大学物理第2章_运动定律与力学中的守恒定律.
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l
一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时， 它们之间的保守力做的功必然是零。
19
二、动能定理
质点的动能定理 d
F m
dt
1 1 2 d d ( ) d ( ) 2 2 1 F dr d ( m 2 ) 2
d F dr m dr m d dt
r
p
0
29
在直角坐标系中表示 L r m ( xi yj zk ) ( px i py j pz k )
Lx ypz zp y
Ly zpx xpz
Lz xpy ypx
当质点作圆周运动时 L＝rm=mr2
由牛顿第三定律知： T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T， 有 讨论: (1) (2)
T / 2T 4m2 m1 g m1 m2
T/ ＜(m1＋m2)g. m1=m2: a1＝a2＝0;
T=2m1 g
9
§2.2 动量 动量守恒定律
整个物理学大厦的基石,三大守恒定律： 动量守恒定律 能量转换与守恒 角动量守恒
2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系. 3. 若某一方向的合外力零， 则该方向上动量守恒； 但总动量可能并不守恒。 4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定 律，它在宏观和微观领域均适用
15
我国长征系列火箭升空
16
§2-3 功 动能 势能 机械能守恒定律 一.功 功率
1.功：力在位移方向上的投影与该物体位移大小的 乘积. b
重力的功只由质点始、末位置来决定，而与 所通过的路径无关.
18
(2)弹簧弹性力的功
0 F kxi
W
保守力
2 1
x
x
x2 1 2 1 2 F dr kxi dxi ( kx 2 kx1 ) x1 2 2
F dr 0
2
1
1 2 E m 令 k 2 2 1 F dr d ( m 2 ) 1 2 2 1 2 F d r m 2 1 2
•Ek是状态量，相对量， 与参照系的选择有关 。
1 m 12 2
20
合力对质点作的功等于质点动能的增量
例: 一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t＝0时 物体静止于原点.(1)若物体在力F＝3＋4t N的作用下运 动了3 s，它的速度增为多大？(2)物体在力F＝3＋4x N 的作用下移动了3 m，它的速度增为多大？
一.质点的动量定理
定义: 质点的动量— p m
△ 状态矢量 △ 相对量
定义:
t 力的冲量 — I F dt
t0
10
若一个质点，所受合外力为 F d ( m ) dp F dt dt
质点动量定理：
微分形式
积分形式
dI Fdt dp t I Fdt p p0
L
m
o
r
30
二.质点的角动量定理
1.力矩: 对固定点
M r F
M
•大小: M=F· r· sin •方向：右螺旋 •单位： N· m 在直角坐标系中各 坐标轴的分量为
r
0
F
M x yFz zFy
力矩为零的情况: (1) 力 F 等于零； (2) 力 F 的作用线与矢径 r 共线即(sin=0)。
解
(1)由动量定理
得
t
t
0
F d t m
3 4t dt 10
0
F dt m
3
0
=2.7ms-1
(2)由动能定理 得
(
x 0
x
0
1 F dx i m 2 2
3 2( 3 4 x ) 2F 1/ 2 dx ) ( d x )1 / 2 0 m 10
质点作匀速圆周运动时
L
m
r m c
o
r
定义: 质点相对于O点的矢径 r 与质点的动量 m 的矢积 定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用 L 表示
Lr p
L
•大小: L=r· p· sin •方向：右螺旋 •单位： kg· m2· s-1
6
解题的基本思路
1）确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图）
2）取坐标系；
3）列方程（一般用分量式）；
4）利用其它的约束条件列补充方程；
5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
7
例：一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1和m2的物体(m1<m2)，如图所示.设滑轮 和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加 速度以及悬挂滑轮的绳中张力. 解：选取对象 a m1、m2及滑轮 m1 分析运动 m2 m1，以加速度a1向上运动 m2，以加速度a2向下运动 T T
F ma
瞬时性：第二定律是力的瞬时作用规律 F、a 之间一一对应
矢量性：有大小和方向，可合成与分解
力的叠加原理 F F1 F2 FN
F
N 1
i
i
4
分解: 直角坐标系中：
d x Fx ma x m dt d y Fy ma y m dt
