材料力学-求弯曲位移

——挠曲线近似微分方程
2、积分法确定梁的位移
d2w M ( x) w dx 2 EI
对等刚度梁 EI const, 若弯矩方程在全梁上连续
积分一次 积分二次
EIw M x dx C
lຫໍສະໝຸດ Baidu
EIw
l
M x dx dx Cx D
M
A C B
M M FA () FB () ab ab
2.建立弯矩方程
AC段：
a
b
M1
M x ab
(0 x a )
CB段：
M2
Mx M ab
( a x a b)
3.建立挠度方程和转角方程
AC段：
M x2 EIw1 ' C1 ab 2
0
1
弯矩的通用方程
M x M i x ai 0 Fj x b j
i
j
qk qk 2 2 x d x ck k 2 2 k k
M x M i x ai 0 Fj x b j
M 1 w (3x 2 2b 2 a 2 2ab) 6(a b) EI
' 1
M 2 w2 (3x 2 5a 2 4ab 2b2 ) Ma 6(a b) EI
'
从而解得：
x 0处
C1 M (b 2a) Ma 2 M (2b2 2ab a 2 ) A EI 3EI 2 EI (a b) 6 EI (a b)
M (a 2 2ab 2b2 )3/2 9 3EI (a b)
max
M (b2 2ab 2a 2 )3/2 9 3EI (a b)
奇异函数法求梁的弯曲位移
x
y
当w取最大时，有 0，代入上式，得
AC段有x1 a 2 2ab 2b2 3
2
wmax. AC
x a n1 n1
奇异函数的积分
二、用奇异函数表示弯矩方程
M
a
M F
q b
+
F
a b c
l
+
c
q
列弯矩方程可用叠加法
1、仅有M作用的情况
M x M x a 0
M
2、仅有F作用的情况 M x F x b 1
y
a
x F
x
3、仅有q作用的情况
x a处，1 =2
x a处，w1 w2
x a b处，w2 0
Ma 2 D2 2
5.梁的挠曲线方程和转角方程
2 2 M M ( x a ) 3 2 2 w2 ( x 5a 4ab 2b ) 6(a b) EI 2
M w1 ( x3 2b2 x a 2 x 2abx) 6(a b) EI
2
A
C
2
B
x
x
w0 x0 w0 xl xl 2 0 C左 C右 w xl/2 w w C左 C右
x0
w
w0
0
EIw M x dx C
l
EIw
l
M xdx dx Cx D
l
若梁上弯矩方程无需分段，仅利用边界条件即 可确定积分常数。 C0 EI ' |x 0 EI0 D EI0
l
通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对 称弯曲。 2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连 续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相 应地分段积分。
3.确定积分常数的边界条件包括约束条件和连续性条件 约束条件: 固定端：w＝0；θ＝0； 铰支座：w＝0； 弯曲变形的对称点：θ＝0。 连续性条件:挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值 l F l F
i
j

k
q qk x ck 2 k x d k 2 2 2 k
说明：
☻Mi以顺时针为正，Fj、qk以向上为正。
☻Mi、Fj包括外载荷和约束反力。
☻ai、bj分别是集中力偶和集中力作用点的坐标，
ck是均布力起点坐标，dk是均布力终点坐标。
奇异函数法求梁的挠度和转角 讨 论
M x3 EIw1 C1 x D1 ab 6
CB段：
M x2 EIw2 ' Mx C2 ab 2
M x3 M 2 EIw2 x C2 x D2 ab 6 2
4.由边界条件确定积分常数
x 0处，w1 0
D 1 0
M Ma 2 C1 (b 2a) 3 2(a b) M (a b) Ma 2 C2 3 2(a b)
Me
l q0 l q0 l q0 q l
例：图示矩形变截面梁，梁长L，材料弹性
模量为E。求梁自由端的转角和挠度。
b
h
F
L
x
(l-x)
F
x
解：
y
l
建立如图所示坐标系
l
2
积分法求解梁位移的思路与步骤：
① 建立合适的坐标系；
② 求弯矩方程 M(x) ； ③ 建立近似微分方程： EIw M x
积分法和奇异函数法求弯曲位移
§5-1 挠曲线近似微分方程及其积分
静力学 数学
M x EI 1
x
w
2 32
1


1 w

32
y
M 0
w 0
M x w EI 1 w 2

x
M 0 w 0
得
M x w EI 1 w 2
M (a 2ab 2b ) 9 3EI (a b)
2 3/2
CB段有 x2 a b
b2 2ab 2a 2 3
wmax.CB
M (b2 2ab 2a 2 )3/2 9 3EI (a b)
谢谢大家！
M x q x c 2 2
y
b x
c
x
q x
x
4、M、F、q共同作用的情况
0
y
1 M x M x a F x b
q x c 2 2
M
F
q
a b
M
F
q
a b c
l
l
c d
q q 2 x d 2 M x M x a F x b x c 2 2
目录
奇异函数法求梁的挠度和转角
一、奇异函数 对n≥0（n为正整数）的情况，函数
0 f x x a n x a
n
x a x a
—— 称为奇异函数
奇异函数的微分
d x a n dx
n x a dx
n x a n1
奇异函数法求变形有什么优缺点？
???
优点：计算简便，避免了分段讨论的情况。
缺点：适用范围有限。
目录
例 如图所示简支梁，在C截面承受集中力
偶M作用，已知梁的刚度为EI，试求梁的挠曲 B 和 wmax 。 线方程， 并确定位移 A 、
M
A a
C b
B
积分法求梁的弯曲位移
1.由平衡条件求A.B端的约束反力

32
y
☻挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关
M x w EI 1 w 2


32
由于挠曲线是较平坦的光滑连续曲线， w 1 ， 故可忽略不计。 M x w 则 EI
即
EIw M x
适用条件： 线弹性小变形； 对称弯曲的细长梁。
④ 积分求 EI w 和 EIw; ⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 求指定截面的挠度和转角
5.2 积分法求梁的挠度和转角 讨 论
积分法求变形有什么优缺点？
???
优点：易理解；可得到挠度方程 w ( x ) 和转角方程
(x) ， 因而可求出任意截面的挠度和转角。
缺点：计算分析较繁琐；荷载复杂时分段多，积 分常数多。
x a b处
M (a b)2 M (a b) D1 M (2a 2 2ab b2 ) B EI (a b) 2 EI EI 6 EI (a b)
在AC段，令w1' 0，得 x1
a 2 2ab 2b2 3
max
2 2 b 2 ab 2 a ' 在CB段，令w2 0，得 x2 a b 3