第10章-工具变量法,2SLS与GMM
工具变量与两阶段最小二乘法
工具变量与两阶段最小二乘法在经济学和统计学中，工具变量（Instrumental Variable，简称IV）与两阶段最小二乘法（Two-stage Least Squares，简称2SLS）是重要的分析方法。
本文将介绍工具变量的基本概念及其应用，然后详细探讨两阶段最小二乘法的原理和使用场景。
一、工具变量的概念和应用工具变量是一种用来解决内生性问题的工具，即解决因果分析中存在的内生性偏误。
在观察数据中，变量之间可能存在内生性关系，即某个解释变量与误差项相关，从而导致我们无法准确估计变量之间的真实关系。
举个例子，假设我们想研究教育对收入的影响，但教育水平很可能与个体的能力有关，这样教育水平就与误差项相关，无法得到准确的估计。
为了解决这个问题，我们可以引入一个工具变量，它与教育水平相关，但与个体能力无关。
通过使用工具变量，我们可以消除这种内生性问题，得到更加准确的估计结果。
二、两阶段最小二乘法的原理两阶段最小二乘法是一种常用的解决内生性问题的方法。
它将原始模型的内生变量替换为工具变量，通过两个阶段的回归来进行估计。
第一阶段，我们使用工具变量回归原始内生变量，得到预测值。
这个预测值不受内生性问题的影响，可以作为第二阶段的新解释变量。
第二阶段，我们将第一阶段得到的预测值作为新的解释变量，与其他变量一起回归目标变量。
这样可以得到消除内生性偏误后的估计结果。
三、两阶段最小二乘法的使用场景两阶段最小二乘法主要用于解决内生性问题，特别是在实证经济学中的因果推断中常见的内生性问题。
常见的使用场景包括但不限于：1. 自然实验：在某些情况下，自然条件的改变可以提供有效的工具变量。
比如，研究教育对收入的影响时，某个教育政策的实施可以被视为一个自然实验，政策的实施对教育水平有影响，但与个体能力无关。
2. 父母教育对子女教育的影响：父母的教育水平很可能同时与遗传因素有关，这样就存在内生性问题。
通过引入工具变量，比如父母的出生地和教育机会，可以解决这个问题。
2SLS 和 GMM 的区别
Walter Sosa-Escudero
Instrumental Variables
Endogeneities IV under Exact Identification IV: the Overidentified Case Efficient GMM Conditional Homoskedasticity and 2SLS
Simultaneous Equations The simplest supply and s qi qd i s qi In equilibrium:
s d −1 d d s pi = (β2 − β2 ) (xi β1 − xs i β1 + d i
demand system:
s s = xs i β1 + β2 pi + d d dp + = xi β 1 + β 2 i d = qi s i d i
Endogeneities IV under Exact Identification IV: the Overidentified Case Efficient GMM Conditional Homoskedasticity and 2SLS
Instrumental Variables
Walter Sosa-Escudero
Explanatory variable measured with error Ci = β1 + β2 Xi∗ + ui and assume all assumptions for consistency hold. Now suppose we observe a ‘noisy’ version of Xi : Xi = Xi∗ + ωi ωi is a measurement error. We will assume ωi is iid, with 2 and uncorrelated with X ∗ and u . E (ωi ) = 0, V (ωi ) = σω i i Replacing Xi∗ = Xi − ωi , the regression model can be written as Ci = β1 + β2 Xi + νi with ν = −β2 ωi + ui
第10 章 工具变量,2SLS 与GMM
以上工具变量法仅适用于恰好识别的情形。在过度识别的 情况下， Z′X 不是方阵， (Z′X)−1不存在，无法定义 βˆ IV 。解 决方法之一是扔掉“多余”的工具变量。更有效率的做法 是 2SLS。
10.3 二段最小二乘法
第一阶段
20
将 每 个 解 释 变 量 x1, ", xK 分 别 对 所 有 L 个 工 具 变 量
ut vt
令 qt ≡ qtd = qts ，可得
⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎨qqtt
= =
α 0
β 0
+ +
α 1
β 1
pt pt
+ +
ut vt
(demand) (supply) (equilibrium)
(10.1)
(10.2)
2
p
