概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理

故
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
e
x2 − 2
dx
则称随机变量序列{Xn}服从中心极限定理 服从中心极限定理 则称随机变量序列
定理（列维—林德贝格定理(i.i.d下中心极限定理 林德贝格定理(i.i.d下中心极限定理) 定理（列维 林德贝格定理(i.i.d下中心极限定理)） 为独立同分布序列, μ,方差 设X1,X2,…,X n,…为独立同分布序列,期望μ,方差 ,X 为独立同分布序列 期望μ, 则当n充分大时, σ2>0, 则当n充分大时,
D( X ) P{| X − E( X ) |≥ ε } ≤ 2 ε
P{| X − E( X ) |< ε } ≥ 1 −
D( X )
ε
2
xn − x e 例5.2.1.设X~ f ( x) = n! 设 0
x>0
用切贝绍夫不等式证明
x≤0
n P{0 < X < 2(n + 1)} ≥ n+1
a−µ
P{X>a}=1 − Φ( a − µ )
σ
)
X～B(n,p) ～
σ
一般地,若在一次实验中成功的概率为 若在一次实验中成功的概率为p(0<p<1),独立重复 定义：一般地 若在一次实验中成功的概率为 独立重复 进行n次 这 次中实验成功的次数 服从的分布为二项分布: 次中实验成功的次数X服从的分布为二项分布 进行 次,这n次中实验成功的次数 服从的分布为二项分布
此处区间越小越精确,习 此处区间越小越精确 习 惯上取长度为1的对称区 惯上取长度为 的对称区 间
m + 0.5 − np m − 0.5 − np ) − Φ( ). = Φ( npq npq
X～B(n,p)
m P{ X = m} = Cn pm (1 − p)n−m
m = 0,1,2,..., n
5
0.17635
(2)np=λ=5,应用 应用Possion逼近 逼近: 应用 逼近
55 −5 P{ X = 5} ≈ e =0.17547 5!
(3)应用正态逼近 X~N(5,4.95) 应用正态逼近: 应用正态逼近 P{X=5}=P{4.5<X≤5.5} ≈ Φ( 5.5 − 5) − Φ( 4.5 − 5) =0.1742 4.95 4.95 显然,本例中 逼近较正态逼近更精确. 显然 本例中Possion 逼近较正态逼近更精确 本例中
X = ∑ Xi
i =1
200
由独立同分布的中心极限定理得: 由独立同分布的中心极限定理得 EX=200EXi=20000, DX=200DXi=20000,
X近似服从正态分布 且 近似服从正态分布,且 近似服从正态分布
所求为P(X>20500)= 1-P(X≤20500) 所求为
20500 − 20000 ) ≈ 1 − Φ( 20000
∑ X 近似服从N(nµ , nσ
i =1 i
n
2
)
所以
∑ X − nµ
i =1 i
n
nσ
近似服从 (0,1) N
lim{ i=1
n→∞
∑X − nµ
i
n
nσ
≤ x} = Φ(x)
(1)一般地 只要 比较大 就可应用以上定理 一般地,只要 比较大,就可应用以上定理 一般地 只要n比较大 就可应用以上定理;
k P{ X = k} = Cn pk (1 − p)n−k
k = 0,1,2,..., n
定义： 定义：
若相互独立随机变量序列{Xn}的标准化和 的标准化和 若相互独立随机变量序列
n n
Yn =
∑ X − ∑E( X )
i =1 i i =1 n i
D(∑ Xi )
i =1
使得
1 P{Yn ≤ x} = 2π
某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔 例5.3.3.某保险公司多年的统计资料表明 在索赔户中被盗索赔 某保险公司多年的统计资料表明 户占20%,随机抽查 户,利用棣莫佛 拉普拉斯积分定理 随机抽查100户 利用棣莫佛---拉普拉斯积分定理 利用棣莫佛 户占 随机抽查 求被盗索赔户不少于14户且不多于 户的近似值 求被盗索赔户不少于 户且不多于30户的近似值 户且不多于 户的近似值. 表示100户中被盗索赔户数 户中被盗索赔户数,则 解:设X表示 户中被盗索赔户数 则 设 表示 X~B(100,0.2)
= Φ(2.5) − [1 − Φ(1.5)]
=0.927
某人一次射击,命中环数X 例5.3.4. 某人一次射击,命中环数X的分布列为
X P 10 0.8 9 0.1 8 0.05 7 0.02 6 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. 100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. 次射击中命中环数在900环到930环之间的概率
lim P{ Xn − an < ε }=1
n→∞
则称随机变量序列{X 则称随机变量序列{Xn}服从大数定律
二、切比绍夫不等式
设随机变量 的方差存在 这时均值也存在),则 设随机变量X的方差存在 这时均值也存在 则 对任意 变量 的方差存在(这时均值也存在 正数ε有下面不等式成立 正数 有下面不等式成立
n 1 n 1 lim P ∑ Xi − ∑µi < ε = 1 n→∞ n i =1 n i =1
辛钦大数定律） 设随机变量序列{X 相互独立， 定理 （辛钦大数定律） 设随机变量序列{Xn}相互独立，服从 同一分布，且有相同的期望E(X )=µ 则对任意的ε> ε>0 同一分布，且有相同的期望E(Xn)=µ，则对任意的ε>0 ，有
n
nA lim P − p <ε =1 n→∞ n
第5.3节 中心极限定理 节
复习
X~N(µ,σ2)
Y=
定理 设X~N(µ,σ2),
a−µ
X −µ
σ
,
则Y~N(0,1).
所以， 所以，若X~N(µ,σ2), 则 P{X<a}= Φ(
σ
)
P{a<X<b}= Φ(
b− µ
σ
) − Φ(
三、几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列{Xn}相互独立，且 相互独立， 定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列 相互独立 均存在有限方差，且方差 其中常数C与 均存在有限方差，且方差D(Xn) ≤C (n=1,2,...), 其中常数 与n 无 关，则对任意的ε>0 ，有 则对任意的
x
计算: 计算 (1) n≤40, p≤0.4，由Excel得 ， 得 (2) n≤40,p>0.6, 应用以下定理: 应用以下定理
m F( x) = ∑Cn pm (1 − p)n−m m=0
其中q=1-p. 定理 若X~B(n,p),且Y=n-X,则Y~B(n,q),其中 且 则 其中 (3) n≥100,p<0.1, 应用 应用Possion定理有 定理有 (np) m −np P(X = m)≈ e (m = 0,1,2,L, n) m! (4) n≥100,p 接近于 接近于0.5,X~N(np,npq)
证明: 证明
+∞ xn − x x e dx =n+1 [注： xne− xdx = n!] ∫0 n! 0 +∞ xn − x =(n+1)(n+2) 2= x2 e dx EX ∫ 0 n!
EX =
+∞
∫
所以, 所以
DX=EX2-(EX)2=n+1 [这里 这里,ε=n+1] 这里
n n+1 = (n + 1)2 n + 1
设每颗炮弹命中目标的概率为0.01,求500发炮弹中 例5.3.2.设每颗炮弹命中目标的概率为 设每颗炮弹命中目标的概率为 求 发炮弹中 发的概率。 命中 5发的概率。 发的概率 表示命中的炮弹数, 解: 设X表示命中的炮弹数 则 X~B(500,0.01) 表示命中的炮弹数