高中数学《函数的极限》教案

课 题：2.3函数的极限(二)

教学目的：

1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限．

2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限．

3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限

教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？ 教学过程：

一、复习引入： 1.数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞

=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等

于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞

=有

时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限： （1）01

lim

=∞→n n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n

q （1

→q q n

n

3.函数极限的定义:

(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常

数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：

+∞

→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .

(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作

-∞

→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .

(3)如果

+∞

→x lim f (x )=a 且-∞

→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函

数f (x )的极限是a ，

记作：∞

→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .

4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞

→x lim f (x )=c .

∞

→x lim f (x )存在，表示+∞

→x lim f (x )和-∞

→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞

→x lim f (x )

中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞

→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义

二、讲解新课： 1.研究实例

(1)探讨函数2

x y =，当x 无限趋近于2时的变化趋势． 当x 从左侧趋近于2时，记为：-

→2x ．

当x 从右侧趋近于2时, 记为：+

→2x .

发现（左极限）2

2

lim 2x x -→=,（右极限）2

2

lim 2x x +

→=,因此有2

2

lim 2x x →=． (2)我们再继续看

1

12--=x x y ,当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:

211,(1)1

x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．

当x 从右侧趋近于1时, 即1x +

→时，2y →．

即（左极限）2111

(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-， （右极限）2111

(1)21lim lim x x x x x ++

→→-∴=+=- 211

1

(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-

(3)分段函数1(0)

()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

当x →0的变化趋势.

①x 从0的左边无限趋近于0，则()f x 的值无限趋近于－1.即0

lim ()1x f x -

→=- ②x 从0的右边无限趋近于0，则()f x 的值无限趋近于1. 即0

lim ()1x f x +

→= 可以看出

00

lim ()lim ()x x x x f x f x -

+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，

就称当0x →时，()f x 的极限不存在．

2. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0

lim ()x x f x →=

特别地，C C x x =→0lim ；00

lim x x x x =→

3. 0

lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==

其中0

lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0

lim ()x x f x a +→=表

示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限

三、讲解范例：

例1求下列函数在X ＝0处的极限

（1）1

21

lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 22,0

0,01,0x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+<⎩

解：（1）22

0011

lim lim 12121

x x x x x x x →→-+==--+ （2）00

0lim 1,lim 1lim x x x x x x

x x x

-

+→→→=-=⇒不存在． （3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ⎧>⎪

=⎨⎪+<⎩

20

lim ()lim(1)1,lim ()lim 21x

x x x x f x x f x --++

→→→→⇒=+=== 0

lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+

→→→⇒==⇒=．

四、课堂练习：

1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限