北京市数学八年级下册：第1讲 二次根式
二次根式1八年级数学下课件
2 3
6
x xy 2 x3 y
练习2:
1
1
2
2
2 1
2 x 12 x 1 (x>0 )
3 x2 2xy y2 x y2 (x﹤y) yx
( a)2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
(x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿3 ＿＿＿
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a bc)2 (a bc)2 (b a c)2 (c b a)2 2a+2b+2c
解：设长为3x，宽为2x,则有
6x2 18 x2 3 x 3
10 、
3 -5 、 8 、
a (a＜0﹚、
a2+0.1
√ × ××
是不是二次根式？
√
、 -a (a＜0﹚
√
二次根式必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
在实数范围内，a< 0时， a 没有 意义，只有当 a 0 时， a 有意义。
a叫被开方数
本课学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围 • （3）二次根式的性质
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
八年级下册数学第一章二次根式
第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式 1.2 定义二次根式第二节：二次根式的运算2.1 开方2.2 含有根号的算术式的加减乘除2.3 对一元二次方程进行求根第三节：二次根式的化简3.1 提取因数3.2 合并同类项3.3 求解含有二次根式的方程第四节：一元二次方程的复根4.1 i的引入4.2 复数解的运算第五节：二次根式在几何中的应用5.1 定理的引入5.2 二次根式的计算第六节：二次根式的实际应用6.1 实际问题6.2 解题方法6.3 实际应用案例第七节：总结7.1 本章知识点总结7.2 学习方法和技巧的总结第八节：拓展8.1 相关知识的拓展8.2 学科交叉知识的拓展第一节：概述1.1 介绍数学第一章的主题 - 二次根式数学是一门关于数量、结构、空间和变化等概念的研究。
而二次根式作为数学课程中的一个重要内容，是数学在现实生活中的一种具体应用。
八年级下册的数学教材中，第一章就是关于二次根式的学习。
在这一章节中，我们将会学习到如何对含有二次根式的算式进行运算、如何对二次根式进行化简、以及二次根式在几何和实际生活中的应用等知识。
1.2 定义二次根式在数学中，二次根式指的是形如a√b的数学表达式，其中a和b都是实数，b为大于等于0的数，且a不等于0。
其中√b表示对b开平方的结果。
2√3和-5√8都是二次根式。
在这一章节中，我们将深入学习二次根式的运算规则，化简方法以及实际应用，全面掌握二次根式的相关知识。
第二节：二次根式的运算2.1 开方在学习二次根式的运算过程中，我们首先需要了解开方的概念。
开方是指找出一个数的平方根。
对于一个非负数a，如果存在另一个非负数b，使得b的平方等于a，则称b为a的平方根，记作√a。
在实际应用中，开方是一种常见的运算方法，我们将学习如何对含有根号的算式进行加减乘除等运算。
2.2 含有根号的算术式的加减乘除含有根号的算术式在运算过程中与普通的算术式有些许不同。
二次根式(第1课时 概念)八年级数学下册课件(人教版)
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 分式+二次根式 (1) A 1 . B (2) 1 . A
分母≠0 并且 二次根式被开数≥0 A ≥0 且 B ≠0 A >0
典例讲解
变式练习2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
典例讲解
变式练习3 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) x2 .
(2) x2 2x 1.
解：(1)由题意得
(2)由题意得
∵ 无论 x 为任何实数 x 2+2x+1 = (x+1 ) 2
x 2≥0
∵ 无论 x 为任何实数
∴ x 为任何实数.
(x+1 ) 2≥0 ∴ x 为任何实数.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 65 m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s) 与开始落 下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2. 如果用含有h的式子表示t， 那么t为_t_=__5h___.
探究新知
思考，上面问题中，得到的结果，思考下列问题：
解不等式②得 x ≤ 3
解不等式②得 x ≤ 3
∴ 2 ≤ x ≤ 3.
