一元二次不等式组表示的平面区域 教案
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域一、教学目标（1）能用平面区域表示二元一次不等式组；（2）能根据平面区域写出相应的二元一次不等式组．二、教学重点、难点用平面区域表示二元一次不等式组．三、教学过程（一）问题情境情境：通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义．那么，二元一次不等式组410 (1)4320 (2)x yx y+≤⎧⎨+≤⎩的几何意义又如何呢？（二）建构数学根据前面的讨论，不等式（1）表示直线104y x=-及其下方的平面区域；不等式（2）表示直线43200x y+-=及其下方的平面区域．因此，同时满足这两个不等式的点(,)x y的集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图①所示）．如果再加上约束条件0,0x y≥≥，那么，它们的公共区域为图②中的阴影部分．（三）数学运用1．例题：例1．画出下列不等式组所表示的平面区域：（1）2124y xx y≤+⎧⎨+>⎩（2）4380xyx y>⎧⎪>⎨⎪+-<⎩图①图②解：（1）不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域； 不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域．（2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式4380x y +-<所表示的平面区域位于第一象限内的部分．思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式 组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解）例2．ABC ∆三个顶点坐标为(0,4),(2,0),(2,0)A B C -，求ABC ∆内任一点(,)x y 所满足的条件．例3．满足约束条件202305350y x x y x y -≤⎧⎪++>⎨⎪+-<⎩的平面区域内有哪些整点？答案：画图可得：共有(1,1)-、(2,2)-、(0,0)、(0,1)-四个点．2．练习：课本第77页 练习第1、2、3、4题．四．回顾小结：1．用平面区域表示二元一次不等式组；2．平面区域中整点的寻求方法．。
二元一次不等式(组)与平面区域 课件
|AB|＝|3×1＋－32×－1＋6|＝ 122.
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.
(2)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【思路分析】
原不等式等价于
y＞2x－3 y≤3.
而求正整数解，则意味着x，y还有限制条件，即求：
xy＞ ＞00 y＞2x－3，
y≤3
的整数解．
例3 画出不等式组2x＋x＋2yy－－51≤＞00 ，所表示的平面区域． y＜x＋2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．
【解析】 先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将 直线画成虚线，∵0＋0－1<0，∴原点在它的相反区域内．
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点．
探究5 充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件 的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格 的形式列出限制条件．
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资
源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则 ①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域． ②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
思考题1 (1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x－2y＝0的斜率为
1 2
，排除C、D.又大于0表示直
线右侧，选B.
【答案】 B
(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的
【解析】 如图，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3)，共五组．
【数学】3.3《二元一次不等式(组)与平面区域》教案(新人教A版必修5)(5课时)
课题:§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力； 3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣 【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域； 【教学难点】【教学过程】1.课题导入1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型 课本第91页的“银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：2.讲授新课1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 转化 数学问题：设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。
（把文字语言 转化 符号语言）（资金总数为25 000 000元）⇒25000000x y +≤ （1） （预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）⇒(12%)x +(10%)y 3≥ 即12103000000x y +≥ （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0x y ≥≥ （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：25000000121030000000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
一元二次不等式组与平面区域
平面区域的性质
连通性
平面区域是连通的，即任意两点都可 以用一条完全位于该区域内的路径连 接起来。
封闭性
凸性
如果平面区域内的任意两点所连的线 段都完全位于该区域内，则该区域是 凸的。凸区域具有良好的几何性质， 便于进行数学分析和计算。
如果平面区域是由一个或多个闭合曲 线围成，则该区域是封闭的。封闭区 域具有明确的边界和内部。
一元二次不等式组 与平面区域
contents
目录
• 引言 • 一元二次不等式组的解法 • 平面区域的表示方法 • 一元二次不等式组与平面区域的关系 • 一元二次不等式组与平面区域的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
目的和背景
研究目的
探讨一元二次不等式组与平面区域的关 系，以及如何利用不等式组表示平面区 域。
VS
研究背景
一元二次不等式组是数学中的重要概念， 与平面区域有着密切的联系。在实际问题 中，经常需要利用不等式组来表示某些平 面区域，例如经济学中的生产可能性边界 、物理学中的相图等。因此，研究一元二 次不等式组与平面区域的关系具有重要的 理论意义和应用价值。
一元二次不等式组的概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。
解的判别与性质
判别式
一元二次方程的判别式为Δ=b²-4ac，根据判别式的值可以 判断方程的根的情况。
解的性质
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有 两个相等的实根（即一个重根）；当Δ<0时，方程无实根 。
不等式组的解集性质
不等式组的解集可能是空集、一个区间或多个区间的并集 ，具体取决于不等式组中各个不等式的解集及其之间的关 系。
高中数学二元一次不等式(组)所表示的平面区域
实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域 [教学目标]1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
[教学重点]用二元一次不等式〔组〕表示平面区域；[教学过程]Jack 准备在2006年德国世界杯期间，一边看球，一边去卖点纪念品。
现在他有本钱1000美元，准备投入去购买单价50美元球衣和单价20元足球纪念品，希望使足球纪念品，球衣的总数尽可能多，但足球纪念品数量不多于球衣数量1.5倍，那么Jack 买足球纪念品和球衣各多少才行？一般实际问题的求解步骤如下表：你有．．遇到什么难题了吗？．．．．．．．．．设：．．球衣x 件，足球纪念品y 只，总和为S 1.5502010000,0,y x x y x y x y N≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩ S=x+y 学生此时应该到第三步，无法解决数学模型的解！二元一次不等式所表示的平面区域对于像上面这样有两个参量控制的取值X 围问题，我们都可以用下面的几何方法来求解。
