应试辅导：如何备考考研线性代数

应试辅导：如何备考考研线性代数关于数学，特别是线性代数的复习备考，这里提出“早” 、“纲”、“基”、“活”的四字方略，供理工类、经济类考生参考．

一、“早”．提倡一个“早” 字，是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排、早动手．因为数学是一门思维严谨、逻辑性强、相对比较抽象的学科．和一些记忆性较多的学科不同，数学需要理解的概念多，方法又灵活多变，而理解概念，特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程，它需要思考、消化，需要琢磨、需要从不同的角度、不同的侧面的深入研究，总之它需要时间，任何搞突击，搞速成的思想不可取，这对大多数考生而言，不可能取得成功；另一方面，早计划、早安排、早动手是采取“笨鸟先飞”之策，这是考研的激烈竞争现实所要求的，早一天准备，多一分成绩，多一份把握，现在不少大一、大二的在校生已经在准备2〜 3 年后的考研，这似乎是早了点，但作为一个目标、作为一个追求，无可非议．作为2001 年的考生，从现在开始备考，恐怕已经不算太早了．

二、“纲”．突出一个纲字，就是要认真研究考试大纲，要根据考试大纲规定的考试内容、考试要求、考试样题有计划地、认真地、全面地、系统地复习备考，加强备考的针对性．由于全国基础数学教材( 高等数学，线性代数，概率论和数理统计) 并不统一，各学校、各专业对这些课程要求的层次也各不相同，因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据，而是以教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》(下称《大纲》)作为考试的法规性文件，命题以《大纲》为依据，考生备考复习当然也应以《大纲》为依据．为了让广大考生对“考什么”有一定的了解( 不是盲目的备考) ，教育部考试中心命制的试题，每年都具有稳定性、连续性的特点．《大纲》提供的样题及历届试题也在于让考生了解“考什么”．历届试题中，从来没有出过偏题、怪题，也没有出过超过大纲范围的超纲题．当然，一份好的试题，首先要有好的区分度，使高水平考生考出好成绩，因此试题中难、易试题要有恰当的搭配；试题的总量必须有一定的限制，同时试题还要有尽可能大的覆盖面，因此一味地去做难题，甚至怪题、偏题是不可取的，“题海战术”不能替代全面、系统的复习，由于试题有极大的覆盖面，每年试题几乎都要覆盖所有的章节，因此偏废某部分内容也是不恰当的．任何“猜题”及侥幸心理都会导致失败．只有根据大纲，全面、系统地复习，不留遗漏，才不会留下遗憾．

请广大考生留意，今年《大纲》有一定的变化：所有的近似计算取消了，特别是数学试卷二，“线性代数初步”中取消了“初步”两字，增考了“特征值、特征向量”一章的内容．

三、“基”．强调一个“基”字，是指要强调数学学习中的三基，即要重视基本概念的理解，基本方法的掌握，基本运算的熟练．

基本概念理解不透彻，对解题会带来思维上的困难和混乱．因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延，要理解正面的含义，还要思考、理解概念的侧面、反面．例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是阴Xn矩阵，若A中有一个r阶子式不为零，所有r阶以上

子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r,记成rank(A) : r(或r(A) = r,秩A= r).显然，定义中内涵的要点有：1 . A中至少有一个r阶子式不为零；2.所有r阶以上均为零.3.若所有r+1 子式都为零，则必有所有r 阶以上子式均为零．要点 2 和 3 是等价条件，至于r 阶子式是否可以为零？小于r 阶的子式是否可以为零？所有r-1阶的子式是否可以全部为零？这些都是秩的概念的外延内容，如果这些概念搞清楚了。那么下述选择题就会迎刃而解.

例1设A是m X n矩阵，r(A) = r

(B) 有不等于零的r 阶子式，没有不等于零的r+1 阶子式.

(C) 有等于零的r 阶子式，没有不等于零的r+1 阶子式.

（D）任何r阶子式不等于零，任何r+1阶子式都等于零.