∴ x = 3.
归纳知识
要代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
1. 多个二次根式
每个二次根式被开数 ≥0
(1) A B N .
A 0, B 0, , C 0.
解不等式组
(2) x a a x .
八年级下册数学二次根式知识点
八年级下册数学二次根式知识点
八年级下册数学二次根式知识点包括以下几个方面：
1. 二次根式的定义：形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数。
2. 二次根式的性质：二次根式的被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
3. 最简二次根式的定义：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
4. 二次根式的加减法：同类二次根式可以进行合并，把几个同类二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；二次根式相加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
5. 二次根式的乘除法：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最简二次根式。
以上是八年级下册数学二次根式知识点，对于初学者来说，理解和掌握这些知识点是非常重要的。
2019年八年级数学下册二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念课件
二次根式 二次根式
二次根式的概念
1.开平方运算 (1)平方根的定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的 平方根 . (2)一个正数有 2 个平方根,它们的关系是 互为相反数 ;0的平方根是 0
;负数
没有平方根
.
(3)算术平方根的定义:如果一个正数x的平方等于a,那么这个数x叫做a的 算术平方根 ; 0的算术平方根是 0 .
2.二次根式 定义: 一般地,把形如 为二次根号. 二次根式应满足两个条件: ①含有二次根号; ②被开方数为非负数. ③被开方数中的分母不等于 0.
a
(a≥0)的式子叫做二次根式,a 叫做 被开方数 ,“
”称
知识点1:二次根式有意义的条件
例1 当 x 是怎样的实数时, 3x 1 在实数范围内有意义?
(3)因为对于任意的 x,x +10 始终大于 0,所以满足 x 2 10 有意义的 x 值为全体实数.
2
(4)由题意得-x ≥0,解得 x=0.
2
D
)
B
)
(D)以上皆不对
5x 2 有意义的 x 的取值范围是 5x 2
x
4.使二次根式
2 5
.
5.要使下列式子有意义,x 的取值范围是什么? (1) 5 x 1 ; (2) 2 10 x ; (3) x 2 10 ; (4) x 2 .
1 解:(1)由题意得 5x+1≥0,解得 x≥- . 5 1 (2)由题意得 2-10x≥0,解得 x≤ . 5
1 x 0, 解:由题意得 y 0,
x 1, 解得 y 5.
所以 x+y=4.
1.下列式子中,是二次根式的是( (A) 7 (A)x<1 (A)5 (C)
最新数学八年级下第一章第一节《二次根式》课件教学讲义ppt课件
下列各式中哪些是二次根式？
7, 1, x6, x2y(y0), x2y2, 3
38, 2x22x 5, a1
?
7, 1, x2y(y0), x2y2, a1 3
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2)6,(3) 12, (4)-m(m≤0), (5) xy(x,y 异号)， (6) a2 1 , (7)3 5
？
a 1
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3xx0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
4 25x 5 2x12
6 x532x
7 2 x 1
1 x
（8）
1、若二次根式 x 2 的值为3，求x的值.
2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公 式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所 经过的时间.
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落， 落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?
