四元数的初步总结

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四元数简介——精选推荐

四元数简介——精选推荐

四元数简介在我之前,⽹上各个博客各⼤⽹站都有很多关于四元数的介绍与讲解!但我总结了⼀下接三个字:看不懂!说实话!这真的是实话!举个例⼦:1.旋转,应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移,中最复杂的⼀种了。

⼤家应该都听过,有⼀种旋转的表⽰⽅法叫四元数。

按照我们的习惯,我们更加熟悉的是另外两种旋转的表⽰⽅法——矩阵旋转和欧拉旋转。

矩阵旋转使⽤了⼀个4*4⼤⼩的矩阵来表⽰绕任意轴旋转的变换矩阵,⽽欧拉选择则是按照⼀定的坐标轴顺序(例如先x、再y、最后z)、每个轴旋转⼀定⾓度来变换坐标或向量,它实际上是⼀系列坐标轴旋转的组合。

那么,四元数⼜是什么呢?简单来说,四元数本质上是⼀种⾼阶复数(听不懂了吧。

),是⼀个四维空间,相对于复数的⼆维空间。

我们⾼中的时候应该都学过复数,⼀个复数由实部和虚部组成,即x = a + bi,i是虚数单位,如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。

⽽四元数其实和我们学到的这种是类似的,不同的是,它的虚部包含了三个虚数单位,i、j、k,即⼀个四元数可以表⽰为x = a + bi + cj + dk。

那么,它和旋转为什么会有关系呢?怎么样,看得懂吗?反正⼩编是被现实胖揍⼀顿!那么,今天我们要怎么来介绍这个四元数呢?我们来最简单暴⼒的!重新定义⼀下这个怪物四元数!Quaternion(四元数)⽤于计算和表⽰Unity旋转。

它们计算紧凑⾼效,不受万向节死锁的困扰,并且可以很⽅便快速地进⾏球⾯插值。

Unity内部使⽤四元数来表⽰所有的旋转。

注意重点:1,不受万向节死锁的困扰。

2,⽅便快速地进⾏球⾯插值。

3, Unity内部使⽤四元数来表⽰所有的旋转。

好了,现在你得重定义应该是这样的:定义:Quaternion(四元数)⽤于计算和表⽰Unity旋转。

就像当初数学⽼师告诉你∏(pai)⽤来表⽰圆周率⼀样!你有探究过∏(pai)是怎么算出来的吗?但是你们是不是都知道怎么利⽤圆周率计算圆的⾯积呢?类似的,对于初学者的我们,最重要的是现在要学会和记住四元数的使⽤⽅法。

四元数

四元数
4 阶实方阵集 H 内方阵型如 b a d c ,令 1 I
1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 ,则集 H 内任意方阵可唯一表为 aIbE cJ dK ,即 , E 1 0 , J ;K c d a b 1 0 0 1 1 0 1 d c b a 0 1 1 0 1 1 0 2 2 2 H {aI bE cJ dK | a,b,c,dR} ,H 对矩阵减法封闭 ;且 E J K I , EJ K,JK E,KE J; JE K,KJ E,EK J ,矩阵乘法在 H 内封闭,故 H 对矩阵加,乘法构 1 来自

[d, b, c] [a, d, c] [a, b, d] 推论 [a, b, c] 0 d a b c a {b (c d)} (b d)(a c) (b c)(a d) [a, b, c] [a, b, c]
S() : 2a R
N( ) : a2 b2 c2 d2 R
证明: 0 0, oder, 0
0, und, 0 0 N( ) 0 0 ,即 0, und, 0 0 ,同理 0,und, 0 0 0 N( ) 0 证明:若 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根,则 也是其根. 因为, 是方程 x 2 S( ) N( ) 0 的根 2 ( ) ( ) 0 2 ( ) ( ) 0 也是其根)
四矢外积: (a b) (c d) [a, b, d]c [a, b, c]d [c, d, a]b [c, d, b]a (V, V, V, V) V 三矢外积 三矢外积 (a b) (c d) ((a b) d)c ((a b) c)d [a, b, d]c [a, b, c]d; (a b) (c d) ((c d) a)b ((c d) b)a [c, d, a]b [c, d, b]a

四元数

四元数

二.四元数与姿态阵之间的关系
3.由于 || Q || q0 2 q12 q2 2 q3 2 =1,所以:
q0 2 q12 q2 2 q3 2 R Cb 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2
2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
构造四元数:
q0 cos

2
2 q2 m sin 2 q3 n sin 2
q1 l sin

Q q0 q1i0 q2 j0 q3 k0 cos cos

2
(li0 mj0 bk0 ) sin

2

2
u R sin

2
二.四元数与姿态阵之间的关系
记:
rx ' r 'R r ' y rz '
rx rR r y rz
l uR m n
二.四元数与姿态阵之间的关系
0 n m rx r (u r ) R n 0 l y 0 m l rz
q0 2 q12 q2 2 q3 2 CbR 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2 2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
2 2 2 2
2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 q1 q2 q3 2(q1q3 q0 q2 )
二.四元数与姿态阵之间的关系

四元数的初步总结

四元数的初步总结

四元数的初步总结(一)前一阵子,以前公司的一位同事向我请教一段计算机图形程序中的算法,其中涉及齐次坐标和四元数。

齐次坐标问题到好讲解,但四元数方面以前所知几乎为零。

正好我看到齐民友在《复分析,可视化方法》译后记中提到的一本书:《高观点下的初等数学》([德]克莱因著,以下简称《初等数学》)当中有一段讲到四元数,于是就细读了一遍,把这个专题的整理笔记写下来。

但是那本书里有很多结果依靠繁杂的机械运算,让人看了不知道这样的结果是怎么得出来的。

因此我们这里用向量代数的观点重新审视四元数的一些结果,让四元数的特性看起来更直观,更自然。

另外还有一些我认为重要的有关四元数引入的背景知识,例如数域的扩充问题的证明,那本书里只有一部分提示,这里也试着补全一些。

一、四元数引入的理论背景将实数域扩充到复数域,并用复数来表示平面向量,用复数的加、乘运算表示平面向量的合成、伸缩和旋转变换,这些观念已经在中学课程中学过了。

那么,很自然的问题就是,在三维,或更高维空间中是否也有复数的类似物?也就是说,像扩充实数那样,在复数域的基础上添加一个或几个新的元素,并且让它们跟原来的复数做加减乘除,是否就可以得到一个新的数集,并且其中的元素还可以像复数域那样做加、减、乘、除运算,并满足通常复数的那些运算律,包括加法和乘法的交换律与结合律、乘法对加法的分配律等待?更进一步,我们是否可以期望用这样的数来表示三维或更高维空间中的伸缩和旋转,就像用复数表示平面向量的伸缩旋转那样方便?把问题说得明确一些,即是说,我们是否可以像得到复数域那样,在复数域中再添加一个新的元素(因此也是在实数基础上添加两个元素和),得到一个类似于复数集合,这个集合中的元素当时就是普通的复数,当时就是普通的实数,并且通常数的加减乘除运算及其性质都可以在这个集合上保持,即满足:1、对于任意两个数,它们的和是唯一确定的。

