计量经济学的统计学基础
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r 0 xr1exdx
当r 0, r这个积分收敛，且有 xdx 1
（2）定理 分布的数学期望和方差
E r Var r
2
（4） t分布
t分布的定义。如果连续型随机变量x具有以下 密度函数，则称其具有自由度为n的t分布t(n)。
x
n 1 2
n n
1
x2 2
n1 2
2
t分布与正态分布类似具有对称性，其均值为0， 方差为n/(n-2)，但t分布比正态分布略“胖”些。
组合仍服从正态分布。
（3）若Z1, Z2, …，Zk为k个独立的标准正态变量， 则其平方和服从自由度为k 的χ2分布，即
Zi2 Z12 Z22 ... Zk2 2 (k)
2
（2） 分布
自由度为n的 2 分布的密度函数
x
22
1
n
x
n 2
1
e
x 2
2
0
x0 x0
注：标准正态变量的平方服从自由度为1的分2 布，
（4）检验的p值
检验的p值(p-value)是指给定t统计量的观测值，能拒绝原 假设的最小显著性水平。小的p值是拒绝原假设的证据。
如果用α表示检验的显著性水平（小数形式），那么p值 <α时，则拒绝原假设，否则在100 α%显著性水平下，不 能拒绝H0。
注意 （1） 对于线性回归方程，一般软件包报告了回归系数及
n1 Γ n2 2 2
n1 n2
n1
2
x
n1 1
2
标准误，并且给出了针对双侧对立假设的p值，将其除以 2，即可得到单侧对立假设的p值； （2） 随着样本容量的扩大，一般使用较小的显著性水平， 以作为抵偿标准误越来越小的一种办法；对于小样本容 量，可以接受较大的显著性水平，可以让大到0.20
五、随机变量函数的概念和分布
1、随机变量函数的定义：
设f(x)是定义在随机变量X的一切可能取值集合上的函 数。如果对于X的每一个可能值x，都有另一个随机变 量Y的取值y=f(x)与之相对应，则称Y为X的函数，记作 Y=f(X)。 常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接得 到（例如滚珠体积的测量值等），但与它们有关系的 另一个随机变量的分布却是容易知道的（如滚珠直径 的测量值）。因此，就要研究两个随机变量之间的关 系，然后通过它们之间的关系，由已知随机变量的分 布求出与之有关的其它随机变量的分布。其间的关系 通常用函数关系表示。
§2.1 总体、样本
一、总体和样本
引入一个随机变量来描述总体
总体与样本间的联系在于具有相同的分布； 总体就是一个随机变量，所谓样本就是n个相互独立的 与总体具有相同分布的随机变量x1,……,xn，即n元随机 变量。
二、对总体的描述：随机变量的数字
特征
数学期望： x Ex
方差：
2 x
Varx
第二章 计量经济学的统计学基础
主要内容
§2.1 总体、样本 §2.2 对总体的描述——随机变量的数字特征 §2.3 对样本的描述——样本分布的数字特征 §2.4 通过样本，估计总体（一）
——估计量的特征 §2.5 通过样本，估计总体（二）
——估计方法 §2.6 通过样本，估计总体（三）
——假设检验
2、几种重要的分布
（1）正态分布
若连续型随机变量X的概率密度为
x
1
2
x 2
e 2 2
Leabharlann Baidu
σ, 为常数，σ 0
则X服从正态分布，记为X ~ N μ, 2 。正态分布的数学
期望和方差分别为 ,
标准正态分布：
x
1
e
x2
2
2
正态分布的标准化
（1）如果
~
N , 2 ，
，则
~
N 0,1
（2）两个（或多个）正态分布随机变量的线性
即
Z 2 2 (1)
2
分布的图象
概
N=7
率
N=11
x N为自由度
定理： 2分布的和仍然服从 2分布。
若2X,1X+…1X,X，2+2,n……）…,个X+自nX相n由服互度从独的具立有，2分且n布Xi 个i服，自从则由具它度有们的n的i（和i2分=1,
布。
2分布是斜分布，其偏度取决于自由度的大