第01课 二次根式八年级数学下册同步精品讲义(人教版)
第01课 二次根式课程标准1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：0(0)a a ≥≥，2()(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥，并利用它们进行计算和化简．知识点01 二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．要点诠释：正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的， “ ”，“”的根指数为 ，即“2”，我们一般 ，写作“”。
如25可以写作 。
（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个含有字母的 。
（3） 式子 a 表示 的 ，因此a ≥0， a ≥0。
其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了 这一隐含条件。
（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是 的关系。
要注意当b 是分数时 ，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 23 2 。
2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，s t，2x ，0(0)a a ≥≥这些式子，用基本的运目标导航知识精讲算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把和表示数的连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.列代数式的常用方法：（1）：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）：根据公式列出代数式。
（3）：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
知识点02 二次根式的性质注意：2()a与2a的区别与联系：2()a2a区别表示的意义不同表示表示取值范围不同a a读法不同读作“”或“”读作“”或“”被开方数不同被开方数是被开方数是运算顺序不同先后先后运算结果，运算依据不同（ a ）2 =a，依据平方与开平方得到依据算术平方根的定义得到作用不同（ a ）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式a2=｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内联系①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方②结果都是；③a时，（ a ）2=a2考法01 二次根式的判断【典例1】在式子2x（x＞0），2，33，21x+，3x-（x＞0）中，二次根式有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（）A．21B．3π-C．222a+D．12考法02 二次根式有意义的条件【典例2】若二次根式2x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．2x>B．2x≥C．2x≤D．2x<【典例3】式子22xx+-中x的取值范围是（）能力拓展A．x＞2B．x≥﹣2C．x≠2D．x≥﹣2且x≠2【典例4】x的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣3【典例5】如果5y，那么xy的值是______．考法03 二次根式非负性的逆用【典例6】12a=-，则a的取值范围是（）A．12a<B．12a≤C．12a>D．12a≥【即学即练】1x-，则x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1【典例7】把）A B．C D．考法04 利用二次根式的非负性化简求值【典例8】计算：2______．【即学即练】=______．【典例9】（y﹣3）2＝0_____．【即学即练】若x＜23x-＝_______________．【即学即练】＝_______________．考法05 ｜a｜并结合数轴化简求值【典例10】如图，a，b，c||b c+______________【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣的结果是_____．【即学即练】如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a244a a +-+=_____．【即学即练】已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.考法06 利用2a =｜a ｜与三角形三边关系的综合应用【典例11】已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简()2a b c ++－()2b c a +-＋()2c b a --.【即学即练】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，化简：()()()()2222a b c a b c b a c c b a +++--+--+-- .考法07 逆用2()a = a （a ≥0）在实数范围内分解因式【典例12】在实数范围内分解因式： （1）22x -； （2）253x -．【即学即练】分解因式（在实数范围内）：33a a -．题组A 基础过关练1．在式子23(0),2,1(2),2(0),3,1,2xx y y x x x x y >+=-->++中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个分层提分2x 的取值范围是（ ） A ．x≤3 B ．x ＜3C ．x≥3D ．x ＞33A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．94．已知3y ，则2xy 的值为（ ） A ．15-B ．15C ．152-D ．1525．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|a b +的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a -b621a =-，那么（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．已知－2＜m ＜3|m ＋2|的结果是( ) A ．5B ．1C ．2m －1D ．2m －58．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ， c 为斜边，a. b 为直角边，2c a b --的结果为( ) A ．3a b c +- B ．33a b c --+ C ．33a b c +- D ．2a9．化简2+）A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1题组B 能力提升练12得（ ）．A ．2B ．44x -+C ．－2D ．44x -2．已知△ABC 的三边之长分别为a 、1、3，则化简|9-2a| ） A ．12-4aB ．4a -12C ．12D ．-123．把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ）AB C ． D ．4．已知1＜x ＜5-5|=____．54－m ，则m 的取值范围是____________．6．把(2-x ____________． 7．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简：-+---=a b c a b c ________．81的最小值是______．9．当1时，代数式x 2+2x+2的值是__________． 10．在实数范围内因式分解：348a a -=________． 11．观察下列各式：11111122⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：____．题组C 培优拔尖练1．若实数a 、b 、c b c a c ++-．2．阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3 3．阅读下列解题过程：2=，求a 的取值． 解：原式=24a a -+-，当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a ＝2(舍去)； 当2≤a ＜4时,原式＝(a -2)+(4-a)=2=2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝(a -2)+(a -4)=2a －6＝2，解得a=4； 所以，a 的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：(1)当3≤a≤7_________；(2)5的a 的取值范围__________；(3)6，求a 的取值．4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋＝（12，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋＝（m ＋2（其中a ，b ，m ，n 均为正整数），则有a ＋m 2＋2n 2＋，△a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把a ＋ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋m ＋2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）（3）若a ＋m ＋2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值。
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
八年级数学下册课件： 二次根式(第1课时) 公开课精品课件 (2)
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
为S的正方形的边长为
S
二、创设情境，引入 新知
.
