衍生品定价的方法

包赚不赔的。 ❖ 故在无套利假设下数值q是满足概率条件的，我们称其为
风险中度概率。于是
V 0= e-rt[q U + (1 -q )D ]= e-rtE q [V 1 ]
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风险中度概率
❖ 由 q = ert S0 - Sd Su - Sd
❖ 可得 ertS0=qSu+(1-q)Sd。
❖ 此公式也可以由下图理解：
❖ (3)执行价格为$45的看跌期权，U=0，D=5，故
V 0=1.1 04[0.80+0.25]0.96
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资产组合复制
❖ 除了风险中度概率q外，还需要大家熟悉一个量就是德尔 塔量，它被定义为 U -D Δ= Su - Sd
❖ 该值正是博弈论方法中出现的a。 ❖ 在投资决策过程中，德尔塔量的含义是用来对冲一股期
权的标的股票数量。
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练习
❖ 假设某股票现价为60美元，一年后该股票可能涨至80美 元，也可能跌至50美元。若有一交易商要推出执行价为 65美元、一年后到期的看涨期权。无风险利率为0.048。 求期权的合理价格。
❖ 故衍生品价格可记为 V0=e-rt[qU+(1-q)D]
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风险中度概率
❖ 对于 q = e rt S0 - Sd Su - Sd
❖ 现在我们来考虑q的取值范围： ❖ 若q<0，则e-rtS0<Sd，此时买进该股票是包赚不赔的。 ❖ 若q>1，那么1-q<0，则Su<e-rtS0，此时卖空该股票是
❖ 解得 q = 0.8 。
❖ 于是由 V0=e-rt[qU+(1-q)D ]，可知期权的合理价格为
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资产组合复制
❖ (1)执行价格为$48的看涨期权，U=7，D=0，故
1 V 0=1.04[0.87+0.20]5.38
❖ (2)执行价格为$53的看涨期权，U=2，D=0，故
V 0=1.1 04[0.82+0.20]1.54
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资产组合复制
❖ 假设股票在0时刻为S0，该股票在t时刻有两种可能价格：
Su
U
Fra Baidu bibliotek
S0
V0
Sd
D
❖ 构造资产组合Π：a单位的股票和b单位的债券，来复制
期权，由于
❖ 上升状态：Πu=aSu+bert=U ❖ 下降状态：Πu=aSd+bert=D
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资产组合复制
❖ 于是有：
a = U - D = Δ V , S u - S d Δ S
择，此时有 ❖ Π0=-2V+1×100 ❖ Π1=- 2×15+1×120=90 ❖ 由于1.05Π0= Π1，故100-2V=90/1.05，即V=7.14.
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博弈论方法
❖ 假设交易商愿意以$7.25的价格出售（或购买）期权。 博弈论定价方法告诉我们期权价格被高估了。
❖ 我们的策略：买入1股股票，卖出2股期权 ❖ 该头寸的成本为 ❖ 100-7.25×2=85.5 ❖ 我们借入$85.5进行投资，一年后冲销该头寸得$90，
b = ( U - S U u - - S D d S u ) e - r t D S S u u - S U d S d e - r t
❖ 于是衍生品的定价公式为：
❖即
V 0=aS0+(U-aSu)e-rt V0=S U u--D SdS0+D S Su u -S U dSde-rt
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资产组合复制
❖ V=期权的价格；S=股票的价格。 ❖ 构造资产组合Π：a股股票的期权和b股股票则： ❖ Π0=aV+bS ❖ 上升状态： Π1=（120-105）a+120b ❖ 下降状态： Π1=a×0+90b
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博弈论方法
❖ 选择a和b，使得并不取决于股票涨跌结果。这样，我们 就有：
❖ （120-105）a+120b=a×0+90b ❖ 从上式可得15a=-30b，我们可以作出a=-2，b=1的投资选
衍生品定价
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南开大学数学科学学院 白晓棠
Contents
1
衍生品定价的方法
2
博弈论方法
3
资产组合复制法
4
二叉树模型
2
衍生品定价的方法
❖ 前面我们讨论了期权价格的上下限以及看涨看跌期权的 平价公式（欧式）。
❖ 一份期权的公平的确切的价格应该为多少呢？ ❖ 例：（看涨期权的公平价格）有一只股票现价为$100。
在一年以后，股价可以是$90或$120。概率并未给定。 即期利率是5%。一年后到期的执行价格为$105的股票 期权的公平价格是多少？ ❖ 下面我们将用两种方法来回答这个问题，这两个方法是： 博弈论方法、资产组合定价法。
3
博弈论方法
❖ 在下面的三种方法中我们都假设股票在到期日的价格只 能是两种特定价格中的一个。将现在视为0时刻，到期日 视为1时刻，本例中假设1时刻股价为$120或$90.
q
Su
S0
1 - q Sd
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资产组合复制
❖ 例：股票现在的价值为$50，一年期利率为4%，一年 后股票的价值可能是$55或$40。试问下列衍生品的合 理价格：(1)执行价为$48的看涨期权； (2)执行价为 $53的看涨期权；(2)执行价为$45的看跌期权.
❖ 解：由 ertS0=qSu+(1-q)Sd可知 1 .0 4 5 0 = 5 5 q + 4 0 (1 -q )
❖ 将上面表达式中的含有U的项和含有D的项分开，则衍生 品价格为：
V 0=e-rtU (erS tS u0 --SS dd)e-rtD (S S uu --er S tS d0)
❖ 忽略指数项，则U的系数是 q = e rt S0 - Sd Su - Sd
❖ 而D的系数恰好为 1- q = Su - ert S0 Su - Sd
故资产组合的初始价值是：
Π0=V0-aS
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博弈论方法
❖ 选择a的值使得资产组合的价值与股票的最终状态无关， 于是
❖ 上升时：Πu=U-aSu ❖ 下降时：Πd=D-aSd ❖ 令Πu=Πd得：U-aSu=D-aSd ❖故 a= U -D
Su - Sd ❖ 而Π0=V0-aS0， Π1=U-aSu ❖ 于是V0=aS0+(U-aSu)e-rt
故我们得到利润为： ❖ 90-85.5×1.05=90-89.775=0.225 ❖ Q:交易商以$7的价格出售（或购买）期权，交易策略？
6
博弈论方法
❖ 假设在时刻t股票处于上涨的状态时价格为Su，那么衍生 品价格为U；股票处于下跌的状态时价格为Sd，那么衍 生品价格为D。
Su
U
S0
V0
Sd
D
我们通过买1股股票衍生品和卖出a股股票构造资产组合。