2011年高考理科数学陕西卷( WORD版含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）

数学（理工农医类）

一．

选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本

大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设,a b 是向量，命题“若a b ≠-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是 （ D ） （A ）若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ （B ）若a b =，则∣a ∣≠∣b ∣ （C ）若∣a ∣≠∣b ∣，则∣a ∣≠∣b ∣ （D ）若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b

2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ B ） （A ）28y x =- （B ）28y x = (C) 24y x =- (D) 24y x =

3.设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是（ B ）

4.

6

(42)x x （x ∈R 展开式中的常数项是 （ C ） （A ）-20 （B ）-15 （C ）15 （D ）20

5. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ A ） (A)283

π

-

(B)83

π

-

(C)8-2π (D)23

π

6. 函数cosx 在[0，+∞）内 （ B ） （A ）没有零点 （B ）有且

仅有一个

零点

（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7. 设集合M={y |2

cos x —2

sin x |,x ∈R},

N={x ||x —1

i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为（ C ）

(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]

8. 右图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当1x =6，2x =9，p=8.5时，3x 等于 （ C ） (A)11 (B)10

(C)8 (D)7

9.设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）

是变量

x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是【D 】

（A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （B ）x 和y 的相关系数在0到1之间

（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

（D ）直线l 过点

10.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是【D 】 （A ）

136 （B ）19 （C ）536

（D ）1

6

11.设若((1))1f f =，则a = 1

12.设n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = 3或4 13.观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n 个等式为 2(1)(2)...(32)(21)n n n n n ++++++-=-。

14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为2000（米）。 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-⋃+∞ 。

B ．（几何证明选做题）如图，,,90B D AE B

C AC

D ∠=∠⊥∠=，

且6,4,12AB AC AD ===，则BE =

C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线

（θ

为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为 3 。

三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）。

16．（本小题满分12分）

如图，在ABC ∆中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折

起，使90BCD ∠= 。

（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；

（Ⅱ ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求AE −−→与 DB

−−→夹角的余弦值。

解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高， ∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面

平面BDC.

（Ⅱ ）由∠ ＢＤＣ＝90︒及（Ⅰ）知DA ，ＤＢ，DC 两两垂直，不防设DB =1，

以D 为坐标原点，以

DB −−→，DC

−−→，DA −−→所在直线,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D （0,0,0），B （1,0,0），C

（0,3,0），A （0,0，E （

12，3

2

，0），

AE

∴−−→

=13,,22⎛ ⎝， DB

−−→=（1，0,0,）， AE ∴−−→与DB

−−→夹角的余弦值为 cos ＜AE −−→，DB

−−→＞=AE DB

AE DB

−−→−−→−−

→−−

→1

22

=

=

. 17.（本小题满分12分）

如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且4

5

MD PD =

（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线被C 所截线段的长度 解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x,y ）P 的坐标为（x p ,y p ）

由已知 x p =x 5

4

p y y =

∵ P 在圆上， ∴ 2

2

5254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

，即C 的方程为2212516x y +

= （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为

45的直线方程为()4

35

y x =-， 设直线与C 的交点为()()1

122,,,A x y B x y