波函数及薛定谔方程习题解

2
即：
| A |2 = 1 ，因此 A = 2 λ 3 = 2λ λ 3 4λ
∫
( x > 0) ( x ≤ 0)
2
∞
0
x n e − ax dx =
n! a n +1
⎧ ⎪2λ λ xe − λ x 归一化的波函数为：ψ ( x) = ⎨ ⎪ ⎩0
（2）粒子坐标的概率分布函数为： w( x ) =| ψ ( x ) | = ⎨ （3）由
⎧4λ 3 x 2 e −2 λ x ⎩ 0
( x > 0) ( x ≤ 0)
d w( x) = 4λ 3 (2 xe−2 λ x − 2λ x 2 e−2 λ x ) = 0 ， dx
有： x1 = 0, x2 = ∞, x3 = 1/ λ ，据题意取 x3 = 1/ λ 。 2 、 一 个 势 能 U ( x) =
解： U ( x )与t 无关，是定态问题。其定态薛定谔方程为
−
a a ≤x≤ 2 2 a | x |> 2
d2 − ψ ( x) + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2 μ dx 2
在各区域的具体形式为 Ⅰ： x < −
2
a 2
−
d2 ψ 1 ( x) + U ( x)ψ 1 ( x) = Eψ 1 ( x) 2 μ dx 2
E
t ) + v( x) exp(−ix) exp(−i E2 t) ；
E
t) ；
E1 E
t ) + u ( x) exp(−i E
t ) + u ( x) exp(i
t) 。
解：判断是否定态可从下面三个方面来进行：1）能量是否为确定值；2）概率是否与时间无 关；3）概率流密度是否与时间无关 先看ψ 1 ( x, t ) = u ( x) exp(ix − i
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第二章 波函数与薛定谔方程习题解
门福殿教授著《量子力学》
⎧ 2 nπ a sin ( x + ), ⎪ ⎪ a 2 由此得归一化的波函数为：ψ n = ⎨ a ⎪ 0, ⎪ ⎩
a a - ≤x≤ 2 2 a a x< - , x> 2 2
L2 为H = z 。 2I z
解： （1） 哈密顿算符
2 d2 ˆ = 1 L ˆ2 = − H Z 2I z 2 I z dϕ 2
其本征方程为
ˆ 与t 无关，属定态问题) (H
−
d2 ψ (ϕ ) = Eψ (ϕ ) 2 I z dϕ 2 d 2ψ (ϕ ) 2I E = − z2 ψ (ϕ ) 2 dϕ
ψ 1 ( x) = 0
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ψ 3 ( x) = 0
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第二章 波函数与薛定谔方程习题解
门福殿教授著《量子力学》
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为
d 2ψ 2 ( x) 2 μ E + 2 ψ 2 ( x) = 0 dx 2 2μ E
5、一粒子在一维无限深势阱
⎧∞，x < 0, x > a 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 U ( x) = ⎨ ⎩ 0， 0 ≤ x ≤ a
解： U ( x)与t 无关，是定态问题。其定态薛定谔方程为
−
d2 ψ ( x) + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2 μ dx 2
2
在各区域的具体形式为 Ⅰ： x < 0
④
其解为
ψ 2 ( x) = A sin kx + B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
ψ 2 (0) = ψ 1 (0)
⑤⇒ B = 0
⑤ ⑥ ⇒ A sin ka = 0
ψ 2 (a) = ψ 3 (a)
⑥
∵A≠0 ∴ sin ka = 0 ⇒ ka = nπ
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d2 − ψ 1 ( x) + U ( x)ψ 1 ( x) = Eψ 1 ( x) 2 μ dx 2 − d2 ψ 2 ( x) = Eψ 2 ( x) 2 μ dx 2 d2 ψ 3 ( x) + U ( x)ψ 3 ( x) = Eψ 3 ( x) 2 μ dx 2
2 2
2
①
Ⅱ： 0 ≤ x ≤ a
第二章 波函数与薛定谔方程习题解