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为 65 130 m2,则它的宽为 m.
(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时 间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单 位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t, h 那么t为_________. 5
2 x
•
1 x （3）x
x） 1 （4
x2
x
3
• （5）
（6）
总结: • 求二次根式中字母的取值范围的基 本依据： • ①被开方数不小于0； • ②分母中有字母时，要保证分母不 为0.
五、归纳总结
(1)本节课你学习了哪些知识？ (2)利用本节课知识，你能解决什么问题？
本节课主要学习了二次根式的定义及被开 方数的取值范围.
(3)全体实数 .
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1、2题. • 2.教材第5页习题16.1第1 题.
语文
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八年级数学下册第1章二次根式知识点总结范文(页)
八年级数学下册第1章二次根式知识点总结范文（页）#飞驰教育个性化辅导讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如.的式子叫二次根式，其中&叫被开方数，只有当二是一个非负数时，才有意义.【例2】若式子有意义，则某的取值范围是J某3举一反三：1、使代数式：某—2某—〔有意义的某的取值范围是2、如果代数式Jm—有意义，那么，直角坐标系中点p(mn)的位置在(imnA、第一象限B、第二象限C第三象限D、第四象限【例3】若【例3】若y=.某5+5某+2022,则某+y=解题思路：式子、a(a>0)某50某5，y=2022,则某+y=20225某0’举一反三:1、若.举一反三:1、若.某11某2(某y)，■则某-y的值为(3、当a取什么值时，代数式、、2a11取值最小，并求出这个最小值。
__11的值.已知a是亦整数部分，b是亦的小数部分，求a的值。
若<17的整数部分为某，小数部分为y，求某的值.b2y知识点二：二次根式的性质【知识要点】非负性：是一个非负数.注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.(.a)2a(a0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a0)a(a0)注意a(a0)a(a0)注意：(1)字母不一定是正数.(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.—2a(a0)—2a(a0)a的范围是非负(1)a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数.(2)(a)2a的范围是非负数.(3)a2和(..a)2的运算结果都是非负的.【典型例题】【例4】若2c420,则a举一反三:已知直角三角形两边某、【例4】若2c420,则a举一反三:已知直角三角形两边某、y的长满足|+..-./y25y6=°,则第三边长为.2、若ab1与.a2b4互为相反数，则2005b如一:.—疏-(公式c.a)2a(a0)的运用)［例5】化简:\a1(—)2的结果为(A4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三：3举一反三：3已知直角三角形的两直角边分别为、、2和5，则斜边长为a(a0)的应用)a(a0)［例6】已知某2,则化简.'某［例6】已知某2,则化简.'某24某4的结果是举一反三:2、化简■.4某24某12某32得((A)2(B)4某4(C)—2(D)4某43、已知a0，化简求值：卜4(a—Ha举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:【例7】如果表示a,b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简IA2bB.2bC2aD.2a【例8】化简某28某16的结果是2某-5，则【例8】化简(A)某为任意实数(B)1<某<4(C)某>1(D)某<1举一反三：若代数式（2a）2.(a4)2的值是常数2，则a的取值范围是（d.a2或a4a.a>4b.a<2d.a2或a4或a=1D.a<1【例9】如果aa22a11，那么a或a=1D.a<11、如果a..孑~6a~93成立，那么实数a的取值范围是（）A.a0B.a3;C.a3;D.a32、若(某3)2某30，则某的取值范围是()(A)某3(B)某3(C)某3(D)某3【例10】化简二次根式aa22的结果是3a2(B).a2(O2(D)a21、把根号外的因式移到根号内：当b>0时，bi{=某知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
1八下春季数学课程第一讲二次根式
八年级数学春季课程1第一讲 二次根式的基本概念课程目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；2、理解并掌握下列结论：，,，并利用它们进行计算和化简.课程重点 掌握二次根式的运算性质. 课程难点掌握运算性质的推导过程.教学方法建议 从具体的数的运算出发，引导学生去发现运算性质.一、知识梳理：考点1 二次根式的定义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式. （1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式；（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性.