2、对于任意两个数,它们的积是唯一确定的。

3、存在一个数0,它具有性质:对于任意a,均有a+0=a。

四元数

四元数
此处仅讨论具有实数元素之四元数,并将以两种形式来描述四元数。其中一种是向量与纯量的结合,另一形 式两个创建量(constructor)与双向量(bivector;i、j与k)的结合。
定义两个四元数:
其中表示矢量 ;而表示矢量。
跟复数、向量和矩阵一样,两个四元数之和需要将不同的元素加起来。 加法遵循实数和复数的所有交换律和结合律。
威廉·卢云·哈密顿
明确地说,四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话,四元数就代表着一 个四维空间,相对于复数为二维空间。
四元数是除环(除法环)的一个例子。除了没有乘法的交换律外,除法环与域是相类的。特别地,乘法的结 合律仍旧存在、非零元素仍有逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数(事实上是除法代数),并包括复数,但不与复数组成结合代数。 四元数(以及实数和复数)都只是有限维的实数结合除法代数。
不只如此,哈密顿还创造了向量的内外积。他亦把四元数描绘成一个有序的四重实数:一个纯量和向量的组 合。若两个纯量部为零的四元数相乘,所得的纯量部便是原来的两个向量部的纯量积的负值,而向量部则为向量 积的值,但它们的重要性仍有待发掘。
哈密顿之后继续推广四元数,并出了几本书。最后一本《四元数的原理》(Elements of Quaternions)于 他死后不久出版,长达八百多页。
非奇异表达(和例如欧拉角之类的表示相比)
比矩阵更紧凑(更快速)
单位四元数的对可以表示四维空间中的一个转动。
所有单位四元数的集合组成一个三维球和在乘法下的一个群(一个李群)。是行列式为1的实正交3×3正交 矩阵的群的双面覆盖,因为每两个单位四元数通过上述关系对应于一个转动。群和同构,是行列式为1的复酉 2×2矩阵的群。令为形为的四元数的集合,其中或者都是整数或者都是分子为奇数分母为2的有理数。集合是一 个环,并且是一个格。该环中存在 24个四元数,而它们是施莱夫利符号为的正二十四胞体的顶点。

四元数-第1讲

四元数-第1讲

四元数-第1讲
What-四元数
定义1:
若存在复数A=a+bi和C=c+di,构建Q=A+Cj并定义k=ij,因此生成
四元数空间H:
Q=a+bi+cj+dk
上式a,b,c,d为R;i,j,k为虚数单位向量;
ii=jj=kk=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j;右手法则
注:通过Q发现,实数、虚数、复数均属于四元数;
定义2:
四元数定义为标量与向量的和,第一部分是实数或标量,第二部分(加粗)
是虚数或向量,
四元数Q视作四维向量q,可表示实数和纯虚数;
2.How-四元数basis
基本运算法则:
+、、 1、 *、 ||.||、 -1(逆)、 normalized
2.1加法(+):
对应位置相加,满足加法交换律和结合律;
p+q=q+p p+(q+r)=(p+q)+r
2.2乘法():
不满足交换律(因叉乘导致,叉乘为零可交换),满足结合律;
并满足对加法的分配律:
四元数乘法可转变为矩阵乘积:
注:
表示向量生成斜对称矩阵;
(向量叉乘)
2.3单元四元数([1,0,0,0]) :
满足
2.4共轭(*):
四元数共轭定义标量部分不变,向量(虚数部分)取相反数;
四元数与其共轭四元数相乘等于各部分平方和;
2.5范数(||.||):
定义如下,
2.6逆(-1):
四元数乘以四元数的逆等于单元四元数[1,0,0,0];
结合四元数共轭可知:
2.7单位四元数(normalized):
范数等于1的四元数,结合上式可得,
单位四元数可作为方向/旋转操作符,这意味旋转逆操作可使用四元数共轭。