门福殿教授著《量子力学》
即
e i 2 mπ = 1
m2 2 2I z
∴m= 0，±1，±2，… (m= 0，±1，±2，…)
转子的定态能量为 Em =
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 A 为归一化常数，由归一化条件
* ψ m dϕ = A2 ∫ dϕ = A2 2π 1= ∫ ψm 0 0 2π 2π
−∞
|ψ ( x, t ) | dx = ∫ | A | e
2 2 −∞
+∞
1 1 − α 2 x 2 − iωt 2 2
e
dx
=| A |2
∫
−∞
exp(−α 2 x 2 )dx =| A |2
π α = 1 因此有： | A |2 = α π
所以归一化因子为： A =
α π
（2）由
d w( x) d | ψ ( x, t ) |2 d[| A |2 exp(−α 2 x 2 )] = = =| A |2 [−2α 2 x exp(−α 2 x 2 )] = 0 dx dx dx
∫
2
∞
0
| ψ ( x) |2 dx = ∫ | A |2 x 2 e −2 λ x dx = 1
0
有
∫
∞
0
| A| x e
2
2 −2 λ x
dx =| A |
∫
∞
0
xe
2 −2 λ x
4λ x 2 + 4λ x + 2 −2 λ x ∞ | A |2 dx = − | A | e |0 = 8λ 3 4λ 3
2
令
m =
2
2I z E
2
，则
d 2ψ (ϕ ) + m 2ψ (ϕ ) = 0 2 dϕ
( m 可正可负可为零)
取其解为
ψ (ϕ ) = Aeimϕ
由波函数的单值性，应有
ψ (ϕ + 2π ) = ψ (ϕ ) ⇒ eim (ϕ + 2π ) = eimϕ
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t ) + u ( x) exp(−i E
t ) ，显然有两个可能的能量值 E1 和 E2 ，
E
t ) + u ( x) exp(i
t ) ，显然能量有个量取值 E 和 − E
可以验证概率密度及概率流密度是否随时间变化。
⎧ 0 ⎪ ⎪ 4、求粒子在一维无限深势阱中的波函数及能级。势阱为： U = ⎨ ⎪∞ ⎪ ⎩
∴ψ 2 (x a
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第二章 波函数与薛定谔方程习题解
门福殿教授著《量子力学》
由归一化条件
∫
由
∞
2 ψ ( x) dx = 1 得
A2 ∫ sin 2
0
a
nπ xdx = 1 a
0≤ x≤a x < a, x > a
6、一个量子刚体，具有转动惯量 I z ，自由的在 x, y 平面内转动， φ 为转角。 （1）找出其能量本征值 En 和本征函数ψ n (φ ); （2）在 t = 0 时转子由波包ψ (0) = A sin φ 描述，求在 t > 0 时的ψ (φ , t ); 此系统的哈密顿量
A sin
a 2
a 2
⑥
− A sin
ka ka + B cos = 0 2 2
ka ka + B cos = 0 2 2
A 和 B 不能同时为 0，否则波函数处处为 0，意味着粒子到处都不出现，无物理意义。因此
得到两组解
ka ka = 0 ； B = 0,sin =0 2 2 ka nπ nπ 由此得， ，即 k = = a 2 2 对第一组解， n 为奇数；对第二组解， n 为偶数，因此体系的能量为： A = 0, cos
2
令k =
2
，得
d 2ψ 2 ( x) + k 2ψ 2 ( x) = 0 dx 2
④
其解为
ψ 2 ( x) = A sin kx + B cos kx
a 2 a 2
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
ψ 2 (− ) = ψ 1 (− ) =0
由此得
⑤
ψ 2 ( ) = ψ 3 ( ) =0
2
2
①
Ⅱ： -
a a ≤x≤ 2 2
−
d2 ψ 2 ( x) = Eψ 2 ( x) 2 μ dx 2
2
②
a Ⅲ： x > 2
d2 − ψ 3 ( x) + U ( x)ψ 3 ( x) = Eψ 3 ( x) 2 μ dx 2
③
由于(1)、(3)方程中，由于 U ( x) = ∞ ，要等式成立，必须
∫
a
b
sin
mπ nπ a x sin xdx = δ mn 2 a a
2 a ∴ψ 2 ( x) = ⇒ En = 2 nπ sin x a a (n = 1, 2,3, ) 可见 E 是量子化的。