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i i
qts
i
i
i
qtd
0
q
图 10.1、需求与供给决定市场均衡
14
∑ ∑ βˆ MM
=
⎛⎜⎜⎜⎝
1 n
n i=1
xi
xi′⎞⎠⎟⎟⎟−1
⎛⎝⎜⎜⎜
1 n
n i=1
xi
yi
⎞⎟⎟⎟⎠
=
(
X′X)−1
X′y
=
βˆ
OLS
(10.14)
2．工具量法作为一种矩估计
假设回归模型为，
yi
=
β 1
xi1
+
"
+
β K
−1
xi,
《金融实证分析方法》课程教学大纲
《金融实证分析方法》课程教学大纲
系（专业）课程委员会审查意见：
我系（专业）课程委员会已对本课程教学大纲进行了审查，同意执行。
系（专业）课程委员会主任签名：日期：年月日
注：1、课程教学目标：请精炼概括3-5条目标，并注明每条目标所要求的学习目标层次（理解、运用、分析、综合和评价）。
本课程教学目标须与授课对象的专业培养目标有一定的对应关系
2、学生核心能力即毕业要求或培养要求，请任课教师从授课对象人才培养方案中对应部分复制（）
3、教学方式可选：课堂讲授/小组讨论/实验/实训
4、若课程无理论教学环节或无实践教学环节，可将相应的教学进度表删掉。
第七章-工具变量、2SLS、GMM
为外生解释变量向量。记工具变量为 x1 z2 ，其中
z2为方程外的工具变量。在2SLS的第一阶段回归中
x2
OLS
x1，z
2，其R
2包含了内生变量x
与工具变
2
量z 2相关性的信息，但也可能由于x 2与x1的相关性造
成。
为此，应该使用滤去x1影响的“偏R2”（partial R2）
记为R
2 p
具体操作步骤如下：首先作x2对x1回归，
x2
OLS
x1，记其残差为e
x
，代表x
2
2中不能由x1解
释的部分；其次，作z2对x1回归，z2 OLS x1，记
其残差为ez2，代表z2中不能由x1解释的部分；最后
对两个残差进行回归，即ex2
OLS
e
，所得的判
z2
定系数即R
2p，若其较小即可认为z
是弱工具变量
2
判断弱工具变量的另一个方法是，在第一阶段回
一、工具变量法（Instrumental Variable，IV）
可以引入工具变量w
来解决内生变量问题。一个有
t
效的工具变量应满足以下两个条件：
（1）相关性：工具变量与内生解释变量相关，即
Cov
w
t，p
t
0，p
为内生解释变量
t
（2）外生性：工具变量与扰动项不相关，即
Cov wt，t ＝0
二、工具变量法作为一种矩估计
n i=1
xi yi ＝
XX
－1 Xy＝ˆOLS
显然这就是OLS估计量
2、工具变量法作为一种矩估计
假设回归模型为
yi＝1x
＋
i1
工具变量法（二）：弱工具变量
工具变量法（二）：弱工具变量世上没有完美的计量方法，因为所有的计量方法与模型均依赖于一定的前提假设。
因此，在估计完计量模型后，通常需要对模型的前提假设进行检验，称为“诊断性检验”（diagnostic checking）或“模型检验”（model checking）。
工具变量法也不例外。
工具变量法的成立依赖于有效的工具变量（valid instruments），即所使用的工具变量须满足相关性（与内生解释变量相关）与外生性（与扰动项不相关）。
工具变量的相关性（Instrument Relevance）在大样本下，2SLS为一致估计。
但对于大多数实践中的有限样本（finite sample），2SLS估计量依然存在偏差（bias），并不以真实参数为其分布的中心，即而且，如果工具变量与内生变量的相关性较弱，则 2SLS 的偏差会变得更为严重。
直观来看，2SLS 的基本思想是通过外生的工具变量，从内生变量中分离出一部分外生变动（exogenous variations），以获得一致估计。
如果工具变量与内生变量的相关性很弱，则通过工具变量分离出的内生变量之外生变动仅包含很少的信息。
因此，利用这些少量信息进行的工具变量法估计就不准确，即使样本容量很大也很难收敛到真实的参数值。
这种工具变量称为“弱工具变量”（weak instruments）。
弱工具变量的后果弱工具变量的后果类似于样本容量过小，会导致 2SLS 的小样本性质变得很差，而 2SLS 的大样本分布也可能离正态分布相去甚远，致使基于大样本理论的统计推断失效。
下面通过蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）来直观地考察弱工具变量的后果。
考虑最简单的一元回归模型，假设其数据生成过程（data generating process）为：其中，为内生变量，与扰动项相关；而的真实系数为 2。
假设样本容量为10,000，并使用工具变量进行2SLS 回归。
二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明
二阶段最小二乘法和工具变量法结果相同的证明【知识文章格式】标题：二阶段最小二乘法和工具变量法的结果相同的证明【引言】在经济学和社会科学领域，研究因果关系常常面临内生性问题。
为了解决这个问题，研究人员常常使用两种方法：二阶段最小二乘法（2SLS）和工具变量法（IV）。
在很多情况下，这两种方法给出了相似的结果，但我们是否可以证明它们真的是等价的呢？本文将通过理论推导进行证明。