14
三、动量守恒定律
一个孤立的力学系统或合外力为零的系统，系统 内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。 这就是动量守恒定律。 n 即： Fi 0, mi i =常矢量
i 1
i
说明: 1. 守恒条件是
i 1
n
Fi 0 而不是
t2
t1
( Fi )dt 0
25
四、质点系的动能定理与功能原理
1.质点系的动能定理
Fi外 i fij
i 1
n
(Wi外 Wi内 ) Eik 2 Eik1
i 1 i 1
n
n
W外 W内 Ek 2 Ek1
所有外力和内力对质点系所做功之和等于质点系 总动能的增量。——质点系的动能定理
26
五.机械能守恒律
=2.3ms-1
21
22
三、势能
重力的功
W mgz2 mgz1
1 2 1 2 W ( kx 2 kx1 ) 弹性力的功 2 2 保守力的功只与初、终态的相对位置有关，说 明系统存在一种只与相对位置有关的能量。 可引入一个 由物体相对位置所决定而又具有能量性质的函 数，称之为势能函数。用Ep表示.
t0
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量 的增量这就是质点的动量定理。
I x Fx dt m x m x0
t0 t t
直角坐标系中:
I y Fydt m y m y0
t0 t
I z Fz dt m z m z0
t0
11
冲量:
t I dI Fdt
1.牛顿第一定律 一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运 动状态. 牛顿第一定律又称为惯性定律. 意义： (1) 定性给出了两个重要概念,力与惯性 力是物体与物体间的相互作用. 惯性是物体的固有属性. (2) 定义了惯性参考系 惯性定律成立的参照系为惯性系。
3
二、牛顿第二定律
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的 大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反 比；加速度的方向与合外力F的方向相同
1
分析受力 隔离体受力如图所示. 列出方程 取a1向上为正方向，则有 T1－m1g＝m1a1
a1
T2
a2
m1g
m2g
T1/来自百度文库T2/
8
①
以a2向下为正方向，则有 m2g－T2＝m2a2. ② 根据题意有 T1＝T2＝T， a1＝a2＝a. 联立①和②两式得
a m2 m1 g m1 m2
2m2m1 T g m1 m2
Ep 重 mgz
24
• 对弹性势能: 通常选弹簧自然长度时的 势能为零, 则 1 2 Ep 弹 kx 2 讨论： 1.势能是相对量，其值与零势能参考点的选择有关. 2.势能函数的形式与保守力的性质密切相关. 3.势能是以保守力形式相互作用的物体系统所共有. 4.势能物理意义可解释为： 一对保守力的功等于相关势能增量的负值.
dW F dr
dr
力沿路径 l 的线积分 b W F dr
a
F
a
直角坐标系中 F Fx i Fy j Fz k
W
b a x1 y1
dr dxi dyj dzk
z1
x2 y2 z2 F dr Fx dx Fydy Fz dz
t0
dI Fdt
冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定
f
f
说明: △ F应为合外力； △ 也只对惯性系成立。 △ p是状态量； I是过程量。
0
t t+△t
t
12
二、质点系的动量定理
第i个质点受的合外力 Fi fij
j i
Fi
pi
i
fij
f ji
j
由牛顿第三定律有: 所以有:
17
3.保守力的功 (1) 重力的功 物体m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐 标原点. z b z2 b W mg dr a z1 a b ( mgk ).(d xi d yj dzk ) y 0 a x mg
z2
z1
mgdz
W mgz2 mgz1
对于一个系统
dW 外 dW 内非 dE
在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。 或, 若 dW外=0 且 dW内非=0 时，E＝常量 ——称机械能守恒律
dW外＝0 :系统与外界无机械能的交换 dW 0 :系统内部无机械能与其他能量形式的 内非＝
转换
•若系统机械能守恒,则
E Ek E p 0
31
M y zFx xFz M z xFy yFx
2.质点的角动量定理
dL m r F r F dt
dL M dt
质点角动量定理 微分形式
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变 化率。称质点对固定点的角动量定理。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 牛顿运动定律 动量 动量守恒定律 功 动能 势能 机械能守恒定律 角动量 角动量守恒定律 刚体的定轴转动
1
物体间的相互作用称为力，研究
物体在力的作用下运动的规律称为
动力学.