第一步：研究出问题的约束条件，确定数对〔x,y 〕的X 围第二步：在第一步所得到的数对〔x,y 〕的X 围中，通过图形的方法，找出所求问题达到最大数对的〔x,y 〕我们不妨来画出其中一个32y x ≤练一练〔113x + 〔3〕260y +< 小结：一般地，直线y=kx+b 把平面分成两个部分： __________________________________________________________想一想请根据上面所画的图象时所得到的规律，完成下表B>0 表示的区域是直线0Ax By C ++= B<0 表示的区域是 直线0Ax By C ++= 0Ax By C ++> 0Ax By C ++>0Ax By C ++< 0Ax By C ++<请体会你在研究上面新的问题的过程中，用到了什么样的思想？〔化归〕大家有没有发现判断二元一次不等式所表示的平面区域问题，我们可以有新的方法了???〔由上面规律的总结，发现特殊点法〕如果有这样一个二元一次不等式组变化 1.550201000y x x y ≤⎧⎨+≤⎩如何表示出它的几何意义？我们在必修2中，学过曲线与方程的思想，它有这样两句话 〔1〕以方程0Ax By C ++=的解x,y 为横、纵坐标的点(x,y)都在直线0Ax By C ++=上 〔2〕直线0Ax By C ++=上的任一点〔x,y 〕的横、纵坐标值都是方程0Ax By C ++=的解 那么请你试描述一个关于不等式与曲线的关系 见必修5的教学参考书再变化1.5502010000,0y xx yx y≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，那么又有什么变化？？再再变化1.5502010000,0,y xx yx yx y N≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩那么又有什么变化？？？如果问题现在倒过来怎么办呢？倒过来：如果给出阴影，如何用不等式表示！小结：我们今天学习了：______________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ____作业：书P78页练习4，5 80页1，2，3，4！并阅读P88页上的第7题的阅读题，并写下你的感受！。
二元一次不等式组表示的平面区域
第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域学习目标 1.理解并会画二元一次不等式组表示的平面区域.2.能把一些常见条件转化为二元一次不等式组.3.能把实际问题中的约束条件抽象为二元一次不等式组.知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域1.因为同侧同号，异侧异号，所以可以用特殊点检验，判断Ax ＋By ＋C >0的解集到底对应哪个区域.当C ≠0时，一般取原点(0,0)，当C ＝0时，常取点(0,1)或(1,0).2.二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集. 知识点二 可化为二元一次不等式组的条件思考 我们知道x (x －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －1<0.那么(x ＋y )(x －y ＋1)≥0等价于什么？答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －y ＋1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ＋1≤0.梳理 (1)涉及由两个二元一次不等式相乘构成的不等式：可依据同号或异号分情况转化为两个不等式组，然后把两个不等式组表示的平面区域合并起来，即得到原不等式表示的平面区域. (2)含绝对值的不等式：分情况去掉绝对值，转化为等价的不等式组，再用平面区域表示. 知识点三 约束条件思考 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元.那么x 和y 应满足哪些不等关系？ 答案 分析题意，我们可得到以下式子 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25 000 000，12x ＋10y ≥3 000 000，x ≥0，y ≥0.梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制，这些限制就是所谓的约束条件. 像“思考”中的“用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元”称为决策变量.要表达约束条件，先要找到决策变量，然后用这些决策变量表示约束条件.1.在平面直角坐标系中，⎩⎨⎧x >0，y >0表示的平面区域为第一象限，x >0或y >0表示的平面区域为第一、二、四象限及x ，y 轴的正半轴.(√)2.y >|x |等价于⎩⎨⎧x ≥0，y >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >－x .(√)类型一 二元一次不等式组表示的平面区域例1 用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 的解集.考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解 不等式y <－3x ＋12，即3x ＋y －12<0，表示的平面区域在直线3x ＋y －12＝0的左下方；不等式x <2y ，即x －2y <0，表示的是直线x －2y ＝0左上方的区域.取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.反思与感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示.但要注意是否包含边界.跟踪训练1 画出下列不等式组所表示的平面区域.(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解 (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x ＋y ≤3，即x ＋y －3≤0，表示直线x ＋y －3＝0上及左下方的区域；x ≥0表示y 轴及其右边区域； y ≥0表示x 轴及其上方区域.综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示. (2)x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方的区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方的区域.综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示. 类型二 不等式组表示平面区域的应用 例2 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A.1B.－1C.0D.0或1考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 A解析 条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，要使约束条件表示直角三角形区域，直线kx －y ＝0要么垂直于直线x ＝1， 要么垂直于直线x ＋y －4＝0，∴k ＝0或k ＝1. 当k ＝0时，直线kx －y ＝0，即y ＝0，交直线x ＝1， x ＋y －4＝0于点B (1,0)，C (4,0). 此时约束条件表示△ABC 及其内部， 其面积S △ABC ＝12·|BC |·|AB |＝12×3×3＝92≠1.同理可验证当k ＝1时符合题意.反思与感悟 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解，再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解. 跟踪训练2 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________. 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 13解析 由题意可得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3). 则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为△ABC 及其内部.直线y ＝kx ＋1过点A.要把△ABC 分成面积相等的两部分，需过BC 中点M ⎝⎛⎭⎫32，32. 此时k ＝32－132－0＝1232＝13.类型三 可化为二元一次不等式组的问题 命题角度1 乘积类或含绝对值的条件转化 例3 画出不等式x 24－y 2≤0表示的平面区域.考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题 解 x 24－y 2＝⎝⎛⎭⎫x 2－y ⎝⎛⎭⎫x 2＋y ≤0等价于⎩⎨⎧x2－y ≤0，x2＋y ≥0或⎩⎨⎧x2－y ≥0，x2＋y ≤0，其表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)所示.反思与感悟 (1)可以通过等价转化把较新颖的问题化归为老问题.