－2)·(－2)n－1，即 an＝－2n 或 an＝(－2)n.
答案：－2n 或(－2)n
题型一 等比数列通项公式的求法及应用
【易错警示】 1. 出错原因 没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得 a7＝±9，错 选 A. 2. 纠错心得 在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题 时要小心谨慎，以防上当.
1
1
1
解析：令
an＋1－A·2
n＋1＝1 3
an－A·2
n
，则
an＋1＝13an＋A3·2
n＋1.
由已知条件知A3＝1，得 A＝3，
1
1
所以
an＋1－3×
2
n＋1＝1 3
an－3×
2
n
.
1
又
a1－3×21＝源自2≠0， 31所以
an－3×
2
n
是首项为－2，公比为1的等比数列．
3
3
1
1
于是
an－3×
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(1) 2. a, 8
(2) -4 , b, c, 2
这个常数叫做等比 数列的公比，用
q表示.
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注意：
1. 公比是等比数列，从第2项起，每一 项与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比 是同一个常数。
Байду номын сангаас
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练习：判断下列数列是否是等比数列， 是等比数列的求出公比。
(1) 1，-1/3， 1/9 ,-1/27，… √ q=-1/3
(2) 1, 2, 4, 8, 12,16,20, … ×
(3)
数列｛an｝的通项公式为 an=3n/2, (n∈N*) √ q=3
练习P481
(4) 1，1，1，… ，1 √ q=1
(5) a，a，a，…，a
不一定，当a≠0时是等比数列，q=1；
an=a1+(n-1)d (n∈N*) 3、推导方法：（1）归纳法（2）迭加法 4、等差数列通项公式的推广公式：
an=am+(n-m)d (n,m∈N*) 4
1 2 3 4 5 6 78
情景展示
1
2
3
左图为国际象棋的棋盘，棋
4 5
盘有8*8=64格
6
7
8
国际象棋起源于印度，关于国际象
棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什
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8
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比一比
(1) 1 ,2 ,2 2,2 3, …… ,2 63
(2)
1, 2
1, 4
1, 8
1, 16
……
(3） 9，92，93，94，95，96， 97
（4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
共同特点？从第2项起，每一项
与前一项的比都等于同一常数。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一
项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。
3
回顾与复习
1、等差数列定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与 前一项的差等于同一个常数，这个数列 叫做等差数列。
定义式（即递推式）：d=an-an-1(n≥2) 2、等差数列的通项公式：
当a=0时非等比数列。
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“an≠0”是数列｛an｝ 为等比数列什麽条件？
必要而非充分条件
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练一练
1、判别下列数列是否为等比数列?
(1) 2, 1,
2 ,
1 ,……
是
22
(2)1.2, 2.4 , -4.8 , -9.6 ……不是
1
猜一猜：
给你一张足够大的纸，假设 其厚度为0.1毫米，那么当你 把这张纸对折了51次的时候， 所达到的厚度有多少？
猜一猜
把一张纸折叠51次， 得到的大约是地球与 太阳之间的距离！
2
忆一忆
什么是等差数列？
1, 3, 5, 7, 9…;
(1)
3, 0, -3, -6, … ;
(2)
1 10 ,1 20 ,1 30 ,1 40 , . (3)
？ 思考： an1 an q
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名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列； (3) aq1 1 0或 0a 1q 01 {an}递 增 ；
0a 1q 01或 aq1 10 {an}递 减 ；
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q=1，常数列q；<0，摆动数列；
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例1:求出下列等比数列中的未知项. 1
(3) 2, -2, 2, -2, 2
是
(4) a, a, a, a, a …
不一定
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思考：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？
(3)q>0数列递增吗？q<0数列递减吗？
说明：(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
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等比数列定义
一般的，如果一个数列从第2项起，每一 项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公 比，公比通常用字母q表示。(q≠0）
其数学表达式(定义式即递推式）：
an q(n2) 或 an1
an1 q(nN*) an
1， 2， 2 2， 2 3， ， 2 6 3
5
庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为：
1， 1， 1， 1，1 ， … 2 4 8 16
6
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出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢， 每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有 九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏， 几毛，几色？（《孙子算经》）
(3)2, 2, 2, 2, …
是
(4)1, 0, 1, 0 ……
不是
q=
2 2
q= 1
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2、指出下列数列是不是等比数列，若是， 说明公比；若不是，说出理由．
(1) １,2, 4, 16, 64, …
不是
(2) 16, 8, 1, 2, 0,…
不是
么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，
第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格
子上放8粒麦子，依次类推，即每一个格子中放的麦粒都必须是
前一个格子麦粒数目的2倍，直到第64个格子放满为止。” 国
王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：
9，92，93，94，95，96， 97
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某种汽车购买时的价格是36万元，每年 的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价 格（单位：万元）。
各年汽车的价格组成数列：
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…