高超声速空气动力学

高超声速空气动力学

对于高超声速尾迹稳定性的研究非常少，早期的研究主要是以实验为主，1964年，Lyons等[83]对高超声速圆锥和圆球绕流的阻力、稳定性和尾迹特征进行了实验研究，其得出了圆锥尾迹从层流到湍流的转捩雷诺数，利用阴影技术得到层流和湍流情况下的圆锥尾迹。1972年，Finson[84]利用阴影法对高超声速高雷诺数尾迹进行了实验研究，得到了圆锥层流和湍流边界层的尾迹阴影图。2002年，Maslov[85]等利用电子束方法对高超声速钝锥和尖锥绕流的流动稳定性进行了

实验研究，对在自然扰动和人工有限振幅扰动情形下的圆锥稳定性进行了实验研究。2004年，Nishio[86]等利用放电方法对高超声速太空舱的尾迹稳定时间进行了实验研究，得出了其尾迹结构及其稳定时间。2006年，Danehy和Wilkes[87]等在马赫数10风洞中利用平面激光诱发荧光法（PLIF）对X-33机身尾迹流场、开洞平板绕流、70度钝锥带圆柱尾部模型的尾迹、Apollo太空舱尾迹4个模型进行了实验研究，显示了各种模型尾迹结构图像。

步入21世纪后，研究人员开始逐步采用数值计算的方法来研究底部流动及尾迹结构。由于底部流动及尾迹结构十分复杂，国外的研究人员大都采用DNS方法、RANS/LES方法以及DES方法，以此获得底部流动及尾迹的湍流结构，但对其演化机理研究甚少。2005年，Sandberg[88]等利用DNS方法对超声速圆柱底部流动的转捩现象进行了研究，其获得了底部流动演化过程中的多种结构。2006年，Sivasubramanian[89]等利用RANS/LES方法及DES方法对超声速轴对称导弹外形的底部流动进行了研究，获得了底部流场的湍流结构，并采用船形后体实现了底部流动湍流结构的被动控制。2007年，Sinha[90]采用DES方法对高超声速再入式飞行器的底部流场进行了研究，获得了底部流动的非定常现象，分析了底部流动的雷诺数效应。2009年，MacLean[91]等利用实验和DES方法对高超声速球形返回舱的底部流动进行了研究，在有支撑情形下获得了返回舱底部流动的层流及湍流流场。2011年，Brock[92]等利用RANS及RANS/LES方法对高超声速返回舱的底部流动进行了数值模拟，获得了其底部流动的层流到湍流的数值结果并与实验进行了对比。

通过对圆球尾迹、圆柱尾迹、圆锥大攻角背风区尾迹及高超声速范围尾迹稳定性的调研，发现在低速不可压缩领域尾迹的非定常现象及演化研究较广泛，对其非定常现象取得了一定的认识。但是在超声速特别是高超声速领域，有限的研究只是发现了钝体尾迹存在的非定常现象，均未对其非定常形态的发展过程及演化机理进行研究，尚缺乏对具体现象及规律的认识。

一、结构稳定性理论

为了研究尾迹结构的演化形态及机理，人们提出了结构稳定性理论，通过分析流场的拓扑结构，来对流场的稳定性进行分析，期望对尾迹流场的稳定性特征取得认识。

结构稳定性的直观定义：

考虑由微分流型M上的向量场v所给出的微分方程(x),x M

=∈我们也说v给出

x v

了一个动力系统（简称系统）。

例1 带摩擦的摆：

系统可写成： ,x y y x ω==-

(x,y)K ∈ 其中K 为椭圆区域，原点是系统的中心，且在K 中充满围绕原点的闭轨。现在考虑扰动系统：

当0(0)α><时，原点是稳（不稳定）焦点，且在K 中不存在任何闭轨。由于0α≠的扰动系统与未扰动系统的拓扑结构不是等价的，因此系统是结构不稳定的。 由此得出结构稳定性定义：结构稳定性是指当动力系统受到扰动变为“邻近”的动力系统时，系统的拓扑结构保持不变的性质。

为了使定义有意义，需要定义何谓场的扰动以及什么样的系统可看作等价的。 拓扑等价性：

微分同胚：两个系统（M 1,v 1）和(M 2, v 2)称为微分同胚的，如果存在微分同胚h ：12M M →，把向量场变为。

从光滑流型的几何学的观点来看，微分同胚的系统是没有区别的。下面的例子可以看出分类到只相差微分同胚要求太高。

例2 考虑一维相空间中的方程：

在两种情况下，x=0都是不稳定结点，但是这两个系统并不是微分同胚的。这点可从微分同胚保线性算子的特征值得到证实。

为了不区分两个场，引入比较粗的等价关系即所谓的拓扑等价性。

考虑所给向量场定义的相流，向量场v 的相流就是这样一族gt: M →M 变换，它们把x=V(x)方程在t=0时刻的初始值x 0变化为在t 时刻的值gt x 0；显然有：gt +s =gt •gs , g 0=1

拓扑等价：两个动力系统称为拓扑等价的，如果存在第一个系统的相空间到第二个相空间的同胚h 变第一个相流为第二个相流。

换言之，即要求以下图式可微：

在此之下系统是拓扑等价的。

轨道等价性：和

令人遗憾的是拓扑等价性仍不能摆脱对线性算子的本征值的依赖关系。

例3 考虑具有封闭相曲线（如极限环）的向量场，这时所有拓扑等价的系统都是极限环，而且周期相同。当场有微小扰动时，周期也可能稍微有改变。所以沿极限环运动的周期对于拓扑等价性也是连续变动的不变量（即模）。为避开这类模，需要再引入一个比按照同胚分类更粗的分类。

拓扑轨道等价：两个动力系统成为拓扑轨道等价，如果存在由第一个系统的相空间到第二个相空间的同胚变第一个系统的有向相曲线为第二个有向相曲线。这时不需要两个运动在相应相曲线上的协调。

结构稳定性假设就是：若将动力系统按轨道稳定性分类就不会有（离散的）模的影响。

由此得到结构稳定性的最终定义：

令M为类紧光滑流型，v为M上的r c向量场（若M有边缘，还要求v不切于边），如果向量场v在1c空间中有一个邻域，其中一切向量场都给出与原来

系统为拓扑轨道等价的系统，而且实现这一等价性的同胚又接近于恒等映射，系统（M，v）就是结构稳定的。

平面向量场的结构稳定性问题：

平面单位圆盘222

B{(x,y)|x y1}

=+≤

考虑系统：2

==∈

(x,y),y(x,y),(x,y)B

x p Q

设12

P Q C

∈且向量场（P，Q）与2B的边界2B

,(B,r)

∂是无切的。

安德罗诺夫-庞特里雅根定理：

设12

∈则系统为结构稳定性的充要条件是：

,(B,r)

P Q C

(1) 只有有限个奇点，它们是初等的，且特征根实部不等于零（称为双曲的）；

(2) 没有从鞍点到鞍点的轨线；

(3) 只有有限个闭轨线，且闭轨线是稳定的或不稳定的单重极限环。