【正文】1. 二阶段最小二乘法（2SLS）和工具变量法（IV）的基本原理在介绍证明之前，我们先回顾一下二阶段最小二乘法和工具变量法的基本原理。
二阶段最小二乘法通过两个阶段来估计模型参数。
在第一阶段，我们利用工具变量对内生变量进行回归，得到工具变量的估计量。
在第二阶段，我们使用第一阶段得到的工具变量的估计量替代内生变量，再进行回归，得到最终的估计结果。
工具变量法与2SLS类似，也是使用工具变量进行内生变量的回归，但与2SLS不同的是，工具变量法只进行一次回归，而不需要进行第二阶段的回归。
两种方法都旨在解决内生性问题，但它们的具体实施方式略有不同。
2. 二阶段最小二乘法和工具变量法的理论等价性证明我们现在来证明二阶段最小二乘法和工具变量法的结果是相同的。
设真实模型为：Y = α + βX + ε其中，Y是因变量，X是内生变量，α和β是参数，ε是误差项。
根据2SLS方法的第一阶段回归估计有：X = γ + πZ + u其中，γ和π是参数，Z是工具变量，u是干扰项。
利用第一阶段的估计结果，我们可以得到内生变量的估计量X^：X^ = γ + πZ将内生变量的估计量代入原模型，得到二阶段回归模型：Y = α + β(γ + πZ) + ε进一步整理得：Y = (α + βγ) + βπZ + ε我们可以看到，二阶段最小二乘法的结果与工具变量法的结果非常类似，只是加入了一个常数项(α+βγ)。
由此可证明二阶段最小二乘法和工具变量法的结果是相同的。
2sls回归公式
2sls回归公式2SLS回归公式在经济学和统计学中被广泛应用，它是基于最小二乘法的一种估计方法，用于解决因果关系的内生性问题。
在本文中，我们将详细介绍2SLS回归公式的原理和应用。
2SLS回归公式全称为Two-Stage Least Squares regression，中文翻译为两阶段最小二乘回归。
它主要用于解决因果关系中的内生性问题，即自变量与误差项之间存在相关性的情况。
内生性问题在经济学和社会科学研究中非常常见，如果不加以控制，会导致估计结果的偏误。
2SLS回归公式的基本原理是通过两个阶段的回归来解决内生性问题。
第一个阶段，我们先用一个外生性变量（Instrumental Variable，IV）来替代内生性变量，进行回归分析，得到一个“第一阶段回归方程”。
通过这个方程，我们可以估计出内生性变量的预测值。
在第二个阶段，我们将这个预测值代入原始的回归方程中，作为自变量进行回归分析。
这样，我们就得到了一个“第二阶段回归方程”。
通过2SLS回归，我们可以得到对内生性变量的一致估计。
具体来说，2SLS回归公式可以表示为：Y = Xβ + ε其中，Y是因变量，X是自变量矩阵，包括外生性变量和内生性变量的预测值，β是回归系数，ε是误差项。
通过2SLS回归，我们可以得到β的一致估计。
2SLS回归公式的应用非常广泛。
在经济学中，它常用于解决内生性问题，例如在研究教育对收入的影响时，教育水平往往与家庭背景存在内生性关系，通过2SLS回归可以解决这个问题。
在实证研究中，2SLS回归也被广泛应用于解决因果关系的内生性问题，例如评估政策的效果时，政策变量可能与其他因素存在内生性关系，通过2SLS 回归可以得到更准确的估计结果。
然而，使用2SLS回归公式也存在一些注意事项。
首先，选择合适的工具变量非常重要，工具变量应与内生性变量相关，但与误差项不相关。
其次，2SLS回归要求工具变量的可用性和可靠性，需要进行严格的检验。
工具变量法（四）：GMM
工具变量法（四）：GMMProf. Lars Peter HansenWhat Hansen did with the generalized method of moments is show that when we have more moment conditions than parameters we can best estimate those parameters by giving more weight to the conditions that we have better information about. -- Alex Tabarrok (Marginal Revolution Blog)传统的工具变量法为2SLS，因为它操作方便，且同时适用于恰好识别与过度识别的情形。
然而，2SLS 仅在扰动项同方差的情况下，才是最有效率的。
理由很简单，如果每位个体的扰动项方差不相同（比如，大企业的方差一般不同于小企业的方差），则方差小的个体观测值所包含的信息量更大，而 2SLS 却对所有数据等量齐观地进行处理，故在异方差的情况下不是最有效率的。
在过度识别且存在异方差的情况下，更有效率的做法是“广义矩估计”（Generalized Method of Moments，简记 GMM）。
该方法由芝加哥大学的 Lars Peter Hansen 教授所提出 (Hansen, 1982)，已成为最流行的计量方法之一，Hansen 也因此获得 2013年的诺贝尔经济学奖。
顾名思义，广义矩估计为矩估计的推广，故先介绍矩估计。
矩 (Moment)何为矩？简单说，矩就是随机变量之函数的期望。