考点2 二次根式的主要性质（1）())0(2≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab（4）)0,0(≥>=b a ab a b 二次根式的性质是根式化简的依据.2a 与2()a 要注意区别与联系：①a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值. ②a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -.考点3 最简二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式.最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号二、课堂精讲：（一）二次根式的意义例1-1 使12--x x在实数范围内有意义的x 的取值范围是_______ 【规律方法】本题综合考查了二次根式和分式的概念.例1-2 已知012=-++b a ，那么_____2017=+）（b a【规律方法】本题综合考查了二次根式和绝对值的概念.【随堂演练一】 【A 类】1.下列各式中，一定是二次根式的有______________________________ ①a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x2.使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.210≠≥x x 且 D.一切实数 3.函数1213-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________.4.当实数x 的取值使得2-x 有意义时，函数14+=x y 中y 的取值范围是 （ ）A.7-≥yB.9≥yC.9>yD.9≤y5.已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________.6.若2)(11y x x x +=---，则______=-y x . 7.若n -12为一个整数，试求出自然数n 的值. 8.若233+-+-=x x y ,求y x 的值.（二）二次根式的性质例2-1 化简下列二次根式.81）（ 122）（ 183）（ 244）（ 315）（346）（ 4317）（ 0.128）（ 2289n m ）（152710⨯）（ 【规律方法】 二次根式性质的运用.例2-2 若12≤≤-a ，化简22)2()1(++-a a【规律方法】根据二次根式的性质与化简、绝对值的性质，正确进行计算即可.【随堂演练二】 【B 类】1. 化简下列二次根式：_____321=）（ _____482=）（_____983=）（ _____854=）（ _____0.155=）（ ______4.83.66=⨯）（ ______972=b a ）（2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A ．2.0B ．22b a -C ．x1 D ．a 43.当31<<-x 时，化简_________12)3(22=+++-x x x .4.实数a ，b 在数轴上对应点如图所示，化简_______2442222=--++++-b a b ab a b ab a .5.已知119-=a ，则=+-1682a a （ ）A.4-aB.519-C.419-D.195- 6.化简)10(2122<<-+x xx x7. 根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1)； (2).8. 已知c b a ,,为三角形的三边，则= ．三、小结：1.形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式.2.二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性.3.二次根式的主要性质----根式化简的依据())0(2≥=a a a)0,0(≥≥•=b a b a ab⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a )0,0(≥>=b a a b a b4.被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成为最简二次根式。
人教版八年级下册数学精品教学课件 第十六章 二次根式 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
5
2
=20,
3
3
2 =32
3 2 =27，
又∵20＜27，
∴ 2 5 2 ＜ 3 3 2，即 2 5＜3 3 .
(2) 2 13与-3 6.
解：∵ 2 13= 22 13= 52，
3 6= 32 6= 54， 又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
两个负数比较 大小，绝对值 大的反而小
讲授新课
一 二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9 = __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36= __5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___30__.
( 2 ) 6 12 = __6__2___ ;
( 3 ) 32 2 __2_6__.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜” 或“=”）：
（1）5 4 ＞ 4 5；（2） 4 2 ＜ 2 7.
5.计算： ( 1 ) 2 3 5 21 ；
解: (1) 2 35 21
25 321 10 327 30 7；
3
解: (1) 3 5 15;
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
可先用乘法结合 律，再运用二次 根式的乘法法则
(3) 2 3 5 ( 2 3) 5 6 5 30.
