高中数学第一章三角函数第1节第2课时蝗制课件新人教A版必修4
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第2课时 弧度制
[核心必知 ] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P6～P9 的内容，回答下列问题． (1)我们知道， 角可以用度为单位进行度量， 1 度的角是如 何定义的？ 1 提示： 1 度的角等于周角的 . 360
(2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1 弧度 的角是如何定义的？
l (2)比值 与所取的圆的半径大小是否有关？ r 提示：无关．
(3)在具体的运算中， “弧度”二字和单位符号“rad”可以略去 不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？ 提示：不能省略． π (4)你认为式子“α＝k· 360°＋ ，k∈Z”正确吗？ 3 提示： 不正确， 在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．
(3)角度制与弧度制的换算
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
(5)扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，α 为其圆心角，则 α 为度数 扇形的 弧长
2．归纳总结，核心必记 (1)度量角的两种制度 角度 制 定义 用 度 作为单位来度量角的单位制
1 度的角 定义
1 周角的 360 为 1 度角，记作 1°
以 弧度 为单位来度量角的单位制 长度等于半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角 .1 弧度记作 1 rad
弧度 制 1 弧度的 角
(2)弧度数的计算
[尝试解答]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③ ④均正确；因为 1
180 rad＝ °≈57.30°≠1°，故②不正确． π
答案：①③④
(1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题 中要准确理解 1 弧度角的概念， 知道角度制与弧度制的关系． (2)角度制和弧度制的比较： ①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角 度制是以“度”为单位来度量角的单位制．
2
570π 19π 解： (1)α1＝－ 570°＝－ ＝－ ， 180 6 750π 25π α2＝750°＝ ＝ . 180 6 19π 5π ∵α 1＝－ ＝－ 2× 2π＋ ， 6 6 25π π α2＝ ＝ 2× 2π＋ ， 6 6 ∴α 1 是第二象限角，α2 是第一象限角．
3π 3 (2)β1＝ ＝ × 180°＝ 108°， 5 5 设 θ＝k· 360°＋ 108° (k∈ Z)， 则由－ 720°≤θ＜ 0°， 得－ 720° ≤ k· 360°＋ 108°＜ 0° (k∈ Z)， 解得 k＝－ 2 或 k＝－1， ∴在－ 720°～ 0°范围内，与 β1 有相同终边的角是－612° 和－ 252°； π 1 β2＝－ ＝－ ×180°＝－60°， 3 3
② 1 弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角， 而1 1 度的角是指圆周角的 的角，大小显然不同． 360 ③无论是以“ 弧度” 还是以“度 ”为单位来度量角， 角的大小都是一个与“ 半径”大小无关的值． ④用“度”作为单位度量角时， “度” (即“° ”)不能 省略，而用 “ 弧度 ” 作为单位度量角时， “ 弧度” 二字或 “ rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式 中不能出现两种度量方法．
练一练 1．下列说法正确的是 ( )
A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应 关系 B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应 C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同 2π D．－120°的弧度数是 3
答案：B
讲一讲 2．把下列角度化成弧度或弧度化成角度： 2π (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－ . 9 π 2π [尝试解答 ] (1)72°＝ 72× ＝ ； 180 5
180 数× °＝度数． π
练一练 3π 2．已知 α1＝－570°，α 2＝750°，β 1＝ ，β 5 π ＝－ . 3 (1)将 α1，α 2 用弧度表示出来，并指出它们是第几象 限角； (2)将 β1，β 2 用角度表示出来，并在－720°～0°范 围内，找出与它们有相同终边的所有角．
πα R l＝ 180
α 为弧度数 l＝ αR
2 π α R 1 1 2 扇形的 lR αR S＝ 360 S＝ 2 ＝ 2 面积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[问题思考] (1)在大小不同的圆中，长为 1 的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等．这是因为长为 1 的弧是指弧的长度为 1，在大 小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
π 5π (2)－ 300°＝－ 300× ＝－ ； 180 3
180 360 (3)2＝ 2× °＝ π °； π 2π 180 2π (4)－ ＝－ × °＝－ 40° . 9 9 π
角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝ π 180°是关键，由它可以得到：度数 × ＝弧度数，弧度 180
提示：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
(3)阅读教材 P6“探究”的内容，思考： ①如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l，那 么 α 的弧度数的绝对值是多少？
l 提示：|α|＝ . r ②既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是
如何换算的？
提示：π＝180°.