原假设：H0；对立假设：H1。在假设检验中存在两类错 误：拒绝一个其实是真的原假设，即第Ⅰ类错误；第Ⅱ 类错误是指H0实际上是错误的，但没有拒绝它。 检验的显著性水平（significance level）则定义为第Ⅰ类 错误的概率，用符号表示为：
＝P(拒绝H0 | H0)
即当H0为真时拒绝H0的概率。
3、对估计量的检验——假设检验
2、估计方法
点估计 区间估计
矩估计法
最大似然法
总体分布未知
最小二乘法
已知方差
估计期望
正态总体 一般总体（大样本）
一般总体（大样本）
单个总体
方差未知
正态总体
估计方差（常用小样本下，正态总 两个总体 体估计其它参数）
3、 对估计量的检验——假设检验
（1）对总体分布特征的假设检验
一个正态总体的假设检验 a 检验均值：已知方差和未知方差 b 检验方差：未知均值（双尾和单尾） 两个正态总体的假设检验 a 检验均值：未知方差但可假设其相等 b 检验方差：未知均值（双尾和单尾） 总体分布的假设检验 a 总体为离散型分布 b 总体为连续型分布
（2）对各种系数、参数估计值的假设检验
（3）检验的显著性水平
若Z～N(0,1), y~χ2(N) , 则 Z ~ t(N )
yN
t分布和正态分布图像
概率密度 标准正态分布
t-分布
x 0
（5） F分布
F分布的定义。若连续型随机变量X的分布密度函数由
下式给出，则称X服从自由度分别为n1, n2的F分布，记
为F(n1,
(
n2)。
x)
Γ
Γ n1 n2 2
三、对样本的描述：样本分布的数字特征
样本平均数 ，描述样本的一般水平；
样本方差S2，X描述样本的离散程度。
可以采用Eviews软件计算相关的样本统计量。
四、如何用样本的数字特征估计总体的数字特征及数据生成过程中的各种 参数 1、估计量的优良性
无偏性、有效性、均方误差最小、一致性 2、估计方法。见下图
小，自由度越小，越向右偏，但随着自由度的 增大，逐渐呈对称，接近于正态分布。
2 分布的期望为k，方差为2k，k为 2分布的
自由度
（3）分布
（1） 分布的定义。如果连续型随机变量x具有密度 函数，则称其具有分布
f
( x)
r
(r)
x r 1e
x
x 0, (r 0, 0)
0
x0
记作 ，r ，这里
当r 0, r这个积分收敛，且有 xdx 1
（2）定理 分布的数学期望和方差
E r Var r
2
（4） t分布
t分布的定义。如果连续型随机变量x具有以下 密度函数，则称其具有自由度为n的t分布t(n)。
x
n 1 2
n n
1
x2 2
n1 2
2
t分布与正态分布类似具有对称性，其均值为0， 方差为n/(n-2)，但t分布比正态分布略“胖”些。
组合仍服从正态分布。
（3）若Z1, Z2, …，Zk为k个独立的标准正态变量， 则其平方和服从自由度为k 的χ2分布，即
Zi2 Z12 Z22 ... Zk2 2 (k)
2
（2） 分布
自由度为n的 2 分布的密度函数
x
22
1
n
x
n 2
1
e
x 2
2
0
x0 x0
注：标准正态变量的平方服从自由度为1的分2 布，
（4）检验的p值
检验的p值(p-value)是指给定t统计量的观测值，能拒绝原 假设的最小显著性水平。小的p值是拒绝原假设的证据。
如果用α表示检验的显著性水平（小数形式），那么p值 <α时，则拒绝原假设，否则在100 α%显著性水平下，不 能拒绝H0。
注意 （1） 对于线性回归方程，一般软件包报告了回归系数及
n1 Γ n2 2 2
n1 n2
n1
2
x
n1 1
2
标准误，并且给出了针对双侧对立假设的p值，将其除以 2，即可得到单侧对立假设的p值； （2） 随着样本容量的扩大，一般使用较小的显著性水平， 以作为抵偿标准误越来越小的一种办法；对于小样本容 量，可以接受较大的显著性水平，可以让大到0.20
五、随机变量函数的概念和分布
1、随机变量函数的定义：
设f(x)是定义在随机变量X的一切可能取值集合上的函 数。如果对于X的每一个可能值x，都有另一个随机变 量Y的取值y=f(x)与之相对应，则称Y为X的函数，记作 Y=f(X)。 常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接得 到（例如滚珠体积的测量值等），但与它们有关系的 另一个随机变量的分布却是容易知道的（如滚珠直径 的测量值）。因此，就要研究两个随机变量之间的关 系，然后通过它们之间的关系，由已知随机变量的分 布求出与之有关的其它随机变量的分布。其间的关系 通常用函数关系表示。