归纳 (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算， 说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二
次根式相乘，即 a b k a b k（a 0,b 0,k 0) .
3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a2 = a 把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 .
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北京市数学八年级下册：第 1 讲 二次根式
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)
1. （2 分） (2020 八下·东湖月考) 下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
D. 2. （2 分） (2020 八下·越秀期中) 下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. （2 分） (2020 八下·新昌期中) 二次根式
有意义时， 的取值范围是（ ）
A. <
B. ≤
C. >
D. ≥
4. （2 分） 计算： A.3 B.9 C.6
D.
=（ ）
5. （2 分） 若式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A . x≥
B . x＞
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C . x≥ D . x＞
6. （2 分） (2020 八下·江苏月考) 若 a+b= A. B.
,ab=1,则式子
C.
D.
7. （2 分） (2018 九上·孟津期末) 化简
的结果是（ ）
A.
B. C. D.
的值为（ ）
8. （2 分） 化简 A.
的结果是（ ）.
B.
C.
D.-
9. （2 分） 在下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. （2 分） 计算 A . -11 B . 11
+|-11|-
，正确的结果是（ ）
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C . 22 D . -22
二、 填空题 (共 10 题；共 30 分)
11. （3 分） 计算（ +1）2015（
﹣1）2014=________
12. （3 分） (2020·滨湖模拟) 在根式 率为________.
， ， ， 中随机抽取一个，它是最简二次根式的概
13. （3 分） (2020·邹平模拟) 函数 有意义，则自变量 x 的取值范围是________.
14. （3 分） (2017·南京) 计算：|﹣3|=________；
=________．
15. （3 分） 实数 a、b 在数轴上对应的如图所示，化简
﹣
+
=________．
16. （3 分） (2017 八下·巢湖期末) 实数 在数轴上的位置如图所示：
化简：
=________。
17. （3 分） (2011·湛江) 函数 y=
中自变量 x 的取值范围是________，若 x=4，则函数值 y=________．
18. （3 分） (2019 八下·乌兰浩特期末) 当 1<a<2 时，代数式
的值为________．
19. （3 分） 若
成立，则 x 满足________
20. （3 分） 若实数 x，y，m 满足等式 的算术平方根为 ________．
三、 计算题 (共 1 题；共 10 分)
21. （10 分） (2020 八下·陇县期末) 计算：
，则 m+4
（1）
（2）
四、 解答题 (共 4 题；共 20 分)
22. （5 分） 判断下列各式，哪些是二次根式，哪些不是，为什么？
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，–
，
，
，
，
．
23. （5 分） 学习二次根式后，小王认为：当 x=m 时，3﹣
分别为多少吗？
有最大值，且最大值为 n，你知道 m，n 的值
24. （5 分） (2016 八下·黄冈期中) 已知：a=
，求
25. （5 分） (2017 八下·沂源开学考) 若 1＜a＜2，求
+
五、 综合题 (共 2 题；共 20 分)
26. （10 分） 已知
和
（1） x2﹣y2
（2） x2+2xy+y2 ．
，求下列各式的值：
﹣ 的值．
的值．
27. （10 分） 一个三角形的三边长分别为
、
、
．
（1） 求它的周长（要求结果化简）；
（2） 请你给一个适当的 x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值
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一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、
二、 填空题 (共 10 题；共 30 分)
11-1、 12-1、 13-1、
14-1、 15-1、 16-1、
17-1、 18-1、 19-1、 20-1、
参考答案
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三、 计算题 (共 1 题；共 10 分)
21-1、 21-2、
四、 解答题 (共 4 题；共 20 分)
22-1、
23-1、
24-1、
25-1、
五、 综合题 (共 2 题；共 20 分)
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26-1、 26-2、 27-1、 27-2、
第7页共7页
。