四元数详解

四元数详解

四元数详解四元数是一种数学概念,它在多个领域都有广泛的应用。

在计算机图形学中,四元数用于表示旋转变换。

下面我将以人类的视角来介绍四元数的定义、性质和应用。

四元数是一种扩展了复数的数学结构。

它由一个实部和三个虚部组成,可以写成q = a + bi + cj + dk的形式,其中a、b、c、d分别是实数,i、j、k是虚数单位。

与复数一样,四元数也有加法和乘法运算。

我们来看四元数的定义。

四元数的实部a对应于实数部分,而虚部bi + cj + dk对应于虚数部分。

四元数的加法定义很简单,就是将实部和虚部分别相加。

而乘法则稍微复杂一些,需要使用四元数的乘法规则:i² = j² = k² = ijk = -1。

通过这个规则,我们可以计算出两个四元数的乘积。

接下来,我们来探讨一下四元数的性质。

首先,四元数的加法满足交换律和结合律。

然而,四元数的乘法不满足交换律,即ab ≠ ba。

此外,四元数的乘法满足结合律,但不满足分配律。

这些性质使得四元数的运算有一些独特的特点。

四元数在计算机图形学中有广泛的应用。

由于四元数可以用于表示旋转变换,因此在三维游戏和动画中经常被用到。

与传统的欧拉角相比,四元数具有很多优点,例如不存在万向锁问题和旋转插值更加平滑。

因此,使用四元数可以提高计算机图形学的效率和质量。

除了计算机图形学,四元数还在其他领域有着重要的应用。

例如,在航空航天领域,四元数可以用于表示飞行器的姿态和旋转控制。

在物理学中,四元数可以用于描述粒子的自旋。

此外,四元数还可以用于解决某些数学问题,例如解四次方程和计算曲线的弯曲度。

四元数是一种重要的数学概念,具有广泛的应用。

它在计算机图形学、航空航天和物理学等领域都发挥着重要作用。

通过深入理解四元数的定义、性质和应用,我们能够更好地应用它们解决实际问题,推动科学技术的发展。

四元数

四元数

四元数一、四元数的来历四元数(Quaternions )最先是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton )在1843年发明的数学概念,它是最简单的超复数起初,我们所熟知的复数是由实数加上元素组成的,形式如下所示 z a ib =+将两维复数扩展至三维复数,可以得到z a ib jc =++现在把两个三维复数相乘,并化简得到12121212121212121212()()()z z a a bb c c i a b b a j a c c a ijb c jic b =--++++++ 然而,对于上式得到的结果ij 和ji 并不是确定的值,因此哈密顿引入了四维复数的概念,将z 写成四维复数的形式,即z a ib jc kd =+++这时,再将两个四维复数相乘,化简可得1212121212121212121212121212121212()()()z z a a b b c c d d i a b b a j a c c a k a d d a ijb c ikb d jic b jkc d kid b kjd c =---++++++++++++然后,哈密顿做了如下规定,即ij=k jk=i ki=j ji=-k kj=-i ik=-j按照如上规定,式化简为如下形式121212121212222111121212121212()()()()()()z z a a b b c c d d a ib jc kd a ib jc kd i c d d c j d b b d k b c c b =-+++++++++-+-+-最后,将z1,z2写成最初的形式,即111222z s v z s v =+=+式中,v1,v2分别表示z1,z2的虚数部分得到121212122112z z s s v v s v s v v v =-+++⨯哈密顿将此式中的对象z1z2叫做四元数,并把虚数部分称作是向量。

四元数 有限域-概述说明以及解释

四元数 有限域-概述说明以及解释

四元数有限域-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四元数是一种数学结构,由四个实数构成,可以表示三维空间中的旋转和变换。

它在计算机图形学、机器人学和物理学等领域有着广泛的应用。

在传统的三维空间表示中,我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述物体的旋转。

然而,这些表示方法存在一些缺点,比如欧拉角存在万向锁问题,旋转矩阵存在运算复杂和数值稳定性差的问题。

而四元数作为一种更加高效和稳定的表示方法,逐渐被应用到各个领域中。

四元数的优势在于其具备旋转和线性插值的可逆性、运算速度快、占用的内存空间小等特点。

同时,四元数的运算也相对简单,只需要进行四个实数的乘法和加法运算即可得到旋转的结果。

然而,四元数也存在一些局限性。

首先,四元数的概念对于一般人来说比较抽象和难以理解,需要一定的数学基础才能深入理解其原理。

其次,绕不同轴的旋转可以用不同的四元数表示,存在多个等效的表示方法,导致旋转的唯一性问题。

此外,四元数的运算并不能直接映射到物理世界的旋转运动,需要进行适当的转换。

未来,随着计算机图形学和机器人学等领域的发展,对于更加高效和准确的旋转表示方法的需求将不断增加。

四元数作为一种优秀的表示方法,其研究和应用将会进一步深入和广泛。

同时,结合其他数学理论和技术手段,继续改进和扩展四元数的应用范围也是未来的发展方向。

1.2文章结构文章结构:本文将分为引言、正文和结论三个部分来介绍四元数和有限域的相关内容。

- 引言部分将对本文的主题进行简要的概述,介绍四元数和有限域的基本概念和背景,并说明本文的目的和意义。

- 正文部分将分为两个子节:四元数的定义和性质、四元数在计算机图形学中的应用。

- 在四元数的定义和性质的部分,将介绍四元数的基本定义,包括四元数的表示形式和运算规则,以及四元数的基本性质,如共轭、模长等。

同时,将介绍四元数的加法、减法、乘法和除法运算规则,以及四元数的单位元、逆元等概念。

- 在四元数在计算机图形学中的应用的部分,将重点介绍四元数在旋转表示和插值、刚体变换、相机视角变换等方面的重要应用。

四元数 旋转变换-概述说明以及解释

四元数 旋转变换-概述说明以及解释

四元数旋转变换-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度来写:四元数是一种数学对象,广泛应用于旋转变换和姿态控制等领域。

它可以用来描述三维空间中的旋转变换,具有很多独特的性质和优势。

在传统的三维空间中,我们通常使用欧拉角或旋转矩阵来描述旋转变换。

然而,欧拉角存在奇异性问题,而旋转矩阵则涉及到复杂的计算和高代数运算。

相比之下,四元数具有简洁、紧凑、可逆和无奇异性等优势,使其成为了一种更为有效的旋转变换描述方法。

四元数的定义在数学上是一种复数扩展,由一个实部和三个虚部组成。

它可以用于表示旋转轴和旋转角度,通过旋转轴和旋转角度的乘积形式来描述旋转变换。

这种形式上的描述使得四元数可以方便地进行数学运算,比如加法、减法和乘法等,从而实现了旋转变换的复合和插值等操作。

本文将从四元数的基本概念开始介绍,包括四元数的定义、表示和运算规则等内容。

然后,我们将详细讨论四元数在旋转变换中的应用,包括如何通过四元数进行旋转变换、如何进行旋转的插值和相对旋转的合成等。

最后,我们将总结四元数旋转变换的优势和应用领域,并给出结论。

通过本文的学习,读者将能够了解四元数在旋转变换中的基本原理和应用方法,掌握四元数的运算规则和操作技巧,进一步提升对旋转变换的理解和应用能力。

同时,本文还将展示四元数相对于其他旋转变换描述方法的优势和特点,为读者在实际应用中选择合适的旋转变换描述方法提供参考。

1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三部分。

引言部分包括概述、文章结构、目的和总结。

在概述中,将简要介绍四元数和旋转变换的背景和重要性。

文章结构部分将详细说明本文的组织结构和每个部分的内容。

目的部分将明确本文的目标和意图。

最后,在总结中将简要回顾本文的主要内容和结论。

正文部分主要包括三个章节:什么是四元数、四元数的定义和性质,以及四元数的旋转变换。

在什么是四元数章节,将解释四元数的基本概念和定义,以及它们在数学和物理中的应用。

03.四元数

03.四元数

03.四元数四元数单位四元数可以⽤来描述三维空间中的旋转,它既是紧凑的,也没有奇异性。

⼀个四元数描述唯⼀⼀个空间旋转,但是⼀个空间旋转可以由互为相反数的两个四元数表⽰。

1.四元数四元数的定义四元数是由四个元构成的数Q(q0,q1,q2,q3)=q0+q1i+q2j+q3kq0,q1,q2,q3是实数,i,j,k是满⾜如下条件的单位向量i⊗i=−1,j⊗j=−1,k⊗k=−1 ⾃⼰与⾃⼰进⾏四元数乘结果为-1。

