第九章梁的应力

三、纯弯曲理论的推广
纯弯曲时梁横截面上 My
正应力的计算公式
Iz
横力弯曲时
1、由于切应力的存在，梁 的横截面发生翘曲；
2、横向力还使各纵向线之 间发生挤压。
A
B
1m
2m
平面假设和纵向线之 间无挤压的假设实际上都 不再成立。
实验和弹性理论的研究结果表明：
对于细长梁（跨高比 l / h > 5 ），剪力的影响可以忽 略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结
My
Iz
中性轴 z 不是横截面的对称轴时 tmax cmax
cmax
Mycmax Iz
M
ytmax ycmax
Oz y
tmax
Mytmax Iz
几种简单截面的抗弯截面系数
b
⑴ 矩形截面
Wz
Iz y max
h
bh 3 I z 12
Wz
Iz h/2
bh2 6
z y
Iy
b3h 12
Wy
Iy b/2
只是相对转动了一个角度
且仍与纵向线正交。 3、假设：
b
d
（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平 面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转 动了一个角度。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。
凹入一侧纤维缩短
突出一侧纤维伸长
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的 纵向线缩短区到其凸出一 侧的纵向线伸长区，中间 必有一层纵向无长度改变
q
y1 y2
解：1）画弯矩图
z
b
|M|max0.5q2l3kNm
y
2）查型钢表：
№10槽钢
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b 4 .8 c,I m z 2.6 c 54 ,m y 1 1 .5c2 m
M
y24.81.5 23.2c8m
σtmax
3）求最大拉、压应力应力：
y1 y2
z
b
tmax
M Iz
y1
30001.52 178MPa 25.6106
E
Iz
M
1M
EI Z
——弯曲变形计算的基本公式
1 M EI Z
——弯曲变形计算的基本公式
反映梁变形的剧烈程度 EI z 梁的抗弯刚度。
将上式代入式 ( E Ey)得：
My
M Z
Iz
纯弯曲时梁横截面上
y
z
A σ
x
正应力的计算公式。 y
弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。
当 M > 0 时，下拉上压；
的过渡层--------称为中 性层 。
中间层与横截面 的交线
－－中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转
动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
A1B1 AB
AB
A1B1 OO1 OO1
(y)dd d
y
y (1)
——横截面上各点的纵向线应变 与它到中性轴的距离成正比
→ 正应力的计算公式。
y 梁横截面上内力已知：F N0, M y0, M zM
(1)
FN
dA
A
E yd A E
A
yd
A
AE S（z 中0性 轴 Szz轴为0形心轴）
(2)
My
dA z
A
y
E
E zdA
A
E
yzd
A
AIyz
0Iyz
0
（y 、z 轴为形心主轴）
(3)
Mz
yd
A
AAEyydA E Ay2dA
ac
bd
a
c
中性层
o
o1
A Ｂy
b
d
dx 中
性
层
曲
率
d
半
径
y
A1
B1
4、纵向线应变的变化规律
（纵向线段的变化规律）
y
...... (1)
（二）物理关系：
由纵向线应变的变化规律 正应力的分布规律。
在弹性范围内，E
E E y ....(..2)
——横截面上各点的正应力沿截面高度 按线性规律变化
ac
bd
ycmax
O
z
M tmaxMIm z axytmax[ t] cmaxMIm z axycmax[ c]
ytmax
y
σcmax
cmax
M Iz
y2
30003.28384MPa 25.6106
tm a1 x 7 M 8 ,P cma a3 x 8 M 4Pa
四、梁的弯曲正应力强度条件
max
中性轴为横截面对称轴的等直梁
h z
材料的许用弯曲正应力
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
第九章 梁的应力
§9-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件 §9-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件 §9-3 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析 §9-4 提高梁承载能力的措施
2、变形规律：
ac
(1)、纵向线：由直线变为
曲线，且靠近上部的纤维
缩短，靠近下部的纤维伸
bd
长。
M
ac
M
(2)、横向线：仍为直线，
b2h 6
d
⑵ 圆形截面
z y
Iz
Iy
πd4 64
W z W ydI/z2dI/y2π3d32
几种简单截面的抗弯截面系数
Wz
Iz y max
⑶ 空心圆截面
I z
Iy
π 64
D4
d4
πD4 1 4
O
z
64
式中 d/D
D d
y
W z D I/z2π3D3214 W y
(4) 型钢截面：参见型钢表
果仍足够精确。
弯曲正应力公式
My IZ
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面高度的曲杆)
F
M (x)y
l
Iz
Fl
max
M (x) Wz
4
例：厚为t = 1.5 mm的钢带，卷成直径D＝3m 的圆环。E21G0P。a
求：钢带横截面上的最大正应力
解：1）研究对象：单位宽条
D
max
M Iz
ymax,
M?
Iz
1 t3 12
,
y max
t, 2
2）曲率公式： 1 M D
EI z
2
t
MEIz 2EIz
D
3）求应力：
t
1
也可用公 m式 ax： E ymax
maxM Iz ymax2D E2t E Dt
2101091.5103 105MPa 3
例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：l1m ,q6kN /m
a
c
o
o1
AＢ
b
d
dx
中性层
y
中
性
层
曲
率
d
半
径
y
A1
B1
E Ey
——横截面上各点的正应力沿截面高度 按线性规律变化
梁弯曲时横截面上正应力分布图： M
中性层
σmax
Z
σmax
y
中性轴的位置？
梁变形后中性层的曲率 1 ？
M Z
M
E
Ey
y
（三）、静力平衡条件
zdAdA x 由横截面上的弯矩和正应力的关系
当 M < 0 时，上拉下压。
纯弯曲时梁横截面上 My
正应力的计算公式
Iz
梁横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的地方
中性轴 z 为横截面的对称轴时
t max
c max
b
h
z
z
y
max
Mymax Iz
y
M
Iz y max
M
Wz
称为截面的抗弯截面系数
纯弯曲时梁横截面上 正应力的计算公式：