(2)不论(A 1x ＋B 1y ＋C 1)(A 2x ＋B 2y ＋C 2)大于0还是小于0，其表示的区域必为“对顶角”区域，故用特殊点确定区域时只需取一点即可. 跟踪训练3 画出|x |＋|y |≤1表示的平面区域. 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题解不等式|x |＋|y |≤1等价为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，－x －y ≤1，x ≤0，y ≤0，－x ＋y ≤1，x ≤0，y ≥0，∴|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图所示.命题角度2 由实际问题抽象出二元一次不等式组例4 某人准备投资1 200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.考点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40.另外，开设的班数应为自然数，则x ∈N ，y ∈N .把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ∈N ，y ∈N .用图形表示这个限制条件，得到如图阴影部分(含边界)的平面区域.反思与感悟 求解不等式组在生活中的应用问题，首先要认真分析题意，设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组.注意隐含的条件，如钢板块数为自然数.跟踪训练4 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式. 考点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，则依题意x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.1.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是()A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域 答案 C解析 观察图象可知，阴影部分在直线y ＝－2的上方，且不包含直线y ＝－2，故可得不等式y >－2.又阴影部分在直线x ＝0左边，且包含直线x ＝0，故可得不等式x ≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)，点(0,3)，故可得直线3x －2y ＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O (0,0)在阴影部分内，故可得不等式3x －2y ＋6>0.观察选项可知选C. 2.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( ) A.32＋2 B.－32＋2 C.－5D.1考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 D解析 平面区域如图阴影部分(含边界)所示，易求得A (－2，2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a ).S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1(a ＝－5不满足题意，舍去).3.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________________.考点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式(组)表示平面区域在生活中的应用 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *4.画出(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域. 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题解 由(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.其表示的平面区域如图阴影部分(包括边界)所示.1.平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于A >0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，Ax ＋By ＋C >0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面.2.由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及带状域等.3.找约束条件的关键是先找到决策变量，然后准确地用决策变量表示约束条件，并注意实际含义对变量取值的影响.一、选择题1.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域答案 A解析 取原点O (0,0)检验，满足x ＋y －1≤0，故异侧点满足x ＋y －1≥0，排除B ，D.O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C. 2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于( )A.28B.16C.394D.121考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 答案 B解析 作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知该区域为等腰直角三角形，其三个顶点的坐标分别为(3，－3)，(3,5)，(－1,1)，所以其面积S ＝12×8×4＝16.3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0，0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题 答案 C解析 在同一坐标系中画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)，代入(x －y ＋5)(x ＋y )中，得(－1＋5)×1＝4>0，可知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形.4.若满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －3)≥0，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为( )A.－1B.3C.－2D.4答案 B解析 不等式组化为⎩⎨⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a ，画出平面区域如图所示，平面区域为△ABC ，△ADE ，A (1,2)，B (a ，a ＋1)，C (a,3－a )，面积为S ＝12(2a －2)(a －1)＋12×2×1＝5， 解得a ＝3或a ＝－1(舍去).5.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，y ≤kx －2表示的平面区域是一个梯形，则实数k 的取值范围是( ) A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2，＋∞) 考点 不等式(组)表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 答案 D解析 如图，⎩⎨⎧ 0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域是一个正方形，当直线y ＝kx －2与线段BC (不含端点)相交时，所给区域表示梯形，由图可得k ＞2－(－2)2－0＝2.6.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A.2B.1C.－13D.－12考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得M (3，－1). 此时直线OM 的斜率最小且为－13. 7.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B.(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43D.(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 D解析 不等式组⎩⎨⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，求得A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43. 8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为( )A.(0,3]B.[－1,1]C.(－∞，3]D.[3，＋∞) 考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 D解析 直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞).故选D.二、填空题9.如图所示的正方形及其内部的平面区域用不等式组表示为________.考点 二元一次不等式(组)题点 用二元一次不等式(组)表示平面区域答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，－1≤y ≤1 10.若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________.考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 平面区域的面积答案 74解析 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.又D (0,1)，B (0,2)，E ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (－2,0). S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝12×2×2－12×12×1＝2－14＝74. 11.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________.考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 ⎣⎡⎦⎤12，4解析 不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43. 直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)，且斜率为a .由斜率公式可知k AP ＝12，k BP ＝4. 若直线y ＝a (x ＋1)与区域D 有公共点，由数形结合可得12≤a ≤4. 三、解答题12.已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组的平面区域；(2)求满足不等式组的平面区域的面积.考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域 题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解 (1)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎫67，107， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45， 所以满足不等式组的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AFE －S △BFC －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970. 13.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于直线x ＋y＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是多少？考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 平面区域的面积解 P ，Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故直线PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为⎝⎛⎭⎫－k 2，－m 2， ∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎨⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0.它表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，是一个三角形，直线x－y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫－12，12， ∴S ＝12×1×12＝14. 故平面区域的面积为14. 四、探究与拓展14.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[3，＋∞)考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示(包含边界).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9).对于y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上. 当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需a 2≤9，解得1<a ≤3.15.若M (x 0，y 0)是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥8，x ＋y ≤a ，x ≥6(a ≠8)内的一个动点，且x 0＋2y 0≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(8,10]B.(8,9]C.[6,9]D.[6,10] 考点 不等式(组)表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围答案 A解析 不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≥8，x ≥6所表示的平面区域如图中阴影部分所示(包含边界).由题意易知a >8，且点(6，a －6)为可行域内边界上一点.由图可知当点(6，a －6)位于直线x ＋2y ＝14上或其左下方时，x 0＋2y 0≤14恒成立，从而有6＋2(a －6)≤14，即a ≤10，所以8<a ≤10.。
高一数学《二元一次不等式(组)与平面区域》教案
芯衣州星海市涌泉学校探究教学课例—二元一次不等式〔组〕与平面区域2、教学策略选择与设计讨论，从而加深对本节课教学内容的理解，使之形成理性认识．3、教学目的知识与技能：知道二元一次不等式〔组〕的几何意义——表示平面区域；会画二元一次不等式〔组〕表示的平面区域并能用平面区域表示二元一次不等式〔组〕．过程与方法：通过画二元一次不等式〔组〕表示的平面区域的过程体会不等式的几何意义；通过详细例子，引导学生会用)1,0(),0,1(),0,0(等特殊点检验不等式0(0)Ax By C ++><所表示的平面区域，由此归纳、猜想确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧的一般方法，即“直线定界，特殊点定域〞的方法．情感、态度与价值观：通过画图的过程训练学生养成用直尺标准作图的良好习惯，认同事物是普遍联络的辩证唯物主义观点，体验一些事物在一定的条件下是可以互相转化的．4、教学内容简单的线性规划是应用数形结合思想解题的重要方法之一，应用线性规划解决“最优化〞问题是数学的一个重大应用．“二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域〞是简单的线性规划的重要根底，因此本节课内容重点强调“平面区域〞与“不等式的〔组〕〞的对应关系．而建立这种对应关系的过程可以引导学生自主探究发现．本节课内容的难点在于寻求二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域，打破难点的有效方法可以通过对详细例子探究、尝试获得结论，培养学生复杂问题简单化、普遍规律一般化的思维方式．同时探究不等式“定域〞方法时，可以鼓励学生发挥协作精神，采用探究的学习方法，充分调动学生的思维．5、教学重点和难点教学重点：二元一次不等式表示平面区域，体会数形结合思想；教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答。
解决难点的关键是根据实际问题中的条件，找出约束条件和目的函数，利用图解法求得最优解。
6、教学过程为了表达课改特色以及结合本节课内容的特点，将本节课设计为“思-疑-释-讲-练〞的教学形式，详细如下：①完成学案：明确课标对本节课的要求；设计预习导引问题；自主学习、解决部分问题；整理疑问、课上解决．②创设情境、导悟要点→生生互释、教师点拨→小组讨论、探究→魅力精讲、概括升华→理论、成就素能→课堂点评、目的反响．学案的精心设计，可以使学生把感悟时间是是置于课前，有利于培养学生的自学才能、质疑才能、探究才能，做到学生有准备的进入本节课的学习；教学过程中“导悟要点、生生互释、小组讨论、魅力精讲、理论〞的设计表达了“思-疑-释-讲-练〞的教学形式，唤起学生的主体意识，突出学生的主体地位，培养学生的自主学习、探究问题和勇于创新的才能．7、教学媒介本节课的教学内容设计目的在于通过二元一次不等式表示平面区域来让学生体会到数与形的结合，因此为了进步作图的快捷、图示的准确性和直观性，本节课将恰当使用多媒体进展教学辅助．同时多媒体的引入可直观演示本节课所设计问题及相关习题答案，大大节板书时间是是，进步课堂效率．二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域〔导学案〕二、教学过程实录〔一〕创设情境、导悟要点【师生活动】一家银行的信贷部方案年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？同学们陆陆续续列出不等式。
二元一次不等式表示的平面区域教案人教版
1.图形表示略。
2.