i⊗j=k,j⊗k=i,k⊗i=j按照i→j→k→i...的顺序两两作四元数乘可以得到下⼀个。

j⊗i=−k,k⊗j=−i,i⊗k=−j按照i→j→k→i...相反的顺序两两作四元数乘可以得到下⼀个的负。

⊗表⽰四元数乘法四元数的表达⽅式⽮量式Q=q0+q其中q0称四元数Q的标量部分,q称四元数Q的⽮量部分。

q是三维空间中的⼀个向量。

复数式Q=q0+q1i+q2j+q3k可视为⼀个超复数,Q的共轭复数记为:Q∗=q0−q1i−q2j−q3k三⾓式Q=cos θ2+u sinθ2式中,u为单位向量,即旋转轴。

θ为实数,即绕单位向量u的旋转⾓度。

指数式Q=e u θ2式中,u和θ同上。

矩阵式Q=q0 q1 q2 q3四元数的⼤⼩—范数四元数的⼤⼩⽤四元数的范数来表⽰:||Q||=q20+q21+q22+q23||Q||=1,则Q成为规范化四元数。

描述旋转的四元数成为规范化四元数。

规范化四元数参与旋转运动时要作归⼀化。

四元数的运算加法和减法:对应实部和虚部相加/减[]Q=q0+q1i+q2j+q3kP=p0+p1i+p2j+p3k则Q±P=(q0±p0)+(q1±p1)i+(q2±p2)j+(q3±p3)k乘法:合并同类项(根据向量i,j,k向量相乘规则)标量乘a Q=aq0+aq1i+aq2j+aq3k其中a为标量四元数乘P⊗Q=(q0+q1i+q2j+q3k)⊗(p0+p1i+p2j+p3k)=(p0q0−p1q1−p2q2−p3q3)+(p0q1+p1q0+p2q3−p3q2)i+(p0q2+p2q0+p3q1−p1q3)j+(p0q3+p3q0+p1q2−p2q1)k =r0+r1i+r2j+r3k写成矩阵形式r0r1 r2 r3=p0−p1−p2−p3p1p0−p3p2p2p3p0−p1p3−p2p1p0q0q1q2q3=M(P)Q或r0r1 r2 r3=q0−q1−q2−q3q1q0q3−q2q2−q3q0q1q3q2−q1q0p0p1p2p3=M′(Q)P注意:四元数乘法不满⾜交换律P⊗Q=M(P)Q≠M′(P)Q=Q⊗P 四元数乘法满⾜分配律和结合律P⊗(Q+R)=P⊗Q+P⊗RP⊗Q⊗R=(P⊗Q)⊗R=P⊗(Q⊗R)此外,还有(P⊗Q)∗=Q∗⊗P∗证明,略。

四元数的初步总结

四元数的初步总结

四元数的初步总结(一)四元数是最简单的超复数。

复数是由实数加上元素i组成,其中i^2=-1。

相似地,四元数都是由实数加上三个元素i、j、k组成,而且它们有如下的关系:i^2=j^2=k^2=ijk=-1,每个四元数都是1、i、j和k的线性组合,即是四元数一般可表示为a+bi+cj+dk,其中a、b、c、d是实数一、四元数引入的理论背景将实数域扩充到复数域,并用复数来表示平面向量,用复数的加、乘运算表示平面向量的合成、伸缩和旋转变换,这些观念已经在中学课程中学过了。

那么,很自然的问题就是,在三维,或更高维空间中是否也有复数的类似物?也就是说,像扩充实数那样,在复数域的基础上添加一个或几个新的元素,并且让它们跟原来的复数做加减乘除,是否就可以得到一个新的数集,并且其中的元素还可以像复数域那样做加、减、乘、除运算,并满足通常复数的那些运算律,包括加法和乘法的交换律与结合律、乘法对加法的分配律等待?更进一步,我们是否可以期望用这样的数来表示三维或更高维空间中的伸缩和旋转,就像用复数表示平面向量的伸缩旋转那样方便?把问题说得明确一些,即是说,我们是否可以像得到复数域那样,在复数域中再添加一个新的元素(因此也是在实数基础上添加两个元素和),得到一个类似于复数集合,这个集合中的元素当时就是普通的复数,当时就是普通的实数,并且通常数的加减乘除运算及其性质都可以在这个集合上保持,即满足:1、对于任意两个数,它们的和是唯一确定的。

2、对于任意两个数,它们的积是唯一确定的。

3、存在一个数0,它具有性质:对于任意a,均有a+0=a。

4、对于每一个数a,均存在数x,适合等式a+x=0。

5、加法适合交换律:a+b=b+a。

6、加法适合结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

7、乘法适合交换律:a·b=b·a。

8、乘法适合结合律:(a·b)·c=a·(b·c)。

9、乘法对加法适合分配律:a (b+c)=ab+ac 和(a+b)c=ac+bc。

四元数小总结

四元数小总结

四元数⼩总结四元数记法:⼀个四元数包含⼀个标量分量和⼀个3D向量分量。

记标量为w,记向量为v或分开的x,y,z。

如下:[w,v][w,(x,y,z)]四元数与复数:四元数扩展了复数系统,它使⽤三个虚部i,j,k。

它们的关系如下:i2=j2=k2=-1ij=k,ji=-kjk=i,kj=-iki=j,ik=-j⼀个四元数[w,(x,y,z)]定义了复数 w+xi+yj+zk。

四元数和轴-⾓对:四元数能被解释为⾓位移的轴-⾓对⽅式。

其公式为下:设向量n为旋转轴,θ为绕轴旋转的量。

q=[cos(θ/2) sin(θ/2)n]=[cos(θ/2) (sin(θ/2)n x sin(θ/2)n y sin(θ/2)n z)]负四元数:-q=[-w (-x -y -z)]=[-w -v]q和-q代表的实际⾓位移是相同的,很奇怪吧!如果我们将θ加上360度的倍数,不会改变q代表的⾓位移,但它使q的四个分量变负了。