比如，对于随机变量，其一阶原点矩为其期望，二阶中心矩为其方差，以此类推。
更一般地，考虑随机变量的函数。
显然，仍为随机变量，其期望也称为“矩”（moment）。
进一步推广，随机向量的函数之期望，也称为“矩”。
2sls原理
2sls原理2sls原理解析1. 什么是2sls原理2sls（Two Stage Least Squares）是一种用于解决内生性问题的统计方法。
它通过两个阶段的回归来解决内生性引起的估计偏误问题。
2. 内生性问题内生性是指研究对象之间的关系使得同一方程中的一个变量可能同时被其他变量影响。
在经济学研究中，内生性是非常常见的问题，特别是当我们试图通过回归分析来确定因果效应时。
例如，我们想要研究教育对工资的影响，但我们发现教育水平与个体的家庭背景也存在相关性。
这个相关性可能存在因果关系，即教育决定了个体的家庭背景，也可能存在相反的因果关系，即个体的家庭背景决定了他们的教育水平。
在这种情况下，我们无法准确估计教育对工资的真实影响，因为我们无法将教育与家庭背景的影响区分开来。
3. 第一阶段回归为了解决内生性问题，2sls方法首先进行第一阶段回归。
在第一阶段，我们选择一个外生变量（Instrumental Variable，IV）来替代内生变量，该外生变量与内生变量相关但不与因变量相关。
继续上述的例子，我们可以选择政府实施的教育政策作为我们的外生变量。
政府实施教育政策可能会影响到个体的教育水平，但与个体的家庭背景无关。
我们将家庭背景作为内生变量，使用政府实施的教育政策作为工具变量。
我们先对教育水平与政府实施的教育政策进行回归分析，得到第一阶段的回归系数。
该回归系数代表了教育水平对政府实施的教育政策的影响程度。
4. 第二阶段回归在第一阶段回归得到的第一阶段系数为有效的工具变量后，我们进一步进行第二阶段回归分析。
第二阶段回归分析的目标是估计教育对工资的真实影响，而不受内生性的偏误影响。
我们将工资与个体的教育水平以及其他外生变量进行回归，使用第一阶段得到的有效工具变量作为教育水平的替代。
这样，第二阶段回归的系数代表了教育对工资的真实影响。
5. 2sls的优点与局限性2sls方法可以有效地解决内生性问题，从而得到更准确的因果效应估计。
两阶段最小二乘法 工具变量法
主题：两阶段最小二乘法与工具变量法在计量经济学中的应用1. 介绍两阶段最小二乘法两阶段最小二乘法（Two-Stage Least Squares, 2SLS）是一种常用的计量经济学方法，用于解决内生性问题。
内生性指的是因果关系中的变量之间存在相互影响，从而导致回归估计结果出现偏误。
在这种情况下，传统的最小二乘法估计会产生一系列问题，而2SLS方法则可以有效应对内生性问题。
2. 2SLS的基本原理2SLS方法通过两个阶段的回归来解决内生性问题。
在第一阶段，利用工具变量（Instrumental Variable, IV）对内生变量进行预测，得到预测值。
然后在第二阶段，将这些预测值作为虚拟自变量，代替原内生变量进行回归分析。
这样可以消除内生性带来的偏误，得到更准确的估计结果。
3. 工具变量法的选择选取适当的工具变量对2SLS方法的有效实施至关重要。
工具变量要满足两个条件：工具变量必须与内生变量相关；工具变量不能与误差项相关。
只有在满足这两个条件的前提下，工具变量才能有效地解决内生性问题。
4. 工具变量法的优点和局限性工具变量法作为解决内生性问题的一种重要方法，具有一定的优点。
它能够有效地减少回归估计的偏误，提高估计结果的准确性。
工具变量法在理论上被广泛认可，具有较强的可靠性。
然而，工具变量法也存在局限性，例如工具变量的选择可能受到数据可得性的限制，导致实施时候面临较大挑战。
5. 两阶段最小二乘法与工具变量法在实践中的应用在实际的计量经济学研究中，两阶段最小二乘法与工具变量法被广泛应用于解决内生性问题。
研究人员常常利用2SLS方法来评估一些政策或项目对经济变量的影响，同时选择适当的工具变量来进行估计。
通过这种方法，他们可以更加准确地判断政策或项目对经济变量的影响，为决策提供科学依据。
6. 结语两阶段最小二乘法与工具变量法在计量经济学中发挥着重要作用。
通过2SLS方法和适当的工具变量的选择，研究人员能够更加准确地估计经济模型中存在内生性问题的变量，为实证研究提供可靠的结果和结论。
第10章-工具变量法,2SLS与GMM
8
同时对需求方程 qt 0 1 pt ut 两边求与 xt 的协方差：
Cov(qt , xt ) Cov( 0 1 pt ut , xt ) 1 Cov( pt , xt ) Cov(ut , xt ) 1 Cov( pt , xt )
3
把线性方程组中的 ( pt , qt ) 看成是未知数(内生变量)，把 (ut , vt ) 看 作已知，可求解 ( pt , qt ) 为 (ut , vt ) 的函数：
0 0 vt ut ( , ) p p u v t t t t 1 1 1 1 q q (u , v ) 1 0 0 1 1vt 1ut t t t t 1 1 1 1
0 0 0
Var(u ) 0
故 OLS 不一致， 称为 “测量误差偏差”(measurement error bias)。 可确定此偏差的方向：
15
