《管理运筹学》案例演示(动态规划)

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x1
[
]
第一季度生产量加库存量要满足本季度需求量, 又不能超过第一到第四季度的总需求: 最高生产量为6个单位:
2 ≤ x1 + s1 ≤11 0 ≤ x1 ≤ 6
f1 ( s1 )
x1
0 1 2
21
Байду номын сангаас
3
21.5
4
22
5
6
f1 ( s1 )
∗ x1
s1
0
20.5 21.5 20.5
5
第四步:最佳生产决策:第一季度生产5单位产品,期末库存量为 3单位;第二季度不生产,期末库存量为零;第三季度生产6单位 产品,期末库存量为4单位;第四季度不安排生产。
8 100 75 53
A B C
问如何确定三个项目计划的投资额,才能使8千万元的资金投 资后的利润最大。 解: 阶段变量k ( k =1,2, 3 ):每投资一个项目作为一个阶段; 状态变量sk :可以对第k个项目投资的资金数(即投资 第k个项目前的资金数); 决策变量xk:第k 个项目的投资, 0≤xk≤sk;
11 10.5 8 8 8 8 5
6 5 0 0 0 0 0
第三步:第二到第四季度的最佳生产决策; 第二到第四季度的最低生产成本:
f2 (s2 ) = m c2( x2 , s2 ) + f3 (s3 ) in
x2
[
]
约束条件: 由于第一季度期初库存s1= 0,而最高生产量x1= 6 ,市场需求量d1=2,所以,第二季度期初的库存量应为: 第二季度生产量加库存量要满足本季度需求量, 又不能超过第二到第四季度的总需求: 最高生产量为6个单位:
该季度生产量不能超过6个单位:
x3 ≤ 6
f 3 ( s3 )
x3
0 1
11.5 11.5 11.5 11.5 8.5
2
12 12 12 12 9
3
12.5 12.5 12.5 9.5
4
13 13 10
5
13.5 10.5
6
11
f 3 ( s3 )
∗ x3
s3
0 1 2 3 4 5 6
8 8 8 8 5
例.(生产与库存问题)某电视机厂为生产电视机而需生产喇 叭,生产以万只为单位,根据以往记录,一年的四个季度需要 喇叭分别是2、3、2、4万只。设每万只存放在仓库内一个季度 的存储费为0.5万元,每生产一批的装配费为3万元,每万只的 生产成本费为1万元,每个季度所允许的生产能力为6万只,第 一个季度初和第四个季度末的库存为0。问应该怎样安排四个 季度的生产量和库存量,才能使总的费用最小? 解: 阶段变量k ( k =1,2,3,4 ):将生产的四个季度分为四个阶段; 状态变量sk :第k 个季度初的库存量; 决策变量xk:第k 个季度的生产量; 第k个季度的需求量为Dk; 状态转移方程: sk+1 =sk +xk-Dk
15 14.5 15.5 16.5 17.5 15.5 12.5 15 16 17 15 12.5
5 4 3 0 0
第四步:第一到第四季度的最佳生产决策; 第二到第四季度的最低生产成本:
f1 (s1 ) = m c1( x1, s1 ) + f2 (s2 ) in
约束条件:
第一季度期初库存:s1 = 0
0 ≤ s2 ≤ 4
3 ≤ x2 + s2 ≤ 9
0 ≤ x2 ≤ 6
f 2 ( s2 )
x2
0 1 2
16.5 16 16.5
3
17 17 15
4
17.5 16
5
16 17
6
f 2 ( s2 )
∗ x2
s2
0 1 2 3 4
15.5 16.5
17 16 17.5 15.5 18
12.5 12.5
16 14
3 3
金 额,即0≤xk≤sk;
f3 (s3) = max[d3(s3, x3)]
x3 =s3
表1
s3
x3 (s3) f3 (s3)
0 0 0
1 1 4
2 2 26
3 3 40
4 4 45
5 5 50
6 6 51
7 7 52
8 8 53
第二步:对第二、第三个项目(B 、C 项目)投资; 对第二、第三个项目投资的效益为:
由于第四季度末的库存量s5 =0,所以,
s4 + x4 = 4