（1）解集图形为一个三角形区域，顶点为原点(0,0)、(0,6)和(6,0)。
（2）解集图形为一个三角形区域，顶点为原点(0,0)、(4,4)和(4,0)。
（3）解集图形为一个四边形区域，顶点为原点(0,0)、(0,4)、(3,3)和(4,0)。
3.方案一：x + y ≤ 0，表示购买商品x元，赠送y元；
再次，在巩固练习阶段，我通过随堂练习题和错题订正的方式，检查学生对二元一次不等式表示的平面区域知识的掌握情况。在实际教学中，我发现学生在解决实际问题时，往往难以将实际问题转化为二元一次不等式表示的平面区域，从而导致解题困难。因此，我需要在今后的教学中，加强对实际问题转化为二元一次不等式表示的学生的解题能力。
（2）探究方法：
学生可以利用网络资源、图书馆书籍或与同学讨论等方式，搜集与二元一次不等式表示的平面区域相关的信息，拓宽知识面。
学生可以尝试解决课本或其他资料中的拓展问题，提高自己的解题能力。
学生可以进行小组合作，共同探讨问题，培养团队合作精神。
课后作业
1.请用二元一次不等式表示下列平面区域，并画出图形：
（3）从生活实际出发，让学生通过观察、分析、归纳来找出实际问题中的不等关系，突破难点3。
教学资源
1.软硬件资源：黑板、粉笔、多媒体投影仪、计算机、几何画板软件。
2.课程平台：人教版八年级上册数学教材、教学课件、练习题库。
3.信息化资源：网络搜索引擎、在线数学教学平台、数学视频讲解资源。
4.教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、几何画板演示。
最后，在拓展延伸阶段，我提供了与本节课内容相关的拓展阅读材料，并鼓励学生进行课后自主学习和探究。在实际教学中，我发现部分学生对拓展阅读材料缺乏兴趣，难以自主进行学习和探究。因此，我需要在今后的教学中，加强对拓展阅读材料的引导，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。
“二元一次不等式(组)表示的平面区域”教学实录与反思
探 究特殊二元一次不等式表示 的平 面区域．
３ ．教 学难 点
生 ：直角坐标系 内点的集合． 师 ：我们这节课 要研究 的就是二元一次 不等式 （ 组）表示
≠０ ，Ｂ≠０ ）
的平 面 区域 ．
探 究 一般 二元 一次 不等 式 Ａ ＋研 ＋Ｃ＞０
收 稿 日期 ：２ １－ １ ２ ０ １ ｌ— ５
验班．
一
生。 ：设 和 Ｙ分别表示购买熏鸡 和猪蹄的数量 ，根据题 意 பைடு நூலகம்
、
教 学 目标 、 教 学 难点 及 教 学 方 法
列 出二元一次方程组 ：
Ｙ 一６＞０ ） ， ４ ｘ＋２ ｙ ０ ０ Ｏ 一２ ０≤ ０ ② ．
１ 教 学 目标 ．
（ ）掌握不等式 区域 的判断方 法 ；能作 出二元 一次 不等式 １
一
个猪蹄售价 ２ ０元 ，如果希望所带 的特产 （ 熏鸡或猪蹄二选 一
（ 第一课 时）．研究 的主题是 通过学生 的 自主探究培 养解 决数学 即可）至 少送 给 ６个 以上 的朋友 ，试 问应该 如何 确 定购 买方 ” 问题 的能力 ，授课班 级为锦州市 北宁第一 高级 中学高二 理科试 案 ？
（ 师板 书 “ 号 同侧 ？ ） 教 同 ”
（ 学生在愉快而又紧张的探索之后 ，各小组代表纷纷要求发 言． ） 生 （ 方法 １ ：先 画出直线 ＋Ｙ一６＝０ ） ，直线上 的点满足 ＋ Ｙ一６＝０ ，直线上方就应该满足大 于 ０ ，下方小于 ０ ．
（ 组）表示的平面区域 ． （） ２ 经历 自主探究提高分析 问题和解决问题的能力 ；理解数 学 的转化 、数形结合 以及分类讨论 的思想． （） ３ 通过主动参与和合作交流 ，培养 团结协作 和勇于探究 的
《二元一次不等式(组)表示的平面区域》教学设计
二元一次不等式（组）表示的平面区域教学设计一、教学目标1.知识与技能目标：（1）理解“同侧同号”并掌握不等式区域的判断方法；（2）能作出二元一次不等式（组）表示的平面区域。
2.过程与方法目标：（1）增强学生数形结合的思想；（2）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；（2）体会数学的应用价值；（3）体会由一般到特殊，由特殊到一般的思想。
