第一讲(流体力学)

∂ax ∂ay ∂az ∫Sa • dS = ∂x + ∂y + ∂z V M
n
S
a
∂ax ∂ay ∂az diva = + + ∂x ∂y ∂z
∇=i
∂ ∂ ∂ + j +k ∂x ∂y ∂z
L
M
diva = ∇• a
例
divv = ∇• v = 0 v
S
∫ n• adS = ∫ ∇•vdV
∂T ∂2T = a 2 , x(0,1) ∂t ∂x t ≤ 0 T = 2x x(0, 0.5) ，
T = 2(1− x)
T
x
x(0.5,1)
0.5
区域离散
1
t ≥ 0 T(0, t) = T (1 t) = 0 , ，
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
x
方程离散
n n Ti n+1 −Ti n Ti+1 − 2Ti n +Ti−1 =a ∆t ∆x2
例
dr • gradφ =
∂φ ∂φ ∂φ dx + dy + dz = dφ ∂x ∂y ∂z
dr • gradφ − a = dφ − dφ = 0
(
)
gradp • dr = dp
1
ρ
gradp • dr =
1 dp = d ∫ dp = dΠ ρ ρ 1
Π=∫
1
ρ
∂az ∂ay ∂ax ∂az ∂ay ∂ax = ∫ ∂y − ∂z nx + ∂z − ∂x ny + ∂x − ∂y nz dS
∂az ∂ay ∂ax ∂az ∂ay ∂ax = ∂y − ∂z nx + ∂z − ∂x ny + ∂x − ∂y nz S M
b)
∫ a • dr =0 ↔a = gradφ
x
y
∫ gradφ • dr =∫ dφ =0 ∫ a • dr =0
例
1
∫ a • dr =φ
1
2
2
−φ1
dφ = a • dr
a = gradφ
ρ
gradp = gradΠ
∫ρ
1
gradp • dr =∫
1
ρ
dp =0
1.3 散度
① 通量
a • n = an
(2 − h)φi−1 + (−4 − 4h2 )φi + (2 + h)φi+1 = 0
− (2 − h)φi−1 + 4(1+ h2 )φi − (2 + h)φi+1 = 0 −φi−1 + 8φi − 3φi+1 = 0
φ4 = 0.3944
φ3 = 0.1552
φ2 = 8φ3 − 3φ4 = 61 4 − 24φ5 φ
i ∂ rot a = ∂x ax j ∂ ∂y ay k ∂ = ∇×a ∂z az
③ 性质
a)
∇×a = 0
a = ∇φ ↔∇×a = 0
无旋场
例题3-1 p52 例题
d 2φ dφ + − 2φ = 0 2 dx dx
区域离散
1
2
3
4
5
xຫໍສະໝຸດ Baidu
δx = h
方程离散 二阶截差
φ(0) = 0 , φ(4) =1
速度v的矢量为表示： 速度 的矢量为表示：某时刻每一点 的矢量为表示 流体的流动方向…流为 流体的流动方向 流为
表示了流动的方向， 表示了流动的方向，有时候也表示了 流动的大小
1.2 梯度
① 方向导数 ② 梯度
∂φ φ(M2 ) −φ(M) = lim ∂s M2M→0 M2M
n
M1 M2
s
∂φ φ(M1) −φ(M) = lim ∂n M1M→0 M1M
dp
1
p ρ Π= γ p γ +1 ρ
不可压流体 等熵流动的气体
ρ
p
gradp = gradΠ
ρ
γ
=C
例
~ f • dr = −dF
单位质量流体的质量力
dr • gradφ = dφ dr • a = dφ
z
力势函数
f =
mg =g m
g • dr = −gdz = −d( gz)
T (x,0) = F(x)
T(0, t) = f1(x)
T(L, t) = f2 (t)
n n Ti n+1 −Ti n Ti+1 − 2Ti n +Ti−1 =a ∆t ∆x2