因此,3D中的任意⾓位移都有两种不同的四元数表⽰⽅式,它们互相为负。

单位四元数:⼏何上存在2个单位四元数:[1,0]和[-1,0]。

它们的意义是:当旋转⾓为360度的整数倍时,⽅位并没有改变,并且旋转轴也是⽆关紧要的。

数学上只有⼀个单位四元数:[1,0]。

任意四元数q乘以单位四元数[1,0]仍为q。

四元数的模:公式如下:||q||=||[w (x y z)]||=sqrt(w2+x2+y2+z2) =||[w v]||=sqrt(w2+||v||2)⼏何意义:||q||=sqrt(cos(θ/2)2+sin(θ/2)2||n||2)若n为单位向量,则:||q||=1四元数共轭:q*=[w -v]=[w (-x -y -z)]四元数的逆:q-1=q*/||q||但我们只使⽤单位四元数,故q-1=q*⼏何解释:使向量v反向,则旋转⽅向也反向了。

因此q绕轴旋转θ⾓,⽽q*沿相反的⽅向旋转相同的⾓度。

四元数乘法(叉乘):[w1 v1][w2 v2]=[w1w2-v1v2 w1v2+w2v1+v2×v1]四元数叉乘满⾜结合律但不满⾜交换律:(ab)c=a(bc)ab!=ba四元数乘积的模等于模的乘积:||q1q2||=||q1|| ||q2||四元数乘积的逆等于各个四元数的逆以相反的顺序相乘:(ab)-1=b-1a-1如何⽤四元数将3D点绕轴旋转:让我们“扩展”⼀个标准3D点(x,y,z)到四元数空间,通过定义四元数p=[0, (x,y,z)]即可。

四元数 科普版1

四元数 科普版1

四元数
笛卡尔 乘积
C = A × B = |A||B|sin# #代表向量A、B之间的夹角
四元素 结论
i × j = k, j × k = i k × i = j, j × i = -k i × k = -j, i × k = -j
四元素运算
负四元数、单位四元数、模
单位四元数 负四元数 四元数的模
z1z2
- x2y1)k
01
02
03
04
四元素运算
四元数的旋转
01 3D上的旋转? 02 四维上的点[w, v]
旋转
q = [w1, (x1i, y1j, z1k)]
04 p’ = qpq^-1 03 计算qp与(qp)q^-1
p = qpq^-1
四元数插值
Four element interpolation
单位四元数的模
四元素运算
四元数的加、减、乘、共轭和逆
向量的点积
A ▪ B = x1x2 + y1y2 +
向量的叉乘
A × B = (y1z2 - y2z1)i + (z1x2 - z2x1)j + (x1y2
四元数的乘
[w1w2 - A ▪ B, w1A + w2B + A × B]
共轭和逆
(q1q2q3...qn) ^ -1 = (qn)^-1...(q2^-1)(q1^1)
PART 03
四元素插值
线性插值
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
线性插值
四元素插值
1 3
球面插值
四元数插值法
2
p of four elements

四元数概念

四元数概念

四元数概念四元数(Quaternions)是一种数学工具,它是由爱尔兰数学家 William Rowan Hamilton 于1843年发明的。

四元数被广泛应用于计算机图形和动画,机器人控制,摄影测量,化学和物理的研究中。

四元数具有复数的性质并且比复数更为丰富。

复数是由一个实部和一个虚部组成的,而四元数是由一个实部和三个虚部组成的。

四元数的定义如下:Quaternions = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d∈R}i²=j²=k²=ijk=-1在四元数中,公式(1)具有一些有趣的特性,这使得四元数成为一种非常有用的工具。

其中一条是四元数具有完整的乘法结构,即使在虚部之间的乘法也是如此。

在计算机图形和动画应用中,四元数极为有用,因为它可以表示多种变换操作(如平移,旋转和缩放)。

q = cos(theta/2) + sin(theta/2)*(vi + vj + vk)这里,cos是余弦函数,sin是正弦函数,theta是旋转角度,v表示旋转轴的单位向量。

p + q = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)kkp = ka + kb*i + kc*j + kd*k这些运算遵循基本的加、减和乘法法则,类似于向量的运算。