二、教学重、难点重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域难点：寻求二元一次不等式（组）表示的平面区域三、教法设计本节课采用探究教学法，通过“猜想，验证，证明”来探究二元一次不等式（组）表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。
使用多媒体辅助教学。
四、学法设计引导学生通过主动参与、合作探讨学习知识五、教学过程设计教学过程教学内容教学活动新课引问题：营养学家指出，成人的日常饮食应该摄入至少0.075kg碳水化合物，0.06kg蛋白质，0.06kg脂肪。
已知1kg食物A含有0.15kg碳水化合物，0.06kg蛋白质，0.12kg脂肪；已知1kg食物B含有0.15kg碳水化合物，0.12kg蛋白质，0.06kg脂肪。
设x，y分别为每天需要食物A,B的数量（单位：千克），请列出满足营养学家日常饮食要求的数学关系式。
学生列出满足要求的数学关系式。
入教师结合学生列出的关系式给出二元一次不等式和二元一次不等式组的概念。
探求二元一次不等式解集的几何意义1.介绍开半平面和闭半平面的定义。
2.引导1：二元一次方程在直角坐标系中的图像是一条直线，那么二元一次不等式在直角坐标平面上表示什么区域？引导2：直线将平面分成两部分，这与两个二元一次不等式有什么关联？引导3：如何验证我们的猜想？3. 选择直线，在平面上选择一点，观察其在每一侧区域运动时，的正负符号。
4.证明：在直线的同一侧任取一点的坐标使式子的值具有相同的符号。
二元一次不等式表示平面区域的教学案例
．
直 线 Ｚ 位 置 关 系 ． 代 数 的 角 度 ． 能 的 从 你
作出解释吗？ 问题 ３ 你能直 接判 断 出点 ３ ＿ １ ，２ ）
≥０
问题情境
某 工 厂 生产 甲 、 两 种 产 品 ． 产 １ 乙 生
吨 甲 种 产 品 需 要Ａ种 原 料 ４ ． 原 料 吨 种 １ 吨 ．产 生 的利 润 是 ２ 元 ．生产 １ 乙 ２ 万 吨 种 产 品 需 要 Ａ种 原 料 １ ． 原 料 ９ ． 吨 种 吨 产 生 的利 润 是 １ 元 ．现 在库 存Ａ种 原 料 万
：， 则 在 方 特 是 Ｄ２ ， ｈ 否 就 下 ． 别 点 ｌ， － ÷ｌ
Ｅ２÷ ｌ 设计， ｆ， 的 由于这两点“ 紧紧” 地
靠 着 直 线 Ｚ故 学 生 会 “ ． 自觉 ” 去 比较 这 地
设 计 划 生 产 甲 、 两 种 产 品 的 吨数 乙 分 别 是 ，， 润 为 Ｐ 万 元 ）则 实 数 ， Ｙ利 （ ， Ｙ 应 该 满 足 怎样 的条 件 ？
笔 者 就 苏 教 版 高 中数 学 必 修 ５ 二 的
在条 件
１ｍ ９ ２ ＋ ｙ≤ ６ ０．
≥ ０．
Ｃ， ２ Ｅ， 若 较 （ （ （ 要精 １ ， ２ ７
确地作 出这些几何对象 （ 直线和各点 ） 。
你认 为 困难 最 大 的 是 作 出 哪些 点 ？ 问 题 ２ 从 图 中判 断 上 述 五 个 点 与
Ａ 种 原 料 Ｂ 种原 料
（） ｔ 甲种 产品
ｎ
利 润
（ 元） 万 ２
对应关系．
容 ． 学 生 对 不 等 式 、 线 与 方 程 知 识 是 直 的 深 化 和综 合 应 用 ． 现 了数 学 的 工 具 体 性 、 用 性 ， 时 渗 透 着 数 形 结 合 、 类 应 同 分 讨 论 、化 归 等 基 本 数 学 思 想 方 法 ．而 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 平 面 区域 是 线 性
高中数学《3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域》教案2 新人教A版必修5
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（2）
高二数学教·学案
【学习目标】
1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
3．情感态度与价值观：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【学习重点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.
