第六讲-扭转应力与强度条件
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2
§1 引言
扭转实例
扭转及其特点
扭矩与扭矩图
例题
3
扭转实例
F F
4
Me
5
6
扭转及其特点
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为 直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转 以扭转为主要变形的杆件－轴（圆轴） 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
T l
p2
ml T1 B T2 B 2
(b)
3. 扭矩与圆盘转角 联立求解平衡与补充方程，得
圆盘转角为
ml T1 B T2 B 2
B 2 B
T2 B l ml GIp2 2GIp2
45
§6 非圆截面轴扭转
矩形截面轴扭转 椭圆等非圆截面轴扭转
46
矩形截面轴扭转
T ( x) dx l GI ( x ) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度 对于常扭矩、等截面圆轴
Tl GIp
35
圆轴扭转刚度条件
dj T dx GI p
T [ ] GI p max
圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角 一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m
11
扭转实验与假设 扭转实验
各圆周线的形状不 变,仅绕轴线作相对转 动 当变形很小时，各 圆周线的大小与间距 均不改变
扭转平面假设
各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
12
扭转切应力
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
微段扭转 变形 dj
13
几何方面
物理方面
dd ' tan ad dj
例 题
例 1-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图
解：
T2 M C 0
T1 M A 76 N m T2 M C 115 N m
10
§2 圆轴扭转应力
扭转实验与假设 扭转切应力
薄壁圆管扭转切应力
极惯性矩与抗扭截面系数
实验现象
截面翘曲, 角点处 为零, 侧面中点处 最大
圆轴平面假设不适用于非圆截面轴
47
应力分布特点
横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边
横截面周边长边中点处，切应力最大
48
弹性力学解
长边中点 最大
注意单位换算:
180 1 rad / m /m π
36
例 题
例 4-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5º /m 。AC=? 校核轴的刚度
解：1. 变形分析
实心圆截面
π d4 Ip 32
π d3 Wp 16
20
§3 圆轴扭转强度与动力传递
圆轴扭转强度条件
轴的动力转递
圆轴合理设计 例题
21
材料的剪切性能与扭转破坏
扭转破坏
低碳钢
铸铁
22
剪切胡克定律
实验表明：
p G
s b
扭转屈服应力 扭转强度极限
在线弹性情况下，精确解：
max
16T D 3 (1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
19
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA 2π d
Ip
D/ 2 d/2
2 2π d
π D4 Ip 14 32
d D
π D3 Wp 14 16
44
1 1 B d x －变形协调条件 T1 ( x ) T1 B m( l x ) 1B 2B 0 GI p1
l
T ( x)
1 B
1 ml 2 M l T T 1, B T 0 x 1 B GI p1 2 2 B
2B ml 2 B GI (a)
Tmax max Wp
轴的动力转递
已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m） 设角速度为 (rad/s)
P M
2π n P 10 M 60
3
M Nm 9549
P kW n r / min
例: P＝5 kW, n=1450 r/min, 则
解：1. 内力分析
FS ＝F
T
FD 2
32
FS ＝F
T
FD 2
2. 应力分析
4 FS 4 F ' 2 2 d d
" max
T FD 16 8 FD 3 2 d d 3 WP
8 FD d 1 d 3 2 D
max " max '
T1 M A 180 N m T2 MC 140 N m
T1l 1.50 10-2 rad GI p T2 l 1.17 10-2 rad GI p
37
AB
BC
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
3. 应力修正公式
max
8FD 4m 2 d 3 4 m 3 D （当 m 10 时） d
33
§4 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形
圆轴扭转刚度条件
例题
34
圆轴扭转变形
圆轴扭转一般情况
d T dx GIp d T ( x) dx GIp ( x )
39
§5 圆轴扭转静不定问题
扭转静不定问题分析 例题
40
扭转静不定问题分析
问题 试求图示轴两端的支反力偶矩
问题分析
M
x
0,
M A MB M 0
(a)