这些规则具有一些有趣的性质,四元数的乘法不是可交换的,即pq≠qp。

四元数是一种非常有用的数学工具,尤其是在计算机图形和动画,机器人控制,摄影测量,化学和物理的应用中。

它包含了复数所具有的性质,并增加了第三个和第四个虚部,使得它更加丰富和灵活。

四元数还具有证明某些矢量不变性的作用。

对于一个物体的旋转,它的角速度可以通过四元数的导数来表示,这个导数有一个重要的应用,即可以证明质心不受任何外部力矩的影响而保持恒定,这被称为质点定则证明。

四元数还与矩阵有密切的联系。

事实上,四元数乘法可以被转换为矩阵运算,它的实部和虚部也可以被表示为一个4x4的旋转矩阵。

quaternion四元数原理

quaternion四元数原理

quaternion四元数原理
四元数(quaternion)是一种在数学和物理领域中广泛应用的数学工具,它具有独特的性质和应用。

通过四元数,我们可以描述旋转、变换和相对运动等各种复杂的数学操作。

让我们一起来探索一下四元数的原理和它在现实世界中的应用。

让我们来了解一下四元数的定义。

四元数由实部(scalar)和三个虚部(vector)组成,可以写成以下形式:q = a + bi + cj + dk。

其中,a、b、c和d是实数,而i、j和k是虚数单位。

这种表示方法让四元数的运算更加灵活和高效。

四元数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。

通过这些运算,我们可以实现对物体的旋转、位置变换等操作。

例如,我们可以使用四元数来描述物体绕某个轴旋转的角度和方向。

这在计算机图形学和机器人学等领域中具有重要的应用。

四元数的优势在于它可以避免万向锁问题。

万向锁是在欧拉角表示中经常遇到的问题,当物体的旋转角度接近90度时,会导致旋转计算出现异常。

而四元数则可以避免这个问题,确保旋转计算的准确性和稳定性。

除了旋转和变换,四元数还广泛应用于姿态控制、航空航天、分子动力学模拟等领域。

它们还被用于人工智能和机器学习等领域,用于处理复杂的数据和模式识别任务。

总结一下,四元数是一种重要的数学工具,它具有独特的性质和应用。

通过四元数,我们可以实现旋转、变换和相对运动等复杂的数学操作。

它在计算机图形学、机器人学、航空航天等领域中发挥着重要作用。

掌握四元数的原理和应用,将有助于我们更好地理解和应用这一数学工具,推动科技的发展。

四元数 六种基本旋转序列

四元数 六种基本旋转序列

四元数六种基本旋转序列四元数是一种用来表示三维空间中旋转的数学工具,它由一个实部和三个虚部组成。

在计算机图形学和机器人学等领域中被广泛应用。

本文将介绍四元数的基本概念和六种基本旋转序列。

一、四元数的基本概念四元数可以表示为q = a + bi + cj + dk,其中a为实部,(b, c, d)为虚部。

虚部的三个分量分别对应了三维空间中的x、y、z轴。

四元数的加法和减法与复数类似,乘法具有非交换性,除法需要使用共轭四元数。

四元数除了可以表示旋转,还可以表示缩放和平移。

二、基本旋转序列在三维空间中,有六种基本旋转序列,即XYZ、XZY、YXZ、YZX、ZXY和ZYX。

它们表示了物体绕不同轴的旋转顺序。

下面将详细介绍每一种旋转序列的特点和应用。

1. XYZ旋转序列XYZ旋转序列表示先绕x轴旋转,然后绕y轴旋转,最后绕z轴旋转。

这种旋转序列在航空航天领域中应用广泛,可以描述飞机的姿态。

2. XZY旋转序列XZY旋转序列表示先绕x轴旋转,然后绕z轴旋转,最后绕y轴旋转。

这种旋转序列常用于机器人学中,可以描述机械臂的姿态。

3. YXZ旋转序列YXZ旋转序列表示先绕y轴旋转,然后绕x轴旋转,最后绕z轴旋转。

这种旋转序列常用于计算机图形学中,可以描述3D模型的姿态。

4. YZX旋转序列YZX旋转序列表示先绕y轴旋转,然后绕z轴旋转,最后绕x轴旋转。

这种旋转序列常用于航空航天领域,可以描述火箭的姿态。

5. ZXY旋转序列ZXY旋转序列表示先绕z轴旋转,然后绕x轴旋转,最后绕y轴旋转。

这种旋转序列常用于虚拟现实和游戏开发中,可以描述角色的姿态。

6. ZYX旋转序列ZYX旋转序列表示先绕z轴旋转,然后绕y轴旋转,最后绕x轴旋转。

这种旋转序列常用于航空航天领域,可以描述飞机的姿态。

四元数可以通过六种基本旋转序列来描述三维空间中的旋转。

不同的旋转序列适用于不同的应用领域。

在实际应用中,我们需要根据具体需求选择合适的旋转序列来描述物体的姿态。

四元数定义及重要性质

四元数定义及重要性质
1 = q * q 。 件,而且对于单位虚四元数有 q
q cos e sin , q q 都能够表示成三角函数形式 q 四元数 q
的轴,于是 其中单位矢量 e q q , q q12 q22 q32 称为四元数 q

(1.2)
p 的充要条件是 q0 p0 , q1 p1 , q2 p2 , q3 p3 。 四元数 q
根据四元数的定义,可推导出四元数运算的若干性质: a)四元数与四元数的加减法 四元数的加法运算:
p q0 p0 q p q
(1.3)
四元数的减法运算:
(1.6)
可以看出,四元数乘法不具有可交换性,当且仅当有一个四元数
qp 成立。 为矢量或两个四元数的矢量部分共线时, pq
Re qp 。根据乘法的 由式(1.6)可知,对于任意四元数, Re pq
定义,对虚四元数有如下性质:
pq qp 2 p q 2 Re pq qp 2 p q 2 Im pq pq r qp pq qp r 4 p q r 4 Re r Im pq pq
qT
(1.22)
对于多个四元数相乘,有:
1 Q q n 1 v q 1 Q q m 1 Q q n Q q m 1 v q vq 1 q n Q q n Q q m
(1.23)
Q, Q 矩阵还有如下性质:
(1.19)
进而得到:
q0 q 1 Q q q2 q3 q0 q * Q q 1 q2 q3 q1 q0 q3 q2

四元数的理论和应用

四元数的理论和应用

四元数的理论和应用四元数,又称四元数实数,是由英国数学家汉密尔顿于1843年创造的一个新颖的数学体系。

与复数具有类似性质,四元数可以表示3D空间的旋转、陀螺的转动以及电磁场的量子性质,因此在工程、物理学等学科中具有广泛的应用。

一、四元数的定义四元数可以看作是较为一般性的复数,是由一个实部和三个虚部构成的算子,记作q=a+bi+cj+dk,其中i,j,k是虚数单位,具有如下的性质:i² = j² = k² = ijk = -1。

二、四元数的计算1. 四元数的加减法:对于两个四元数q1=a1+b1i+c1j+d1k和q2=a2+b2i+c2j+d2k,我们可以进行加减法运算:q1 + q2 = (a1+a2) + (b1+b2)i + (c1+c2)j + (d1+d2)kq1 - q2 = (a1-a2) + (b1-b2)i + (c1-c2)j + (d1-d2)k2. 四元数的乘法:四元数的乘法需要按照虚部单位的乘法规则进行运算,即:i² = j² = k² = ijk = -1ii = -1, ij = k, ik = -jji = -k, jj = -1, jk = iki = j, kj = -i, kk = -1因此,两个四元数的乘积为:q1q2 = (a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2)i + (a1c2 - b1d2 + c1a2 + d1b2)j + (a1d2 + b1c2 - c1b2 + d1a2)k3. 四元数的共轭:四元数的共轭是把虚部单位i,j,k交换位置,且取反,即:q* = a-bi-cj-dk4. 四元数的模长:四元数的模长表示为:|q| = sqrt(qq*) = sqrt(a²+b²+c²+d²)三、四元数在旋转表示上的应用四元数是一种非常方便的表示3D旋转的工具,示例见下图。