2
§2-1 牛顿运动定律 一、惯性定律 惯性参考系
i
i ji
fij 0
( Fi ) d t d pi
i
13
令 则有：
Fi F外 ， pi p
i
F外 d t d p
F外 d t p2 p1
i
t2
t1
质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外 力的冲量.
d z Fz maz m dt
定量的量度了惯性:
m A aB mB a A
质量是物体惯性大小的量度；
5
三、牛顿第三定律
当物体A以力F1作用在物体B上时，物体B也必定 同时以力F2作用在物体A上.F1和F2大小相等，方向 相反，且力的作用线在同一直线上.
F1 F2
作用力与反作用力： ①总是成对出现，一一对应的. ②不是一对平衡力. ③是属于同一性质的力.
27
六.能量转换与守恒
在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各 种形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量 将保持不变.这就是能量转换与守恒定律.
意义: 能量守恒定律是自然界中的普遍规律. 运动既不能消失也不能创造，它只能由一种形 式转换为另一种形式.
28
§2-4 角动量 角动量守恒定律 一.质点的角动量
32
t
t0
Mdt L L0
r2
r1
F保 dr ( E p 2 E p1 ) EP
23
保守力的功等于系统势能增量的负值。 r2 E p1 F保 dr E p 2
r1
若选定势能零点为 Ep2=0
Ep
零点 p
F保 dr
• 重力势能： 选地球表面为势能零点
一质点相对于另一质点沿闭合路径运动一周时， 它们之间的保守力做的功必然是零。
19
二、动能定理
质点的动能定理 d
F m
dt
1 1 2 d d ( ) d ( ) 2 2 1 F dr d ( m 2 ) 2
d F dr m dr m d dt
r
p
0
29
在直角坐标系中表示 L r m ( xi yj zk ) ( px i py j pz k )
Lx ypz zp y
Ly zpx xpz
Lz xpy ypx
当质点作圆周运动时 L＝rm=mr2
由牛顿第三定律知： T1/＝T1＝T，T2/＝T2＝T， 有 讨论: (1) (2)
T / 2T 4m2 m1 g m1 m2
T/ ＜(m1＋m2)g. m1=m2: a1＝a2＝0;
T=2m1 g
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§2.2 动量 动量守恒定律
整个物理学大厦的基石,三大守恒定律： 动量守恒定律 能量转换与守恒 角动量守恒
2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系. 3. 若某一方向的合外力零， 则该方向上动量守恒； 但总动量可能并不守恒。 4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定 律，它在宏观和微观领域均适用
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我国长征系列火箭升空
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§2-3 功 动能 势能 机械能守恒定律 一.功 功率
1.功：力在位移方向上的投影与该物体位移大小的 乘积. b
重力的功只由质点始、末位置来决定，而与 所通过的路径无关.