未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度静不定
41
建立变形补充方程
AB AC CB 0
AC
T1a (- M A )a GI p GI p
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
M Aa MBb 0
计算支反力偶矩 联立求解方程(a)与(b)
M
x
0,
M A MB M 0
(a)
Mb Ma MA ， MB ab ab
42
例题Baidu Nhomakorabea
例 5-1 图示组合轴，承受集度为 m 的均布扭力偶， 与矩为 M = ml 的集中扭力偶。已知： G1 = G2 = G， Ip1 = 2Ip2 。试求：圆盘的转角。
度条件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
T π 3 d 16
max
[ ]
T d 3 16
d
3
16T π [ ]
3
16(1.5 103 N m ) 0.0535 m 6 (50 10 Pa)
28
取： d 54 mm
解：1. 建立平衡方程
沿截面 B 切开,画受力图
43
M
x
0, T1 B T2 B ml
(a)
未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度静不定 2. 建立补充方程
1 B 2 B －变形协调条件
1 B
T1 ( x ) dx 0 GI p1
l
T1 ( x ) T1 B m( l x )
第四章 扭转 本章主要研究： 圆截面轴的扭转应力与变形 圆截面轴的扭转强度与刚度 矩形等非圆截面轴扭转 薄壁截面轴扭转
1
第4章
§1 引言 §2 圆轴扭转应力
扭转
§3 圆轴扭转强度与动力传递
§4 圆轴扭转变形与刚度计算 §5 圆轴扭转静不定问题 §6 非圆截面轴扭转 §7 薄壁杆扭转
2. 确定空心圆轴内、外径
do3 1 4 Wp 16
do
3
16T π 3 do (1 4) 16
[ ]
16T 76.3 mm 4 π (1 )[ ]
di d可否做一般 o 68.7mm 性证明？
取：do 76 mm， di 68 mm
A
Ip Wp －抗扭截面系数 R
15
小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面
dj T 扭转变形基本公式： dx GI p
扭转切应力公式： 最大扭转切应力：
T Ip T max Wp
公式的适用范围： 圆截面轴；max≤ p
16
讨论
5 M＝ 9540 (N m) 32.9 N m 1450
25
圆轴的合理设计
1. 合理截面形状 空心截面比 实心截面好
若 Ro/ 过 大， 则将产 生皱折（即局部失稳）
26
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
注意减缓应力集中
27
例 题
例 3-1 已知 T=1.5 kN.m，[ ] 50 MPa，试根据强
3. 重量比较
π 2 ( do di2 ) 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
29
例 3-2 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别
为 1 5 mm，2 4 mm，m = 3500 N.m/m，l = 1 m，
[] 50 MPa，试校核圆管强度。
7
扭矩与扭矩图
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负
8
扭矩图 试分析轴的扭矩（m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
2. 刚度校核
T1 d dx 1 GI p
T2 d dx 2 GI p
T1 T2
T d d 1 dx max dx 1 GI p
180 N m 180 d 0 . 43 / m [ ] 9 5 -12 4 dx max (80 10 Pa)(3.0 10 10 m ) π
注意单位换算！
38
例 4-2 试计算图示圆锥形轴的总扭转角
T dx 解： l GI ( x ) p 4 d d1 d ( x ) d ( x ) d1 2 x Ip ( x ) TM l 32 32 Ml 1 1 32 M l 1 3 3 d x 4 3G( d2 - d1 ) d1 d2 G 0 d 2 d1 x d1 2
dx
dj G dx
dj / dx－扭转角变化率
14
G
dj dx
静力学方面
A
dA T
应力与变形公式
dj G dx
A
dA T
2
max TR T
Ip
T max Wp
dj T dx GIp
2
T Ip
Ip R
I p dA －极惯性矩
解：1. 扭矩分析
30
2. 强度校核
危险截面：截面 A与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] 2 2 2R0 1 2R0 1 ml TB 2 27.9 MPa [ ] B 2R02 2 2R02 2
A
31
例 3-3 密圈螺旋弹簧应力分析
23
圆轴扭转强度条件
max [ ]
变截面圆轴:
T max W p max
等截面圆轴:
[ ]
u
n
u－材料的扭转极限应力
n - 安全因数 塑性材料： [] =（0.5~0.577）[] 脆性材料： [] = （0.8~1.0）[t]
24
研空心圆截面
杆件应力分布：
斜截面应力：
17
薄壁圆管扭转应力
应力公式
假设: 切应力沿壁厚均匀分布
2 T R0 R0d 2π R0
0 2π
T 2R02 δ
18