1 n ( xi x )( yi y ) ˆ n i 1 1 n 2 x x ( ) i n i 1 Cov( xi , yi ) Cov( xi* u , x* ) Var( xi ) Var( xi* u )
其中， v 为测量误差。代入可得：
y x ( v)
只要 Cov( x, v) 0 ，则 OLS 一致，但可能增大扰动项的方差。
18
10.2 工具变量法作为一种矩估计 1．矩估计 (Method of Moments，MM) 假设随机变量 x ~ N ( , 2 ) ，其中 , 2 为待估参数。 因 为 有 两 个 待 估 参 数 ， 故 使 用 两 个 总 体 矩 条 件 (population moment conditions)： 一阶矩： E( x) 二阶矩： E( x 2 ) Var( x) E( x) 2 2
2sls操作方法
2sls操作方法仪器上是否有操作提示的甄别。
根据您的要求回答，2SLS（Two Stage Least Squares）是一种常用的计量经济学方法，用于解决内生性问题。
它是基于最小二乘法（OLS）的思想发展而来的，主要目的是通过构建工具变量来对内生性进行控制。
2SLS方法一般包括两个阶段，第一阶段用于估计工具变量的系数，第二阶段用于通过工具变量代替内生变量进行回归分析。
下面我将详细介绍2SLS方法的操作步骤。
第一阶段操作步骤如下：1. 确定内生变量和工具变量：首先需要确定内生变量和可能的工具变量。
内生变量是研究对象中被研究者无法控制的变量，而工具变量是用于代替内生变量的变量。
2. 进行第一阶段回归：使用内生变量作为因变量，将工具变量和其他控制变量作为自变量进行回归分析。
这个回归得到的估计量被称为第一阶段估计量。
3. 检验工具变量的有效性：在第一阶段回归中，需要检验工具变量与内生变量之间的相关性。
如果工具变量与内生变量高度相关，表明工具变量具有较好的有效性。
第二阶段操作步骤如下：1. 使用工具变量进行回归：在第二阶段中，将工具变量代替内生变量，将其他控制变量一并作为自变量进行回归分析。
2. 检验工具变量的影响：在第二阶段回归中，可以检测工具变量是否对因变量产生了显著的影响。
如果工具变量的系数显著不为零，则表明工具变量有效地解决了内生性问题。
需要注意的是，在进行2SLS分析时，有一些假设需要满足。
首先，工具变量要与内生变量的存在应有效地解决内生性问题。
其次，工具变量之间不能存在相关性，以避免工具变量的共线性问题。
最后，回归中的其他假设条件，如线性关系、误差项的正态分布等，也需要满足。
在实际应用中，为了保证2SLS的结果可信，我们还需要进行一些诊断检验，如工具变量的Relevance检验、Endogeneity检验等，以确保模型的准确性和可靠性。
总的来说，2SLS是一种解决内生性问题的有效方法。
通过构建工具变量来代替内生变量，可以得到更准确和可靠的结果。
STATA做GMM估计
STATA做GMM估计广义矩估计（Generalized Method of Moments，即GMM）一、解释变量内生性检验首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。
Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS。
reg ldi lofdiestimates store olsxtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr)estimates store ivhausman iv ols（在面板数据中使用工具变量，Stata提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar [varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe，re等，表示固定效应、随机效应等。
详见help xtivreg）如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。
“恰好识别”时用2SLS。
2SLS的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS前定变量的要求而得到一致估计量。
tptqtp二、异方差与自相关检验在球型扰动项的假定下，2SLS是最有效的。
但如果扰动项存在异方差或自相关，面板异方差检验：xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het)estimates store heteroxtgls enc invs exp imp esc mrl,iglsestimates store homolocal df = e(N_g) - 1lrtest hetero homo, df(`df')面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl则存在一种更有效的方法，即GMM。
工具变量法GMM估计
工具变量法 GMM估计1 OverviewModel过程可以分析线性、非线性（对参数或者对变量）的单方程和方程组。