§2.1 总体、样本
一、总体和样本
引入一个随机变量来描述总体
总体与样本间的联系在于具有相同的分布； 总体就是一个随机变量，所谓样本就是n个相互独立的 与总体具有相同分布的随机变量x1,……,xn，即n元随机 变量。
二、对总体的描述：随机变量的数字
特征
数学期望： x Ex
方差：
2 x
Varx
第二章 计量经济学的统计学基础
主要内容
§2.1 总体、样本 §2.2 对总体的描述——随机变量的数字特征 §2.3 对样本的描述——样本分布的数字特征 §2.4 通过样本，估计总体（一）
——估计量的特征 §2.5 通过样本，估计总体（二）
——估计方法 §2.6 通过样本，估计总体（三）
——假设检验
2、几种重要的分布
（1）正态分布
若连续型随机变量X的概率密度为
x
1
2
x 2
e 2 2
Leabharlann Baidu
σ, 为常数，σ 0
则X服从正态分布，记为X ~ N μ, 2 。正态分布的数学
期望和方差分别为 ,
标准正态分布：
x
1
e
x2
2
2
正态分布的标准化
（1）如果
~
N , 2 ，
，则
~
N 0,1
（2）两个（或多个）正态分布随机变量的线性
即
Z 2 2 (1)
2
分布的图象
概
N=7
率
N=11
x N为自由度
定理： 2分布的和仍然服从 2分布。
若2X,1X+…1X,X，2+2,n……）…,个X+自nX相n由服互度从独的具立有，2分且n布Xi 个i服，自从则由具它度有们的n的i（和i2分=1,
布。
2分布是斜分布，其偏度取决于自由度的大
原假设：H0；对立假设：H1。在假设检验中存在两类错 误：拒绝一个其实是真的原假设，即第Ⅰ类错误；第Ⅱ 类错误是指H0实际上是错误的，但没有拒绝它。 检验的显著性水平（significance level）则定义为第Ⅰ类 错误的概率，用符号表示为：
＝P(拒绝H0 | H0)
即当H0为真时拒绝H0的概率。
3、对估计量的检验——假设检验
2、估计方法
点估计 区间估计
矩估计法
最大似然法
总体分布未知
最小二乘法
已知方差
估计期望
正态总体 一般总体（大样本）
一般总体（大样本）
单个总体
方差未知
正态总体
估计方差（常用小样本下，正态总 两个总体 体估计其它参数）
3、 对估计量的检验——假设检验
（1）对总体分布特征的假设检验
一个正态总体的假设检验 a 检验均值：已知方差和未知方差 b 检验方差：未知均值（双尾和单尾） 两个正态总体的假设检验 a 检验均值：未知方差但可假设其相等 b 检验方差：未知均值（双尾和单尾） 总体分布的假设检验 a 总体为离散型分布 b 总体为连续型分布
（2）对各种系数、参数估计值的假设检验
（3）检验的显著性水平
若Z～N(0,1), y~χ2(N) , 则 Z ~ t(N )
yN
t分布和正态分布图像
概率密度 标准正态分布
t-分布
x 0
（5） F分布
F分布的定义。若连续型随机变量X的分布密度函数由
下式给出，则称X服从自由度分别为n1, n2的F分布，记
为F(n1,
(
n2)。
x)
Γ
Γ n1 n2 2
三、对样本的描述：样本分布的数字特征
样本平均数 ，描述样本的一般水平；
样本方差S2，X描述样本的离散程度。
可以采用Eviews软件计算相关的样本统计量。
四、如何用样本的数字特征估计总体的数字特征及数据生成过程中的各种 参数 1、估计量的优良性
无偏性、有效性、均方误差最小、一致性 2、估计方法。见下图
小，自由度越小，越向右偏，但随着自由度的 增大，逐渐呈对称，接近于正态分布。
2 分布的期望为k，方差为2k，k为 2分布的
自由度
（3）分布
（1） 分布的定义。如果连续型随机变量x具有密度 函数，则称其具有分布
f
( x)
r
(r)
x r 1e
x
x 0, (r 0, 0)
0
x0
记作 ，r ，这里