适用范围 适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹 性、各向同性与各向异性情况
公式精度
T 2R02
§1 引言
扭转实例
扭转及其特点
扭矩与扭矩图
例题
3
扭转实例
F F
4
Me
5
6
扭转及其特点
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为 直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转 以扭转为主要变形的杆件－轴（圆轴） 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
T l
p2
ml T1 B T2 B 2
(b)
3. 扭矩与圆盘转角 联立求解平衡与补充方程，得
圆盘转角为
ml T1 B T2 B 2
B 2 B
T2 B l ml GIp2 2GIp2
45
§6 非圆截面轴扭转
矩形截面轴扭转 椭圆等非圆截面轴扭转
46
矩形截面轴扭转
T ( x) dx l GI ( x ) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度 对于常扭矩、等截面圆轴
Tl GIp
35
圆轴扭转刚度条件
dj T dx GI p
T [ ] GI p max
圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角 一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1/m
11
扭转实验与假设 扭转实验
各圆周线的形状不 变,仅绕轴线作相对转 动 当变形很小时，各 圆周线的大小与间距 均不改变
扭转平面假设
各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
12
扭转切应力
取楔形体 O1O2ABCD 为 研究对象
微段扭转 变形 dj
13
几何方面
物理方面
dd ' tan ad dj
例 题
例 1-1 MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图
解：
T2 M C 0
T1 M A 76 N m T2 M C 115 N m
10
§2 圆轴扭转应力
扭转实验与假设 扭转切应力
薄壁圆管扭转切应力
极惯性矩与抗扭截面系数
实验现象
截面翘曲, 角点处 为零, 侧面中点处 最大
圆轴平面假设不适用于非圆截面轴
47
应力分布特点
横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边
横截面周边长边中点处，切应力最大
48
弹性力学解
长边中点 最大
注意单位换算:
180 1 rad / m /m π
36
例 题
例 4-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5º /m 。AC=? 校核轴的刚度
解：1. 变形分析
实心圆截面
π d4 Ip 32
π d3 Wp 16
20
§3 圆轴扭转强度与动力传递
圆轴扭转强度条件
轴的动力转递
圆轴合理设计 例题
21
材料的剪切性能与扭转破坏
扭转破坏
低碳钢
铸铁
22
剪切胡克定律
实验表明：
p G
s b
扭转屈服应力 扭转强度极限
在线弹性情况下，精确解：
max
16T D 3 (1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
19
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA 2π d
Ip
D/ 2 d/2
2 2π d
π D4 Ip 14 32
d D
π D3 Wp 14 16
44
1 1 B d x －变形协调条件 T1 ( x ) T1 B m( l x ) 1B 2B 0 GI p1
l
T ( x)
1 B
1 ml 2 M l T T 1, B T 0 x 1 B GI p1 2 2 B
2B ml 2 B GI (a)
Tmax max Wp
轴的动力转递
已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m） 设角速度为 (rad/s)
P M
2π n P 10 M 60
3
M Nm 9549
P kW n r / min
例: P＝5 kW, n=1450 r/min, 则
解：1. 内力分析
FS ＝F
T
FD 2
32
FS ＝F
T
FD 2
2. 应力分析
4 FS 4 F ' 2 2 d d
" max
T FD 16 8 FD 3 2 d d 3 WP
8 FD d 1 d 3 2 D
max " max '
T1 M A 180 N m T2 MC 140 N m
T1l 1.50 10-2 rad GI p T2 l 1.17 10-2 rad GI p
37
AB
BC
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
3. 应力修正公式
max
8FD 4m 2 d 3 4 m 3 D （当 m 10 时） d
33
§4 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形
圆轴扭转刚度条件
例题
34
圆轴扭转变形
圆轴扭转一般情况
d T dx GIp d T ( x) dx GIp ( x )
39
§5 圆轴扭转静不定问题
扭转静不定问题分析 例题
40
扭转静不定问题分析
问题 试求图示轴两端的支反力偶矩
问题分析
M
x
0,
M A MB M 0
(a)
未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度静不定
