相似三角形教学教材

证明：连结MC， ∵DE是△ABC的中位线，
A1
∴DE∥BC，AE＝EC， 又∵ME⊥AC,
43
D
E
∴AM＝CM，
∴ ∠1= ∠2 ，
B
∵∠B=90°，
∴ ∠4＝ ∠B= 90°，
∵AF ∥BC，AM ∥DE,
∴ ∠1= ∠2 ，
∴ ∠3= ∠2 ,
∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ，
∴ △ADE ∽△MEC．
3、存在探索型
如图, DE是△ABC的中位线， ∠B=90° ，
AF ∥BC，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与
△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角
形相似，若不存在，请说明理由. A
F
D
E
B
C
解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,
即M点(或作∠MCA= ∠AED).
时，△ ACP∽△ABC
P1
⑵ ∵∠A= ∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时， 3
2
△ ACP∽△ABC
B
C
⑶ ∵∠A= ∠A，
当∠3＋∠ACB＝180°时， △ ACP∽△ABC
答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC或 ∠3＋∠ACB＝180°时,△ ACP∽△ABC.
2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，
BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，
两三角形相似
a
解:⑴∵ ∠1＝∠D＝90° a ∴当 AC BC 时，即当 b
A b BD
时，
１b
BC BD
△ABC∽ △CDB,∴
BD
b2
B
wenku.baidu.comC D
a
⑵∵ ∠1＝∠D＝90°
∴当
AC BC
AB BD
时，即当
a b
a2 b2
BD 时，
△ABC∽ △BDC， ∴ BD b a2 b2
a
答：略.
这类题型结论是明确的，而需 要完备使结论成立的条件．
解题思路是：从给定结论出发， 通过逆向思考寻求使结论成立 的条件．
2、结论探索型
1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，
假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相
似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出
来.
A
解：有相似三角形，它们是： △ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA B （ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）
MF
2 C
所谓存在性问题，一般是要求确 定满足某些特定要求的元素有或没 有的问题．
解题思路是：先假定所需探索的对象 存在或结论成立，以此为依据进行计 算或推理，若由此推出矛盾，则假定 是错误的，从而给出否定的结论，
否则给出肯定的证明．
小结：
通这一节的复习之后你有哪些收获？
谢谢
１ 2E C D
G
F
2.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线 DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相 似，画出满足条件的图形.
A
A
A
A
E
D
D
B
CB
D E CB E
D
CB
EC
这类题型的特征是有条件而无论， 要确定这些条件下可能出现的结论．
解题思路是：从所给条件出发 ，
通过分析、比较、猜想、寻求 多种解法和结论，再进行证明.
立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上， 无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换 比例的方法。可证明： △AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
二、探索题
1、条件探索型
1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连 结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC．
解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB （或∠2= ∠BA）
所在的三角形相似。
O E
证明：∵ AB∥CD
∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB
A
F
B
∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB
∴ ∠C= ∠FDB
又 ∵ ∠DEO= ∠DEC
∴ △EDC∽△EOD
∴
ED EO
EC =ED
，即 ED2=EO ·EC
3. 过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边
式 AC AD
AB =AC
，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。由已知两个三角形有二个
角对应相等，所以两三角形相
似，本题可证。
2. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
求证：ED2=EO ·EC.
分析：欲证 ED2=EO·EC，即证： D
C
ED EO
EC =ED
，只需证DE、EO、EC
BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF·EG .
A
D
E
B
F
C
G
证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED
∴
EA EG
AB =DG
，
EF EA
BE =ED=
AB DG
∴
EA EG
EF =EA
分析：要证明 EA2 = EF·EG ，
EA EF 即 证明 E G = E A 成
相似三角形
复习课
虹桥二中
徐丽
一、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点，∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB
C
分析:要证明AC2=AD·AB，需
要先将乘积式改写为比例
A
D
B
证明:∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A
∴ △ABC △ACD
∴
AC AB AD =AC
∴ AC2=AD·AB