【学习难点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.
【授课类型】新授课
高二数学教·学案
课后反思：。
高中数学教案：《二元一次不等式表示的平面区域》苏教版
教学目标：1、理解二元一次不等式的几何意义。
2、会作出二元一次不等式所表示的平面区域，并能写出所给的平面区域所对应的二元一次不等式。
3、灵活应用二元一次不等式的几何意义解题。
4、培养学生数形结合的解题思想。
教学重点：二元一次不等式的几何意义教学难点：感受理解二元一次不等式的几何意义教学方法：探究教学过程：（一）问题情景：问题1：b kx y +=的几何意义？那么你知道b kx y +>的几何意义吗？问题2：直线1:+=x y l 将坐标面分成了几部分？判断点A （3，4）、B （3，5）、C （3，6）与直线的具体位置关系；那么点P （3，3）、Q （3， 2）、R （3， 1）与直线的具体位置关系呢？问题3：若将上述各点代入：1+=x y 有何规律？（二）学生活动：你能由此猜想给出“判断任意一点),(00y x P 与直线l ：b kx y +=的具体位置关系”的方法吗？你能证明吗？（三）意义建构：〈1〉任意一点),(00y x P 满足b kx y +=00⇒点),(00y x P 在直线l 上。
〈2〉任意一点),(00y x P 满足b kx y +>00⇒点),(00y x P 在直线l 上方区域。
〈3〉任意一点),(00y x P 满足b kx y +<00⇒点),(00y x P 在直线l 下方区域思考：b kx y +>的几何意义是什么；b kx y +<的几何意义是什么？可否将上述各式中的“⇒”变成“⇔”？（四）数学理论：（1）一般地，二元一次不等式：b kx y +>表示直线l ：b kx y +=上方的区域b kx y +<表示直线l ：b kx y +=下方的区域（2）直线l ： b kx y +=上方区域的点的坐标均满足不等式b kx y +>直线l ：b kx y +=下方区域的点的坐标均满足不等式b kx y +<（五）数学应用：例1.判断下列命题是否正确：（1）点（0，0）在平面区域0≥+y x 内 （2）点（0，0）在平面区域12->x y 内（3）点（1，0）在平面区域x y 2>内 （4）点（0，1）在平面区域01>+-y x 内 例2.画出下列不等式所表示的平面区域：（1）12+->x y （2）02≥+-y x (3)0<x (4)3≥y思考：对于二元一次不等式的一般式：)0(022≠+>++B A C By Ax ，如何判断其所表示的平面区域呢？如：求作03927>++y x 所表示的平面区域。
38一元二次不等式组与简单的线性规划问题
第38课时 一元二次不等式组与简单的线性规划问题编者：朱正琴 审核：刘智娟第一部分 预习案一、学习目标1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)；2.理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．二、知识回顾1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的 ．我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 。
(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都 ，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的 即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域． 2．3．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.三、基础训练1．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是__________．2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为__________________．班级_________ 学号_________ 姓名_________3．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人的约束条件是________________．4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．5．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两个根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，则b －3a －1的最大值为________．第二部分 探究案探究一 二元一次不等式(组)表示的平面区域问题1、若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．问题2、已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k的值为________．问题3、在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是______________．探究二 求线性目标函数的最值问题4、变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．探究三线性规划的简单应用问题5、某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？问题6、某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为____________．我的收获第三部分训练案见附页。
高中数学 必修5 25.二元一次不等式组表示的平面区域
25.二元一次不等式组表示的平面区域教学目标 班级______ 姓名__________1.能熟练应用二元一次不等式的性质解决问题.2.能熟练的画出二元一次不等式组表示的平面区域.3.掌握二元一次不等式组表示的平面区域相关的面积计算.教学过程一、二元一次不等式的性质.1.两点同侧：直线同侧的点坐标满足同一不等式.对于直线0=++C By Ax 同侧的任意两点，把它们的坐标代入多项式C By Ax ++，所得的值符号相同；即在直线0=++C By Ax 同侧任取两点),(11y x 、),(22y x ，则有0))((2211>++++C By Ax C By Ax .2.两点异侧：异侧的点满足不同的不等式.对于直线0=++C By Ax 异侧的任意两点，把它们的坐标代入多项式C By Ax ++，所得的值符号相反.即在直线0=++C By Ax 两侧各任取一点),(11y x 、),(22y x ，则有0))((2211<++++C By Ax C By Ax .二、二元一次不等式组表示的平面区域.1.画二元一次不等式所表示的平面区域：（1）特殊点法；（2）标准式法.2.注意事项：（1）画二元一次不等式所表示的平面区域要注意：①是否取等；②取左取右.（2）二元一次不等式组要求各不等式同时成立，作图时取各不等式区域的公共部分.（3）作图要精确，画直线时，尽可能找特殊点（如直线与坐标轴的交点）.三、与二元一次不等式组表示的平面区域相关的面积计算.1.要求面积的区域一般是封闭的区域，面积可求.2.规则图形可直接用面积公式求解：高底三角形⨯⨯=21S ，高下底）（上底梯形⨯+=21S . 3.若平面区域为不规则图形，可将区域分解成几个规则的图形，然后求解.四、例题分析.1.利用二元一次不等式的性质求参数的值.例1：已知点)1,3(A 和)6,4(-B 在直线023=+-a y x 的异侧，求a 的取值范围.练1：已知点)2,1(-P 以及它关于原点对称的点Q 均在不等式012>++by x 表示的平面区域内，求b 的取值范围.2.画二元一次不等式组表示的平面区域.例2：画出不等式组 10≤≤x ，表示的平面区域.10≤≤y ，1≤+y x ，3.面积计算问题.例3：画出不等式组 012≥-+y x ，表示的平面区域，并计算该区域的面积. 052≤-+y x ，2+≤x y ，作业：画出不等式组 05≥+-y x ，表示的平面区域.01>++y x ，3≤x ，。