41
建立变形补充方程
AB AC CB 0
AC
T1a (- M A )a GI p GI p
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
M Aa MBb 0
计算支反力偶矩 联立求解方程(a)与(b)
M
x
0,
M A MB M 0
(a)
Mb Ma MA ， MB ab ab
42
例题Baidu Nhomakorabea
例 5-1 图示组合轴，承受集度为 m 的均布扭力偶， 与矩为 M = ml 的集中扭力偶。已知： G1 = G2 = G， Ip1 = 2Ip2 。试求：圆盘的转角。
度条件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
T π 3 d 16
max
[ ]
T d 3 16
d
3
16T π [ ]
3
16(1.5 103 N m ) 0.0535 m 6 (50 10 Pa)
28
取： d 54 mm
解：1. 建立平衡方程
沿截面 B 切开,画受力图
43
M
x
0, T1 B T2 B ml
(a)
未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度静不定 2. 建立补充方程
1 B 2 B －变形协调条件
1 B
T1 ( x ) dx 0 GI p1
l
T1 ( x ) T1 B m( l x )
第四章 扭转 本章主要研究： 圆截面轴的扭转应力与变形 圆截面轴的扭转强度与刚度 矩形等非圆截面轴扭转 薄壁截面轴扭转
1
第4章
§1 引言 §2 圆轴扭转应力
扭转
§3 圆轴扭转强度与动力传递
§4 圆轴扭转变形与刚度计算 §5 圆轴扭转静不定问题 §6 非圆截面轴扭转 §7 薄壁杆扭转
2. 确定空心圆轴内、外径
do3 1 4 Wp 16
do
3
16T π 3 do (1 4) 16
[ ]
16T 76.3 mm 4 π (1 )[ ]
di d可否做一般 o 68.7mm 性证明？
取：do 76 mm， di 68 mm
A
Ip Wp －抗扭截面系数 R
15
小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面
dj T 扭转变形基本公式： dx GI p
扭转切应力公式： 最大扭转切应力：
T Ip T max Wp
公式的适用范围： 圆截面轴；max≤ p
16
讨论
5 M＝ 9540 (N m) 32.9 N m 1450
25
圆轴的合理设计
1. 合理截面形状 空心截面比 实心截面好
若 Ro/ 过 大， 则将产 生皱折（即局部失稳）
26
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
注意减缓应力集中
27
例 题
例 3-1 已知 T=1.5 kN.m，[ ] 50 MPa，试根据强
3. 重量比较
π 2 ( do di2 ) 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
29
例 3-2 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别
为 1 5 mm，2 4 mm，m = 3500 N.m/m，l = 1 m，
[] 50 MPa，试校核圆管强度。
7
扭矩与扭矩图
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负
8
扭矩图 试分析轴的扭矩（m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
2. 刚度校核
T1 d dx 1 GI p
T2 d dx 2 GI p
T1 T2
T d d 1 dx max dx 1 GI p
180 N m 180 d 0 . 43 / m [ ] 9 5 -12 4 dx max (80 10 Pa)(3.0 10 10 m ) π
注意单位换算！
38
例 4-2 试计算图示圆锥形轴的总扭转角
T dx 解： l GI ( x ) p 4 d d1 d ( x ) d ( x ) d1 2 x Ip ( x ) TM l 32 32 Ml 1 1 32 M l 1 3 3 d x 4 3G( d2 - d1 ) d1 d2 G 0 d 2 d1 x d1 2
dx
dj G dx
dj / dx－扭转角变化率
14
G
dj dx
静力学方面
A
dA T
应力与变形公式
dj G dx
A
dA T
2
max TR T
Ip
T max Wp
dj T dx GIp
2
T Ip
Ip R
I p dA －极惯性矩
解：1. 扭矩分析
30
2. 强度校核
危险截面：截面 A与 B
ml TA 44.6 MPa [ ] 2 2 2R0 1 2R0 1 ml TB 2 27.9 MPa [ ] B 2R02 2 2R02 2
A
31
例 3-3 密圈螺旋弹簧应力分析
23
圆轴扭转强度条件
max [ ]
变截面圆轴:
T max W p max
等截面圆轴:
[ ]
u
n
u－材料的扭转极限应力
n - 安全因数 塑性材料： [] =（0.5~0.577）[] 脆性材料： [] = （0.8~1.0）[t]
24
研空心圆截面
杆件应力分布：
斜截面应力：
17
薄壁圆管扭转应力
应力公式
假设: 切应力沿壁厚均匀分布
2 T R0 R0d 2π R0
0 2π
T 2R02 δ
18
适用范围 适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹 性、各向同性与各向异性情况
公式精度
T 2R02