18
(2)弹簧弹性力的功
0 F kxi
W
保守力
2 1
x
x
x2 1 2 1 2 F dr kxi dxi ( kx 2 kx1 ) x1 2 2
F dr 0
2
1
1 2 E m 令 k 2 2 1 F dr d ( m 2 ) 1 2 2 1 2 F d r m 2 1 2
•Ek是状态量，相对量， 与参照系的选择有关 。
1 m 12 2
20
合力对质点作的功等于质点动能的增量
例: 一质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地滑动，t＝0时 物体静止于原点.(1)若物体在力F＝3＋4t N的作用下运 动了3 s，它的速度增为多大？(2)物体在力F＝3＋4x N 的作用下移动了3 m，它的速度增为多大？
一.质点的动量定理
定义: 质点的动量— p m
△ 状态矢量 △ 相对量
定义:
t 力的冲量 — I F dt
t0
10
若一个质点，所受合外力为 F d ( m ) dp F dt dt
质点动量定理：
微分形式
积分形式
dI Fdt dp t I Fdt p p0
L
m
o
r
30
二.质点的角动量定理
1.力矩: 对固定点
M r F
M
•大小: M=F· r· sin •方向：右螺旋 •单位： N· m 在直角坐标系中各 坐标轴的分量为
r
0
F
M x yFz zFy
力矩为零的情况: (1) 力 F 等于零； (2) 力 F 的作用线与矢径 r 共线即(sin=0)。
解
(1)由动量定理
得
t
t
0
F d t m
3 4t dt 10
0
F dt m
3
0
=2.7ms-1
(2)由动能定理 得
(
x 0
x
0
1 F dx i m 2 2
3 2( 3 4 x ) 2F 1/ 2 dx ) ( d x )1 / 2 0 m 10
质点作匀速圆周运动时
L
m
r m c
o
r
定义: 质点相对于O点的矢径 r 与质点的动量 m 的矢积 定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用 L 表示
Lr p
L
•大小: L=r· p· sin •方向：右螺旋 •单位： kg· m2· s-1
6
解题的基本思路
1）确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图）
2）取坐标系；
3）列方程（一般用分量式）；
4）利用其它的约束条件列补充方程；
5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
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例：一细绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1和m2的物体(m1<m2)，如图所示.设滑轮 和绳的质量可忽略不计，绳不能伸长，试求物体的加 速度以及悬挂滑轮的绳中张力. 解：选取对象 a m1、m2及滑轮 m1 分析运动 m2 m1，以加速度a1向上运动 m2，以加速度a2向下运动 T T
F ma
瞬时性：第二定律是力的瞬时作用规律 F、a 之间一一对应
矢量性：有大小和方向，可合成与分解
力的叠加原理 F F1 F2 FN
F
N 1
i
i
4
分解: 直角坐标系中：
d x Fx ma x m dt d y Fy ma y m dt
14
三、动量守恒定律
一个孤立的力学系统或合外力为零的系统，系统 内各质点间动量可以交换，但系统的总动量保持不变。 这就是动量守恒定律。 n 即： Fi 0, mi i =常矢量
i 1
i
说明: 1. 守恒条件是
i 1
n
Fi 0 而不是
t2
t1
( Fi )dt 0
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四、质点系的动能定理与功能原理
1.质点系的动能定理
Fi外 i fij
i 1
n
(Wi外 Wi内 ) Eik 2 Eik1
i 1 i 1
n
n
W外 W内 Ek 2 Ek1
所有外力和内力对质点系所做功之和等于质点系 总动能的增量。——质点系的动能定理
26
五.机械能守恒律
=2.3ms-1
21
22
三、势能
重力的功
W mgz2 mgz1
1 2 1 2 W ( kx 2 kx1 ) 弹性力的功 2 2 保守力的功只与初、终态的相对位置有关，说 明系统存在一种只与相对位置有关的能量。 可引入一个 由物体相对位置所决定而又具有能量性质的函 数，称之为势能函数。用Ep表示.