二元一次不等式(组)所表示的平面区域教案人教版
-能够将实际问题转化为二元一次不等式（组）问题。
-学会运用二元一次不等式（组）解决实际问题，如线性规划、区域限制等。
6.二元一次不等式（组）的性质：
-了解二元一次不等式（组）的性质，如传递性、互补性等。
-掌握不等式（组）的解集的性质，如闭合性、连续性等。
作业布置与反馈
1.逻辑推理：通过学习二元一次不等式（组）的表示方法，培养学生运用逻辑推理能力，理解不等式（组）之间的逻辑关系，能够准确判断平面区域内各点是否满足不等式（组）的条件。
2.直观想象：通过在平面直角坐标系中表示二元一次不等式（组）所表示的平面区域，培养学生的直观想象能力，使学生能够直观地认识和理解不等式（组）所表示的区域的形状和位置。
解决方法：通过大量练习，让学生在坐标系中绘制不同类型的不等式（组）所表示的区域，加深对“交集”和“并集”的理解。
（2）将实际问题转化为二元一次不等式（组）问题，并求解。
解决方法：引导学生分析实际问题中的约束条件，将其转化为不等式（组）形式，然后运用所学知识求解。可以结合生活实例进行讲解，让学生感受到数学与生活的联系。
（二）存在主要问题
1.课堂管理：在教学过程中，部分学生在课堂上注意力不集中，影响教学效果。
2.教学方法：在讲解知识点时，有时过于侧重理论，忽视了学生的实际操作能力的培养。
3.作业布置：作业布置有时过于繁琐，导致学生花费大量时间完成，影响学习效果。
（三）改进措施
1.改进课堂管理：通过设置课堂规则，加强课堂管理，提高学生的课堂注意力。
教学难点与重点
1.教学重点：
（1）理解二元一次不等式在平面直角坐标系中的表示方法，掌握“交集”和“并集”的概念。
举例：在坐标系中，不等式x+y<2表示的是直线x+y=2下方的区域，不包括直线上的点。
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课题：§3.5.1二元一次不等式(组）所表示的平面区域 课时:第1课时 授课时间: 授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力； 3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域；
【教学难点】如何确定二元一次不等式（组）表示平面区域。
【教学过程】
1.课题导入
1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型
教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。
2.讲授新课
1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 转化 数学问题： 设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。
（把文字语言 转化 符号语言）
（资金总数为25 000 000元）⇒25000000x y +≤ （1） （预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）
⇒(12%)x +(10
%)y 3≥ 即12103000000x y +≥ （2）
（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）⇒0,0x y ≥≥ （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：
25000000
121030000000,0x y x y x y +≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥≥⎩
2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。
（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。
3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考
回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （2）探究
从特殊到一般：
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。
平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点；
第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，
横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 点P 的纵坐标1y 点A 的纵坐标2y
并思考：
当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？
学生思考、讨论、交流，达成共识：
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况： （3）结论：
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 【应用举例】
例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。
解：先画直线44x y +=（画成虚线）. 取原点（0，0），代入x +4y -4,∵0+4×0-4=-4＜0,
∴原点在44x y +<表示的平面区域内，不等式44x y +<表示的区域如图：
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。
特殊地，
当0≠C 时，常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。
变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。
例2 用平面区域表示.不等式组312
2y x x y <-+⎧⎨<⎩
的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不
等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y <表示直线
2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1、画出不等式04)(12(<+-++）
y x y x 表示的平面区域。
变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
3.随堂练习
1、课本第88-89页的练习A1、
2、3
4.课时小结
1．二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法． 3．二元一次不等式组表示的平面区域．
5.评价设计
课本第96页习题3.5[A]组的第1、2题 【板书设计】
【教学反思】。