使用的估计方法有：OLS, 2SLS, SUR, ITSUR, 3SLS, IT3SLS,GMM ,FIML。
MODEL过程分析的模型如下：这里，Y是内生变量，X是外生变量，TEHTA是参数。
观测到的变量要么是内生变量，要么是外生变量。
上面的方程组可以简写为：这个形式称为一般形式。
还可以写成标准形式：标准形式把内生变量放在方程的一边。
两种形式的方程（组）都可以使用MODEL过程估计。
经常用当前外生变量、滞后的外生变量、滞后的内生变量来解释当前内生变量。
这就构成了一个动态模型。
滞后变量不论内生还是外生都看作外生变量。
以上并不要求扰动项独立同分布。
自相关、异方差甚至不同的分布都有可能。
对于异方差可以使用加权估计，GARCH模型也可以修正异方差。
如果难以确定异方差的来源和形式，难以确定权重变量的话，可以使用GMM方法得到比OLS方法更加有效的估计。
方程组一个常见的问题就是联立偏倚。
考虑：这个方程组对参数是非线性的，不能使用线性回归估计。
同时这里Y1和Y2是同时决定的，普通非线性最小二乘方法的结果也是有偏和非一致的。
这称为联立性偏倚。
在线性模型中，处理联立性偏倚的可以把出现在方程右边的内生变量换成其预测值。
预测值与扰动项无关从而消除了联立性偏倚。
预测值是通过工具变量法估计得到的，这称为第一步回归。
利用预测值进行第二次回归称为两段最小二乘。
在非线性模型中，使用线性近似，把非线性方程组线性化后使用工具变量法，反复迭代。
在方程组中，方程之间的扰动项可能相关。
对于大样本情况，可以使用系统方法考虑到方程内和方程之间关系得到更有效的估计。
如果不存在联立性问题，即不存在内生变量作为解释变量的话，可以使用SUR估计。
SUR方法需要估计方程之间扰动项的协方差矩阵∑。
估计步骤为先使用OLS估计方程组，从残差得到∧∑，然后使用SUR。
STATA做GMM估计
STATA做GMM估计广义矩估计（Generalized Method of Moments，即GMM）一、解释变量内生性检验首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。
Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS。
reg ldi lofdiestimates store olsxtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr)estimates store ivhausman iv ols（在面板数据中使用工具变量，Stata提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar [varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe，re等，表示固定效应、随机效应等。
详见help xtivreg）如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。
“恰好识别”时用2SLS。
2SLS的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS前定变量的要求而得到一致估计量。
tptqtp二、异方差与自相关检验在球型扰动项的假定下，2SLS是最有效的。
但如果扰动项存在异方差或自相关，面板异方差检验：xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het)estimates store heteroxtgls enc invs exp imp esc mrl,iglsestimates store homolocal df = e(N_g) - 1lrtest hetero homo, df(`df')面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl则存在一种更有效的方法，即GMM。
GMM的stata操作步骤
GMM的sta操作步骤广义矩估计（Generalized Method of Moments，即GMM）一、解释变量内生性检验首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。
Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS。
reg ldi lofdi estimates store ols xtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr) estimates store iv hausman iv ols （在面板数据中使用工具变量，Sta 提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar [varlist1](varlist_2=varlist_iv)（选择项可以为fe，re 等，表示固定效应、随机效应等。
详见help xtivreg）如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。