四元数

四元数
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦曾经在他的《电磁场动力理论》(A Dynamical Theory of Electromagnetic Field)直接以20条有20个变 数的微分方程组来解释电力、磁力和电磁场之间的关系。某些早期的麦克斯韦方程组使用了四元数来表述,但与后来亥维赛使用四条 以矢量为基础的麦克斯韦方程组表述相比较,使用四元数的表述并没有流行起来。
双曲正切:
反双曲函数
反双曲正弦: 反双曲余弦: 反双曲正切:
反三角函数
将这些被放到最后,是因为需要先定义四元数中的反双曲三角函数。 反正弦函数: 反余弦函数: 反正切函数:
广义化
若 F 是一个域,且 a、b 为 F 的元素,那么就可在 F 上定义一个四维单一结合代数,而它的产生是由符合 i2 = a、j2 = b 和 ij = -ji 的 i、j 而起。 这些代数不是与 F 的二阶矩阵代数同型,就是 F 的除法代数。它们称为“四元数代数”。
幂和对数
因为四元数有除法,所以幂和对数可以定义。 自然幂: 自然对数: 幂:
三角函数
正弦: 余弦:
正切:
https:///wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8
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2015/7/17
双曲函数
双曲正弦: 双曲余弦:
四元数 ­ 维基百科,自由的百科全书
第二种则是以四阶实数矩阵表示:
其中四元数的共轭等于矩阵的转置。
四元数运算
四元数运算在电动力学与广义相对论中有广泛的应用。四元数可以用来取代张量表示。有时候采用带有复数元素之四元数会比较容 易,导得结果不为除法代数之形式。然而亦可结合共轭运算以达到相同的运算结果。
https:///wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8
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四元数的初步总结(一)前一阵子,以前公司的一位同事向我请教一段计算机图形程序中的算法,其中涉及齐次坐标和四元数。

齐次坐标问题到好讲解,但四元数方面以前所知几乎为零。

正好我看到齐民友在《复分析,可视化方法》译后记中提到的一本书:《高观点下的初等数学》([德]克莱因著,以下简称《初等数学》)当中有一段讲到四元数,于是就细读了一遍,把这个专题的整理笔记写下来。

但是那本书里有很多结果依靠繁杂的机械运算,让人看了不知道这样的结果是怎么得出来的。

因此我们这里用向量代数的观点重新审视四元数的一些结果,让四元数的特性看起来更直观,更自然。

另外还有一些我认为重要的有关四元数引入的背景知识,例如数域的扩充问题的证明,那本书里只有一部分提示,这里也试着补全一些。

一、四元数引入的理论背景将实数域扩充到复数域,并用复数来表示平面向量,用复数的加、乘运算表示平面向量的合成、伸缩和旋转变换,这些观念已经在中学课程中学过了。

那么,很自然的问题就是,在三维,或更高维空间中是否也有复数的类似物?也就是说,像扩充实数那样,在复数域的基础上添加一个或几个新的元素,并且让它们跟原来的复数做加减乘除,是否就可以得到一个新的数集,并且其中的元素还可以像复数域那样做加、减、乘、除运算,并满足通常复数的那些运算律,包括加法和乘法的交换律与结合律、乘法对加法的分配律等待?更进一步,我们是否可以期望用这样的数来表示三维或更高维空间中的伸缩和旋转,就像用复数表示平面向量的伸缩旋转那样方便?把问题说得明确一些,即是说,我们是否可以像得到复数域那样,在复数域中再添加一个新的元素(因此也是在实数基础上添加两个元素和),得到一个类似于复数集合,这个集合中的元素当时就是普通的复数,当时就是普通的实数,并且通常数的加减乘除运算及其性质都可以在这个集合上保持,即满足:1、对于任意两个数,它们的和是唯一确定的。

2、对于任意两个数,它们的积是唯一确定的。

3、存在一个数0,它具有性质:对于任意a,均有a+0=a。

4、对于每一个数a,均存在数x,适合等式a+x=0。

5、加法适合交换律:a+b=b+a。

6、加法适合结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

7、乘法适合交换律:a·b=b·a。

8、乘法适合结合律:(a·b)·c=a·(b·c)。

9、乘法对加法适合分配律:a (b+c)=ab+ac 和(a+b)c=ac+bc。

10、1 是乘法单位元,即仍然满足1·a=a·1=a11、乘法有逆元,即对每个非零数a,存在唯一的数x,满足等式xa=ax=1。

历史上有很多数学家试图寻找过三维的复数,但后来证明这样的三维复数是不存在的。

有关这个结论的证明,我没有查到更明确的版本,据《古今数学思想》中的一个理由,三维空间中的伸缩旋转变换需要四个变量来决定:两个变量决定轴的方向,一个变量决定旋转角度,一个变量决定伸缩比例。

这样,只有三个变量的三维复数无法满足这样的要求。

但是历史上得到的应该是比这个更强的结论,即使不考虑空间旋转,只从代数角度来说,三维的复数域作为普通复数域的扩张域是不存在的。

并且,据《古今数学思想》叙述,即使像哈密尔顿后来引入四元数那样,牺牲乘法交换律,这样的三维复数也得不到。

(”……经过一些年的努力之后,Hamilton 发现自己被迫应作两个让步,第一个是他的新数包含四个分量,而第二个是他必须牺牲乘法交换律。

”–《古今数学思想》第三册177页)据《初等数学》中给出的提示,我们可以做出这个命题的证明:证明:假设这样的数域存在,那么类似于复数,我们显然可以将看成实数域上的三维向量空间。

这是因为上有加法运算和数乘运算,满足1) 加法交换律与结合律2) 数量乘法的结合律3) 0 可以作为零向量4) 加法有负元5) 1a=a验证以上各性质没有用到乘法交换律。

同时,因为是这个向量空间上的一组基底,所以这是个三维向量空间。

接下来考察上的一个变换,其中不是实数,我们可以任取一个普通复数,比如。

可知这样的变换是线性变换,这是因为,由乘法对加法的分配律,有,由乘法结合律,以及在复数范围内乘法有交换律,那么因此,这是个实数域上三维向量空间中的线性变换,根据线性代数理论知,有特征值与特征向量,即存在实数和中的元素满足同时在等式两边右乘的乘法逆元,就得到,这与不是实数的假设矛盾。

知道了复数不能推广到三维,我们把目光移向哈密尔顿构造的四维复数,即四元数。

复数推广到四元数,必须牺牲掉数域的某一条或几条性质,哈密尔顿抛弃了乘法交换律。

为什么是这样呢?因为:命题2:在实数域中再添加有限个新的元素得到的数域都不可能比复数域大,也就是说,如果要求还是数域,还满足所有运算性质,那么就只能是跟复数域一样的东西(即跟复数域同构)。