n n Ti n+1 = r(Ti+1 − 2Ti n +Ti−1) +Ti n n n Ti n+1 = rTi−1 + (1− 2r)Ti n + rTi+1
直角坐标系
矢量的表示需要特别注意！ 矢量的表示需要特别注意！印刷 时一般是粗体，书写时用箭头… 时一般是粗体，书写时用箭头
例：
流体力学中的主要物理量 物理量的意义：某时刻， 物理量的意义：某时刻，占据 xyz位置的 流体的温度 位置的 定常流动与非定常流动 均匀场
ρ = ρ(x, y, z, t)
T = T(x, y, z) T = T(t)
T n+1 = rT0n + (1− 2r)T n + rT2n 1 1 T2n+1 = rT n + (1− 2r)T2n + rT3n 1
×
T3n+1 = rT2n + (1− 2r)T3n + rT4n
−φ1 + 488φ4 −192φ5 − 24φ4 + 9φ5 = 0 −φ1 + 464φ4 −183φ5 = 0
φ2 = 0.0582
例题3-1 p52 例题
区域离散
1
2
3
4
5
x
δx = h
四阶截差
−φi−2 +16φi−1 −30φi +16φi+1 −φi+2 φi−2 −8φi−1 +8φi+1 −φi+2 + − 2φi = 0 2 12δx 12δx
−φ1 + 8φ2 − 3φ3 = 0 −φ2 + 8φ3 − 3φ4 = 0 −φ3 + 8φ4 − 3φ5 = 0
φ3 = 8φ4 − 3 5 φ
φi+1 − 2φi +φi−1 φi+1 −φi−1 + − 2φi = 0 2 δx 2δx
2(φi+1 − 2φi +φi−1) + h(φi+1 −φi−1) − 4h2φi = 0
n
a) 定义
∫ a • dr rot a = lim
L n S→0
S
S
a
M
b) 在直角坐标系的表达式
L
∂az ∂ay ∂ax ∂az ∂ay ∂ax ∫La • dr = ∂y − ∂z nx + ∂z − ∂x ny + ∂x − ∂y nz S M
∂φ gradφ = n ∂n ∂φ = gradφ • s ∂s
gradφ =
∂φ ∂φ ∂φ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z
矢量场
∂φ = gradφ • k ∂z
∇=i
∂ ∂ ∂ + j +k ∂x ∂y ∂z
∇φ
③性质
a)
dφ = dr • a ↔a = gradφ
dr • gradφ = dφ dr • a = dφ
② 场的几何表示 r 标量场 φ(r , t0 ) = φ0 等为面等等位面，当
φ(x, y, t0 ) = φ0时 为 为 。 ， 等 为
可以用来表示：物理量、 可以用来表示：物理量、物理量的变 化趋势… 化趋势
矢量场
rr r a(r , t0 ) × dr = 0
矢量为
某时刻的一条曲为， 某时刻的一条曲为，曲为上每点的切 为方向就是该点的矢量方向。 为方向就是该点的矢量方向。
Chapter 1 矢量与张量
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 场的定义和表示 梯度 散度 旋度 曲为坐标系
1.1 场的定义和表示
①场
标量场 矢量场
物理量是空间点的函数
r φ = φ(r , t) = φ(x, y, z, t)
r rr r a = a(r , t) = a(x, y, z, t) T = T (x, y, z, t) r r v = v(x, y, z, t) p = p(x, y, z, t)
n+1
1
∆x = h = 0.1
Ti
a∆t n n −Ti = 2 (Ti+1 − 2Ti n +Ti−1) ∆x
n
Ti
n+1
a∆t n n = 2 (Ti+1 − 2Ti n +Ti−1) +Ti n ∆x
④ von-Neumannn 方法
误差矢量随时间的传递
∂T ∂2T = a 2 , x(0, L) ∂t ∂x
φ3 = 8φ4 − 3φ5
φ2 = 51 4 − 20φ5 φ