“恰好识别”时用2SLS。
2SLS的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS 前定变量的要求而得到一致估计量。
t p t q t p 二、异方差与自相关检验在球型扰动项的假定下，2SLS是最有效的。
但如果扰动项存在异方差或自相关，面板异方差检验：xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het)estimates store hetero xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls estimates store homo local df = e(N_g) - 1 lrtest hetero homo,df(`df')面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl 则存在一种更有效的方法，即GMM。
计量经济学工具变量IV(2SLS)
03
工具变量应具有可获得性和相关性。
工具变量的选择标准
1 2
相关性
工具变量应与内生解释变量高度相关，以便有效 地替代内生解释变量。
排除性约束
工具变量与误差项无关，以确保工具变量的有效 性。
3
可获得性
工具变量应易于获取，并且能够用于估计模型。
工具变量的有效性检验
工具变量的概念
工具变量应该与内生解释变量相关， 但与误差项无关。工具变量用于估计 参数，以减少误差项的影响。
计量经济学工具变量IV（2SLS）简介
第一阶段
在这一阶段，工具变量与内 生解释变量进行回归，得到 一个预测值。
第二阶段
在这一阶段，原始的因变量 对预测值进行回归，以得到 参数的估计值。
2SLS的Leabharlann 设提高估计效率由于工具变量的使用，使得与误差项相关的信息被排除在估计过程之外，从而提高了估计的效率 。
扩展应用范围
相较于传统的最小二乘法（OLS），工具变量IV（2SLS）的应用范围更广，尤其适用于存在内生解 释变量的情况。
工具变量IV（2SLS）的局限性
工具变量的有效性
问题
找到一个与内生解释变量相关， 但与误差项无关的工具变量并不 容易，如果工具变量与误差项相 关，会导致估计结果偏误。
参数估计
使用工具变量进行参数估计。
数据收集
收集相关数据以用于估计模型参 数。
工具变量IV（2SLS）在经济学领域的应用
劳动经济学
用于估计工资方程、就业方程等，解决工资 方程中的自选择问题。
金融经济学
用于估计资产定价模型，解决代理问题和市 场摩擦问题。
产业组织
内生性工具变量与GMM估计
对一元模型
Yt=0+1Xt+t
出现Xt与t的同期相关性时：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0 采用工具变量Z得到：
而OLS估计量
因此，尽管Corr(Z, ) 较小，而Corr(Z,X) 更小时，可能出现 Corr(Z, ) /Corr(Z,X)>Corr(X, )
从而有： bIV比bOLS偏差更大（更不具有一致性）。
于是： X’X-X’PZX=X’MZX =(MZX)’(MZX)=半正定矩阵 这也简接证明了第4章中曾指出的如下一类估计量的渐近有效性
gj(X)=Zj时，即为 IV估计
gj(X)=Xj时， 即为OLS估 计
4、弱工具变量带来的估计偏误
工具变量Z要求：（1）与随机扰动项不相关，（2） 与解释变量X高度相关 但在应用研究中，这样的工具变量Z很难找到：一般 找到的工具变量往往是： （1）与随机扰动项有轻度相关，（2）与解释变量X也 是轻度相关 当工具变量Z与解释变量有轻度相关性时，称之为弱工具 变量(weak IV)。 在弱工具变量情形下，IV估计可能会带来比OLS估计 量更严重的不一致性
矩法可用于估计总体的参数
例1. 设{Xi}是从某一服从指数分布的总体 f(X,)=exp(-X)， X>0 中抽出的。 由于指数分布的均值为：M1=()=E(X)=1/
2、OLS作为一个矩问题
线性模型的OLS估计可以看成是矩估计。 对模型 Y=X+ 假设模型的设定是正确的，则有E(X’)=0， 从而有矩条件：M()=E[X’(Y-X)]=0 根据矩法（类比法），相应的样本矩为： m()= (1/n)X’(Y-Xb) 问题归结为，寻找适当的b，使得 m(b)=0
• 情形3：存在测量误差
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qqtt
0 0
1 pt 1 pt
ut vt
两个方程中的被解释变量与解释变量完全一样。
如直接作回归qt OLS pt ，估计的是需求函数还是供给函数？
2
图 10.1 需求与供给决定市场均衡
3
把线性方程组中的( pt , qt )看成是未知数(内生变量)，把(ut , vt )看 作已知，可求解( pt , qt )为(ut , vt )的函数：
由于气温 xt 的变化使得供给函数qts 沿着需求函数qtd 移动，故可估 计需求函数qtd 。
此时，称 xt 为“工具变量”(Instrumental Variable，简记 IV)。