证明:假设是数域,那么同样的,可以把看成实数域上的n 维向量空间,在这个集合中任取一个非实数,那么向量组因为有个向量,所以线性相关,所以存在实数使得因为不是实数,所以这个多项式至少是2次的,因此不妨设,因此是这个实系数n 次方程的根。

因与实数满足通常的运算律,根据多项式因式分解定理,可以把上面的实系数多项式分解为一次与二次实系数因式的乘积,得到因为不是实数,所以前面的一次式不为零,只有后面某个二次式等于零。

设其中实数满足。

做变换,则有。

对于每一个新元素 ,都有相应的 满足 ,现在我们任取两个这样的,不妨设为 和,如果考察 的一个子集,那么这个就相当于我们通常的复数单位 ,这个也同构于通常的复数域。

如果在上分解二次多项式,我们就可以得到。

现在把 代入,有。

(注:关键在这个式子中的交换律,四元数没有交换律,因此四元数在这里没有问题)因此或者 ,或者,说明可以用与实数运算表示出来,也就是 。

所以只能,故与复数域同构。

这样,又由于三维空间中的伸缩旋转的复合运算不满足交换律,那么哈密尔顿牺牲乘法交换律而引入四元数,就显得很自然了。

二、四元数的加乘运算哈密尔顿在实数基础上添加三个新的基本单位元素,做成一个新的数集:,基本元素之间的乘法满足同时,1 仍然有乘法单位的特性,即 1 与任何单位元素相乘都等于那个元素:这样,相当于制定了一张单位元素之间的乘法表: 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i kkj-i-1以上表格中,最左边的列表示被乘数,最上面行表示乘数。

那么根据这个乘法表,并且规定两个四元数 的加法与乘法运算如下: 对于加法,有对于乘法,有我们先将当成普通的三个变量来展开这个乘积,但要注意之间的乘积的顺序,因为它们之间不满足乘法交换律;然后再对照乘法表,将之化简,就得到以上就是四元数加法与乘法的定义。

可以立即验证加法交换律、结合律,以及等式p+0=0+p=p,方程p+x=0 恒有解,还有乘法对加法的分配律都是成立的。

对于乘法结合律,我们使用一点小技巧,先不管是什么,把它们当成普通的字母,那么对它们的加乘运算就类似于多元多项式运算了,只不过字母之间没有乘法交换律。

但是结合律对字母乘法是成立的,因为可以用乘法表验证。

这样的多元多项式之间必然是满足乘法结合律的,因此和从形式上相等(即i,j,k,i^2,j^2,k^2,ij,ji,jk,kj,ik,ki,iji,jij… 等等这些一次到三次乘积的系数对应相等,想想矩阵运算!)那么把它们按乘法表替换之后也相等。

这是《初等数学》中提出的方法。

另一种更讨巧的方法是《复分析,可视化方法》中用矩阵具体构造的四元数模型,设置四个二阶矩阵分别定义成四元数中的四个单位元素,它们的乘法表符合四元数乘法表,那么它们的实系数线性组合对应的矩阵的加法与乘法可以与四元数集合一一对应。

利用矩阵的结合律,可证明四元数的结合律(这个过程中需注意四个矩阵的线性无关性,否则这样的证明是无效的)。

因此乘法结合律也可以证明是成立的。

1是乘法单位元,即1p=p1=p,这条性质也容易验证。

所以,对于上面提到的数域的十一条性质,除第七条乘法交换律,和第十一条乘法逆元存在性之外的所有性质,四元数都满足。

四元数显然不满足乘法交换律,那么对于乘法逆元的存在性,以及乘法的逆运算–除法的讨论将在下一节进行。

下一节还将集中于四元数运算的几何意义。

9月16日补充:1, 有关四元数乘法表的确定可能有些人看到四元数乘法规则的时候,会感觉到有些奇怪,为什么三个数的平方都定义成-1?就没有其他方式的定义吗?而更多的人可能觉得乘法表的指定完全是人为规定的,没有什么道理。

这个问题在昨天做出”命题2″的证明的时候就有了一点启示,昨天躺在床上终于把它想清楚了。

在”命题2″的证明前半部分我们看到,没有乘法交换律的时候,每引入一个新的类型的数,比如在实数中引入,再引入,每引入一个这样的数,就相当于引入了方程的一个新的根。

即使不令,还是会有一个新的数满足,那么这个数与原来的复数之间的关系就是平凡的相加相乘关系,用一个可以表示另一个。

这样倒不如直接设。

在复数基础上只添加一个还不够,还有新的数需要引入,那就是。

怎么引入呢?注意到乘积,它不可能是三元的复数,不可能是的形式,因为如果那样的话,参照上面乘法表,去掉最后的做被乘数和乘数的行与列,其它行列就都与无关,三个数的实系数线性组合就构成”三元数”了,这是不可能的。

所以乘积就引入一个新的数,定名为。

那么就是必然的。

这样,乘法表中只剩余四个空缺没有填满,分别是。

这四个值互相关联,只要确定一个,其它的也确定。

目前还没有找到合适的必然的理由来定义它们的值。

但它们的值不是随意确定的。

比如,如果令,那么由于,得,即,为了没有零因子只能。

所以如果是实数那么只能是负数。

现在我们接受,那么其它值也随之确定,乘法表就确定下来了。

(二)三、四元数乘法的性质与几何意义四元数的乘法不满足交换律,比如,。

但不是所有的四元数乘积在交换因子之后都变换符号,比如:而但是也不是所有的四元数都不遵循交换律,比如,这个事情比较奇怪,两个四元数,它们不同顺序的乘积和到底有什么关系呢?看一下刚才的三个例子,好像不管两个乘积是否相等,它们的实数部分都是相等的。

您可以再试验几个例子,看一看是不是这样,甚至可以编写一个计算四元数乘积的程序,尝试更多的例子,看一看两个乘积到底有什么关系。

但是在我们讨论之后,事情就会比较明朗了。

我们从最简单的例子思考,,这几个式子让我们想起了三维空间中的外积,如果把看成三维空间中右手直角坐标系的三个坐标轴上的单位向量,那么它们之间的外积完全符合四元数乘法表。

外积也满足乘法对加法的分配律,数量乘法也可以自由出入外积的运算,等等。

所以,两个三维向量的外积运算就很类似于四元数的乘法运算:但是所不同的是,在四元数乘法中,三个平方项都等于-1,而在外积中,同方向的向量外积是零。

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