华中师范大学至第二学期实变函数期末考试试题B

、若是可测集，是的可测子集，则。

改正：若是可测集，是的测度有限的子集，则

。

、若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要实数，使是可测集。

改正：若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：对任意实数，是可测集。

5、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。

( √ )

二、叙述题（共5题，共5×3=15分）

1、伯恩斯坦定理。

答：设、是两个集合，若的基数不超过的基数，且的

基数也不超过的基数，则与对等。

2、伯恩斯坦定理。

答：设、是两个集合，若的基数不超过的基数，且的

基数也不超过的基数，则与的基数相等。

3、可测集与开集的关系。

答：设为可测集，则对任意，存在开集，使且

。

4、叶果洛夫定理的逆定理。

答：设{}为上几乎处处有限的可测函数列，也为上几乎处处有限的可测函数如果对任意，存在可测子集，使

在上，一致收敛于，而则

a.e.于。

5、在可测集上几乎处处收敛于的定义。

答：设是可测集，、均为上的可测函数，如果中使不收敛于的点所成的集为零测集，则称在上几乎处处收敛于，记为 a.e.于。

三、简答题（共1题，共1×10=10分）

1、按从简单到复杂的方式简述Lebesgue的定义。

答：1. 设为可测集，为上非负简单函数，即（两两不交）且当

时，则称为在上的Lebesgue 积分，记为

。————————————————————3分 2. 设为可测集，为上非负可测函数，则存在一列单调递增非负简单函数列

使，则称为在上的Lebesgue积分，记为

。

—————————————————————7分 3. 设为可测集，为上可测函数，由于，如果

与

至少有一个为有限数，则称－为在上的Lebesgue积分，记为。—————————————————————10分

四、解答题（共6题，共6×10=60分）

1、设是上的单调函数，证明是上

的可测函数。

证：由题设知在上几乎处处连续，——————————————6分

而上连续函数是可测函数

所以由可测函数的性质知是上的可测函数。——————————————10分

2、设，证明是闭集的充要条件是：，其中{包含的闭集全体}。

证：充分性由闭集的交集运算性知是闭集。————————————4分

必要性对任意，有，所以——————————7分

又，从而

所以。————————————10分 3、若均为上的可测子集，且，则。

证：因为————————————————4分

而，

所以。———————————10分

4、利用Lebesgue控制收敛定理，求。

证：因为当时，，———————————————4分

所以 a.e.于

由Lebesgue控制收敛定理知=。————————10分

5、设，其中是上的有理数集，求。

解：因，所以 a.e.于————————————5分

由积分的唯一性知

=—————————————10分

6、若中的可测集列，满足，则

证：因=，——————————————4

分

所以

让，由夹逼原则知

又

所以。—————————————————10分