0 ≤ x4 ≤ 4
第四季度的最低生产成本:
f4 (s4 ) = m [c4 ( x4 , s4 )] in
f 4 ( s4 )
0 1 2 3 4
x4
0 1 2 3 6.5 6 5.5 2 4 7
f4 (s4 )
∗ x4
s4
7 6.5 6 5.5 2
阶段指标函数:第k 个季度的总费用
3 + xk + 0.5sk (xk > 0) ck (xk , sk ) = 0.5sk (xk = 0)
第一步:第四季度的最佳生产决策; 第四季度的生产成本为;
3+ x4 + 0.5s4 (x4 > 0) c4 (x4, s4 ) = 0.5s4 (x4 = 0)
4 3 2 1 0
第二步:第三到第四季度的最佳生产决策; 第三到第四季度的最低生产成本:
f3 (s3 ) = m c3( x3 , s3 ) + f4 (s4 ) in
x3
[
]
约束条件: 第三季度期初库存量加该期生产量最低要满足该 期的需求量,又不能超过第三与第四季度需求量之和:
2 ≤ x3 + s3 ≤ 6
f2 (s2 ) x2 (s2 )
0 5 26 40 60 70 86 100 110 0 1 0 3 4 5 4 4 5
s2
105 110
第三步:对三个项目(A 、 B 、C 项目)投资; 对A 、B 、C三个项目投资的效益为:
x1
f1 (s1) = max d1(s1, x1) + f2 (s2 )
例3.(资金分配问题)某企业现筹集到资金8千万元,可以向三 个建设项目投资,其投资效益分别由函数d1(x1)、 d2(x2)、 d3(x3)给出,其值如下表:
项目
0 0 0 0
1 5 5 4
2 15 15 26
3 40 40 40
4 80 60 45
5 90 70 50
6 95 73 51
7 98 74 52
状态转移方程: sk+1 =sk -xk 阶段指标函数:投资第k 个项目效益,如上表。 约束条件: 第 j 阶段的投资额,不应超过可供该项目投资的 第 j 阶段的投资额与可为后阶段提供的资金总额 之和,不应超过8千万元, 0≤xk+sk+1 ≤8 ; 第一步:对第三个项目(C 项目)投资; 当第一、第二两个项目的投资额确定后,对第三个项目的投 资额应取其剩余资金s3,由于资金不允许积压,在对第三个项 目进行投资后,应用完全部资金,即 s4=0,所以,s3=x3,显 然, ∗ = s ,对第三个项目投资的效益为, x
[
]
s2 = s1 − x1 0 ≤ x1 ≤ x1 s1 = 8
列表计算 f1 (s1) 值: 表3
f1 ( s1 ) s1
8
x1 ( s1 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8
f1 (s1) x1 (s1)
4
110 105 101 110 140 130 121 103 100 140
从表3中可得出,对第一个项目(A项目)的最优决策是: (s1) = 4 ; x1 又由状态转移方程得出, s2 = s1 − x1 = 4 ;由表2得出,对第一、第 二个项目(A、B项目)的最优决策是: x2 (s2 ) = 4 ,又从状态转移方程 得出, s3 = s2 − x2 = 0 。 x∗ = 0 3 所以,最优决策是:第一个项目4千万,第二项目4千万,第三项 目不投资。
f2 (s2 ) = max d2 (s2, x2 ) + f3 (s3)
0 ≤ s3 + x2 ≤ 8 0 ≤ x2 ≤ s2
列表计算 f2 (s2 ) 值(见下页)
x2
[
]
表2
f 2 ( s2 )
0 1 2 3 4 5 6 7 8
u 2 ( s2 )
0 0 4 26 40 45 50 51 52 53 5 9 31 45 50 55 56 57 15 19 41 55 60 65 66 40 44 66 80 85 90 60 64 86 100 70 74 96 73 77 99 74 78 75 1 2 3 4 5 6 7 8
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