答案：（B）基本方法要熟练掌握．熟练掌握不等于死记硬背，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆．把需要记忆的东西缩小到最低限度，很多方法可以通过练习来记住，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵，通过正交变换化为对角阵，其步骤较多，但通过练习，不难解决．

基本计算要熟练．学习数学，离不开计算，计算要熟练，当然要做一定数量的习题，通过一定数

量的习题，把计算的基本功练扎实．在练习过程中，自觉的提高运算能力，提高运算的准确性，养成良好的运算习惯和科学作风．特别对线性代数而言，运算并不复杂，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要。例如线性代数的前四章中（行列式、矩阵、向量、方程组）绝大多数的运算是初等变换．用初等变换求行列式的值、求逆矩阵、求向量组（或矩阵）的秩、求向量组的极大线性无关组、求

方程组的解等．可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误，那你的答案将是什么样的结果？从历届数学试题来看，每年需要通过计算得分的内容均在70%左右，可见计算

能力培养的重要．只听（听各种辅导班）不练，只看（看各类辅导资料）不练，眼高手低，专找

难题做，这并不适合一般考生的情况，在历届考生中，不乏有教训惨痛的人．

四、“活”．线性代数中概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容相互纵横交错，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点，故考生应通过全面系统的复习，充分理解概念，掌握定理的条件、结论及应用，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法，并及时进行总结，抓联系，抓规律，使零散的知识点串起来、连起来，使所学知识融会贯通，实现一个“活”字．

线性代数各章节的内容，不是孤立割裂的，而是相互渗透、紧密联系的•如A是n阶方

阵，若，I A |工0（称A为非奇阵）.<=>A是可逆阵. <=>有n阶方阵B,使得AB=BA=E<=>B=A-1 =A* /I A|. <=>r（A）=n（称A是满秩阵）.<=>存在若干个初等阵P1,P2,…，PN使得PNPN-1… P1A=E <=>（A ; E）T（E ; A-1）. <=>A可表示成若干个可逆阵的乘积. <=>A可表示成若干个初

等阵的积。<=>A的列向量组线性无关（列满秩）.<=>AX=Q零解.<=>A的行向量组线性无关（行满

秩）.<=>A的列（行）向量组是Rn空间的基. <=>任何n维列向量b均可由A的列向量线性表出（且表出法）. <=>对任意的列向量b,方程组AX= b有解，且解为A-1b<=>A没有零特征值，即入i 丰O, i = 1, 2，…，n. <=A是正定阵（正交阵，…）.这种知识间的相互联系、渗透,给综合命题创

造了条件,同样一个试题,可以从不同的角度有多种命制试题的方法．

例2 （2001年数学一第九题）设a 1,a 2,…，a S，是线性方程组AX= 0的基础解系，3 1 = t1

a 1+t2 a 2,B 2 = t1 a 2+t2 a 3,…，B S = t1 a S+t2 a 1，试问t1 , t2 满足什么条件时，B 1,3 2,…，

3 s也是AX=0的基础解系.

解析本题的答题要点是：⑴对任意t1 , t2 , 3 i , i = 1, 2,…，s仍是AX= 0的解；

⑵对任意t1 ,t2 , 3 1, 3 2,…，3 S向量个数是s；（3）3 1, 3 2，…，3 s，线性无关<=>t1s+

（—

1）n+1t2s 工0. 满足（1）、（2）、（3）时，即, 1)n+

1t2s一1)”工0时，3 1, 3 2,…,

3 s 仍是AX= 0 的基础解系.

变式（1）（改变成线性相关性试题）

已知向量组a 1 ,a 2，…，a s线性无关，3 1= t1 a1+t2 a 2, 3 2= t1 a 2+ t2 a 3,…，3 s= t1 a s+t2 a 1，试问t1 ，t2 满足什么条件时，31, 3 2,…, 3 s 线性无关.

变式（2）（改变成向量组的秩的试题）

已知向量组a 1 ,a 2,…，a s的秩为s.3 1= t1 a1+t2 a 2, 3 2= t1 a 2+t2 a

3，…，3 s = t1 a s+ t2 a 1 ，试问t1 ，t2 满足什么条件时，r( 31,32,-,3 s) = s.

变式（3）（改变成等价向量组的试题）

已知a 1 ,a 2,…，a S 线性无关，B 1 = t1 a 1+t2 a 2,3 2= t1 a 2+t2 a 3，…，B s = t1 a S+t2 a 1,试问t1 , t2满足什么条件时，3 1,3 2,…，3 S和a 1 ,a 2,…，a S是等价向量组．变式(4) ( 改变成子空间的基的试题)

设y 是Rn 的子空间，a 1 , a 2,…，a S 是V 的基，3 1 = t1 a 1+t2 a 2, 3 2= t1 a 2+t2 a 3，…，3 S = t1 a S+t2 a 1,试问t1 , t2满足什么条件时，3 1 , 3 2，…，3 S也是子空

间V的基.