[课前反思 ] (1)角度制的定义： (2)弧度制的定义： (3)任意角的弧度数与实数的对应关系： (4)角的弧度数的计算公式： (5)角度与弧度的互化： (6)扇形的弧长及面积公式： ； ； ； ； ； ．
讲一讲 1．有关角的度量给出以下说法： 1 1 ① 1°的角是周角的 ，1 rad 的角是周角的 ； 360 2π ② 1 rad 的角等于 1 度的角； ③ 180°的角一定等于π rad 的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位． 其中正确的说法是________．
[核心必知 ] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P6～P9 的内容，回答下列问题． (1)我们知道， 角可以用度为单位进行度量， 1 度的角是如 何定义的？ 1 提示： 1 度的角等于周角的 . 360
(2)为了使用方便，数学上还采用弧度制来度量角，1 弧度 的角是如何定义的？
l (2)比值 与所取的圆的半径大小是否有关？ r 提示：无关．
(3)在具体的运算中， “弧度”二字和单位符号“rad”可以略去 不写，但“度”作单位时“°”能省略吗？ 提示：不能省略． π (4)你认为式子“α＝k· 360°＋ ，k∈Z”正确吗？ 3 提示： 不正确， 在同一个式子中不能同时出现角度制与弧度制．
(3)角度制与弧度制的换算
(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π 6
π
(5)扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 R，弧长为 l，α 为其圆心角，则 α 为度数 扇形的 弧长
2．归纳总结，核心必记 (1)度量角的两种制度 角度 制 定义 用 度 作为单位来度量角的单位制
1 度的角 定义
1 周角的 360 为 1 度角，记作 1°
以 弧度 为单位来度量角的单位制 长度等于半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角 .1 弧度记作 1 rad
弧度 制 1 弧度的 角
(2)弧度数的计算
[尝试解答]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③ ④均正确；因为 1
180 rad＝ °≈57.30°≠1°，故②不正确． π
答案：①③④
(1)解决概念辨析问题的关键是准确理解概念．如本题 中要准确理解 1 弧度角的概念， 知道角度制与弧度制的关系． (2)角度制和弧度制的比较： ①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角 度制是以“度”为单位来度量角的单位制．
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570π 19π 解： (1)α1＝－ 570°＝－ ＝－ ， 180 6 750π 25π α2＝750°＝ ＝ . 180 6 19π 5π ∵α 1＝－ ＝－ 2× 2π＋ ， 6 6 25π π α2＝ ＝ 2× 2π＋ ， 6 6 ∴α 1 是第二象限角，α2 是第一象限角．
3π 3 (2)β1＝ ＝ × 180°＝ 108°， 5 5 设 θ＝k· 360°＋ 108° (k∈ Z)， 则由－ 720°≤θ＜ 0°， 得－ 720° ≤ k· 360°＋ 108°＜ 0° (k∈ Z)， 解得 k＝－ 2 或 k＝－1， ∴在－ 720°～ 0°范围内，与 β1 有相同终边的角是－612° 和－ 252°； π 1 β2＝－ ＝－ ×180°＝－60°， 3 3
② 1 弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角， 而1 1 度的角是指圆周角的 的角，大小显然不同． 360 ③无论是以“ 弧度” 还是以“度 ”为单位来度量角， 角的大小都是一个与“ 半径”大小无关的值． ④用“度”作为单位度量角时， “度” (即“° ”)不能 省略，而用 “ 弧度 ” 作为单位度量角时， “ 弧度” 二字或 “ rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式 中不能出现两种度量方法．
练一练 1．下列说法正确的是 ( )
A．在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应 关系 B．每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应 C．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，数量也不同 2π D．－120°的弧度数是 3
答案：B
讲一讲 2．把下列角度化成弧度或弧度化成角度： 2π (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－ . 9 π 2π [尝试解答 ] (1)72°＝ 72× ＝ ； 180 5
180 数× °＝度数． π
练一练 3π 2．已知 α1＝－570°，α 2＝750°，β 1＝ ，β 5 π ＝－ . 3 (1)将 α1，α 2 用弧度表示出来，并指出它们是第几象 限角； (2)将 β1，β 2 用角度表示出来，并在－720°～0°范 围内，找出与它们有相同终边的所有角．
πα R l＝ 180
α 为弧度数 l＝ αR
2 π α R 1 1 2 扇形的 lR αR S＝ 360 S＝ 2 ＝ 2 面积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[问题思考] (1)在大小不同的圆中，长为 1 的弧所对的圆心角相等吗？
提示：不相等．这是因为长为 1 的弧是指弧的长度为 1，在大 小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．
π 5π (2)－ 300°＝－ 300× ＝－ ； 180 3
180 360 (3)2＝ 2× °＝ π °； π 2π 180 2π (4)－ ＝－ × °＝－ 40° . 9 9 π
角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝ π 180°是关键，由它可以得到：度数 × ＝弧度数，弧度 180
提示：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．
(3)阅读教材 P6“探究”的内容，思考： ①如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是 l，那 么 α 的弧度数的绝对值是多少？
l 提示：|α|＝ . r ②既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间是
如何换算的？
提示：π＝180°.
[课前反思 ] (1)角度制的定义： (2)弧度制的定义： (3)任意角的弧度数与实数的对应关系： (4)角的弧度数的计算公式： (5)角度与弧度的互化： (6)扇形的弧长及面积公式： ； ； ； ； ； ．
讲一讲 1．有关角的度量给出以下说法： 1 1 ① 1°的角是周角的 ，1 rad 的角是周角的 ； 360 2π ② 1 rad 的角等于 1 度的角； ③ 180°的角一定等于π rad 的角； ④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位． 其中正确的说法是________．