t0
作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量 的增量这就是质点的动量定理。
I x Fx dt m x m x0
t0 t t
直角坐标系中:
I y Fydt m y m y0
t0 t
I z Fz dt m z m z0
t0
11
冲量:
t I dI Fdt
1.牛顿第一定律 一孤立质点将永远保持其原来静止或匀速直线运 动状态. 牛顿第一定律又称为惯性定律. 意义： (1) 定性给出了两个重要概念,力与惯性 力是物体与物体间的相互作用. 惯性是物体的固有属性. (2) 定义了惯性参考系 惯性定律成立的参照系为惯性系。
3
二、牛顿第二定律
物体受到外力作用时，它所获得的加速度的 大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反 比；加速度的方向与合外力F的方向相同
1
分析受力 隔离体受力如图所示. 列出方程 取a1向上为正方向，则有 T1－m1g＝m1a1
a1
T2
a2
m1g
m2g
T1/来自百度文库T2/
8
①
以a2向下为正方向，则有 m2g－T2＝m2a2. ② 根据题意有 T1＝T2＝T， a1＝a2＝a. 联立①和②两式得
a m2 m1 g m1 m2
2m2m1 T g m1 m2
Ep 重 mgz
24
• 对弹性势能: 通常选弹簧自然长度时的 势能为零, 则 1 2 Ep 弹 kx 2 讨论： 1.势能是相对量，其值与零势能参考点的选择有关. 2.势能函数的形式与保守力的性质密切相关. 3.势能是以保守力形式相互作用的物体系统所共有. 4.势能物理意义可解释为： 一对保守力的功等于相关势能增量的负值.
dW F dr
dr
力沿路径 l 的线积分 b W F dr
a
F
a
直角坐标系中 F Fx i Fy j Fz k
W
b a x1 y1
dr dxi dyj dzk
z1
x2 y2 z2 F dr Fx dx Fydy Fz dz
t0
dI Fdt
冲量的方向不能由某瞬时力的方向来决定
f
f
说明: △ F应为合外力； △ 也只对惯性系成立。 △ p是状态量； I是过程量。
0
t t+△t
t
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二、质点系的动量定理
第i个质点受的合外力 Fi fij
j i
Fi
pi
i
fij
f ji
j
由牛顿第三定律有: 所以有:
17
3.保守力的功 (1) 重力的功 物体m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐 标原点. z b z2 b W mg dr a z1 a b ( mgk ).(d xi d yj dzk ) y 0 a x mg
z2
z1
mgdz
W mgz2 mgz1
对于一个系统
dW 外 dW 内非 dE
在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。 或, 若 dW外=0 且 dW内非=0 时，E＝常量 ——称机械能守恒律
dW外＝0 :系统与外界无机械能的交换 dW 0 :系统内部无机械能与其他能量形式的 内非＝
转换
•若系统机械能守恒,则
E Ek E p 0
31
M y zFx xFz M z xFy yFx
2.质点的角动量定理
dL m r F r F dt
dL M dt
质点角动量定理 微分形式
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变 化率。称质点对固定点的角动量定理。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 牛顿运动定律 动量 动量守恒定律 功 动能 势能 机械能守恒定律 角动量 角动量守恒定律 刚体的定轴转动
1
物体间的相互作用称为力，研究
物体在力的作用下运动的规律称为
动力学.
2
§2-1 牛顿运动定律 一、惯性定律 惯性参考系
i
i ji
fij 0
( Fi ) d t d pi
i
13
令 则有：
Fi F外 ， pi p
i
F外 d t d p
F外 d t p2 p1
i
t2
t1
质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外 力的冲量.
d z Fz maz m dt
定量的量度了惯性:
m A aB mB a A
质量是物体惯性大小的量度；
5
三、牛顿第三定律
当物体A以力F1作用在物体B上时，物体B也必定 同时以力F2作用在物体A上.F1和F2大小相等，方向 相反，且力的作用线在同一直线上.
F1 F2
作用力与反作用力： ①总是成对出现，一一对应的. ②不是一对平衡力. ③是属于同一性质的力.
27
六.能量转换与守恒
在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各 种形式的能量之间无论怎样转换，但系统的总能量 将保持不变.这就是能量转换与守恒定律.
意义: 能量守恒定律是自然界中的普遍规律. 运动既不能消失也不能创造，它只能由一种形 式转换为另一种形式.
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§2-4 角动量 角动量守恒定律 一.质点的角动量
32
t
t0
Mdt L L0
r2
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F保 dr ( E p 2 E p1 ) EP
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保守力的功等于系统势能增量的负值。 r2 E p1 F保 dr E p 2
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若选定势能零点为 Ep2=0
Ep
零点 p
F保 dr
• 重力势能： 选地球表面为势能零点