−φ1 + 384φ4 −151 5 = 0 φ
例题3-2 p54 例题
∂T ∂T = a 2 , x(0, 2δ) ∂t ∂x
2
区域离散
t ≤ 0 T =100 C ，
0
1000 C
0
t ≥ 0 T(0, t) = 400 C ， T(2δ, t) = 4000C
−φi−2 +16φi−1 − 30φi +16φi+1 −φi+2 + h(φi−2 −8φi−1 + 8φi+1 −φi+2 ) − 24h2φi = 0 (−1+ h)φi−2 + (16 −8h)φi−1 − (30 + 24h2 )φi + (16 + 8h)φi+1 − (1+ h)φi+2 = 0 −φ1 + 8φ2 − 3φ3 = 0 8φ2 − 54φ3 + 24φ4 − 2φ5 = 0 −φ3 + 8φ4 − 3φ5 = 0
∂az ∂ay ∂ax ∂az ∂ay ∂ax rotn a = ∂y − ∂z nx + ∂z − ∂x ny + ∂x − ∂y nz ∂az ∂ay rotx a = ∂y − ∂z
1.4 旋度
① 环量
Γ = ∫ a • dr
L
n
Γ = ∫ a • dr
S
a
M
Γ = ∫ a • dr = ∫ axdx + aydy + azdz
L
∂az ∂ay ∂ay ∂ax ∂ax ∂az = ∫ ∂y − ∂z dydz + ∂z − ∂x dxdz + ∂x − ∂y dydz
例
Γ = ∫ v • dr = v×2πR = ωR×2πR
y
r2
dr
z
x
Γ ωR× 2πR = = 2ω 2 S πR
x
r 1
y
② 旋度
n
a) 定义
∫ a • dr rot a = lim
L n S→0
S
S
a
M
b) 在直角坐标系的表达式
L
r r ∂az ∂ay ∂ay ∂ax ∂ax ∂az ∫L a • dr = ∫ ∂y − ∂z dydz + ∂z − ∂x dzdx + ∂x − ∂y dxdy
M
∂φ φ(M2 ) −φ(M) φ(M1) −φ(M) ∂φ = lim = lim cos n, s = cos n, s M2M →0 ∂s M2M→0 M2M M1M ∂n
( )
( )
∂φ ∂φ = cos n, s ∂s ∂n
( )
∂φ = gradφ •i ∂x
∂φ = gradφ • j ∂y
×M
L
S V
∫ v • dS = 0
S
∫ npdS = ∫ ∇pdV
S V
③ 性质
a)
∇• a = 0
无源场
∫ a • ndS = ∫ a • ndS
S1 S2
S2
n
S1
b)
S1
L
S2
∫ a • ndS = ∫ a • ndS
S1 S2
例
z
u = x +t v = −y + t w= 0
x
y
求t =1 时刻过上半球面的体积流量
n
a • ndS = a • d S
S
a
∫ a•dS
s
M
例
∫ v • dS = ∫ v • ndS = ∫ vdS = vS
s s s
L
∫ ρv • dS = ∫ ρv • ndS = ∫ ρvdS = ρvS
s s s
② 散度
a) 定义
∫ a •dS diva = lim
S V →0
V
b) 在直角坐标系的表达式
4000 C
δ
1
2
3
4
5
x
方程离散
n n Ti n+1 −Ti n Ti+1 − 2Ti n +Ti−1 −=a ∆t ∆x2
n+1
δ
n n Ti n+1 = Ti+1 −Ti n +Ti−1
Ti
a∆t n n −Ti = 2 (Ti+1 − 2Ti n +Ti−1) ∆x
n
例题3-3 p55 例题
∫ a • dS = ∫ (a n
S S
x x
+ ayny + az nz )dS = ∫ (axdydz + aydxdz + az dxdy)
S
∂ax ∂ay ∂az ∫Sa • dS = ∫S (axdydz + aydxdz + azdxdy) = ∫V ∂x + ∂y + ∂z dV