在回归方程中(此处为需求方程)，一个有效(valid)的工具变量应 满足以下两个条件。
(i) 相关性：工具变量与内生解释变量相关，即Cov(xt , pt ) 0。
pt
qt
pt (ut ,vt )
0 1
0 1
vt
1
ut
1
qt
(ut
, vt
)
10 1
01 1
1vt 1
1ut 1
由于 pt 为(ut , vt )的函数，故Cov( pt , ut ) 0，Cov( pt , vt ) 0。
OLS 估计值ˆ1, ˆ1不是1, 1的一致估计量。
称这种偏差为“联立方程偏差”(simultaneity bias)或“内生变量 偏差”(endogeneity bias)。
1
如果工具变量与内生变量无关，Cov(xt , pt ) 0，则无法定义工 具变量法。
如果工具变量与内生变量的相关性很弱，Cov(xt , pt ) 0，会导 致估计量ˆ1, IV 的方差变得很大，称为“弱工具变量问题”。
传统的工具变量法通过“二阶段最小二乘法”(Two Stage Least Square，简记 2SLS 或 TSLS)来实现。
8
同时对需求方程qt 0 1 pt ut 两边求与 xt 的协方差：
Cov(qt , xt ) Cov(0 1 pt ut , xt )
1 Cov( pt , xt ) Cov(ut, xt ) 1 Cov( pt , xt )
0
根据工具变量的相关性，Cov( pt , xt ) 0，可把上式两边同除 以Cov( pt , xt )：
© 陈强,《高级计量经济学及 Stata 应用》课件，第二版，2014 年，高等教育出版社。
第 10 章 工具变量，2SLS 与 GMM
10.1 解释变量与扰动项相关的例子
例 农产品市场均衡模型
qqtdts
0 0
1 pt 1 pt
ut vt
qtd
qts
(需求) (供给) (均衡)
1
令qt qtd qts ，可得
第一个方程为消费方程，第二个方程为国民收入恒等式。
如果单独对消费方程进行 OLS 估计，将不一致。
1
Cov(qt , xt ) Cov( pt , xt )
使用对应的样本值，可得一致的“工具变量估计量” (Instrumental Variablt , xt ) C ov( pt , xt )
p Cov(qt , Cov( pt ,
xt ) xt )
4
如能将内生变量分成两部分，一部分与扰动项相关，另一部分 与扰动项不相关，可用与扰动项不相关的那部分得到一致估计。
这种分离常借助另一“工具变量”来实现。
假设在图 10.1 中，存在某个因素(变量)使得供给曲线经常移动， 而需求曲线基本不动，则可估计需求曲线，参见图 10.2。
这个使得供给曲线移动的变量就是工具变量。
(ii) 外生性：工具变量与扰动项不相关，即Cov(xt , ut ) 0。
7
工具变量的外生性也称“排他性约束”(exclusion restriction)， 因为外生性意味着，工具变量影响被解释变量的唯一渠道是通过 与其相关的内生解释变量，它排除了所有其他的可能影响渠道。
在本例中，气温 xt 满足这两个条件。 (i) 相 关 性 ： 从 联 立 方 程 组 可 解 出 pt pt (xt , ut , vt ) ， 故 Cov(xt , pt ) 0。 (ii) 外生性：因为气温 xt 是前定变量，故Cov(xt , ut ) 0。 利用工具变量的这两个性质，可得到对1的一致估计。
其次，由于在第一阶段回归中，拟合值 pˆt 与残差 pt pˆt 正交(OLS 的正交性)，故上式右边的第二项Cov( pˆt , pt pˆt ) 0。
由于 pˆt 与t 不相关，故 2SLS 一致。
12
例 宏观经济模型中的消费函数
YCtt
0 1Yt
Ct It Gt
t
X
t
其中，Yt , Ct , It , Gt , Xt 分别代表国民收入、总消费、总投资、政 府净支出与净出口。
10
第一阶段回归：用内生解释变量对工具变量回归，即 pt OLS xt ，得到拟合值 pˆt 。
第二阶段回归：用被解释变量对第一阶段回归的拟合值进行回 归，即qt OLS pˆt 。
为什么这样做能得到好结果？把需求方程qt 0 1 pt ut 分解
qt 0 1 pˆt ut1( pt pˆt )
t
命题 在第二阶段回归中，pˆt 与新扰动项t ut 1( pt pˆt )不相 关。
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证明：由于t ut 1( pt pˆt )，故 Cov( pˆt , t ) Cov( pˆt , ut ) 1 Cov( pˆt , pt pˆt )
首先，由于 pˆt 是 xt 的线性函数( pˆt 为第一阶段回归的拟合值)，而 Cov(xt , ut ) 0(工具变量的外生性)，故上式右边的第一项 Cov( pˆt , ut ) 0。
假设供给方程的扰动项可分解为两部分，即可观测的气温 xt 与不 可观测的其他因素：
qts 0 1 pt 2 xt vt
5
图 10.2 稳定的需求与变动的供给
6
假 定 气 温 xt 是 前 定 变 量 ， 与 两 个 扰 动 项 都 不 相 关 ， 即 Cov(xt , ut ) 0，Cov(xt , vt ) 0。